5学年高二12月月考数学(文)(附答案)

湖北省武昌高二年级12月月考数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.2.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4512a a =，则94S S =（）A.15 B.1C.1- D.9-【答案】D 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为,d 利用基本量代换求出()()19941494a a S S a a +⨯=+⨯，进而求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为(),0d d >.∵4512a a =，∴()4412a a d =+，解得：4a d =，52a d =．∴4132a a d d =-=-，∴14a a d +=-．∴()()()199541414929499444a a S a d S a a a a d +⨯⨯⨯====-+⨯+⨯-⨯．故选：D ．3.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为（）A.22143x y += B.22163x y += C.22164x y += D.22142x y +=【答案】D 【解析】【分析】根据12||F F =c =，由椭圆的定义得到122PF PF a +=，结合12PF PF a -=，求得123,22aPF PF a ==，然后在12PF F △中，由余弦定理求得a 即可.【详解】因为12||F F =c =，P 是C 上一点，由椭圆的定义得：122PF PF a +=，又12PF PF a -=，所以123,22aPF PF a ==，又121sin 3PF F ∠=，则12cos 3PF F ∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理得：2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F =+-⋅⋅∠，即223322822223a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2440a a -+=，解得2a =，则2222b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22142x y +=故选：D4.已知O 为坐标原点，F 为双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>的左焦点，过点F 且倾斜角为30 的直线与双曲线右支交于点P，线段PF 上存在不同的两点A，B 满足FA BP =，且OA OB =，则双曲线的离心率为()A.B.C.1D.1+【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为F '，连接PF '，取AB 的中点M ，可得M 为FP 的中点，运用中位线定理和双曲线的定义，结合离心率公式，计算可得所求值．【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'F ，取AB 的中点M ，由|FA |＝|BP |，可得M 为FP 的中点，|OA |＝|OB |，可得OM ⊥AB ，由∠PFO ＝30°，可得'2PF OM c ＝＝，即有230PF ccos ︒=＝，﹣c ＝2a ，即有ec a ===1，故选D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．5.对于集合,A B ，定义{A B x x A -=∈，且}x B ∉．若{|21,N}A x x k k ==+∈，{|31,N}B x x k k ==+∈，将集合A B -中的元素从小到大排列得到数列{}n a ，则730a a +=（）A.55B.76C.110D.113【答案】C 【解析】【分析】根据集合的特征列出集合A 与B 的前若干项，找出集合A B -中元素的特征，进而即可求解.【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,11,,1,4,7,10,13,16,19,22,25,A B == ，所以{}3,5,9,11,15,A B -= ，所以721a =．A B -相当于集合A 中除去()*65x n n =-∈N 形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以3089a =．则730110a a +=，故选：C .6.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交C 于P ，Q 两点，PH l ⊥于H ，若HF PF =，O 为坐标原点，则PFH △与OFQ 的面积之比为（）A.6B.8C.12D.16【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，求出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立求出PF ，QF 的长即可求解作答.【详解】依题意，由PH l ⊥于H ，得||P H H P F F ==，即PFH △是正三角形，60PFx FPH ∠=∠= ，而(2,0)F ，则直线PQ 的方程为2)y x =-，由22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得2320120x x -+=，令1122(,),(,)P x y Q x y ，解得1226,3x x ==，又准线:2l x =-，因此128||28,||23PF x QF x =+==+=，所以PFH △与OFQ 的面积之比221||sin 60821218||||sin 60223PFH OFQPF S S QF OF ===⋅⨯ .故选：C.7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列{}n a 满足：22ππcos sin 33n n n a =-，记()31n n b n a =-，n *∈N ，则数列{}n b 的前60项和是（）A.130B.845-C.90D.860-【答案】C 【解析】【分析】结合二倍角余弦公式和余弦函数的周期性可推导证得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，采用分组求和的方式即可求得数列{}n b 的前60项和.【详解】22ππ2πcossin cos 333n n n n a =-= ，()323π2π2πcoscos 2πcos 333n n n n n a a ++⎛⎫∴==+== ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，又12π1cos32a ==-，24π1cos 32a ==-，3cos 2π1a ==，{}nb ∴的前60项和为()()()147555825856593695760b b b b b b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++()()()11211201735142317681726179122⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯-++++⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2021732051762081791187590518709022222⨯+⨯+⨯+=-⨯-⨯+=--+=.故选：C.8.已知椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为A.(,)42ππ B.(,]42ππ C.(0,4π D.(,)43ππ【答案】A 【解析】【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，由椭圆221:113x y C m n +=+-与双曲线222:1x yC m n+=有相同的焦点求解.【详解】当焦点在x 轴上时，由题意知：0,0m n ><，椭圆221:113x y C m n+=+-中，22111,3a m b n =+=-，则2221112c a b m n =-=+-；双曲线222:1x y C m n-=-中，2222,a m b n ==-，则222222c a b m n =+=-；由题意，2m n m n +-=-，解得1n =，这与0n <矛盾；当焦点在y 轴上时，由题意知10,03m n -<<<<，椭圆221:131y x C n m +=-+中，22113,1a n b m =-=+，则2221112c a b m n =-=--+；双曲线222:1x y C m n -=-可化为222:1y x C n m-=-，2222,a n b m ==-，则222222c a b n m =+=-；由题意，2m n n m --+=-，解得1n =，双曲线2C的一条斜率为正的渐近线的斜率为22a kb ===又因为10m -<<，所以11m ->1>，即双曲线2C 的一条斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围为(,)42ππ，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1263a a S +=，则（）A.70a =B.268a a a +=C.130S = D.68S S =【答案】AC 【解析】【分析】由1263a a S +=，用基本量表示得160a d +=，然后对每一个选项进行判断即可.【详解】由题意有1612362a a a a ++=⨯，化简整理得160a d +=，所以70a =，选项A 正确；261266a a a d d +=+=-，817a a d d =+=，由于0d ≠，所以268a a a +≠，故选项B 不正确；113137131302a S a a +=⨯==，故选项C 正确；1666212a a S d +=⨯=-，1888202a aS d +=⨯=，由于0d ≠，所以68S S ≠，故D 不正确.故选：AC10.已知曲线C 的方程为2216x y k k+=-（R k ∈），则下列说法正确的是（）A.当06k <<时，曲线C 表示椭圆B.“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件C.存在实数，使得曲线C 的离心率为2D.存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线【答案】BC 【解析】【分析】当3k =时可判断A ；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B ；根据曲线表示椭圆的条件可得k 的范围，再讨论椭圆焦点在x 轴和y 轴上，由离心率公式列方程求得k 的值可判断C ；根据曲线表示双曲线的条件可得k 的范围，再由焦点在x 轴和y 轴上由a b =列方程求k 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ，当3k =时，曲线C 为223x y +=，曲线C 表示圆，故选项A 不正确；对于B ，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则060k k <⎧⎨->⎩，可得0k <，若0k <，则060k k <⎧⎨->⎩，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，所以“0k <”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B 正确；对于C ，假设存在实数k ，使得曲线C的离心率为2，曲线C 表示椭圆，则0606k k k k >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，可得：(0,3)(3,6)k ∈⋃，若椭圆焦点在x 轴上，由()226626k k a k c k k k ⎧>-⎪=⎨⎪=--=-⎩，可得2222262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭，可得4k =符合题意，若椭圆焦点在y 轴上，由()2266662k k a k c k k k ⎧->⎪=-⎨⎪=--=-⎩，可得22226262c k e a k ⎛⎫-=== ⎪ ⎪-⎝⎭，可得2k =符合题意，所以存在2k =或4，使得曲线C的离心率为2，故选项C 正确；对于D ，假设存在实数k ，使得曲线C 表示渐近线方程为y x =±的双曲线，此时有(6)0k k ⋅-<，得0k <或6k >，当0k <时，6k k -=-，无解；当6k >时，(6)k k =--，无解，所以满足题意的实数k 不存在，故选项D 不正确．故选：BC.11.首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A.若100S =，则50a >，60a <；B.若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C.若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D.若89S S <，则78S S <.【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >，116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.12.已知抛物线:C 24y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点D ，直线m 过D 且交C 于不同的A ，B 两点，B 在线段AD 上，点P 为A 在l 上的射影．线段PF 交y 轴于点E ，下列命题正确的是（）A .对于任意直线m ，均有AE ⊥PFB.不存在直线m ，满足2BF EB=uu u r uu rC.对于任意直线m ，直线AE 与抛物线C 相切D.存在直线m ，使|AF |+|BF |=2|DF |【答案】AC【解析】【分析】A 选项由E 为线段PF 的中点以及抛物线定义即可判断；B 选项由2BF EB =uu u r uu r及抛物线方程求出,A B坐标，再说明,,D B A 三点共线，即存在直线m 即可；C 选项设()11,A x y ，表示出直线AE ，联立抛物线，利用Δ0=即可判断；D 选项设出直线m ，联立抛物线得到121=x x ，通过焦半径公式结合基本不等式得4AF BF +>即可判断.【详解】A 选项，如图1，由抛物线知O 为DF 的中点，l y ∥轴，所以E 为线段PF 的中点，由抛物线的定义知AP AF =，所以AE PF ⊥，所以A正确；B 选项，如图2，设()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，(1,0)F ，1(1,)P y -，E 为线段PF 的中点，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12222(1,),(,)2y BF x y EB x y =--=- ，由2BF EB =uu u r uu r 得22122122()2x x y y y -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得213x =，123y y =，又2211224,4y x y x ==，故13B ⎛ ⎝，(3,A ，又(1,0)D -，可得233312DA k ==+，31213DB k==+，故存在直线m ，满足2BF EB =uu u r uu r ，选项B 不正确．C 选项，由题意知，E 为线段PF 的中点，从而设()11,A x y ，则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AE 的方程：()1112y y x x x =+，与抛物线方程24y x =联立可得：211124y y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2114y x =代入左式整理得：22311120y y y y y -+=，所以43111440y y y ∆=-=，所以直线AE 与抛物线相切，所以选项C 正确．D 选项，如图3，设直线m 的方程()()10y k x k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，12x x >，由()214y k x y x⎧=+⎨=⎩，得()2222240k x k x k +-+=．当()224224416160k k k ∆=--=->，即11k -<<且0k ≠时，由韦达定理，得212242k x x k-+=，121=x x ．因为11AF x =+，21BF x =+，所以12224AF BF x x +=++≥=，又12x x ≠，2DF =，所以2AF BF DF +>成立，故D 不正确．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为______升．【答案】811【解析】【分析】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，根据42S =，7893a a a ++=，可得数列的通项公式及5a 【详解】设自上而下的竹子容量依次为n a ，可得{}n a 为等差数列，则41234178914623213S a a a a a d a a a a d =+++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1411111a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()13111n n a a n d +=+-=，518411a a d =+=，故答案为：811.14.若双曲线22221()00a x y a b b >-=>，的离心率与椭圆2211612x y +=的离心率互为倒数，则椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.【解析】【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标、离心率，得到双曲线的离心率，求出双曲线渐近线，由点到直线距离求解.【详解】由2211612x y +=知椭圆中4,a b ''==，所以2c '==，即椭圆的焦点为(20)±,，所以12c e a ''=='，由题意知双曲线的离心率12c e a e ===='，所以223b a=，故双曲线的渐近线方程为y =，不妨取椭圆左焦点(2,0)-，则由点到直线距离可得232d ==，，15.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO 交抛物线的准线于点C ，若||3||,||3AF BF AC ==，则抛物线的方程为_____.【答案】23y x =【解析】【分析】根据抛物线的定义及性质，即可求得直线AB 的斜率，求得直线AB 的方程，代入抛物线方程，求得直线OB 的方程，即可求得C 点坐标，即可求得p 的值，求得抛物线方程．【详解】由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，AF BF =，因为3AF BF =，所以直线AB 的斜率存在，因为A 在x 轴上方，所以直线AB 的斜率大于0，设直线:2p AB y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0k >，与抛物线方程联立可得：()22222204k p k x k p p x -++=，()22222222244404k p k p p k k p p ∆=+-⋅=+>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222p x x p k +=+，2124p x x =，由抛物线定义可知：12,22p p AF x BF x =+=+，因为3AF BF =，所以123322p px x +=+，即123x x p =+，将123x x p =+代入1222p x x p k +=+，2124p x x =中，222p x k =，()22243p x x p =+，所以2222234p p p p k k⎛⎫⎪⎭=+ ⎝，解得：23k =，因为0k >，所以k =则2123,362p x x x p p ==+=，12,3y y p ∴==-，所以36OB pk p -==-，所以直线OB方程为y =-，当2px =-时，C y =，1C y y ∴=，∴直线AC 与x 轴平行，3322p AC p ∴=+=，∴32p =，23y x ∴=.故答案为：23y x =.16.已知圆锥曲线k C 的方程：22194x y k k+=--.当m 、n 为正整数，且m n <时，存在两条曲线m C 、n C ，其交点P与点1(F、2F 满足12PF PF ⊥，写出满足题意的所有有序实数对(,)m n ：_____.【答案】17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】圆锥曲线的定义，易得到1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，从而根据题意可得{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，再结合椭圆与双曲线的定义与12PF PF ⊥即可得8m n +=，从而得到答案．【详解】由题意得1C ，2C ，3C 是椭圆，5C ，6C ，7C ，8C 是双曲线，结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，从而m n <时，存在两条曲线m C 、n C 有交点P ，必然有{1m ∈，2，3}，{5n ∈，6，7，8}，设11||PF d =，22||PF d =，则由椭圆与双曲线的定义可得，12d d +=，12||d d -=，且12PF PF ⊥，12F F =，故221220d d +=，即2121221212()2023648()202364d d d d mm n d d d d n⎧+=+=-⇒+=⎨-=-=-⎩，所以存在两条曲线m C 、n C ，且17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．故答案为：17m n =⎧⎨=⎩，26m n =⎧⎨=⎩，35m n =⎧⎨=⎩．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.数列{}n a 中，131a =，12n n a a +=-，（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）332n a n =-，232n S n n=-（2）221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩【解析】【分析】（1）根据条件可得数列是等差数列，利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案；（2）先找出数列正负的分界线，分类讨论，去掉绝对值，把n T 转化为n S 求解.【小问1详解】因为12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，所以数列{}n a 是等差数列，所以()()3112332n a n n =+-⨯-=-，231332322n nS n n n +-=⨯=-.【小问2详解】令0n a >得16n ≤，12n n T a a a =+++ ；当16n ≤时，2121232n n n n T a a a a a a S n n =+++=+++==- ；当16n >时，()116171616n n n T a a a a S S S =++---=-- 216251232n S S n n =-=-+.综上可得，221632,1651232,n n n n T n n n ≤⎧-=⎨>-+⎩18.已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为，求直线l 的方程；（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3460x y +-=或2x =（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得．【小问1详解】∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-.又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为，故弦心距1d =1=，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.故l 的方程为3460x y +-=或2x =.【小问2详解】把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上.所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =.由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .19.设各项均为正数的数列{}n a 满足nnS pn r a =+（,p r 为常数），其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）若1,0p r ==，求证：{}n a 是等差数列；（2）若11,23p a ==，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n n =+.【解析】【分析】（1）把1,0p r ==代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”计算推理作答.（2）把13p =代入，结合“12,n n n n S S a -≥-=”求出{}n a 相邻两项间关系，再构造常数列作答.【小问1详解】当1,0p r ==时，n n S na =，当2n ≥时，()111n n S n a --=-，两式相减，得1(1)n n n a na n a -=--，整理得10n n a a --=，所以{}n a 是等差数列.【小问2详解】当13p =时，1()3n n S n r a =+，令1n =，而12a =，得113r +=，解得23r =，于是12()33n n S n a =+，当2n ≥时，1111()33n n S n a --=+，两式相减，得111()312(333n n n a n n a a -+=-+，整理得1(1)(1)n n n a n a --=+，即111n n a an n -=+-，因此1(1)(1)n n a a n n n n -=+-，数列{}(1)n a n n+是常数列，从而11(1)21n a a n n ==+⨯，2n a n n =+，显然12a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2n a n n =+.20.设双曲线C ：22x a－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A ，B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =，求a 的值．【答案】（1）e >62且e ；（2）a ＝1713.【解析】【分析】（1）由直线与双曲线联立得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，结合条件得()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，，从而可得离心率范围；（2）设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由512PA PB = 可得x 1＝512x 2，由根与系数的关系可得－2221a a-＝28960，从而得解.