13动能定理

F1 dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
M1 M1 M1 M2
M1 M2
M2
即
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
5
四．常见力的功 1．重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
1 m1 3 2 2 T [( m2 )l ( R 2lR)m2 ] 2 2 3 2
15
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
例：匀质圆轮作沿固定面作纯滚动，已知 m , r，vC
求：动量，对O点的动量矩，动能。 解．轮作平面运动

C
动量： k
W
(N)
N dr N 'dr
N dr N dr 0
12
§14-2
的又一种度量。
一．质点的动能
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱
T 1 m v2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
1 T mi vi 2 2 对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度） 1 2 1 T MvC mi vi ' 2 柯尼希定理 2 2
1 1Байду номын сангаас2 2 mv 2 mv1 W12 动能定理的积分形式 2 2
17
2．质点系的动能定理
对质点系中的一质点 M i ： d ( 1 mi vi 2 ) Wi 2 对整个质点系，有:
1 1 2 2 d ( m v 2 i i ) Wi d ( 2mi vi ) Wi 质点系动能定理的微分形式 即: dT Wi
20
YO XO
F
解： １、研究对象：整体 ２、受力分析： M , P,
做功：
P, Q ,

X O , YO ,
F, N ,
W ( F ) m Qh ( h / r )
３、运动分析： N 1 2 Ａ：TA J O A 2 1 2 1 2 运动学补充方程： Ｂ：TB mv C J C B 2 2 1) D 物速度与 A 轮角速度关系： 1Q 2 v Ｄ： TD v r A 2 g
dh (v ) dt
8( M Qr ) a g (8Q 7 P)r
23
例2：图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹处 于自然状态。设弹簧常数 k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA 转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？
解：1、OA杆
2、做功的力：杆的重力、弹簧 1 2 2 W12 P 1.2 k ( 1 2 ) 2 388.4(J ) 3、动能：
vC
mvC mr ()
对O点的动量矩：
O
LO M O (mvC ) J C 1 2 3 2 mvC r mr mr 2 2 动能： 1 2 1 T mvC J C 2 2 2 2 1 1 mr 3 2 2 2 2 T m(r ) mr 2 2 2 4
1 2 1 2
N=常量时, W= –f´N S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 N ，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
dr vC dt0
W F dr F vC dt0
(3) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量则
s W m m R
14-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。
一．常力的功
W FS cos F S 力的功是代数量。
, W 0; , W 0; 2 2 单位：焦耳（Ｊ）； 1J 1N 1m , W 0.
2
3


二．变力的功 元功： W F cos ds

T1
1 0,
2 (2.4 1.2 2 )
1 W 30 9.8 1.2 3000 [0 2 (2.4 1.2 2 ) 2 ] 2
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
T2 T1 W 12
质点系动能定理的积分形式
18
质点系动能定理:
T2 T1
W
12
将质点系所受的力分为：主动力Ｆ与约束力Ｎ 质点系所受的是理想约束： W ( N ) 0 在理想约束的条件下，质点系的动能定理为：
(F ) T2 T1 W12
W
(N)
N dr N 'dr N dr N dr 0
11
六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
4．刚体沿固定面作纯滚动

C
vC
drI vI dt 0
W ( N ) F drI 0
F
I
N
5．柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
(F ) (N) W W W
将质点系所受的力分为：外力 Fi 与内力 Fi
( e) (i ) W W W
(e)
(i )
若:
W
(i )
0
则:
( e) T2 T1 W12
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[例1] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为r, 两盘中心
线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问 下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长， 盘B作纯滚动，初始时系统静止)
13
三．刚体的动能
1 2 1 2 1 2 1 2 T mi vi (mi )v Mv MvC 2 2 2 2 2．定轴转动刚体 T 1 mi vi 2 1 ( mi ri 2 ) 2 1 I z 2 2 2 2
1．平动刚体 3．平面运动刚体
1 T J P 2 （P为速度瞬心） 2 1 1 1 1 2 J C 2 M (d 2 2 ) M vC J C 2
M1 M1 M2 M2
W
M2
M1

F dr （矢量式）
W
M2
（直角坐标表达式）
4
M1
Xdx Ydy Zdz
三．合力的功 质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 的功：
M2 M1 M2
作用合力为 R Fi ,则合力 R
W R dr ( F1 F2 Fn )dr
16
§14-3
1．质点的动能定理：
动能定理
dv dv dr m F m F dt dr dt dv m v F m v dv F dr d (m v v ) W dr
因此
d ( 1 m v2 ) W 2
动能定理的微分形式
将上式沿路径 M1M 2 积分，可得
1 P v 2 1 Pr2 v 2 ( ) ( )( ) 2g 2 2 2 g 2r
运动学补充方程：
1) D 物速度与 A 轮角速度关系：
1Q 2 v Ｄ：TD 2 g
v2 7P (Q ) T TA TB TD v r A 2g 8 2) D 物速度与 B 轮角速度关系： P 2 3P 2 Q 2 v v v v 2r B 4g 16g 2g 2vC v vC r B
W F dr k ( r l0 )r0 dr
M1 M1 M2 m2
单位矢量
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr r 2r 2r
W k ( r l0 )dr
r 1 r2 r2 r 1
k d ( r l0 ) 2 2

Wi (i ) 0
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六．理想约束反力的功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。
1．光滑固定面约束 W ( N ) N dr 0 ( Ndr )
2．活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
W ( N ) N dr 0 ( Ndr )
3．联接刚体的光滑铰链（中间铰）
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五．质点系内力的功
W F drA F 'drB F drA F drB
F d (rA rB ) F d ( BA)
只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。
不可伸长的绳索内力功之和等于零。

k [(r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 令1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 k 即 W ( 12 2 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
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3．万有引力的功
1 1) W Gmm 0( r2 r1
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2r B vC r B
T TA TB TD
2vC v
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３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mv C J C B 2 2
z2
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
质点系： W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
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2．弹性力的功 r 弹簧原长 l 0，在弹性极限内 F k (r l0 )r0 r0 r k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。