第13章 动能定理(邱)

第十三章动能定理
13-1圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。

在绕过圆盘的绳上吊有两物块A、B，质量分别为m A=3 kg，m B=2 kg。

绳与盘之间没有相对滑动。

在圆盘上作用一力偶，力偶矩按M=4φ的规律变化（M以N·m计，φ以rad计）。

求由φ=0到φ=2π时，力偶M与物块A、B的重力所作的功总和。

（答：109.7 J）
13-2一纯滚圆轮重P，半径为R和r，拉力F与水平面成θ角，轮与支承水平面间的静摩擦因数为f s，滚动摩擦系数为δ；求轮心C移动s过程中力F的全功。

(答：W=Fs (cos θ+r/R)-δ(P-Fsin θ)s/R )
13-3图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1。

车轮可视为均质圆盘，半径为R，两车轮轴间的距离为πR。

设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。

(答：T=(3m1+2m2)v2/2 )
13-4两个均质圆盘，质量相同，半径不同，静止平放于光滑水平面上。

如在此二盘上同时作用有相同的力偶，在下述情况下比较二圆盘的动量、动量矩和动能的大小。

（1）经过同样的时间；（2）转过相同的角度。

（答：动量皆为零；（1）动量矩相同，动能不同；（2）动能相同，动量矩不同）
13-5 平面机构由两匀质杆AB 、BO 组成，两杆的质量均为m ，长度均为L ，在铅垂平面内运动。

在杆AB 上作用一不变的力偶矩M ，从图示位置由静止开始运动，不计摩擦。

求当杆端A 即将碰到支座O 时杆端A 的速度。

（答：()[]m mgL M v A θθcos 13--= ）
13-6 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中重物I 的质量为m 1，重物II 的质量为m 2。

定滑轮O 1的半径为r 1，质量为m 3；动滑轮O 2的半径为r 2，质量为m 4。

两轮都视为均质圆盘。

如绳重和摩擦略去不计且绳与滑轮间不打滑，并设m 2>2m 1－m 4。

求重物II 由静止下降距离h 时的速度。

（答：()4
3214122342824m m m m m m m gh v ++++-=）
13-7 均质连杆AB 质量为4 kg ，长为L=600mm 。

均质圆盘质量为6 kg ，半径r=100mm 。

弹簧刚度为k=2 /mm 筒A 及弹簧的质量。

如连杆在图示位置被无初速度释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘作纯滚动。

求：
（1）当AB 达水平位置而刚好接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度： （2）弹簧的最大压缩量δ。

（答：ωB ＝0；ωAB ＝4.95rad/s ；δmax =87.1mm ）
13-8 图（1）、（2）所示为在铅垂面内两种情况的均质正方形板，边长均为a ，质量均为m ，初始时均处于静止状态。

受某干扰后均沿顺时针方向倒下，不计摩擦，求当OA 边处于水平位置时，两板的角速度。

（答：s rad a / 47.21=ω；s rad a / 12.32=ω）
13-9均质细杆AB长l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A以铰链与均质圆柱的中心相连。

圆柱质量为m2，半径为R，放在粗糙水平面上，自图示位置由静止开始滚动而不滑动，杆与水平线的交角θ=45°。

求点A在初瞬时的加速度。

（答：a A=3m1g/(4m1+9m2)）
13-10质量为5kg的滑块A可沿铅垂导杆滑动，同时系在绕过滑轮的绳的一端。

绳的另一端施恒力F=300N，使滑块由图示位置静止开始运动。

不计滑轮尺寸，求下列两种情况下滑块到B点时的速度：（1）不计导杆摩擦；（2）滑块与导杆间的动摩擦因数f=0.10。

（答：v1=4.02 m/s；v2=3.49 m/s）
13-11 图示行星齿轮机构位于水平面内，动齿轮A 重P 、半径为r ，可视为均质圆盘；系杆OA 重W ，可视为均质细长杆；定齿轮半径为R 。

今在细杆上作用一不变转矩M 使轮系由静止开始运动，求系杆的加速度与其转角φ的关系。

（答：W
P Mg r R 2932++=
ϕω）
13-12 链条长L ＝πr /2，单位长度重q ，置于光滑的1/4圆周管道中，管道在铅直平面内，位置如图示。