【详解】(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线22x a －y 2＝1中，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①∴()2422104810.a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得0<a且a ≠1.又双曲线的离心率e＝a =，∴e>2且e.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．有P (0,1)．∵512PA PB = ，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，因此由根与系数的关系，得1712x 2＝－2221a a -，51222x ＝－2221a a-.消去x 2，得－2221a a -＝28960.由a >0，得a ＝1713.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、向量问题坐标化，直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于中档题.21.如图，已知动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为F '，点F '的轨迹为H.（1）求曲线H 的方程；（2）一条直线AB 经过点F ，且交曲线H 于A 、B 两点，点C 为直线1x =-上的动点.①求证：ACB ∠不可能是钝角；②是否存在这样的点C ，使得ABC 是正三角形？若存在，求点C 的坐标；否则，说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）①证明见解析；②存在，且(1,C -±.【解析】【分析】（1）设(),F x y '，则可得1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的直径为FF '=，利用动圆M 与y轴相切，即可求得曲线C 的方程；（2）①设直线AB 的方程为1x my =+，点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立直线AB 的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到0CA CB ⋅≥恒成立，可得结论；②由①知()221,2N m m +，根据CN 与AB 垂直，斜率积为1-，可得324n m m =+，再由CN =，求出m 值.【小问1详解】设(),F x y '，因为点()1,0F 在圆M 上，且点F '关于圆心M 的对称点为F ，则1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，而FF '=因为动圆M 过定点()1,0F 且与y 轴相切，则11122FF x '=+，1x =+，化简得24y x =，所以曲线C 的方程为24y x =.【小问2详解】①若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线24y x =有且只有一个公共点，不合乎题意.设直线AB 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,C n -，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y my --=，216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，()()11111,2,CA x y n my y n =+-=+- ，同理可得()222,CB my y n =+- ，所以，()()()()121222CA CB my my y n y n ⋅=+++-- ()()()221212124m y y m n y y n =++-+++()()()22222414244420m m m n n m mn n m n =-++-++=-+=-≥，故ACB ∠不可能为钝角；②假设存在这样的点C 满足条件，因为()21212242x x m y y m +=++=+，则线段AB 的中点为()221,2N m m +，若0m =，则AB x ⊥轴，此时，直线AB 的方程为1x =，联立214x y x =⎧⎨=⎩可得12x y =⎧⎨=±⎩，则AB 4=，此时，NC 位于x 轴上，则122NC AB ==，所以，ABC 为直角三角形，不合乎题意，所以，0m ≠，则221122CN AB m n k k m m -=⋅=-+，可得324n m m =+，则()31,24C m m -+，则(221CN m =+，而()()212122441AB x x m y y m =++=++=+，由CN =，可得(())2223214112m m m +=+=+，解得m =，所以，存在点(1,C -±满足条件.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，离心率2e =．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 、Q 为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF QF ⊥，C 为PQ 的中点，线段PQ 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．（ⅰ）求证：A 为BC 的中点；（ⅱ）若35ABO BCF S S =△△（S 为三角形的面积），求直线PQ 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3y x =-+．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得1c =，再由e 的值，求a ，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，与椭圆方程联立，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，得出12,x x 的坐标关系，求出点C 坐标，得到PQ 垂直平分线AB 方程，求出点,A B 坐标，即可证明结论；（ⅱ）由35ABO BCF S S =△△结合（ⅰ）的结论，求出点A 的坐标，再由PF QF ⊥，得到,m k 关系，代入A 点坐标，求出,m k 的值即可．【详解】（Ⅰ） 椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 的坐标为()1,0，1c ∴=，又离心率,12c e a b a ==∴==，∴椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线PQ 方程为,0,0y kx m k m =+<>，联立2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，得222(21)4220k x kmx m +++-=，222222168(1)(21)8(21)0k m m k k m ∆=--+=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则()2121222214,2121m km x x x x k k -+=-⋅=++，设PQ 中点00(,)C x y ，则12022221x x km x k +==-+，00221m y kx m k =+=+，即C 点坐标为222(,2121km m k k -++），线段PQ 的垂直平分线AB 方程为2212(2121m km y x k k k -=-+++，令0y =，得2(,0)21km A k -+，令0x =，得2(0,21m B k -+，,22B c B c A A x x y y x y ++== ，A ∴为BC 中点；（ⅱ）由（ⅰ）得A 为BC 中点，()||36,22||21511ABO ABO A A BCF ABF A S S x AO x S S AF x ∆∆∆∆∴====∴=-，1212,(1)(1)PF QF PF QF x x y y ⊥∴⋅=--+ 221212(1)(1)()1k x x mk x x m =++-+++222222(1)(1)4(1)(1)(21)021k m mk mk m k k +---+++==+，整理得23140m km -+=，即2134m k m -=，又222222222132(13)641321(13)8112()14A m km m m x m k m m m --=-=-=-=-+-++ ，整理得4261730m m --=，解得23m =或216m =-（舍去），0,3m m k >∴==- ，此时0∆>，∴直线PQ 方程为3y x =-+。

2022-2023学年山西省晋城市第二中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．132B ．116 C ．18D ．4【答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =， 所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 故选：B2．若直线1:20l x y -+=与直线2:230l x ay +-=平行，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．1【答案】A【分析】解方程1(1)20a ⨯--⨯=即得解. 【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=- 经检验，当2a =-时，满足题意. 故选：A3．已知直线3260x y --=经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A ．22194x y +=B ．22419x y +=C ．22194y x +=D ．22419y x +=【答案】C【分析】求出直线3260x y --=与两坐标轴的焦点为()0,3-，()2,0.根据32->，可设椭圆的方程为22221y x a b+=，求出,a b 即可. 【详解】令0x =，可得=3y -；令0y =，可得2x =. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为()0,3-，()2,0.因为32->，所以椭圆的焦点在y 轴上. 设椭圆的方程为22221y x a b +=，则3a =，2b =，所以椭圆的方程为22194y x +=.故选：C.4．若方程222141x y m m-=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，【答案】A【分析】原方程可变形为222141y x m m ---=-，根据已知有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，解出即可. 【详解】因为方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线， 222141x y m m -=-+可变形为222141y x m m ---=-. 所以有21040m m -->⎧⎨-+>⎩，即21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-. 故选：A. 5．数列262,4,,203--，…的一个通项公式可以是（ ） A ．()12nn a n =-⋅ B ．()311n nn a n-=-⋅C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()31n nn na n⋅-=-【答案】B【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可. 【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意； 选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意； 选项D ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意； 而选项B 满足数列262,4,,203--，故选：B6．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，则1AE BD ⋅=（ ）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,2,1,2,2,0,0,0,2A E B D ， 所以，()()12,2,1,2,2,2AE BD =-=--， 所以，14422AE BD ⋅=-+=. 故选：D7．在数列{}n a 中，122,a a a ==，且132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，若数列{}n a 单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（2，52）B ．（2，3）C ．（52，4）D ．（2，4）【答案】C【分析】由递推关系，结合条件122,a a a ==，求出数列的通项公式，再结合数列的单调性，列不等式可求实数a 的取值范围.【详解】因为132(2,N )n n a a n n n *+=-++≥∈，所以()21312(N )n n a a n n *++=-+++∈，328a a =-+，所以23(2,N )n n a a n n *+=+≥∈，又2a a =， 328a a =-+，所以数列{}n a 的偶数项按项数从小到大排列可得一公差为3的等差数列，所以当n 为偶数时，332n a n a =+-， 当n 为大于等于3的奇数时，3722n a n a =+-， 因为数列{an }单调递增，所以1n n a a -≥(2,N )n n *≥∈，所以当n 为大于等于3的奇数时，()37313222n a n a +->-+-，化简可得4a <，当n 为大于等于4偶数时，()33731222n a n a +->-+-，解得52a >，由21a a >可得，2a >， 所以542a <<， 故选：C.8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A ，B ，且椭圆C，点P是椭圆C 上的一点，且1tan 4PAB ∠=，则tan APB ∠（ ）A ．109-B ．1110-C ．1110D ．109【答案】B【分析】设()00,P x y 是椭圆上的点，设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠求出12k k ⋅为定值，从而能求出tan PBA ∠的值，然后根据()tan tan APB PAB PBA ∠=-∠+∠求解. 【详解】设()00,P x y 代入椭圆方程，则()22002210x y a b a b+=>>整理得：()2222002,b y a x a=-设11tan 4k PAB =∠=，2tan k PBA =-∠ 又010y k x a =+，020y k x a=-,所以 ()22222000122222000116y y y b a c k k e x a x a x a a a -⋅=⋅==-=-=--=-+-- 而11tan 4k PAB =∠=，所以22tan 3k PBA =-∠=-，所以2tan 3PBA ∠=()12tan tan 1143tan tan 121tan tan 10143PAB PBA APB PAB PBA PAB PBA +∠+∠∠=-∠+∠=-=-=--∠⋅∠-⨯ 故选：B二、多选题9．在等比数列{n a }中，262,32a a ==，则{n a }的公比可能为（ ） A ．1- B ．2-C ．2D ．4【答案】BC【分析】根据等比数列的通项即可求解.【详解】因为在等比数列{n a }中，262,32a a ==，设等比数列的公比为q ，则54611216a a q q a q a ===，所以2q =±， 故选：BC .10．已知圆226430C x y x y +-+-=：，则下列说法正确的是（ ） A ．圆C 的半径为16B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆E ：()()22621x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A:将一般式配方可得：()()223216,4x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为B 对；C:5,C E CE r r ===+外切，C 对；D: 圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为111,35r d r ∴-<<+∴<<，解之: ()()14,2426,16m ∈⋃--,D 错；故选：BC11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且151416S S S <<，则下列说法正确的是（ ） A ．0d > B ．0d <C ．300S >D ．当15n =时，n S 取得最小值【答案】ACD【分析】根据题干条件利用()12n n n a S S n -=-≥可得到150a <，15160a a +>，160a >，然后即可根据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为151416S S S <<，所以1515140a S S =-<，1616150a S S =->，151616140a a S S +=->. 对于A 、B 选项，因为150a <，160a >，所以16150d a a =->，故选项A 正确，选项B 错误； 对于C ，因为15160a a +>，所以()()130301516301502a a S a a +==+>，故选项C 正确； 对于D ，因为150a <，160a >，可知10a <，0d >，等差数列{}n a 为递增数列，当15n ≤时，0n a <，当16n ≥时，0n a >，所以当15n =时，n S 取得最小值，故D 选项正确. 故选：ACD.12．已知抛物线C ：212y x =，点F 是抛物线C 的焦点，点P 是抛物线C 上的一点，点(4,3)M ，则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线方程为3x =-B ．若7PF =，则△PMF 的面积为32C ．|PF PM -|D ．△PMF 的周长的最小值为7【答案】ACD【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为3x =-，即可判断A ，根据抛物线定义得到4P x =，故P 点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B ，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到()max ||||PF PM F M -∴=，计算即可判断C ，三角形PMF 的周长PM MF PF PM PF =++=+||||PM PF +的最小值，即得到周长最小值.【详解】212y x =，6p ∴=，()3,0F ∴，准线方程为3x =-，故A 正确； 根据抛物线定义得372P P pPF x x =+=+=，4P x =，()4,3M ,//PM y ∴轴，当4x =时，y =±若P 点在第一象限时，此时(4,P ,故433PM =-，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯-⨯=-， 若点P 在第四象限，此时()4,43P -，故433PM =+，PMF △的高为1，故()1343312322PMFS=⨯+⨯=+，故B 错误； ||||PF PM MF -≤，()()()22max 433010||||M P F PF M ∴+--==-=,故C 正确；（连接FM ，并延长交于抛物线于点P ，此时即为||||PF PM -最大值的情况， 图对应如下）过点P 作PD ⊥准线，垂足为点D ，PMF △的周长1010PM MF PF PM PF PM PD =++=++若周长最小，则PM PD +长度和最小，显然当点,,P M D 位于同一条直线上时，PM MF +的和最小，此时7PM MF PD +==,故周长最小值为710D 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________. 【答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =， 又121916a a =，所以82316a a =， 所以2822328234log log log a a a a ==+， 故答案为：4.14．已知向量(2,4,)m a =，(1,,3)n b =-，若n m λ=，则 ||n m -=___________.【答案】【分析】根据n m λ=，列出1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，分别求出,,a b λ，然后得到,m n ，进而计算，可求出||n m -的值.【详解】n m λ=，故1243b a λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1226b a λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故(2,4,6)m =-，(1,2,3)n =--，(3,6,9)n m -=--，则||(3)n m -=-=故答案为：15．在数列{}n a ，{}n b 中，112a =，3110a =，且11112(2)n n n n a a a -++=≥，记数列{bn }的前n 项和为Sn ，且122n n S +=-，则数列{}n n a b ⋅的最小值为___________.【答案】23【分析】可由题意构建1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差，求出n a 通项公式，{}n b 可由1n n S S --得出n b 的通项公式，再利用作差法求出新数列n n a b ⋅单调性即可求出最小值.【详解】由11112(2)n n nn a a a -++=≥可得111111n n n n a a a a +--=-，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设公差为d ， 首项112a =，311121028d a a =-=-=，可得4d =，则12(1)442n n n a =+-⨯=-，即142n a n =-， 由122n n S +=-，可得当2n ≥时，11222n n nn n n b S S +-=-=-=，112b S ==，代入后符合2n n b =，即{}n b 的通项公式为2n n b =，设新数列{}n c ，242nn n n c a b n ==-，11122(23)24(1)242(21)(21)n n n n n n c c n n n n +-+--=-=+--+-，当10n n c c +->时，得 1.5n >，即2n ≥时，{}n c 是递增数列； 当10n n c c +-<时，得 1.5n <，即21c c <，综上所述223c =是最小值，即数列{}n n a b ⋅的最小值为23，故答案为：2316．已知双曲线2322100x y C a b a b -=>>：（，）的右焦点为F ，离心率为102，点A 是双曲线C 右支上的一点，O 为坐标原点，延长AO 交双曲线C 于另一点B ，且AF BF ⊥，延长AF 交双曲线C 于另一点Q ，则||||QF BQ =___________. 【答案】22【分析】在1Rt F AF △中，由勾股定理可求得||AF 、1||AF 用含有a 的代数式表示，在1Rt F AQ △中，由勾股定理可求得||QF 用含有a 的代数式表示，在Rt BFQ △中，由勾股定理可求得||BQ 可用含有a 的代数式表示，进而求得结果. 【详解】如图所示，∵22101c b e a a ==+ ，则2252c a = ，2232b a =，由双曲线的对称性知：OA OB =，1OF OF = ， 又∵AF BF ⊥，∴四边形1AFBF 为矩形，设||0AF m => ，则由双曲线的定义知：1||2AF a m =+，在1Rt F AF △中，22211||||||F F AF AF =+，即：2224(2)c a m m =++ ，整理得：22230m am a +-=，即：()(3)0m a m a -+= ， ∵0m >，∴m a = ， ∴1||3AF a =设||0QF n => ，则由双曲线的定义知：1||2QF a n =+，在1Rt F AQ △中，22211||||||F Q AQ AF =+，即：222(2)(3)()a n a a n +=++，解得：3n a = ，即：||3QF a =， 又∵1||||3BF AF a ==，∴在Rt BFQ △中，||BQ ==∴||||2QF BQ =四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为258,224,100n S a a S +==. (1)求{an }的通项公式； (2)若+11n n n b a a =，求数列{n b }的前n 项和Tn . 【答案】(1)31n a n =- (2)2(32)n nT n =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果； （2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，1112()4248(81)81002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：123a d =⎧⎨=⎩ ∴1(1)23(1)31n a a n d n n =+-=+-=-. 故{}n a 的通项公式为31n a n =-. （2）∵1111()(31)(32)33132n b n n n n ==--+-+111111111111()()()()325358381133132111111111 ()325588113132111 =()3232=2(32)n T n n n n n nn =⨯-+⨯-+⨯-++--+=⨯-+-+-++--+⨯-++即：{}n b 的前n 项和2(32)n nT n =+.18．已知圆22:10C x y mx ny ++++=，直线1:10l x y --=，2:20l x y -=，且直线1l 和2l 均平分圆C . (1)求圆C 的标准方程(2)0y a ++-=与圆C 相交于M ，N 两点，且120MCN ∠=，求实数a 的值. 【答案】(1)()()22214x y -+-= (2)1a =或3a =-【分析】（1）根据直线1l 和2l 均平分圆C ，可知两条直线都过圆心，通过联立求出两条直线的交点坐标，由此得到圆心坐标即可得到圆的标准方程.（2）根据120MCN ∠=，及MCN △为等腰三角形可得到30CMN ∠=，可得圆心到直线的距离sin d r CMN =∠，再根据点到直线的距离公式即可求出实数a 的值.【详解】（1）因为直线1l 和2l 均平分圆C ，所以直线1l 和2l 均过圆心C ，因为1020x y x y --=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 和2l 的交点坐标为()2,1，所以圆心C 的坐标为()2,1，因为圆22:10C x y mx ny ++++=，所以圆心坐标为,22m n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2212m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得42m n =-⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为224210x y x y +--+=，即()()22214x y -+-=， 所以圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.