理论力学沈阳建筑大学n第十三章动能定理

第十三章 动能定理O 转动。

在绕过圆盘的绳上吊有两物块A ，B ，质。

绳与盘之间无相对滑动。

在圆盘上作用一力偶，力偶矩按以N ·m 计，ϕ以rad 计）。

求0=ϕ到πϕ2=时，力偶M 与()2109.7M A B2AB 0W W W W 4d mm g r Jπϕϕπ=++=⋅+-=⎰13-2 图示坦克的履带质量为m ，两个车轮的质量均为1m ，车轮视为均质盘，半径为Ｒ，两车轮轴间距离为R π．设坦克前进速度为v ，计算此质点系的动能。

解：1. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度Rv=ω；两车轮的动能为 21221211232121212v m R m v m T =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=ω图13-22. 再研究坦克履带，AB 部分动能为零，CD 部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD 与BC 部分和起来可视为一平面运动圆环，环心速度为v ，角速度为Rv =ω ， 则履带的动能为 ()22222222222212212421v m R m v m v m T =++=ω 3. 此质点系的动能为 ()221212321v m m T T T +=+= 13-3题解：P 为B 运动的瞬心，以B则：a e r v v v =+且：,,r e a B v r v v v v ω=== 故：B e r v v v v r ω=+=+ 则该系统的动能为：2222222111222111 ()242B B T mv J Mv m v r mr Mv ωωω=++=+++13-4均质连杆AB 质量为4kg ，长l=600mm 。

均质圆盘质量为6kg ，半径r=100mm 。

弹簧刚度为k=2 N/mm ，不计套筒A 及弹簧的质量。

如连杆在图示位置被无初速释放后，A 端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。

求：（1）当AB 达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；（2）弹簧的最大压缩量δ。

图13-3 rv evs rad lgW T T lmg W ml TT V A h A AB AB A /952.42330sin 2)31(210)1(1202221===-===∑∑ωω的速度为时，物体下落设物体13-5 质量为m ，沿倾角为θ的斜面向下只滚不滑，如图所示。

滚子借助于跨过滑轮B 的绳提升质量为2m 的物体C ， 同时滑轮B 绕O 轴转动。

滚子A 与滑轮B 的质量相等，半径相等，且都为均质圆盘。

求滚子重心的加速度和系在滚子上绳的张力。

解：设滚子质心下滑距离S 时，质心的速度为ν以整体为研究对象，设滚子半径为R ，初始动能为1T =常量 该系统的动能为22222221311122222A B T mR mR m v ωω=++ 将A B R R v ωω==代入，得图13-4 C max 1202maxmax 21max (1) 001(sin 30)22287.1T T lW mg k T T Wmmδδδδ===+--==∑∑设弹簧的最大变形量为()222122T m m v =+ ()2sin W mg m g s θ=-∑由动能定理得，()()221212sin 2m m v T mg m g s θ+-=- 将上式两边对时间求导得22sin 2m m a g m m θ-=+以A 为研究对象2()sin (1)0cos (2)1() (3)2cx A T cy N A A A ma m a F F mg ma m F mg a J mR Fr Rθθα=-=+-=⋅=-=⋅=联立（1）和（3）得：22223(2)sin 2(2)T mm m mm F g m m θ++=+13-6 均质OA 杆可绕水平轴O 转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰A 在铅直面内自由旋转，如图所示。

已知杆OA 长l ，质量为m 1；圆盘半径为R ，质量为m 2。

摩擦不计，初始时杆OA 水平，杆和圆盘静止。

求杆与水平线成θ角的瞬时，杆的角速度和角加速度。

解：对于圆盘A 有()0A A A i J M F α==即有：0A α=而初始圆盘静止，故圆盘A 平动。

AF FmgTF xy1222221222222212121221221212011221,31111(3)2326sin sin 21(3)sin sin (1)621OA A O OA A A OA O OA OA OAOA OA T T T T J m v v l J m l T m l m l m m l lW m g m gl T T W l m m l m g m gl ωωωωωθθωθθω==+=+=⋅==+=+=+-=+=+=∑∑而故：将式（）两1212(36)cos 2(3)OA m m g m m lθα+=+边对时间求导得13-7题 解：（1）当软绳FG 被剪断之后，方板做平行移动，且剪断瞬间速度为零由平面运动方程 0cos 60Cx ma mg =0sin600Cy AD BE ma F F mg =+-= （点A 只有x 方向的加速度）0000sin 60cos60sin 60cos6002222C AD AD BE BE b b b bJ F F F F α=-⋅-⋅+⋅-⋅=解得：12Cx a g =，171.744AD F mg kN ==，1267.744AD F mg kN ==AD F Axa xy C D且AD BE F F =，故2022(1sin 60) 2.63/Cy A va a g m s l===-= 由质心运动定理：AD BE Cy F F mg ma +-=解得：248.5AD BE F F kN ===13-8 三个均质轮B 、C 、D ，具有相同的质量m 和相同的半径R ，绳重不计，系统从静止释放。

设轮D 作纯滚动，绳的倾斜段与斜面平行。

试求在重力作用下，质量亦为m 的物体A 下落h 时的速度和加速度。

解：12222222222210111111222222221,,,,221,4A AB B B c c D D D B B D B B B ACD B C D A A h A v TT mv mv J J mv J v v v v v v J J J mr r r r r T mv T T W ωωωωωω==+++++=========-=∑设物体下落时，物体的速度为 图13-8 ADF BEF Cya mgA 2sin (1)14(1sin )21DA W mgh mgh v mg a αα=-=-=∑将（）式两边对时间求导得：(2)以B 为研究对象1()B B BT BC J MF F R F R α==-∑ （1）12B T BC T ma mg F F F =--+ （2） 其中：B B a R α=，B A a a =，212B J mR = 以A 为研究对象2A T A ma F ma '-= (3) 联立（1）、（2）、（3）得：165sin 21BC F mg α+=13-9题 解：（a ）10T =2212O T J ω=11)2W mg a =∑其中：2222))3O C J J m ma =+= 由21T T W -=∑得：2212()1)23ma mg a ω= 解得：/s ω=1T F BCF 2T F 'A（b ）板作平面运动，而0xF=∑，则质心C 将铅直下落，当板处于水平位置时，P 为瞬心（如图所示）：10T =： 2212P T J ω=1(21)2W mg a =∑ 其中：222221115()()()212212O P J J m a m a a m a ma =+=++= 由21T T W -=∑得：2215()(21)212ma mg a ω= 解得：12(21) 3.121/2g s a aω-==13-10 图示均质杆长为2l ，质量为m ，初始时位于水平位置。

如A 端脱落，杆可绕通过B端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B 端也脱落了。

不计各种阻力，求该杆在B 端脱落后的角速度及其质心的轨迹。

解：（一）B 脱落前瞬时lg mgl l m23)2(32122==⋅ωωB 脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。

（二）B 脱落后瞬时23gll v Cx ==ω B 脱落后杆质心作抛体运动22123gt l y t gl x C C --==2223t gl x C = （1）22t gl y C -=+ （2）式（1）、（2）消去t ，得032=++l y lx C C即：03322=++l ly x C C此即所求脱落后质心的运动轨迹。

POA O 'A 'C 'C C v '045v。