初始时A 端在A 0位置，从静止释放，求其滑至OA 与水平线OA 0成θ角时的速度。

水平面B 0C 0也是光滑的。

（答：V ＝2[gr （θ－1＋cos θ）/π]1/2）
综-1 滑块M 的质量为m ，可在固定于铅垂面内、半径为R 的光滑圆环上滑动，如图所示。

滑块M 上系一刚度系数为k 的弹性绳MOA ，此绳穿过固定环O ，并固结在点A 。

已知当滑块在点O 时绳的张力为零。

开始时滑块在点B 静止；当它受到微小扰动时，即沿圆环滑下。

求下滑速度v 与φ角的关系和圆环的约束力。

（答：F N =2kRsin 2φ-mgcos2φ-4(mg+kR)cos 2φ；()m kR g R v +=ϕcos 2）
综-2 正方形均质板的质量为40 kg ，在铅直平面内以三根软绳拉住，板的边长b=100 mm ，如图所示。

求
（1）当软绳FG 剪断后，木板开始运动的加速度以及AD 和BE 两绳的张力；（2）当AD 和BE 两绳位于铅直位置时，板中心C 的加速度和两绳的张力。

（答：(1) a=4.9m/s 2, F A =72N, F B =268N; (2) a=2.63m/s 2, F A =F B =248.5N ）
综-3如图所示，轮A和B可视为均质圆轮，半径均为R，质量均为m1。

绕在两轮上的绳索中间连着物块C，设物块C的质量为m2，且放在理想光滑的水平面上。

今在轮A上作用一不变的力偶M，求轮A与物块之间那段绳索的张力。

（答：F=M(m1+2m2)/(2R(m1+m2))）
综-4图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA绕水平轴O以角速度ω作匀速转动。

已知曲柄OA的质量为m1，OA=r，滑槽BC的质量为m2（重心在点D）。

滑块A的重量和各处的摩擦不计。

求当曲柄绕至图示位置时，滑槽BC的加速度、轴承O的约束力以及作用在曲柄上的力偶矩M。

答：a BC= -rω2cos ωt; F ox= - rω2 (m1/2+m2)cos ωt; F oy=m1g-(m1rω2sin ωt)/2;M=r(m1g/2+m2 rω2sin ωt) cos ωt
综-5、质量为m 0的物体上刻有半径为r 的半圆槽，放在光滑的水平面上，原处于静止状态。

有一质量为m 的小球自A 处无初始速度地沿光滑半圆槽下滑。

若m 0=3m ，求小球滑到B 处时相对于物体的速度及槽对小球的正压力。

(答：38gr v r =, 311mg F N = )
综-6 图示机构中，物块A 、B 的质量均为m ，两均质圆轮C 、D 的质量均为2m ，半径均为R 。

轮C 铰接于无重悬臂梁CK 上，D 为动滑轮，梁的长度为3R ，绳与轮间无滑动，系统由静止开始运动。

求（1）A 物块上升的加速度；（2）HE 段绳的拉力；（3）固定端K 处的约束力。

（答：a A =g/6; F=4mg/5; F kx =0; F ky =4.5mg; M k =13.5mgR ）
综-7 图示三棱柱体ABC 的质量为m 1，放在光滑的水平面上。

质量为m 2的均质圆柱体O 由静止沿斜面AB 向下纯滚动，如斜面的倾斜角为θ。

求三棱柱体的加速度。

(答:g m m m m a θθ22212sin 232sin ++=
)
综-8 图示均质直杆OA ，杆长为l ，质量为m ，在常力偶的作用下在水平面内从静止开始绕轴z 转动，设力偶矩为M 。

求：（1）经过时间t 后系统的动量、对z 轴的动量矩和动能的变化；（2）轴承的动约束力。

（1）l Mt p 23=∆；Mt L =∆;22223ml t
M T =∆;（2）F Cx =F Dx =3M/4l, F Cy =F Dy =9M 2t 2/(ml 3)
综-9 均质细杆AB 长为L ，质量为m ，起初紧靠在铅垂墙壁上，由于微小干扰，杆绕B 点倾倒如图。

不计摩擦，求（1）B 端未脱离墙时AB 杆的角速度、角加速度及B 处的约束力；（2）B 端脱离墙壁时AB 杆与墙壁的夹角；（3）杆着地时质心的速度及杆的角速度。

答：（1） L g /)cos 1(3θω-=，α=3gsin θ/2L ，F Bx =3mg sin θ(3cos θ-2)/4，F By =mg-3mg(3sin 2θ+2cos θ-2)/4；(2) 32
1arccos =θ；（3）37gL v c =,L g 38=ω。