（2）由（1）得圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心()2,1C ，半径2r =，因为120MCN ∠=，且MCN △为等腰三角形，所以30CMN ∠=， 因为CM CN r ==，所以圆心C 到直线3230x y a ++-=的距离sin 2sin301d r CMN =∠==， 根据点到直线的距离公式()222312311231a a d ++-+===+， 即12a +=，解得1a =或3a =-， 所以实数a 的值为1a =或3a =-.19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是菱形.1202DAB PA AD ∠===，，22PC PD ==，点E 是棱PC 的中点.(1)证明：PC ⊥BD .(2)求平面P AB 与平面BDE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 3【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理证明PA ⊥平面ABCD ，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量垂直的判定条件证明PC BD ⊥即可；（2）通过第（1）问的空间直角坐标系，根据二面角夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）120DAB ∠=，四边形ABCD 为菱形， 60CAD ∴∠=，又60ADC ∠=，ACD ∴为等边三角形，2AD =，2AC CD ∴==，2PA =，22=PC222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥， 222PA AD PD +=，PA AD ∴⊥，ACAD A =，AC ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA ∴⊥平面ABCD .过点A 作AF BC ⊥，则PA AF ⊥，AF AD ⊥，PA AD ⊥，∴分别以AF ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴如图建立空间直角坐标系.2AB =，cos603AF AB ∴=⋅=，1BF =，2BC =，1FC ∴=.)3,0,0F∴，()002P ,,，)3,1,0C，()3,1,0B-，()0,2,0D ，()3,1,2PC ∴=-，()3,3,0BD =-，(33130PC BD ⋅=-⨯=，PC BD ∴⊥.（2）()0,0,2P ，)3,1,0C，E 为PC 中点，31,12E ⎫∴⎪⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()1111,,n x y z =，()0,0,2PA =-，()3,1,0AB =-，1112030z x y -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，()11,3,0n ∴=.设平面BDE 的法向量为()2222,,n x y z =，()3,3,0BD =-，33,122DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，222223303302x y y z ⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪，()23,1,0n ∴=， 设平面PAB 与平面BDE 夹角为θ， 则121213313cos n n n n θ⋅⨯+⨯==⋅∴平面PAB 与平面BDE 320．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 关于抛物线C 的准线的对称点为()9,0P -. (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记OAB 的面积为S ，求证：18sin S θ=. 【答案】(1)212y x = (2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的简单几何性质得到抛物线的焦点坐标和准线方程，结合条件得到()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，即可求解. （2）设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ，联立抛物线的方程结合韦达定理计算得到12y y -，结合图形得到1212OFA OFB S S S OF y y =+=⨯⨯-△△，即可求证.【详解】（1）由题意得：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程0l ：2p x =-，因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭关于准线0:2p l x =-的对称点为()9,0P -，则()19222p p ⎡⎤⨯+-=-⎢⎥⎣⎦，解得：6p ， 所以抛物线C 的方程为：212y x =. （2）由（1）知，焦点()3,0F ，如图：过点F 作倾斜角为θ的直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点， ∴直线l 的倾斜角θ不为0，则()0,πθ∈，即sin 0θ>，则设直线:3l x my =+，且cos sin m θθ=（()0,πθ∈），()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2312x my y x=+⎧⎨=⎩，得：212360y my --=，由()2124360m ∆=+⨯>，得：12121236y y m y y +=⎧⎨=-⎩，则12y y -==又222cos 111sin sin m θθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以121212sin y y θ-=（()0,πθ∈）， 又1212111222OFA OFB S S S OF y OF y OF y y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯-△△，即1121832sin sin S θθ=⨯⨯=. 综上：OAB 的面积18sin S θ=，得证. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为yx =，且过点(3,.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若双曲线C 的右焦点为F ，点()0,4P -，过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且PA PB =，求直线l 的方程.【答案】(1)2213x y -=(2)0y =，或1233y x =-或2y x =-+.【分析】（1）根据题意得22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，进而解方程即可得答案；（2）由题知()2,0F ，进而先讨论直线l 的斜率不存在不满足条件，再讨论l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，进而与双曲线方程联立得线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，再结合题意得PE AB ⊥，进而再分0k =和0k ≠两种情况讨论求解即可.【详解】（1）解：因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=，且过点(3,， 所以，22921b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得221,3b a ==所以，双曲线C 的标准方程为2213x y -=（2）解：由（1）知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，当直线l 的斜率不存在时，方程为:2l x =，此时,2,A A ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，PA PB =≠= 所以，直线l 的斜率存在，设方程为()2y k x =-，所以，联立方程()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩得()222213121230k x k x k -+--= 所以()()422214441331212120k k k k ∆=----=+>，且2130k -≠，所以，k ≠设()()1122,,,A x y B x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k --+=-=-- 所以()3121222124441313k ky y k x x k k k k+=+-=--=---， 所以，线段AB 中点为22262,1313k k E k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭， 因为PA PB =，所以，点()0,4P -在线段AB 的中垂线上， 所以PE AB ⊥，所以，当0k =时，线段AB 中点为()0,0E ，此时直线l 的方程为0y =，满足题意；当0k ≠时，22222222424122613,66313PEAB kk k k k k k k k k k k k -+-+--+--====----， 所以，222613PE AB k k k k k k -+-⋅=⋅=--，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，满足k ≠综上，直线l 的方程为0y =，或1233y x =-或2y x =-+.22．已知椭圆2222:1(0x y C a b a b +=>>0x y -=相切.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：1y kx =+与椭圆C 交于,A B 两点，点P 是y 轴上的一点，过点A 作直线PB 的垂线，垂足为M ，是否存在定点P ，使得PB PM ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22164x y += (2)存在，1(0,)4P【分析】（1）根据题意得,a b ==，由C与直线0x y --=相切，联立方程得22c =，即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，结合韦达定理得PB PM PB PA ⋅=⋅222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，即可解决.【详解】（1）由题知，,c a b a ==， 所以椭圆C 为2222132x y c c+=，即2222360x y c +-=，因为C与直线0x y --=相切，所以22223600x y c x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，消去y得22223(60x x c +-=，所以2253060x c -+-=，所以236045(306)0c ∆=-⨯⨯-=，得22c =，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=； （2）设1122(0,),(,),(,)P t A x y B x y ，由221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222(23)690,3636(23)144720,k x kx k k k ++-=∆=++=+> 所以12122269,2323k x x x x k k +=-=-++， 所以()PB PM PB PA AM PB PA PB AM PB PA ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅1122(,)(,)x y t x y t =-⋅-1212(1)(1)x x kx t kx t =++-+- 221212(1)(1)()(1)k x x k t x x t =++-++-222296(1)()(1)()(1)2323kk k t t k k=+-+-⋅-+-++ 222292(1)(312)23t t k k -+-+-=+，所以2231292(1)32t t --+-=，解得14t =， 所以存在点1(0,)4P ，使得PB PM ⋅为定值.。

2022-2023学年北京市第二十中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知是虚数单位，，复数的共轭复数为（ ）i 12z i =-z A ．B ．12i +12i --C ．D ．12i -+12i-【答案】A【分析】根据共轭复数的定义求解.【详解】由共轭复数的定义知： 的共轭复数为： ；12i =-z 12i z =+故选：A.2．已知圆的圆心的横坐标为，则等于（ ）22:0C x y ax ++=C 1-a A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】B【分析】由圆的一般方程得圆心坐标,从而得参数值.a 【详解】圆的标准方程为，，圆心为,22:0C x y ax ++=222()24a a x y ++=0a ≠(,0)2a C -∴，．12a-=-2a =故选：B ．3．已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）()5,0()3,0A ．B ．221169y x -=221259x y -=C ．D ．2262511x y -=221916x y -=【答案】D【分析】根据双曲线中的关系求解.,,a b c 【详解】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为，x 22221x y a b -=且，所以，5,3c a ==22216b c a =-=所以双曲线方程为，221916x y -=故选:D.4．已知直线和圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）:l y x m =+22:4C x y +=m A ．B ．()2,2-[]22-,C ．D ．(-⎡⎣-【答案】C，即得.2【详解】因为圆的圆心为，半径为2，22:4C x y +=()0,0又直线和圆有两个不同的交点，:l y x m =+22:4C x y +=，2解得m -<<即实数的取值范围是.m (-故选：C.5．已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，则的值为（ ）2221(0)3y x a a -=>28y x =a A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标，再根据题意可求出的值.a 【详解】抛物线的焦点为，28y x =(2,0)因为双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合，2221(0)3y x a a -=>28y x =所以，2a =故选：B6．“”是“直线与直线互相平行且不重合”的（ ）1a =260ax y +-=()()2110x a y a +++-=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用直线与直线平行化简求出，再由范围大小判断充分与必要条件.a【详解】若直线与直线互相平行且不重合，则，260ax y +-=()()2110x a y a +++-=()112a a +=⨯解得或，经检验，时，符合题意，时，两直线重合，故，所以“”是“1a =2-1a =2a =-1a =1a =”的充要条件.1a =故选：C7．已知双曲线的右焦点，则其离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>(),0Fc （ ）A ．2B ．CD 12【答案】A【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可.【详解】双曲线(，)的右焦点到一条渐近线22221x y a b -=0a >0b>(),0Fc b y x a = 可得 ，即b ==22234c a c-=2c a =所以双曲线的离心率为： .2c e a ==故选：A.8．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是l 28y x =F A B C F 的中点，则线段的长为AC BC A ．B ．C ．D ．8331636【答案】C【分析】由题意结合抛物线的定义和性质首先求得直线AB 的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得点B 的坐标，进一步整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得.(6,AAF 所在直线方程为.AF k ∴==)2y x =-联立方程：可得：，)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=，则.264,3B B x x ∴==28233BF BH ==+=故.816833BC CF BF AF BF =-=-=-=故选C .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，抛物线的几何性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．设椭圆的两个焦点分别为F 1､､F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若F 1PF 2为等腰直角 三角形，则椭圆的离心率是（）A BC ．D21【答案】D【解析】解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得x c =P 12F PF △的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，,,a b c b 2220a ac c --=注意取舍.解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据12F PF △椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率.2a 【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为，()222210x y a b a b +=>>半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则.c 12,F F P ()2,0F c 在椭圆方程中，令，则，解得，故.x c =22221c y a b +=2P b y a =2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为直角三角形且，故即，12F PF △122F F P π∠=22b c a =2220a ac c --=故，解得2210e e +-=1e =-解法二：如图，不妨设,则,1221c F F ==21PF =1PF =于是,1221a PF PF =+=,212c c e a a ∴====故选：D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利,,a b c 用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用.10．已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为，点222:1(06x y G b b +=<12F F ､12B B ､在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题：P G 1212PB PB PF PF +=+b ①点的轨迹关于轴对称；P y ②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；b G P ③的最小值为2．OP其中，所有正确命题的序号是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】C 【分析】由题可知同时也在以为焦点，长轴长为12PB PB +=P 12B B ､其椭圆方程为：，而点则是两椭圆交点，根据椭圆的几何性质即可对选222:1(066y x C b b +=<<-P 项进行判断.【详解】由题可知同时也在以为焦点，长轴长为1212=2PB PB PF PF +=+P12B B ､222:1(066y x C b b +=<<-对于①，将x 换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确；x -P y 对于②，由椭圆方程可知椭圆的长轴顶点，短轴长度小于的长轴顶点G ()C ，短轴长度小于与椭圆有4个交点，对应的点有4个，故②错误；(0,G C P 对于③，代数法：联立，即，即22222216166x y b y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩()()22222222666666b x y b x b y b ⎧+=⎪⎨+-=-⎪⎩，两式相加可得，则()()22222222222222666666666b b b b x y b bb b x b y b ⎧⋅+=⋅⎪---⎨⎪+-=-⎩()()4422222266666636b b b x y b b b =+--+--+，当时，的最小值为4，()44442222422261221636722116636636622161236bb b b x y b b b b b b -+-++-+---=+=+-=23b =22x y +即当的最小值为2；OP几何法：如图所示因为椭圆与椭圆长轴确定，所以当点靠近坐标轴时（或，即其中一个椭圆更G C P 0b →b 接近圆时，此时会越接近，会越大；反之点远离坐标轴时，即两个椭圆离心率逐渐OPOPP接近时，越小，所以当，即时最小OP226b b =-23b =OP此时，，两式相加得，即的最小值为2，故③22:163x y G +=22:163y x C +=222222y x +⇒==OP 正确.故选：C二、填空题11．椭圆的长轴长为__________．2244x y +=【答案】4【分析】根据椭圆方程转化为标准方程确定，即可得长轴长.24a =【详解】解：椭圆，化为标准方程为，则，即2244x y +=2214x y +=24a =2a =所以椭圆的长轴长为.24a =故答案为：4.12．双曲线的渐近线方程为等于____________．2214x y -=【答案】12y x=±【解析】根据双曲线的方程，求得的值，进而求得双曲线的渐近线的方程.,a b 【详解】由题意，双曲线的焦点在上，且，2214x y -=y 1,2a b ==所以双曲线的渐近线的方程为.12a y x xb =±=±故答案为：.12y x=±13．已知椭圆（）的左顶点为，上顶点为为坐标22221x y a b +=0a b >>A B O 原点），则该椭圆的离心率为__________．【分析】由椭圆的性质得出，进而得出离心率.,a c，，所以离心率为.a c ==c a ==三、双空题14．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为__________，__________．i z i 3i z ⋅=-z z =【答案】 3-【分析】根据复数的除法法则计算，然后根据复数的概念及复数模的计算公式即得.z 【详解】因为，i 3i z ⋅=-所以3i13i iz -==--所以的虚部为z 3-=故答案为：.3-15．如图，正方体的棱长为2，点在正方形的边界及其内部运动，平面区1111ABCD A B C D -P ABCD域由所有满足组成，则的面积是__________，四面体的体积的最大W 1A P P W 1P A BC -值是__________．【答案】 4π43【详解】由题意可知，满足是以1A P ≤P 1A 又因为点在正方形的边界及其内部运动，P ABCD 所以平面区域是以为圆心，1为半径的圆的，所以可知的面积是；W A 14W 4π设点到平面的距离为，1A PBC 2h =所以四面体的体积为,1P A BC -1233PBC PBC h S S ⋅⋅=⋅ 所以当点是的中点时，取得最大值为，四面体的体积最大值是.P AD PBC S 21P A BC -43四、解答题16．已知圆．22:2410C x y x y +--+=(1)求圆的圆心坐标和半径；C (2)直线交圆于两点，求的值．:1l y x =-C A B ､AB【答案】(1)圆心坐标，半径()1,2C 2r =(2)【分析】（1）首先将圆的一般方程配方整理成标准方程，根据圆的标准方程即可求得圆心坐标及半径；（2）首先求解圆心到直线的距离，然后直接根据圆的弦长公式进行求解即可.l d 【详解】（1）已知圆，22:2410C x y x y +--+=配方整理得：，()()22:124C x y -+-=故得圆的圆心为，半径.C ()1,2C 2r =（2）由（1）可知圆的圆心坐标为，半径，C ()1,2C 2r =则圆心到直线的距离，d则.AB ===17．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E CD(1)求证：平面；BD ⊥PAC(2)若点是棱的中点，求证：平面．F AB CF PAE 【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，PA ⊥ABCD ABCD BD ⊥PAC 则可证得平面.BD ⊥PAC (2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明.,E F //CF AE 【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥ABCD 形，则，，平面，所以平面.BD AC ⊥PA AC A = ,PA AC ⊂PAC BD ⊥PAC （2）连接，如图所示：CF AE因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以,E F ,CD AB //AF CE AF CE =AFCE ，平面，平面，所以平面.//AE CF AE ⊂PAE CF ⊄PAE //CF PAE 18．半径为3的圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限．C ()1,1A -C 2y x =(1)求圆的方程；C (2)过点作圆的切线，求切线的方程．()4,3C 【答案】(1)()()22129x y -+-=(2)或40x -=43250x y +-=【分析】（1）通过圆心在直线上，且在第一象限设出圆心的坐标，再利用圆上的点到圆心的距离等于半径求出圆心，进而可得圆的方程.（2）先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于半径求切线方程.【详解】（1）设圆心为，则，()(),20C a a a >3r ==解得，则圆的方程为.1a =C ()()22129x y -+-=故答案为：.()()22129x y -+-=（2）点在圆外，()4,3①切线斜率不存在时，切线方程为，圆心到直线的距离为,满足条件.4x =413d r =-==②切线斜率存在时，设切线，即,():34l y k x -=-430kx y k --+=则圆心到切线的距离，解得，3d 43k =-则切线的方程为：.43250x y +-=故答案为：或.40x -=43250x y +-=19．如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条111ABC A B C -11AA C C 43AB =件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.（1）求证：平面；AB ⊥11AA C C （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 11A BC 条件①：；条件②：；条件③：平面平面.5BC =1AB AA ⊥ABC ⊥11AA C C 【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）.1225【分析】选择①②：（1）根据勾股定理可得，再由，利用线面垂直的判定定AB AC ⊥1AB AA ⊥理可得平面；选择①③：（1）根据勾股定理可得，再由面面垂直的性质定AB ⊥11AA C C AB AC ⊥理可得平面.AB ⊥11AA C C （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据A A xyz -11A BC sin |cos ,|BC n θ=<>【详解】解：选择①②：（1）因为，，，4AC =3AB =5BC =所以.AB AC ⊥又因为，，1AB AA ⊥1AC AA A =∩所以平面.AB ⊥11AA C C 选择①③：（1）因为，，，4AC =3AB =5BC =所以.AB AC ⊥又因为平面平面，ABC ⊥11AA C C 平面平面，ABC ⋂11AAC C AC =所以平面.AB ⊥11AA C C （2）由（1）知，.AB AC ⊥1AB AA ⊥因为四边形是正方形，所以.11AA C C 1AC AA ⊥如图，以为原点建立空间直角坐标系，A A xyz -则，，，(0,0,0)A (3,0,0)B (0,0,4)C ，，1(0,4,0)A 1(0,4,4)C ，，.1(3,4,0)A B =- 11(0,0,4)A C = (3,0,4)BC =- 设平面的一个法向量为，11A BC (,,)n x y z =则即1110,0,n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 340,40.x y z -=⎧⎨=⎩令，则，，所以.3y =4x =0z =(4,3,0)n = 设直线与平面所成角为，BC 11A BC θ则.||12sin |cos ,|25||||BC n BC n BC n θ⋅=<>== 所以直线与平面所成角的正弦值为.BC 11A BC 1225【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20．已知椭圆的长轴长为的直线与椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>e =()2,0M -l 交于不同的两点．G ,A B(1)求椭圆的方程；G (2)若点关于轴的对称点为，求线段长度的取值范围．B x B 'AB '【答案】(1)；2212x y +=(2).AB '∈【分析】（1）由题意得可求出，从而可求出椭圆的方程；2c a a =222b a c =-b （2）设，设直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简，由1122(,),(,)A x y B x y l (2)y k x =+可得0∆>212k <简，再由可求出其范围.2102k ≤<【详解】（1）由题意得，2c a a =1a c ==所以，222211b a c =-=-=所以椭圆方程为；2212x y +=（2）设，1122(,),(,)A x y B x y 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，l l (2)y k x =+由，得，22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()k x k x k +++-=2222218820由，得，得，422644(21)(82)0k k k ∆=-+->2120k ->212k <所以，22121222882,2121k k x x x x k k --+==++因为，22(,)B x y '-因为，2222221212122222882816()()442121(21)k k k x x x x x x k k k ⎛⎫----=+-=-⋅= ⎪+++⎝⎭，212122284()442121k k y y k x x k k k k k -+=++=⋅+=++，=因为，所以，2102k ≤<21212k≤+<所以.AB '∈21．设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自A x A ∈1x A -∈1x A +∈A 邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.{}1,2,,n A n = (2,)n n N ≥∈n a （1）直接写出的所有自邻集；4A （2）若为偶数且，求证：的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；n 6n ≥n A 5（3）若，求证：.4n ≥12n n a a -≤【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析；（3）证明见{1,2,3,4}{1,2,3}{2,3,4}{1,2}{2,3}{3,4}解析.【分析】（1）每个自邻集中至少有两个元素，然后按相邻元素规则确定；（2）利用配对原则证明，对于集合的含有5个元素的自邻集，n A 12345{,,,,}B x x x x x =不妨设，构造集合，它们是不相等的集合，也是5个54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-元素的自邻集，这样可得证结论；（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.k k b 2,3,4,,k n = 当时，，，得.4n ≥1231n n a b b b --=+++ 231n n n a b b b b -=++++ 1n n n a a b -=+下面只要证明即可，对自邻集进行分类确定自邻集的个数：①含有这三个元素，1n n b a -≤2,1,n n n --②含有两个元素，不含有这个元素，且不只有，两个元素.③只含有这两,1n n -2n -n 1-n ,1n n -个元素，可得与的关系，完成证明．n b 1n a -【详解】解：（1）.的子集中的自邻集有：4A ，，，，，.{1,2,3,4}{1,2,3}{2,3,4}{1,2}{2,3}{3,4}（2）.对于集合的含有个元素的自邻集，n A 512345{,,,,}B x x x x x =不妨设.12345x x x x x <<<<因为对于任意，都有或，.i x B ∈1i x B -∈1i x B +∈1,2,3,4,5i =所以，，或.211x x =+451x x =-321x x =+341x x =-对于集合，54321{1,1,1,1,1}C n x n x n x n x n x =+-+-+-+-+-因为，所以，.123451x x x x x n <<<<≤≤11i n x n +-≤≤1,2,3,4,5i =且.5432111111n x n x n x n x n x +-<+-<+-<+-<+-所以.n C A ⊆因为，，或.121x x +=541x x -=321x x =+341x x =-所以，，211(1)1n x n x +-=+--451(1)1n x n x +-=+-+或.341(1)1n x n x +-=+-+321(1)1n x n x +-=+--所以，对于任意，都有1i n x C +-∈或，.(1)1i n x C +-+∈(1)1i n x C +--∈1,2,3,4,5i =所以集合也是自邻集.C 因为当n 为偶数时，，331x n x ≠+-所以.B C ≠所以，对于集合任意一个含有个元素的自邻集，在上述对应方法下会n A 5存在一个不同的含有个元素的自邻集与其对应.5所以，的含有个元素的自邻集的个数为偶数.n A 5（3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.k k b 2,3,4,,k n = 当时，，.4n ≥1231n n a b b b --=+++ 231n n n a b b b b -=++++显然.1n n n a a b -=+下面证明.1n n b a -≤①自邻集中含，，这三个元素.2n -n 1-n 记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以n D 2,1n n D --∈D仍然是自邻集，且集合中的最大元素是，所以含这三个D n 1-2,1,n n n --元素的自邻集的个数为.1n b -②自邻集中含有，这两个元素，不含，且不只有，两个n 1-n 2n -n 1-n 元素.记自邻集中除，之外的最大元素为，则.n n 1-m 23m n -≤≤每个自邻集去掉，这两个元素后，仍然为自邻集，n 1-n 此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为类：m 4n -含最大数为的集合个数为.22b 含最大数为的集合个数为.33b含最大数为的集合个数为.3n -3n b -则这样的集合共有个.233n b b b -+++ ③自邻集只含，两个元素，这样的自邻集只有1个.n 1-n 综上可得23311n n n b b b b b --=+++++ 23312n n n b b b b b ---+++++ ≤.1n a -=所以，1n n b a -≤所以当时，.4n ≥12n n a a -≤【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义，并能利用新定义求解．特别是对新定义自邻集的个数的记数：记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.然k k b 2,3,4,,k n = 后求得与的关系．n a n b ．。

2022-2023学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ） A ．60种 B ．80种 C ．100种 D ．120种【答案】D【分析】利用排列的定义直接列式求解.【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共36654120A （种）．故选:D ．2．下列问题是排列问题的是（ ）A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{}123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？ 【答案】D【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.【详解】A 中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题； B 中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题； C 中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；D 中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题． 故选：D3．计算：7733A =A （ ） A ．44AB ．47AC ．47CD ．37A【答案】B【分析】根据排列数公式计算即可【详解】747733A 7!7!===A A 3!(7-4)!故选 ：B4．78915⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯可表示为（ ）A ．915AB ．815AC ．915CD ．815C【答案】A【分析】由排列数公式判断即可【详解】因为是78915⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯连续9个数和相乘， 所以91578915A ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=， 故选：A5．为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ） A ．120种 B ．150种 C ．210种 D ．216种【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案. 【详解】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有366210-=种. 故选：C6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6【答案】B【分析】首先将2张一份的电影票编号连续，列出所有可能的分法，再将三份电影票分给三个人，按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：将4张电影票分成三份，其中2张一份的电影票编号连续，则有12，3，4；1，23，4；1，2，34三种分法，然后将三份电影票分给三个人，有33A 6=种分法，所以不同的分法种数为1863=⨯．故选：B ．7．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（ ）个. A ．60 B ．35 C ．20 D ．53【答案】C【分析】根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和， 【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有22A 2=个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有23A 6=个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有24A 12=个；所以“伞数”共有20个， 故选：C.8．不等式288A 6A x x -<⨯的解集为（ ）A ．[]28,B ．()7,12C ．{712,}xx x N <<∈∣ D ．{}8 【答案】D【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.【详解】因为288A 6A x x -<⨯，所以88!6(8)!(10)!x x <⨯--！，所以(10)(9)6x x --<，所以(7)(12)0x x --<，又28x ≤≤，x ∈N ， 所以8x =，所以不等式288A 6A x x -<⨯的解集为{}8，故选：D.9．若3265A !A m =，则m =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【分析】根据排列数与阶乘的公式求解即可【详解】由3265A !A m =，则!6m =，故3m =．故选：D10．将4名新老师安排到,,A B C 三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（ ） A ．54 B ．36 C ．24 D ．18【答案】B【分析】分类讨论,,A B C 分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到,,A B C 三所学校去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到,,A B C 三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：1,1,2，A 学校有两名新老师：2142C C 12=；B 学校有两名新老师：2142C C 12=；C 学校有两名新老师：2142C C 12=所以共有2142363C C =种情况，故选：B.11．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于的六位数的个数为（ ） A ．478 B ．479 C ．480 D ．481【答案】B【分析】可从反面入手，考虑比小，即首位是1的情况【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为555A 600=． 以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为55A 120=，由于是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个， 所以没有重复数字且大于的六位数的个数为6001201479--=． 故选：B12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．48种 B ．36种C ．24种D ．20种【答案】B【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解.【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可，又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有33A 种排法，再将“射”和“御”交换位置有22A 种排法，最后安排“数”有13A 种排法，所以根据分步计数原理共有321323A A A 36=种排法，故选：B.13．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．300D ．420【答案】D【分析】将五个区域表示为①②③④⑤，先考虑区域①②③，再分情况考虑区域④⑤，由分步乘法计数原理求解即可.【详解】如图，将五个区域表示为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，有35A 60=种；对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，此时区域④⑤的情况有3227+⨯=种情况；则一共有607420⨯=种情况 故选：D ．14．给如图所示的5块区域A ，B ，C ，D ，E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（ ）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【答案】D【分析】依次给区域,,,,A B D C E 涂色，求出每一步的种数，由乘法分步原理即得解.【详解】解：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，C 有4种颜色可选，E 有4种颜色可选，故共有5×4×3×4×4＝960种不同的涂色方法． 故选：D ．二、多选题15．已知23301A A 2!4m+=-，则m 的可能取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】CD【分析】将题设中的方程化为3A 6m=，从而可求m 的可能取值.【详解】因为23301A A 2!4m+=-，所以31A 6142m -⨯+=，所以3A 6m =，其中,3N m m ∈≤，而 01233333A 1,A 3,A 6A ====，所以m 的值可能是2或3． 故选：CD ．16．下列等式正确的是（ ） A ．()111A Am m nn n +++=B ．()1!A 1!m n n n m -=--C ．()()!21n n n n =--！D ．11A A m mnn n m+=- 【答案】ACD【分析】根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．【详解】对于A ，(1)A mn n +=()()()()111!!(1)A !11!m n n n n n m n m ++++⋅==-⎡⎤+-+⎣⎦，选项A 正确；对于B ，()()1!!A 1!1!m n n n n m n m -==-+⎡⎤--⎣⎦，所以选项B 错误； 对于C ，()()()()()12!!2!11n n n n n n n n n -⋅-==---，选项C 正确；对于D ，111A m nn m n m +=--•()()!!A !1!m n n n n m n m ==-⎡⎤-+⎣⎦，选项D 正确． 故选：ACD ．17．（多选）某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（X ）、体艺特长（T ）、实践创新（S ）、生涯规划（C ）、国际视野（I ）、公民素养（G ）、大学先修（D ）、PBL 项目课程（P ），假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（ ）A ．某学生从中选两类，共有28A 种选法B ．课程“X ”“T ”排在不相邻两天，共有6267A A 种排法C ．课程中“S ”“C ”“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，共有720种排法D ．课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，共有()71167666A A A A +种排法【答案】BD【分析】A 选项，属于组合问题，故为28C 种；B 选项，采用插空法求解；C 选项，采用捆绑法求解；D 选项，使用分类加法计数原理进行所求解.【详解】对于A ，某学生从中选两类，如选“X ”“T ”与选“T ”“X ”是一种选法，没有顺序之分，所以28A 种选法计算重复，故A 错误；对于B ，课程“X ”“T ”排在不相邻两天，先将剩余六类课程全排列，产生7个空隙，再将课程“X ”“T ”插空，共有6267A A 种排法，故B 正确；对于C ，课程“S ”，“C ”，“T ”排在相邻三天，且“C ”只能排在“S ”与“T ”的中间，采用捆绑法，共有6262A A 1440=种排法，故C 错误；对于D ，课程“T ”不排在第一天，课程“G ”不排在最后一天，则分两类情况：①课程“G ”排在第一天，②课程“G ”排在除第一天和最后一天之外的某一天，则共有()71167666A A A A +种排法，故D 正确．故选：BD ．三、填空题18．方程421A 18A x x +=，的解为x =_______．【答案】5【分析】由排列数公式直接得到关于x 的方程，解出x 的值，再代入检验得到答案. 【详解】因为421A 18A x x +=，则14,2x x +≥≥且*x ∈N ，则3x ≥且*x ∈N所以()()()()112181x x x x x x +--=-，即()()1218x x +-=，解得5x =或4x =-（舍去）． 故答案为： 519．某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【答案】720【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】原来7个节目，形成8个空位，安排一位老校友；8个节目，形成9个空位，安排一位老校友； 9个节目，形成10个空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有8910720⨯⨯=种. 故答案为：72020．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答）【答案】72【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可.【详解】按照使用颜色的种类分类，第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有1424C A 48=(种)，第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有34A 24=(种)所以共有48+24=72(种) 故答案为：7221．冬奥会首金诞生于短道速滑男女混合接力赛，赛后4位运动员依次接受采访，曲春雨要求不第1个接受采访，武大靖在任子威后接受采访（可以不相邻），则采访安排方式有__________种． 【答案】9【分析】先考虑曲春雨，再结合倍缩法解决定序问题考虑剩下的3位选手，最后由分步计数原理求解即可.【详解】先考虑曲春雨，有3种采访安排，再考虑剩下的3位选手，武大靖在任子威后，有3322A 3A =种，按照分步计数原理共有339⨯=种. 故答案为：9.22．正整数484有个不同的正约数___________. 【答案】9【分析】先将484分解质因数，484的约数由质因数的乘积组成，使用分步乘法计数原理，可求出484正约数的个数.【详解】22484221111211=⨯⨯⨯=⨯设d 为484的正约数，则211i j d =⨯，（i =0，1，2，j =0，1，2） 例如：0i =，0j =时，00211=11=1d =⨯⨯是484的约数，1i =，2j =时，12211=2121=242d =⨯⨯是484的约数，2i =，2j =时，22211=4121=484d =⨯⨯是484的约数，因此，484的正约数个数，即d 的不同取值个数，第一步确定i 的值，有3种可能，第二步确定j 的值，有3种可能，因此d 的取值共有339⨯=种. 故答案为：9.23．用0，1，2，3，4，5，6七个数共可以组成______个没有重复数字的三位数. 【答案】180【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理即可求解.【详解】选0时，0不能在首位，故有1226C A 60=个，不选0时，有36A 120=个，根据分类加法原理，共有60120180+=个， 故答案为:180.24．将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答） 【答案】16【分析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，由此即可求出结果.【详解】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1，2，3，4，5，6，7，8八个数字使其满足题意要求进行摆放，有两种情形，如下图所示:然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列，一个作为头一个作为尾，则每一个圆环有8种剪开方式情况，故满足题意的有2816⨯=种. 故答案为：16.四、解答题25．3张卡片正、反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，则可以得到多少个不同的三位数？【答案】333A 248⨯=故可以得到48个不同的三位数【分析】通过分步乘法计数原理即可得到结果 【详解】“组成三位数”这件事，分两步完成：第一步：确定排在百位、十位、个位上的卡片，即3个元素的一个全排列，即33A ；第二步：分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种选法，即32．根据分步乘法计数原理，可以得到333A 248⨯=个不同的三位数．26．现有8个人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【答案】(1)5040(2)4320(3)21600(4)20160(5)14400(6)2880【分析】（1）分两步，先考虑甲必须站在排头的特殊要求，用特殊元素优先法可解；（2）女生必须排在一起，用捆绑法求解；（3）甲、乙两人不能排在两端，用插空法求解；（4）甲在乙的左边，可采用倍缩法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置优先法可解；（6）女生两旁必须有男生，用插空法求解.【详解】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有77A 种情况，则甲必须站在排头有77A 5040=种排法； （2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A 种情况，将这个整体与5名男生全排列，有66A 种情况，则女生必须排在一起的排法有3636A A 4320=种； （3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有26A 种情况，将剩下的6人全排列，有66A 种情况，则甲、乙两人不能排在两端有2666A A 21600=种排法；（4）根据题意，将8人全排列，有88A 种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有881A 201602=种不同的排法； （5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有25A 种情况， 将剩下的6人全排列，有66A 种情况，甲、乙不能排在前3位，有2656A A 14400=种不同排法；（6）根据题意，将5名男生全排列，有55A 种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A 种情况，则女生两旁必须有男生，有5354A A 2880=种不同排法．。

2022-2023学年辽宁省本溪市本溪满族自治县高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题 1．复数13i3iz +=-（i 为虚数单位）的共轭复数=z （ ） A ．i B ．i - C ．3i D ．3i -【答案】B【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为13i (13i)(3i)i 3i (3i)(3i)z +++===--+，所以i z =-. 故选：B.2．以点(3,2)-为圆心，且与直线310x y -+=相切的圆的方程是（ ） A ．22(3)(2)10x y -++= B ．22(3)(2)1x y ++-= C ．22(3)(2)10x y ++-= D ．22(3)(2)1x y -++=【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果.【详解】因为点(3,2)-到直线310x y -+=的距离是d ==，所以圆的方程为22(3)(2)10x y ++-=. 故选：C.3．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是13，连续两次遇到红灯的概率是14，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ） A ．23B ．34C ．14D ．13【答案】B【分析】由条件概率公式求解即可【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A ， “小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B ， 则由题意可得()()11,34P A P AB ==，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为()()()34P AB P B A P A ==∣. 故选：B .4．以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =- B ．210x y =-或28y x = C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.5．若角θ的终边经过点()1,2-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65B ．65-C ．25D ．25-【答案】C【分析】根据题意可求得tan 2θ=-，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简sin (1sin 2)sin cos θθθθ++，代入求值，可得答案.【详解】根据角θ的终边经过点()1,2-，得tan 2θ=-， 又2sin (1sin 2)sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222sin sin cos sin sin cos sin sin c o os sin c s θθθθθθθθθθθ+=+=+=+22tan tan 422tan 1415θθθ+-===++, 故选:C.另解：根据三角函数的定义，得sin θ=cos θ=，所以4sin 22sin cos 25θθθ⎛===- ⎝⎭，所以41sin (1sin 2)2sin cos 5θθθθ⎛⎫- ⎪+==+， 故选：C.6．已知双曲线2222:1x y C a b-=C过点)1-，直线():2l y k x =-与C 的右支有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-⋃+∞ B ．()1,1- C．( D．((),2,-∞+∞【答案】A【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解.【详解】的双曲线是等轴双曲线，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，将点)1-的坐标代入得1λ=，所以C 的方程是221x y -=，将()2y k x =-代入上式并消去y 整理得()222214410k xk x k -+--=，则24222122212210Δ164(1)(41)04014101k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪=---->⎪⎪⎨+=->-⎪⎪+⎪=->-⎩解得1k <-或1k >.故选:A.7．中国空间站已经进入正式建造阶段，天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱将在2022年全部对接，形成“T "字结构.在中国空间站建造阶段，有6名航天员共同停留在空间站，预计在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（ ） A ．360种 B ．180种C ．720种D ．450种【答案】D【分析】根据分组分配问题的处理步骤，先将6人分成三组，再将三组分到三个舱内即可.【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有2223642333C C C A 90A ⋅=（种）不同的方案； 方案二：分别安排3人，2人，1人，共有32136313C C C A 360=（种）不同的方案.所以共有90360450+=（种）不同的安排方案. 故选：D .8．香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所示，在“相似椭圆”12,C C 中，由外层椭圆1C 的下顶点A 和右顶点C 分别向内层椭圆2C 引切线,AB CD ，且两切线斜率之积等于34，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ）A ．34B ．14C 3D ．12【答案】D【分析】分别写出切线,AB CD 的方程，与内层椭圆联立方程，根据判别式为零分别表示出12,k k ，再根据斜率之积等于34解出离心率.【详解】设内层椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆1C 可设成22221(1)()()x y m ma mb +=>， 设切线AB 的方程为1y k x mb =-，与22221x y a b+=联立，得()()2222222211210b a k x mk a bx m a b +-+-=，又Δ0=，所以()222121b k m a=-.设切线CD 的方程为()2y k x ma =-，与22221x y a b+=联立，得()2222232242222220ba k x mk a x k m a ab +-+-=，又Δ0=，所以2222211b k a m =⋅-.又1234k k ⋅=，所以2234b a =，因此12c e a ====.故选：D.二、多选题9．已知圆221:66140C x y x y +-++=和圆222:230C x y y +--=，则（ ） A ．125C C = B ．两圆半径都是4 C ．两圆相交 D ．两圆外离【答案】AD【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的关系可判断两圆的位置. 【详解】圆1C 的标准方程为22(3)(3)4x y -++=，圆心为()13,3C -，半径为12r =，圆2C 的标准方程为22(1)4x y +-=，圆心为()20,1C ，半径为22r =，所以125C C =，故A 正确，B 错误；因为1212C C r r >+，所以两圆外离，故C 错误，D 正确. 故选:AD .10．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到1m n >+，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】()f x 的定义域为R ，()()e e x xf x f x --=-=-，所以()f x 是奇函数．因为1e e xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，e x y =-在R 上都单调递减，所以()f x 在R 上是减函数．又()()3220f n m f n -+->，则()()322f n m f n ->--，即()()322f n m f n ->-，所以322n m n -<-，即1m n >+．因为e x y =在R 上是增函数，所以1e e 2e m n n +>>，故A 正确； 因为1n >-，所以110m m n +>>+>，所以()()()()1110111m n n m n n m nm m m m m m +-++--==>+++，故B 正确； 因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以()ln ln1m n ->，即()ln 0m n ->，故C 正确； 取1m =，3n =-，满足1m n >+， 但20222022m n >不成立，故D 错误． 故选:ABC ．11．已知2nx⎛ ⎝的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（ ） A ．9n =B ．2nx⎛⎝的展开式中有理项有5项C ．2nx⎛⎝的展开式中偶数项的二项式系数和为512D ．(7)n a -除以9余8 【答案】ABD【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A ；由二项式的通向结合有理项的概念判断B ；由偶数项的二项式系数和判断C ；由二项式定理判断D【详解】对于A ，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以36C C n n =，由组合数的性质知9n =，故A 正确；对于B ，在92x⎛ ⎝的展开式中，令1x =，得9(1)0a +=，所以1a =-，所以92x⎛ ⎝的二项式通项为518219(1)C kk k k T x -+=-⋅.由5182k -为整数，得0,2,4,6,8k =，所以展开式中有理项有5项，故B 正确；对于C ，展开式中偶数项的二项式系数和为1398999C C C 2256+++==，故C 错误；对于D ，由B 知1a =-，则()()99909188081789999997(71)8(91)C 9C 9C 919C 9C 9C 18na -=+==-=-++-=-++-+，所以()7na -除以9余8，故D 正确. 故选：ABD.12．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，则下列结论正确的是（ ）A ．以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切B ．221212,4p x x y y p ==-C ．112||||AF BF p+= D ．若直线l 的倾斜角为π6，且12x x <，则||1||3AF BF = 【答案】ACD【分析】根据抛物线焦点弦性质，抛物线定义，数形结合思想解决即可.【详解】抛物线22x py =的焦点坐标为(0,)2P F ，准线方程是2py =-，由题意知，直线l 的斜率一定存在，设其方程为2p y kx =+，联立22,,2x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y 得2220x pkx p --=， 设线段AB 的中点00(,)M x y ， 所以121200,22x x y y x y ++==， 所以点M 到准线2py =-的距离120||222p y y p AB d y ++=+==， 所以以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故A 正确；由韦达定理，得2222121212,224x x p x x p y y p p =-=⨯=，故B 错误；()212122y y k x x p pk p +=++=+， 所以()1221212121111||||2224y y p p p p p AF BF y y y y y y +++=+==+++++()()()22222222122212424p k pk p p p p p p k pk p ++==++++，故C 正确；若直线l 的倾斜角为π6，且12x x <，则点A 在点B 左侧，如图，直线l 与准线交于点D ，,AA BB ''分别表示点,A B 到准线2py =-的距离，则1sin ||2AA ADA AD ='='∠，设||AF t =，则,||2AA t AD t '==， 又sin ||BB BDB BD ∠=''=||1||||||2||2BB BF AD AF BF t t BF ==++++'， 所以||3BF t =，所以||1||33AF t BF t ==，故D 正确. 故选:ACD.三、填空题13．张勇同学在上学期的8次物理测试中的成绩（单位：分）分别是：78，82，76，85，88，94，95，86，则这8次成绩的75%分位数为______. 【答案】91【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.【详解】解：先将这8次成绩从小到大排列为76，78，82，85，86，88，94，95， 因为875%6⨯=， 所以75%分位数为8894912+=. 故答案为：9114．如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且DF FC =，2CE EB =，若120ABC ∠=︒，8AB =，6AD =，则DE BF ⋅=______.【答案】24-【分析】由题知23DE AB BC =-，12BF BC AB =-，再根据数量积的运算律运算求解即可.【详解】解：因为DF FC =，2CE EB =，所以，23DE DC CE AB BC =+=-，12BF BC CF BC AB =+=-，因为120ABC ∠=︒，8AB =，6AD =， 所以222141232323DE BF AB BC BC AB AB BC AB BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2241128686243223=⨯⨯⨯-⨯-⨯=-.故答案为：24-15．已知椭圆C 的方程为22142x y +=，其左､右顶点分别为,A B ，一条垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于,E F 两点，直线AE 与直线BF 相交于点M ，则点M 的轨迹方程为___________.【答案】()221242x y x -=≠±【分析】设直线l 为()()00002,,x x x E x y =≠±，()()00,,,F x y M x y -，由,,A E M 三点共线及,,B F M 三点共线，可得22022044y y x x =---，又2200142x y +=，代入即可求解 【详解】由题意知()()2,0,2,0A B -，设直线l 为()()00002,,x x x E x y =≠±，()()00,,,F x y M x y -， 由,,A E M 三点共线及,,B F M 三点共线， 得0000,2222y y y y x x x x -==++--， 两式相乘化简，得22022044y y x x =---， 又2200142x y +=， 所以2202201442y y x x =-=--，即22142x y -=， 又240x -≠，即2x ≠±，所以点M 的轨迹方程为()221242x y x -=≠±.故答案为：()221242x y x -=≠±16．在菱形ABCD 中，=4AB ，120BAD ∠=︒，M 为BC 的中点，将ABM △沿直线AM 翻折成1AB M △，如图所示，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的体积是______.【答案】642π3##642π3 【分析】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，利用长方体外接球，求出球的半径，即可求解【详解】易得平面1AB M ⊥平面AMD 时三棱锥1B AMD -的体积最大， 由题意知BM AM ⊥，故1B M AM ⊥，当平面1AB M ⊥平面AMD 时，1B M ⊥平面AMD ， 因为90DAM DAB BAM ∠=∠-∠=︒， 所以AM AD ⊥.如图所示，要求三棱锥1B AMD -外接球体积，即求如图所示的长方体外接球的体积， 由已知得长方体的长、宽、高分别为4，23，2，则长方体外接球半径()2224232222r ++==，则球的体积是34642ππ33r =.故答案为：642π3四、解答题17．已知直线l 经过直线350x y ++=和3270x y --=的交点，且与直线50x y -+=垂直.(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点()2,0-，且圆心C 在y 轴的负半轴上，直线l 被圆C 所截得的弦长为211，求圆C 的标准方程.【答案】(1)10x y ++=； (2)22(3)13x y ++=.【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线l 的斜率，代入点斜式可得直线方程；（2）设出圆的圆心和半径，圆过点()2,0-和弦长公式可联立方程解方程可得.【详解】（1）由已知，得350,3270,x y x y ++=⎧⎨--=⎩解得两直线交点为1,2，设直线l 的斜率为k ，因为直线l 与50x y -+=垂直，所以11k ⨯=-，解得1k =-， 所以直线l 的方程为()21y x +=--，即10x y ++=. （2）设圆C 的标准方程为222()(0)x y b r b +-=<， 则由题意，得()()()2222222,111,2b r b r ⎧-+-=⎪⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得3b =-或5b =（舍去），所以13r =，所以圆C 的标准方程为：22(3)13x y ++=.18．已知四棱锥M ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90ADC ︒∠=，MD ⊥底面ABCD ，且22MD DC AD AB ====，P 是MC 的中点.(1)证明：//BP 平面MAD ；(2)求直线MB 与平面DBP 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)49【分析】（1）取MD 的中点为Q ，连接PQ 、AQ ，即可证明四边形ABPQ 是平行四边形，从而得到//BP AQ ，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）证明：取MD 的中点为Q ，连接PQ 、AQ ， 因为P 、Q 分别是MC 、MD 的中点，所以//PQ DC 且12PQ DC =， 又//AB DC 且12AB DC =，所以//PQ AB 且PQ AB =，所以四边形ABPQ 是平行四边形，所以//BP AQ ， 又BP ⊄平面MAD ，AQ ⊂平面MAD ，所以//BP 平面MAD .（2）解：因为90ADC ∠=，MD ⊥底面ABCD ，所以,,DA DC DM 两两互相垂直，以D 为坐标原点， 以,,DA DC DM 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 则()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1D A C B M P ， 则()()()2,1,2,2,1,0,0,1,1MB DB DP =-==，设平面DBP 的一个法向量为(),,m x y z =，所以=0=0m DB m DP ⎧⋅⎨⋅⎩，即200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x=，则()1,2,2m =-，设直线MB 与平面DBP 所成角为θ，则44sin 339MB m MB mθ⋅-===⨯⋅， 即直线MB 与平面DBP 所成角的正弦值为49.19．已知抛物线2:2C y px =的焦点为()0,2,F P y 是抛物线C 上一点，且4PF =.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线():20l y x m m =+≠与抛物线C 交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆过原点O ，求直线l 的方程.【答案】(1)28y x =； (2)216=-y x .【分析】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，转化焦半径，可得p ，从而求出抛物线方程；（2）直线与抛物线相交，采用标准计算步骤设而不求的思想可解得. 【详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线为2p x =-，所以242pPF =+=， 解得4p =，所以抛物线C 的标准方程为28y x =.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立28y x =与2y x m =+，消去x 得2440,Δ16160y y m m -+==->，即1m <；由韦达定理有：12124,4y y y y m +==，因为以MN 为直径的圆过原点O ，所以12120OM ON x x y y ⋅=+=， 即1212022y m y m y y --⋅+=，化简可得：()2121250444m m y y y y -++=， 代入韦达定理得：()25440444m m m ⨯-⨯+=，解得16m =-或0m =（舍去）， 所以直线l 的方程为216=-y x .20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2,AD AB M =为BC 中点，平面11AA D D ⊥平面11,ABCD AA A D AD ==．(1)证明：1A D ⊥平面11ABB A ；(2)求二面角1B A A M --的平面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）由面面垂直的性质可得AB ⊥平面11AA D D ，再由线面垂直的性质可得1AB A D ⊥，由勾股定理的逆定理可得11AA A D ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）取AD 的中点O ，连接1A O ，由已知可证得1,,OM AD OA 两两互相垂直，所以以O 为坐标原点，1,,OM OD OA 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为底面ABCD 是矩形， 所以AB AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面,ABCD AD AB =⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面11AA D D ，又1A D ⊂平面11AA D D ， 所以1AB A D ⊥， 因为112AA A D AD ==，所以22211AA A D AD +=， 所以11AA A D ⊥，又11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂平面11ABB A ， 所以1A D ⊥平面11ABB A ；（2）取AD 的中点O ，连接1A O ，因为11A A A D =， 所以1A O AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面1,ABCD AD AO =⊂平面11AA D D ， 所以1A O ⊥平面ABCD ，连接OM ，又底面ABCD 为矩形，所以OM AD ⊥， 所以1,,OM AD OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，1,,OM OD OA 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设1AB =， 则()()()()10,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A D A M -， 所以()()()110,1,1,0,1,1,1,1,0AA A D AM ==-=．由（1）知1A D ⊥平面11ABB A ，所以1A D 是平面11ABB A 的一个法向量． 设平面1A AM 的一个法向量为(),,n x y z =，则 10n AA y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则()1,1,1n =-． 设二面角1B A A M --的平面角为θ，则1126cos 323A D n A D nθ⋅===⨯⋅ 由图可知二面角1B A A M --的平面角为锐角， 所以二面角1B A A M --的平面角的余弦值为63．21．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为8，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别是双曲线C 的左､右顶点，P 为双曲线C 上任意一点（P 不与,A B 重合），线段BP 的垂直平分线交直线BP 于点M ，交直线AP 于点N ，设点,M N 的横坐标分别为,M N x x ，求证：M N x x -为定值.【答案】(1)221124x y -=； (2)证明见解析【分析】（1）根据焦距为8，可得c ，再用点到直线的距离公式可解；（2）先写出,,A B P 的坐标，进而求出BP 的斜率，可得线段BP 的垂直平分线方程，分别求出其与,AP BP 的交点横坐标，代入M N x x -可证.【详解】（1）双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为0bx ay ±=，左焦点为(),0c -，所以d b ==，所以2b =.又焦距为8，所以4c =，所以a =C 的方程为221124x y -=.（2）证明：设()()000,0P x y y ≠，由（1）得()(),A B -，又点M 是线段BP的中点，则点02y M ⎫⎪⎪⎝⎭， 直线BPAP又BP MN ⊥，则直线MN的方程为002y y x -=⎝⎭，即200001222x y y y -++ 又直线AP的方程为y x =+，联立方程2000012,22,x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得()2220001222x y x x x -+++， 又22004112x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入消去20y，得()()(2000212133x x x x x -+=-+， 因为00y ≠，所以00x -≠.所以((02133x x x +-+=+，解得x =即点N，则M N x x -==，所以M N x x -为定值. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8,O 是坐标原点，12,F F 分别为椭圆C 的左､右焦点，点()0,2M x 在椭圆C 上，且12MF F △的内切圆半径为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于,E F 两点，且直线,OE OF 的斜率之和为2k -. ①求直线l 经过的定点的坐标； ②求OEF 的面积的最大值. 【答案】(1)2211612x y +=； (2)①()0,26；②43.【分析】（1）根据长轴长为8可求出a ，再根据12MF F △的面积公式可求出c ，进而确定椭圆的方程；（2）①设出直线方程与椭圆进行联立，标准设而不求的步骤后，将韦达定理代入斜率和为2-的表达式中可得定点；②将①中求出的参数代入韦达定理，表示出OEF 的面积，求此表达式的最大值即可.【详解】（1）由题意可知121228,2MF MF a F F c +===，又12MF F △的内切圆半径为23，所以()()12121212182233MF F SMF MF F F c =++⨯=+， 又12121122222MF F M SF F y c c =⨯=⨯⨯=，所以()18223c c +=，解得2c =.因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）①设()()1122,,,E x y F x y ，联立22,1,1612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理，得()2223484480k x kmx m +++-=，所以()()2222Δ644344480k m k m =-+->，可得221216m k <+，21212228448,3434km m x x x x k k-+=-=++， 设直线,OE OF 的斜率分别为12,k k ，因为直线,OE OF 的斜率之和为2k -，所以122k k k +=-，即()()2121212221212122242224401212k m m x x y y kx m kx m km k k k k m x x x x x x m m -+++-++=++=+=+⋅==--，所以224m =，又0m >，所以m =l经过的定点的坐标为(0,. ②设直线l经过的定点为(N，则1212OEF OEN OFNSSSx=-=⨯-==，设0t ，则21242662OEFt St t t==⨯=++6t t=时，即t =294k =时取等号，此时0∆>，所以43OEFS ，即OEF 的面积的最大值为【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

2023-2024学年青海省西宁市城西区高二上册12月月考数学模拟试题一、单选题1．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．本题考点为共轭复数，为基础题目．2．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，若BE =1xAA +y AB +z AD，则（）．A ．x ＝1，12y ＝，12z ＝－B ．x ＝1，12y ＝－，12z ＝C ．12x ＝，y ＝1，12z =-D ．12x ＝－，y ＝1，12z ＝【正确答案】B【分析】利用空间向量的加减及数乘运算法则进行计算，解决空间向量基本定理问题.【详解】由题意得：()11111111112BE BB B A A E AA AB A B A D =++=-++1111112222AA AB AB AD AA AB AD =-++=-+ ，所以111,,22x y z ==-=故选：B3．设非零向量a ，b满足a b a b +=- ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．a b> 【正确答案】A【详解】由a b a b +=- 平方得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故选A.本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为．A ．1415B ．115C ．29D．【正确答案】A【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求(P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，所以232101(15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A.本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.5．已知向量()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，则有（）．A ．23a c b=- B ．a b c+= C ．()b a c⊥- D ．a b b c c a⋅=⋅=⋅ 【正确答案】C【分析】对于A ，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解；对于B ，利用向量的摸的坐标表示即可求解；对于C ，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解；对于D ，利用向量的数量积的坐标运算即可求解.【详解】对于A ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以242,0,33b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2140,1,33c b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，所以23a c b ≠- ，故A 不正确；对于B ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =-，所以1,a ==b == ，c == ，所以a b c +≠ ，故B 不正确；对于C ，因为()0,1,0a = ，()2,1,3c =- ，所以()2,0,3a c -=-，又()3,0,2b = ，所以()()3200320b a c ⋅-=⨯-+⨯+⨯= ，即()b ac ⊥-，故C 正确.对于D ，因为()0,1,0a = ，()3,0,2b = ，()2,1,3c =- ，所以0310020a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，()3201230b c ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，()2011301c a ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以a b b c c a ⋅=⋅≠⋅，故D 不正确.故选：C.6．已知sin cos αα-=α∈(0,π)，则tan α=A ．-1B ．2C ．2D ．1【正确答案】A 【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα=1tan α∴=-故选A 7．曲线2122y x =+在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为（）A ．34πB ．4πC ．23πD ．3π【正确答案】A【分析】根据导数的几何意义得到点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.【详解】=y x '，所以在点51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的斜率为-1，倾斜角为34π.故选：A.8．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=【正确答案】A【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A9．四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在线段OC 上，且2OM MC =，N 为BA 中点，则MN为（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．112223a b c+-r r r D ．221332a b c++ 【正确答案】C【分析】利用空间向量的线性运算及空间向量基本定理，结合图像即可得解.【详解】解：根据题意可得，()2111232223MN MO ON OC OA OB a b c =+=-++=+-.故选：C.10．椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．,12⎤⎢⎥⎣⎦B．⎣⎦C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎣⎦【正确答案】B【分析】确定四边形1AFBF为矩形，得到1π4e α=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据三角函数的性质得到离心率范围.【详解】设椭圆右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，AF BF ⊥，则四边形1AFBF 为矩形，则12sin 2cos 2AF AF AF BF c c a αα+=+=+=，故11πsin cos 4e ααα=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，ππ124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,，则ππ32π,4α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，πsin ,142α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，23e ∈⎣⎦.故选：B.11．已知a<0，若直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，则它们之间的距离为（）A．4B．2CD4【正确答案】A【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．【详解】解：直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行，()120a a ∴+-=，解得2a =-或1a =，又a<0，所以2a =-，当2a =-时，直线1:2210l x y -+=与直线2:2280l x y -+=距离为4=.故选：A12．若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（）A ．(-⋃B ．(-C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-【正确答案】A【分析】将问题转化为圆22()(1)4x a y -+-=与221x y +=相交，从而可得2121-<+，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】到点(,1)a 的距离为2的点在圆22()(1)4x a y -+-=上，所以问题等价于圆22()(1)4x a y -+-=上总存在两个点也在圆221x y +=上，即两圆相交，故2121-<+，解得0a -<<或0a <<所以实数a 的取值范围为(-⋃，故选：A ．二、填空题13．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________.【正确答案】220x y +-=【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--，∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故220x y +-=．14．过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【正确答案】1x =或3450x y -+=【分析】当直线斜率不存在时，可得直线:1l x =，分析可得直线与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，设斜率为k ，可得直线l的方程，由题意可得圆心到直线的距离1d r ==，即可求得k 值，综合即可得答案.【详解】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ==，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故1x =或3450x y -+=15．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF △的周长是___.【正确答案】16根据椭圆的定义求解．【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故16．16．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d =，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．三、解答题17．已知直线12:310,:(2)0l ax y l x a y a ++=+-+=．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12l l //时，求直线1l 与2l 之间的距离．【正确答案】（1）32a =；（2【分析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a 的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线1l 与2l 之间的距离.【详解】（1）由12l l ⊥知3(2)0a a +-=，解得32a =．（2）当12l l //时，有(2)303(2)0a a a a --=⎧⎨--≠⎩，解得3a =．此时12:3310,:30l x y l x y ++=++=，即233:90x y l ++=，则直线1l 与2l 之间的距离d =本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值【正确答案】（1）B =60°（2）a c ==【详解】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别为1AD 、1CD 中点.(1)求证：EF BD ⊥;(2)求两异面直线BD 与1CD 所成角的大小.【正确答案】(1)见解析(2)3π【分析】（1）利用向量乘积为0证明即可；（2）利用向量法求异面直线所成的角.【详解】（1）如图,建立空间直角坐标系D xyz -则(0,0,0),(2,2,0),(1,0,1),(0,1,1)D BEF (1,1,0),(2,2,0)EF BD =-=--因为2200EF BD ⋅=-+=所以EF BD ⊥,即EF BD⊥（2）11(0,2,0),(0,0,2),(0,2,2)C D CD =-1111cos ,2||BD CD BD CD BD CD ⋅==设异面直线BD 与1CD 所成角为θ,则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以3πθ=,即异面直线BD 与1CD 所成角的大小为3π20．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BC ＝2CC 1＝2，点E 是DC的中点．(1)求点D 到平面AD 1E 的距离；(2)求证：平面AD 1E ⊥平面EBB 1．【正确答案】(2)证明过程见解析.【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面1D AE 的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；（2）利用空间向量的数量积为0证明出1,EA EB EA BB ⊥⊥，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直.【详解】（1）以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,2,0,1,2,1D A E D B B ，设平面1D AE 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,1,0,10,,1,1,00m D A x y z x z m EA x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，令1x =得：1,1y z ==，所以()1,1,1m = ，则点D 到平面AD 1E 的距离为DA m d m⋅= ；（2）()()11,1,0,0,0,1EB BB == ，所以()()1,1,01,1,0110EA EB ⋅=-⋅=-= ，()()11,1,00,0,10EA BB ⋅=-⋅= ，所以1,EA EB EA BB ⊥⊥，因为1EB BB B =，1,EB BB ⊂平面1EBB ，所以EA ⊥平面1EBB ，因为EA ⊂平面1D AE ，所以平面1D AE ⊥平面1EBB .21．某企业为了了解职工对某部门的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分的中位数与平均值；(3)从评分在[)40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)40,50的概率.【正确答案】(1)0.006a =；(2)中位数为5357，均值为76.2；(3)110【分析】（1）根据频率和为1可求频率分布直方图中a 的值;（2）根据组中值可求平均值，根据前3组、前4组的频率和可求中位数.（3）利用古典概型的概率计算公式可求概率.【详解】（1）由直方图可得(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，故0.006a =.（2）由直方图可得平均数为(0.004450.006550.018950.022650.022850.02875)1076.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.前3组的频率和为0.0040.0060.022)100.32++⨯=，前3组的频率和为0.0040.0060.0220.028)100.6+++⨯=，故中位数在[)70,80，设中位数为x ，则700.320.280.510x -+⨯=，故5357x =.故中位数为5357.（3）评分在[)40,60的受访职工的人数为()0.0040.00610505+⨯⨯=，其中评分在[)40,50的受访职工的人数为2，记为,a b在[)50,60的受访职工人数为3，记为,,A B C ，从5人任取2人，所有的基本事件如下：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a A a B a C b A b B b C A B A C B C ，基本事件的总数为10，而2人评分都在[)40,50的基本事件为{},a b ，故2人评分都在[)40,50的概率为110.22．如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是,A B ，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线:1l x ty =-恒过定点F 且交椭圆于,D E 两点，F 为OA 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)记BDE △的面积为S ，求S 的最大值.【正确答案】(1)2214x y +=(2)2【分析】（1）由直线过定点坐标求得a ，再由椭圆所过点的坐标求得b 得椭圆方程；（2）设()()1122,,,E x y D x y ，直线l 方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得12122223,44t y y y y t t +==-++，计算弦长DE ，再求得B 到直线l 的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值．【详解】（1）由题意可得，直线:1l x ty =-恒过定点(1,0)F -，因为F 为OA 的中点，所以||2OA =，即2a =.因为椭圆C经过点1,⎛ ⎝⎭，所以2222112b ⎛ ⎝⎭+=，解得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y D x y .由22441x y x ty ⎧+=⎨=-⎩得()224230,0t y ty +--=∆>恒成立，则12122223,44t y y y y t t +==-++，则||ED ===又因为点B 到直线l 的距离d =所以11||22S ED d =⨯⨯==令m =26611m m m m==++，因为1y m m=+，m 时，2110y m'=->，1y m m =+在)m ∈+∞上单调递增，所以当m时，min 13m m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，故max 2S =.即S的最大值为方法点睛：本题求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值．。

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．如图，在平行六面体中，是与的交点，若，1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB a=，，且，则等于（ ）AD b = 1AA c =MB xa yb zc =++ x y z ++A ．B ．C ．D ．112-01-【答案】D【分析】以为一组基底可表示出，从而求得的值，进而得到结果.{},,a b cMB ,,x y z 【详解】()1111111111222MB MB B B D B AA DB AA AB AD AA =+=-=-=--，111112222AB AD AA a b c =--=--，，，.12x ∴=12y =-1z =-1x y z ∴++=-故选：D.2．已知向量共面，则实数的值是（ ）()()()2,1,3,1,3,2,1,,1a b c t =-=-=-t A ．1B ．C ．2D ．1-2-【答案】C【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可.【详解】因为共面，所以存在，使得，,,a b c ,x y ∈R c xa yb =+整理得，解得.()()1,,12,3,32t x y x y x y -=--++1,1,2x y t =-==故选：C.3．已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为ABC ()5,3,2A ()1,1,3B -()1,3,5C --BC（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求得的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案.BC 【详解】由题意，，，可得的中点坐标为，()5,3,2A ()1,1,3B -()1,3,5C --BC ()0,2,4D -所以边上的中线长为，BC AD ==故选：B.4．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若C 2212x y +=1F 2F 2F l的方程是（ ）1ABF l A ．或B ．或1133y x =-1133y x =-33y x =-33y x =-C ．或D ．或1122y x =-1122y x =-22y x =-22y x=-【答案】D【分析】由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，结合椭圆定义，可以求出的面积，1ABF 1ABF 设直线的方程为，与椭圆方程联立，可以将的面积以表示，以面积建立l 1x my =+1ABF m 1ABF 方程，即可解出，求出直线的方程.m l 【详解】设内切圆的圆心为，半径为，1ABF M r，∴，2πr=r =111ABF MAB MAF MBF S S S S =++ 11111222AB r AF r BF r =++()1112AB AF BF r =++由椭圆的定义知，114AB AF BF a ++==∴1ABF S = ()1112AB AF BF r =++12=⨯=∵由已知，，，()11,0F -()21,0F 易知直线的斜率不为，∴设直线的方程为：，l 0l 1x my =+，消去，化简，得，22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x ，()222210my my ++-=，()222442880m m m ∆=++=+>设，，()11,A x y ()22,B x y 则，，12222my y m +=-+122102y y m =-<+112121211221122ABF AFF BF F S S S F F y F F y =+=+ 121212=-F F y y122=⨯===解得，∴，214m =12m =±∴直线的方程为：，即或.l 112x y =±+22y x =-22y x =-故选：D.【点睛】本题解题关键在的面积，以两种形式将三角形表示出来，即可求出直线方程.1ABF 1ABF 5．已知抛物线的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段与y 轴交于2:2(0)C y px p =>MF 点A ，与抛物线C 交于点B ，若，则（ ）||3||3MA AB ==p =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题知点A 为的中点，结合已知得，过点B 作，由MF ||6,||2,||4MF BF BM ===BQ l ⊥抛物线的定义即可求解.【详解】设l 与x 轴的交点为H ，由O 为中点，知点A 为的中点，FH MF 因为，所以．||3||3MA AB ==||6,||2,||4MF BF BM ===过点B 作，垂足为Q ，则由抛物线的定义可知，BQ l ⊥||||2BQ BF ==所以，则，所以．||2||BM BQ =||2||6MF FH ==||3p FH ==故选：C6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则F 2y x =,,A B C F ABC （ ）AF BF CF ++=A ．B ．C ．D ．121322【答案】C【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.F 【详解】由抛物线方程知：；1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设，，，()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y 则；()12312311134444AF BF CF x x x x x x ++=+++++=+++为的重心，，则，F ABC 123134x x x ++∴=12334x x x ++=.333442AF BF CF ∴++=+=故选：C.7．已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）:40l x y +-=P P 221x y +=A B C ．D ．1-【答案】A【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距P 离的最小值即可.【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离221x y +=()0,0O 1r =O l d==设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为m 22211m OP OP =-=-mOP d =故m ==故选：A.8．在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值ABC M BC P2PA PM =PAPB为（ ）A ．BCD 1【答案】D【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设边长为，由向量坐标运算可表示出点M ABC 2P 轨迹，利用两点间距离公式可得；当时，可求得；当222241PA PM PB PB=12x =-2PAPB =时，令的几何意义，利用直线与圆的位置关系可求得的范围，进而得到12x ≠-t =t t 最小值；综合两种情况可得结果.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系，M ,MC MA,x y 不妨设正三角形的边长为，则，，，ABC 2(A ()0,0M ()1,0B -设，则，，(),P xy (222PA x y =+222PMx y =+，，2PA PM = 224PA PM ∴=，即；(222244x y xy∴+=+2210x y y +-=点轨迹为：，P∴()22403x y y ⎛+=> ⎝；()()()222222222222224444212111x y x y PA PM x PB PB x y x x y x y ++=====++++++++1=当时，，；12x =-224PA PB =2PA PB ∴=当时，令，则表示与连线的斜率，12x≠-t =t (),P x y 12⎛- ⎝设直线与圆相切，12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2243x y ⎛+=⎝则圆心到直线距离，解得：d k =k =，),t ⎛∴∈-∞+∞ ⎝ 则当取得最小值，t =22PA PB 34min PA PB ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭综上所述：.PAPB 故选：D.二、多选题9．已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与M ()2222x y ++=l 20x y +-=P l PA PB 圆相切于点.则下列说法正确的是（ ）M ,A B A ．四边形的面积的最小值为PAMBB ．最小时，弦PA AB C ．最小时，弦所在直线方程为PAAB 10x y +-=D ．直线过定点AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】利用AB ；设，，1222PAM S S PA r ==⨯⋅= ()11,A x y ()22,B x y ，利用两条切线方程联立得到直线关于的方程，求出最小时点坐标代入00(,)P x y AB 00(,)P xy PAP即可判断C ；由含参直线方程过定点的求法计算D 即可.【详解】由圆的方程知：圆心，半径()2,0M-r =对于AB ，四边形的面积PAMB 1222PAM S S PA r ==⨯⋅=则当最小时，四边形的面积最小，PAPAMB 点到直线的距离，所以，Ml dmin PA ==此时A 正确；min S =又，所以此时，B错误；111222PAMS PA r PM AB =⋅=⋅ =对于C ，设，，，()11,A x y ()22,B x y 00(,)P x y 则过作圆的切线，切线方程为：，A ()()11222x x y y +++=过作圆的切线，切线方程为：，B ()()22222x x y y +++=又为两切线交点，所以，P 10102020(2)(2)2(2)(2)2x x y y x x y y +++=⎧⎨+++=⎩则两点坐标满足方程：，,A B ()()00222x x y y +++=即方程为：；AB ()()00222x x y y +++=当最小时，，所以直线方程为：，PAPM l ⊥PM 2y x =+由得，即，220y x x y =+⎧⎨+-=⎩02x y =⎧⎨=⎩()0,2P所以方程为：，即，C 错误AB ()2222x y ++=10x y ++=对于D ，由C 知：方程为：；AB ()()00222x x y y +++=又，即，0020x y +-=002y x =-所以方程可整理为：，AB ()022220x y x x y -++++=由得，所以过定点，D 正确.202220x y x y -+=⎧⎨++=⎩3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AB 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：AD 10．已知正方体，棱长为1，分别为棱的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -,E F 1,AB CC A ．直线与直线共面B ．1AD EF 1A E AF⊥C ．直线与直线的所成角为D ．三棱锥的体积为1A E BF 60︒1C ADF -112【答案】BD【分析】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，对于A ，D 1,,DA DC DD ,,x y z 利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B ，通过计算进行判断，对于C ，利用向1A E AF⋅量的夹角公式求解，对于D ，利用求解.11C ADF A C DFV V --=【详解】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，则D 1,,DA DC DD ,,x y z ，，(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D A B C 1111(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)D A B C ，111,,0,0,1,22E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，假设直线与直线共面，因为平面∥平面，平面平面1AD EF 11ABB A 11DCC D 1AEFD ，平面平面，11ABB A AE =11DCC D 111ABB A D F =所以∥，AE 1D F 因为∥，所以∥，矛盾，所以直线与直线不共面，所以A 错误；AE 11C D 11C D 1D F 1AD EF 对于B ，因为，11101,1,1,22A E AF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以，所以，所以，所以B 正确，1110022A E AF ⋅=+-= 1A E AF ⊥ 1A E AF ⊥对于C ，设直线与直线的所成角为，因为，1A E BF θ11101,1,0,22A E BF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，所以，121cos cos ,52A E θ==≠ 所以，所以C 错误，60θ≠︒对于D ，因为平面，AD ⊥11DCC D 所以，所以D 正确，1111111111332212C ADF A C DF C DF V V S AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=故选：BD.11．如图，正方体的棱长为2，E 是的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1DDA ．11B C BD ⊥B ．点E 到直线的距离为1BC C ．直线与平面所成的角的正弦值为1B E 11B C C 23D ．点到平面的距离为1C 1B CE 23【答案】AC【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.A 【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，A 则，()()()()()()1112,0,0,2,2,0,0,2,1,2,0,2,0,2,2,2,2,2B C E B D C ，()()110,2,2,2,2,2B C BD =-=-则，所以，故A 正确；110440B C BD ⋅=+-=11B C BD ⊥，则()12,2,1B E =--111111cos ,B E BC B E B C B E B C ⋅===所以，1sin CB E ∠=所以点E 到直线的距离为B 错误；1B C 11sin B E CB E ∠=因为平面，所以即为平面的一条法向量，11C D ⊥11B C C ()112,0,0D C =11B C C 则直线与平面所成的角的正弦值为，故C 正确；1B E 11B C C 11111111142cos ,233D C BE D C B E D C B E ⋅===⨯ ()10,0,2CC =设平面的法向量为，1B CE (),,n x y z =则有，可取，11220220n B C y z n B E x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩()1,2,2n =则点到平面的距离为，故D 错误.1C 1BCE 143CC n n⋅=故选：AC.12．已知点F 为椭圆C ：，的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两22221x y a b +=()0a b >>点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 的斜率分别为，，椭圆的离心率为e ，1k 2k 若，，则（ ）2PF QF=23PFQ π∠=A ．B ．C ．D．e =e =12916k k =-1223k k =-【答案】BD【分析】设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理得到关系，则离心率可求，设F ',a c 出坐标，利用点差法可求得的表示，结合关系可求解出的值.,P M 12k k ⋅,a c 12k k 【详解】连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由PF QF ''，PFQF '||QF PF='，可得,120PFQ ︒∠=60FPF '︒∠=所以,则.||32PF PF PF a''+==24,||33PF a PF a '==由余弦定理可得，22222164421(2)||2||cos 60299332c PF PF PF PF a a a a ''︒=+-⋅=+-⨯⋅⋅化简得，故，所以2213c a =213e =e =设，则，()()0011,,,M x y P x y ()010111120101,y y y y Q x y k k x x x x -+--==-+，，所以，又，相减可得因为，220101011222010101y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-22220011222211x y x y a b a b +=+=，2220122201y y b x x a -=--2213c a =所以，，所以.22213a b a -=2223a b ∴=1223k k =-故选：BD.【点睛】解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线(不与焦点所在轴重合)与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.三、填空题13．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，与圆：2:8M x y =:2l y kx =+A D 交于，两点（，在第一象限），则的最小值为_______．22:430N x y y +-+=B C A B ||2||AC BD +【答案】9+9【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得0k =0k ≠111||||2AF DF +=，再利用基本不等式求其最小值.||2||||2||3AC BD AF DF +=++【详解】因为抛物线M 的方程为，28x y =所以抛物线M 的焦点为，准线，(0,2)F =2y -则直线过抛物线的焦点F ，2y kx =+当时，联立与可得，0k =2y =28x y =4x =±所以，则；||||4AF DF ==111||||2AF DF +=当时，如图，0k ≠过作轴于K ，设抛物线的准线交y 轴于E ，A AK y ⊥则，||||||EK EF FK =+||cos ||p AF AFK AF =+∠=得，||1cos pAF AFK =-∠则，11cos ||AFKAF p -∠=同理可得，11cos ||AFK DF p +∠=所以，1121||||2AF DF p +==化圆N ：为，则圆N 的圆心为F ，半径为1，22430x y y +-+=22(2)1x y +-=||2||AC BD +=||12(||1)AF DF +++||2||3AF DF =++2(||2||)AF DF =+113||||AF DF ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭||2||233||||AF DF DF AF ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当且时等号成立，233⎛≥++⎝9=+||||AF DF =111||||2AF DF +=即，2DF =2AF =+所以的最小值为．||2||AC BD+9+故答案为：9+14．已知曲线C 的方程为，则下列说法中：221+-=x y xy ①曲线C 关于原点中心对称；②曲线C 关于直线对称；y x =-③若动点P 、Q 都在曲线C 上，则线段的最大值为PQ④曲线C 的面积小于3．所有正确的序号是__________________．【分析】对于①②：根据对称理解运算即可判断；对于③④：根据椭圆定义可知曲线C 为椭圆，结合椭圆性质分析即可求解.【详解】对①：∵曲线C 的上任一点关于原点的对称点为，(),A x y (),A x y '--则，即在曲线C 上，()()()()22221x y x y x y xy -+----=+-=A '∴曲线C 关于原点中心对称，①正确；对②：∵曲线C 的上任一点关于直线的对称点为，(),B x y y x =-(),B y x '--则，即在曲线C 上，()()()()22221y x y x x y xy -+----=+-=B '∴曲线C 关于直线对称，②正确；y x =-∵，则，221+-=x y xy ()()2243x y x y -++=∴，即，()24x y +≤22x y -≤+≤又∵，即，221+-=x y xy ()213x y xy +-======，()x y +⎤=⎦，()x y =++⎤⎦则曲线C 的上任一点到的距离之和为：(),P x y ,M N ⎛ ⎝()()x y x y ⎤⎤=⎦⎦++∴曲线C 表示以为焦点且的椭圆，则，,M N a c ==b ==对③：则线段的最大值为③正确；PQ2a =对④：则曲线C 的面积，④错误；3S ab π==>15．已知､分别在直线与直线上，且，点，P Q 1:10l x y -+=2:10l x y --=1PQ l ⊥()4,4A -，则的最小值为___________.()4,0B AP PQ QB++【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.AP QB+【详解】由直线与作直线垂直于，如图，1l 2l ()4,0B l 1:10l x y -+=则直线的方程为：，将沿着直线个单位到点，有，l 4y x =-+()4,0B l B '()3,1B '连接交直线于点P ，过P 作于Q ，连接BQ ，有，即四边形AB '1l2⊥PQ l //,||||BB PQ BB PQ ''=为平行四边形，BB PQ '则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最||||PB BQ '=||AP QB AP PB AB ''+=+=AB '1l ,A B '小值，因此的最小值，即的最小值，而，AP QB+AP PB '+AB '=所以的最小值为AP PQ QB++【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.16．在正三棱柱中，，，D ，E 分别为棱，的中点，F 是线段111ABC A B C -2AB =14AA =1AA 11A B 上的一点，且，则点到平面的距离为______．1BC 12FC BF =C DEF【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用向量的数量积运算求出平面的法向量与，再DEF CD利用空间向量法即可求得点到平面的距离.C DEF 【详解】记的中点为，连结，过作，如图，AC O BO O 1//OG AA 根据题意，易知两两垂直，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，,,OB OC OG O ,,OB OC OG ,,x y z则))()()()()111,4,0,1,0,0,1,4,0,1,0,0,1,4,BB C C A A --故，，，()10,1,2,,42D E ⎫--⎪⎪⎭())1,2,0,0,2,2DE DA AB ⎫==-=⎪⎪⎭()14BC =因为，所以，12FC BF =())()10,0,243DF DA AB BF =++=-++42,33⎫=-⎪⎪⎭设平面的一个法向量为，则，即，DEF (),,n x y z = 00DE n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩120242033x y z y z ++=+-=令，则，故，x =-5,1y z ==()n =-又，()0,2,2CD =-所以点到平面.CDEF..四、解答题17．如图，在三棱柱中，为111ABC A B C -112,AB AC BC AA A C =====1A B =M 的中点，点是上一点，且.11B C N 11C A 113C N NA =(1)求点A 到平面的距离；1A BC (2)求平面与平面所成平面角的余弦值.1BCC AMN【答案】【分析】（1）取的中点，连接，以为原点，分别为轴，为轴，建AC O 1,BO A O O ,OB OC ,x y Oz z 立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.（2）利用空间向量法求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：AC O 1,BO A O因为112,AB AC BC AA A C ====所以，，OB AC ⊥1A O AC ⊥所以.OB ==11A O ==以为原点，分别为轴，为轴，建立空间直角坐标系，O ,OB OC ,x y Oz z ，，，设，()0,1,0A-)B()0,1,0C ()1,0,A x z 则，，11A O==1A B == x =12z =即.112A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，112A B ⎫=-⎪⎭ ()BC =设平面的法向量为，1A BC ()111,,m x y z =则，令，即.111111020m A B z m BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩1x =113,9y z ==)m =，设点A 到平面的距离为，()0,2,0AC =1A BCd 则AC m d m⋅===（2），，()BC=1112CC AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量为，1BCC ()222,,x n y z =则，令，解得，2212220102n BC y n CC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 2x =223,3y z ==-即.)3n =-设，则，，()1333,,C x yz 113331,2A C x y z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()0,2,0AC= 因为，解得.11A C AC = 112,2C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭设，则，，()1444,,B x yz 114441,2A B x y z ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ )AB = 因为，解得.11A B AB = 112B ⎫⎪⎪⎭因为点为的中点，所以，.M 11B C 310,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭510,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭.()11111111310,2,0,42422AN AA A N AA A C ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设平面的法向量为，AMN ()555,,p x y z =则，令，解得，555553102251022p AN x y z p AM y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ 51y=555x z ==-即.5p ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，cos ,n p n p n p⋅===⋅因为平面与平面所成平面角为锐角，1BCC AMN 所以平面与平面1BCC AMN 18．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，11//A D B C//ME NDMNDE进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；//MN DE （2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C1C CDE -1C DE ∆11C CDE C C DE V V --=到平面的距离，得到结果.1C DE【详解】（1）连接，ME 1B C，分别为，中点 为的中位线M E 1BB BC ME ∴1B BC ∆且1//ME B C ∴112ME B C =又为中点，且 且N 1A D 11//A D B C 1//ND B C ∴112ND B C = 四边形为平行四边形//ME ND ∴∴MNDE ，又平面，平面//MN DE ∴MN ⊄1C DE DE ⊂1C DE平面//MN ∴1C DE（2）在菱形中，为中点，所以，ABCD E BC DE BC ⊥根据题意有，，DE =1C E =因为棱柱为直棱柱，所以有平面，DE ⊥11BCC B所以，所以，1DE EC ⊥112DEC S ∆=设点C 到平面的距离为，1C DE d根据题意有，则有，11C CDEC C DEV V --=1111143232d ⨯=⨯⨯解得d ==所以点C 到平面.1C DE【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．1111ABCD A B C D -,E F 11,DD BB 12DE ED =12BF FB =（1）证明：点在平面内；1C AEF （2）若，，，求二面角的正弦值．2AB =1AD =13AA =1A EF A --【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平1C E 1C F 1AEC F 1C 面内；AEF （2）方法一：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐1C 11C D 11C B 1C C x y z 标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角1C xyz -1A EF A --的正弦值.1A EF A --【详解】（1）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、、、，如图1所示.1CC G 112C G CG=DG FG 1C E 1C F在长方体中，，所以四边形为平行四边形，则1111ABCD A B C D -//,BF CG BF CG =BCGF ，而，所以，所以四边形为平行四//,BC FG BC FG =,//BC AD BC AD =//,AD FG AD FG =DAFG 边形，即有，同理可证四边形为平行四边形，，，因此点//AF DG 1DEC G 1//C E DG ∴1//C E AF ∴在平面内.1C AEF ［方法二］：空间向量共线定理以分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图2所示．11111,,C D C B C C 设，则．11111,,3C D a C B b C C c ===1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c 所以．故．所以，点在平面内．1(,0,2),(,0,2)C E a c FA a c == 1C E FA =1AF C E ∥1C AEF ［方法三］：平面向量基本定理同方法二建系，并得，1(0,0,0),(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c F b c A a b c 所以．111(,0,2),(0,,),(,,3)C E a c C F b c C A a b c === 故．所以点在平面内．111C A C E C F =+1C AEF ［方法四］：根据题意，如图3，设．11111,2,3A D a A B b A A c ===在平面内，因为，所以．11A B BA 12BF FB =1111133B F B B A A ==延长交于G ，AF 11A B 平面，AF ⊂AEF 平面．11A B ⊂1111D C B A ，11,G AF G A B ∈∈所以平面平面①．∈G ,AEF G ∈1111D C B A 延长交于H ，同理平面平面②．AE 11A D H ∈,AEF H ∈1111D C B A 由①②得，平面平面．AEF ⋂1111A B C D GH =连接，根据相似三角形知识可得．11,,GH GC HC 11,2GB b D H a ==在中，11Rt C B G 1C G =同理，在中，11Rt C D H 1C H =如图4，在中，1Rt A GH GH =所以，即G ，，H 三点共线．11GH C G C H =+1C 因为平面，所以平面，得证．GH ÌAEF 1C ⊂AEF ［方法五］：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O ，则O 为11,,DF EB DB 1DEB F 1DB EF 的中点．联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即1,EF DB 1AC ，则经过点O ，故点在平面内．11AC B D O = 1AC 1C AEF（2）［方法一］【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐1C 11C D 11C B 1C C x y z 标系，如图2.1C xyz -则、、、，()2,1,3A ()12,1,0A ()2,0,2E ()0,1,1F ，，，，()0,1,1AE =--()2,0,2AF =--()10,1,2A E =-()12,0,1A F =-设平面的一个法向量为，AEF ()111,,m x y z =由，得取，得，则，00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩11z =-111x y ==()1,1,1m =- 设平面的一个法向量为，1A EF ()222,,n x y z =由，得，取，得，，则，1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩22z =21x =24y =()1,4,2n =cos ,m n m n m n⋅<>===⋅设二面角的平面角为，则，1A EF A --θcossin θ∴==因此，二面角1A EF A --［方法二］：定义法在中，，即，所以．在AEF △AE AF EF ====222AE EF AF +=AE EF ⊥中，，如图6，设的中点分别为M ，N ，连接，则1A EF 11A E A F ==,EF AF 11,,A M MN A N，所以为二面角的平面角．1,A M EF MN EF ⊥⊥1A MN ∠1A EF A --在中，1A MN11MN A MA N ====所以，则1cosA MN ∠==1sin A MN ∠==［方法三］：向量法由题意得11AE AF A F A E EF =====由于，所以．222AE EF AF +=AE EF ⊥如图7，在平面内作，垂足为G ，1A EF 1A G EF ⊥则与的夹角即为二面角的大小．EA 1GA1A EF A --由，得．11AA AE EG GA =++ 22221111222AA AE EG GA AE EG EG GAAE GA =++++⋅⋅+⋅ 其中，，解得，1EG AG ==11AE GA ⋅=1cos ,AE GA 〉〈=所以二面角．1A EF A --［方法四］：三面角公式由题易得，11EA FA FEEA FA =====所以．2221111cos 2EA EA AA AEA EA EA +-∠===⋅．222cos 0,sin 12EA EF AF AEF AEF EA EF +-∠===∠=⋅22211111cos 2EA EF A F A EF A EF EA EF +-∠===∠=⋅设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得θ1A EF A --，所以111cos cos cos cos sin sin AEA AEF A EF AEF A EF θ∠-∠⋅∠===∠⋅∠sin θ=【整体点评】（1）方法一：通过证明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路1//C E AF 直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出．（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．20．已知双曲线C ：与x 轴的正半轴交于点M ，动直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，221x my -=当l 过双曲线C 的右焦点且垂直于x 轴时，，O 为坐标原点．54OA OB ⋅=(1)求双曲线C的方程；(2)若，求点M 到直线l 距离的最大值．90AMB ∠=︒【答案】(1)；2221x y -=(2)2【分析】（1）由双曲线方程求得右焦点，则可求出l 过双曲线C 的右焦点且垂直于x 2F ⎫⎪⎪⎭轴时的A ，B 两点坐标，由及数量积的坐标运算即可解出m ，得到双曲线方程；54OA OB ⋅=（2）由得，分别讨论直线斜率存在、不存在的情况，当斜率不存在时，90AMB ∠=︒0MA MB ⋅=设，直接求出交点，结合数量积运算可解出，即可得点M 到直线l 距离；当斜率存在时，x x =0x 设，联立双曲线方程，结合韦达定理及数量积运算可得与b 的关系，即可结合点线距离y kx b =+k 公式进一步讨论距离范围.【详解】（1）由曲线为双曲线得，双曲线标准形式为，故，0m >2211y x m -=222111,,1a b c m m ===+右焦点，，2F ⎫⎪⎪⎭()1,0M 当，故，x=1ym =±11,A B m m ⎫⎫-⎪⎪⎪⎪⎭⎭由得，54OA OB ⋅=()2211512024m m m m +-=⇒-=⇒=故双曲线C 的方程为；2221x y -=（2）由得，90AMB ∠=︒0MA MB ⋅=i.当直线斜率不存在时，设为，联立得，故当才有两个交点，此0x x =2221x y -=2212x y -=01x >时，，解得00,,A x B x ⎛⎛ ⎝⎝()()()2200001101302M x A B x x M x ---=⇒--⋅==或（舍）.03x =01x =故点M 到直线l 距离为2；ii.当直线斜率存在时，设为，联立得，y kx b =+2221x y -=()222124210kxkbx b ----=故当（*）才有两个交点，()()()222222211202Δ44122102210k k kb k b b k ⎧⎧-≠≠⎪⎪⇒⎨⎨=----->⎪⎪⎩-+>⎩设，则，()()1122,,,A x y B x y 2121222421,1212kb b x x x x k k ++==---故，即，()()1212110x M x B y A y M -⋅=-+=()()()2212121110k x x kb x x b ++-+++=即 ，整理得，得或.()()2222221411101212b kbk kb b k k +-++-++=--()()30k b k b ++=3b k =-b k =-①当时，直线l 为过与M 重合，不合题意；b k =-()1y k x =-()1,0②当时，代入（*）可得时有两个交点，3b k =-212k ≠∴点M 到直线l .2=<综上，点M 到直线l 距离的最大值为2.【点睛】关键点点睛：（1）根据直线与圆锥曲线的交点个数，注意讨论个数成立的条件；（2）结合韦达定理可以表示，即可进一步求出直线系数间的关系.MA MB ⋅21．已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：M ，N ，F 三点MN 222(0)x y b x +=>共线的充要条件是||MN =【答案】（1）；（2）证明见解析.2213x y +=【分析】（1）由离心率公式可得，即可得解；a =2b （2充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合():,0MN y kx b kb =+<221b k =+，即可得解.=1k =±【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==a =又，所以椭圆方程为；2221b a c =-=2213x y +=（2）由（1）得，曲线为，221(0)x y x +=>当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；MN :1MN x =当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M xy N x y 必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kxy -=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y xx y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅=,=所以必要性成立；充分性：设直线即，():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以，2121222633,1313kbb x x x x k k-+=-⋅=++==化简得，所以，()22310k -=1k =±所以，所以直线，1k b=⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；MN F 所以M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.22．在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为xOy 1)212(F F ．12F F （1）求椭圆C及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于两点．若l 的方程．,A B OAB【答案】（1），；（2）①；②2214x y +=223x y +=y =+【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；②先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为，()12,F F 可设椭圆C 的方程为．又点在椭圆C 上，22221(0)x y a b a b +=>>12⎫⎪⎭所以，解得2222311,43,ab a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为．2214x y +=因为圆O 的直径为，所以其方程为．12F F 223x y +=（2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算①设直线l 与圆O 相切于，则，()0000,(0,0)P x y x y >>22003x y +=所以直线l 的方程为，即．()0000x y x x y y =--+0003x y x y y =-+由，消去y ，得（*），22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩()222200004243640x y x x x y +-+-=因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以．()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=因为，所以，因此，点P 的坐标为．00,0x y >001x y ==②因为三角形OAB，所以，从而．12AB OP ⋅=AB=设，由（*）得()()1122,,,A x y B x y 1,2x =所以．()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭+因为，所以，即，22003x y +=()()22022016232491x AB x -==+42002451000x x -+=解得舍去），则，因此P 的坐标为．22005(202x x ==2012y =综上，直线l 的方程为．y =+［方法二］： 圆的参数方程的应用设P 点坐标为．π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为原点到直线，所以与圆O 切于点P 的cos sinx y αα+=d r===直线l 的方程为cossin x y αα+=由消去y ，得．22cos sin 1,4x y x yαα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22213cos )124sin 0x x ααα+-+-=①因为直线l 与椭圆相切，所以．()()22Δ16cos 23cos 20αα=-⋅--=因为，所以，故．π0,2α⎛⎫∈⎪⎝⎭cos (0,1)α∈cos α=sin α=所以，P 点坐标为．②因为直线O 相切，所以中边，因为的:cos sin lx y αα+=OABAB r =OAB ，所以．||AB =设，由①知()()1122,,,A x y B x y 22121222124sin 84cos 13cos 13cos x x x x αααα-++===++，||AB===即，64218cos153cos235cos1000ααα-+-=即．()()()2226cos5cos13cos200ααα---=因为，所以，故，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(0,1)α∈25cos6α=cosαα==所以直线l的方程为y=+［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用设P点坐标为，则与圆O切于点P的直线l的参数方程为：π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（t为参数），πcos2πsin2x ty tαααα⎧⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩即（t为参数）．sincosx ty tαααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩代入，得关于t的一元二次方程．2214xy+=()()22213cos cos)89cos0t tαααα+++-=①因为直线l与椭圆相切，所以，，()()222Δcos)413cos89cos0αααα=-+-=因为，所以，故．π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos(0,1)α∈cosα=sinα=所以，P点坐标为．②同方法二，略．【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标，是该题的通性通P P法；方法二：①利用圆的参数方程设出点，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆)αα的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标；P P方法三：①利用圆的参数方程设出点，将直线的参数方程表示出来，根据直线)ααP P与椭圆的位置关系解出点的坐标；②根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点的坐标．。

2023-2024学年广东省佛山市顺德区高二上册12月月考数学试题一、单选题10y +=的倾斜角为（）A ．3πB ．6πC ．56πD ．23π【正确答案】D【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，0y +=得y =，所以tan k α==结合直线的倾斜角的范围即可求得α.【详解】设该直线的倾斜角为α，则tan α=，[)0,απ∈，解得23πα=.故选：D.2．已知圆C ：2286100x y x y +---=，则（）A ．圆C 的圆心坐标为()4,3--B ．圆C 的圆心坐标为()3,4C ．圆CD ．圆C 的半径为35【正确答案】C【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，得到圆心和半径，得到答案.【详解】因为圆C ：2286100x y x y +---=的标准方程为()()224335x y -+-=.所以其圆心坐标为()4,3ABD 错误，C 正确.故选：C3．甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为13，则最后甲获胜的概率是（）A ．1027B ．1627C ．2027D ．2627【正确答案】C【分析】分前两局甲均赢，和前两局甲赢一场，输一场，第三局赢，分别求出概率相加得到答案.【详解】因为乒乓球比赛的规则是三局两胜制（无平局），甲每局比赛获胜的概率都为23，若前两局甲均赢，则结束比赛，甲获得胜利，此时概率为224339⨯=，前两局甲赢一场，输一场，第三局甲赢，此时甲获得胜利，则概率为212122833333327⨯⨯+⨯⨯=，所以最后甲获胜的概率482092727P =+=.故选：C4．已知圆C ：2222420x y kx y k +-++-=和直线l ：()25130kx k y +--=，若圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，则k ＝（）A ．－2B ．12C ．2D ．12或2【正确答案】B【分析】根据圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，得到直线l 经过圆C 的圆心求解.【详解】解：因为圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，所以直线l 经过圆C 的圆心，圆C 的标准方程为()()221x k y -++243k k =-+，圆心(),1C k -，所以222520430k k k k ⎧-+=⎨-+>⎩，解得12213k k k k ⎧==⎪⎨⎪⎩或或，所以12k =.故选：B5．已知圆1C ：2224230x y x ay a +-+++=和圆2C ：22224410x y x ay a ++-+-=，则圆1C 与圆2C 的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距大于半径之和，得到两圆外切，故公切线条数为4.【详解】两圆的标准方程分别为()()2221x y a -++=和()()22122x y a ++-=，圆心分别为()12,C a -，()21,2C a -，半径分别为11r =，2r =圆心距123C C ==≥，故1212C C r r >+，所以圆1C 与圆2C 外离，所以圆1C 与圆2C 有4条公切线.故选：D6．如图所示，M 是四面体OABC 的棱BC 的中点，点N 在线段OM 上，点P 在线段AN 上，且3AP PN =，23ON OM = ，设OA a = ，OB b = ，OC c =，则下列等式成立的是（）A ．111444OP a b c=++ B ．1133AN a b c=++C ．311444AP a b c=-+- D ．1122OM b c=- 【正确答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则逐项进行计算即可判断.【详解】因()2211133233AN AO ON AO OM AO OB OC b c a =+=+=+⨯+=+-，所以选项B 错误；因()()3333231144443422AP AN AO ON a OM a b c ==+=-+⨯=-+⨯+311444a b c =-++.所以选项C 错误；因为()111222OM OB OC b c =+=+，所以选项D 错误.因为311111444444OP OA AP a a b c a b c ⎛⎫=+=+-++=++ ⎪⎝⎭ ，所以选项A 正确；故选.A7．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，()1,1,0AB =-，()1,0,2AD = ，()1,1,1AP =- ，E 为线段AC 的中点，F 为线段PD 的中点，则（）A ．直线BP 与直线CDB ．AD 是平面PAB 的法向量C ．//EF PBD ．AC BD⊥ 【正确答案】C【分析】选项A 利用空间向量夹角公式计算即可，B 选项利用法向量性质判断即可，选项C 画出利用三角形的中位线判断即可，选项D ，利用向量垂直的条件判断即可.【详解】因为()0,2,1BP AP AB =-=-，()1,1,0CD BA ==- ，所以cos ,5BP CDBP CD BP CD⋅<>==，故A 错误；因为AB ⊂平面PAB ，且10AD AB ⋅=≠ ，所以AD不是平面PAB 的法向量，故B 错误；连接BD ，如图所示：因为E 为线段AC 的中点，F 为线段PD 的中点，又BD 为平行四边形ABCD 的对角线，所以E 为线段BD 的中点所以EF 是PBD △的中位线，所以//EF PB ，即//EF PB，故C 正确；因为()2,1,2AC AB AD =+=-，()0,1,2BD AD AB =-= ，所1430AC BD ⋅=-+=≠，故AC BD ⊥不成立，故D 错误.故选：C.8．如图，已知()5,0A ，()0,5B ，从点()1,0P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程长为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】求出P 关于AB 的对称点1P 和它关于y 轴的对称点2P ,则12PP 就是所求的路程长.【详解】易知直线AB 的方程为5y x =-+，设点()1,0P 关于直线AB 的对称点为()1,P a b ，则1,115,22b a b a ⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-+⎪⎩解得5,4,a b =⎧⎨=⎩即()15,4P ．又点()1,0P 关于y 轴的对称点为()21,0P -，由光的反射规律以及几何关系可知，光线所经过的路程长12PP ==故选.A 二、多选题9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A 为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B 为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C 为“两次点数之和为8”，事件D 为“两次点数之和为7”，则（）A ．A 与B 相互独立B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 为互斥事件D ．C 与D 为互斥事件【正确答案】ABD【分析】先求出(),(),(),()P A P B P C P D ,再利用公式判断选项AB ，利用概念判断选项CD 得解.【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)．共36个．依题意，11(),()66P A P B ==，事件C 包括(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共5个，5()36P C =，事件D 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，61()366P D ==．对于选项A ，事件AB 只有结果1(3,5),()()()36P AB P A P B ==⋅，A 与B 相互独立，所以选项A 正确；对于选项B ，事件AD 只有结果1(3,4),()()()36P AD P A P D ==⋅，A 与D 相互独立，所以选项B 正确；对于选项C ，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件B C ，不是互斥事件，所以选项C 不正确；对于选项D ，事件C D ，是不可能事件，即C 与D 是互斥事件，所以选项D 正确．故选：ABD10．已知方程221124x y m m +=--表示椭圆，下列说法正确的是（）A ．m 的取值范围为()4,12B ．若该椭圆的焦点在y 轴上，则()8,12m ∈C ．若6m =，则该椭圆的焦距为4D ．若10m =，则该椭圆经过点(【正确答案】BC【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程221124x y m m +=--表示椭圆，所以12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得412m <<，且8m ≠，故A 错误；B ：因为椭圆221124x y m m +=--的焦点在y 轴上，所以4120m m ->->，解得812m <<，故B 正确；C ：若6m =，则椭圆方程为22162x y +=，所以222624c a b =-=-=，从而24c =，故C 正确；D ：若10m =，则椭圆方程为22126x y +=，点(的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点(，故D 错误.故选：BC.11．已知O 为坐标原点，圆M ：()()222cos 2sin 4x y θθ-+-=，则（）A ．圆M 与圆2216x y +=内切B ．直线sin cos 0x y αα-=与圆M 相离C ．圆M上到直线0x y +=的距离等于1的点最多有三个D100y +-=上任意一点P 作圆M 的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAMB 面积的最小值为【正确答案】AD【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A ；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判断B ；根据点到直线的距离公式计算即可判断C ；根据点到直线的距离公式求出MP ，利用三角的恒等变换化简计算即可判断D.【详解】A ：圆M 的圆心()2cos ,2sin M θθ，半径12r =，而圆2216x y +=的圆心()0,0O ，24r =，所以2OM ==21r r -，，所以圆M 与圆2216x y +=内切，A 正确；B ：圆心M 到直线sin cos 0x y αα-=()2sin 2αθ=-≤，故圆和直线相切或相交，B 错误；C ：因为圆心()2cos ,2sin M θθ到直线0x y +=的距离π2sin 14d θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为[]0,3d ∈，圆M 的半径为2，所以圆M上到直线0x y +=的距离等于1的点最多有四个，故C 错误；D ：四边形PAMB的面积2S MA PA PA =⋅==当MP100y +-=时，MP 有最小值，此时πsin 52sin 53MP θθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为[]3,7MP ∈，所以min 3MP =，则四边形PAMB 面积的最小值min S ==，故D 正确.故选：AD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间中一点，1AP xAA y AB z AD =++，则（）A ．当12x z ==，0y =时，异面直线BP 与1C D B ．当1x y ==，[]0,1z ∈时，三棱锥1A PBC -的体积为43C ．当12x =，1y =，[]0,1z ∈时，有且仅有一个点P ，使得1A C ⊥平面1AB P D ．当0y =，[]0,1x z =∈时，异面直线BP 和1C D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦【正确答案】ABD【分析】根据向量关系式确定动点位置或轨迹，然后逐项进行判断即可求解.【详解】对于A ，连接11B D ，1AD .由下图可知，P 为1AD 的中点，取11B D 的中点O .连接PO ，BO ，则1//PO C D ，所以∠BPO 或其补角即异面直线BP 与1C D 所成的角，易得BP =PO =，BO =cos6BPO ∠=，故选项A 正确；对于B ，由条件可知1BP zBC BB =+（[]0,1z ∈），P 点的轨速为线段11B C ，因为11B C BC ∥，所以P 到平面1A BC ，且1A BC 的面积为122⨯=1P A BC -的体积为定值43，故选项B 正确；对于C ，如下图，由条件可知112BP zBC BB =+（[]0,1z ∈），所以点P 在线段EF 上（E ，F 分别为1BB ，1CC 的中点）.因为1A C ⊥平面11AB D ，所以平面1AB P 即平面11AB D ，点P 则平面11AB D 与直线EF 的交点，此交点在FE 的延长线上，故选项C 错误；对于D ，由条件可知()1AP x AA AD =+（[]0,1x ∈），可知点P 的轨速为线段1AD ，如下图，建立空间直角坐标系，得()12,0,2C D =- ，()2,0,2B ，设()0,,2P a a -，[]0,2a ∈，则()2,,BP a a =--，所以cos<1,>BP C D ==，令[]20,2a t -=∈，当2a =，即0=t 时，1cos ,0BP C D <>= ，此时直线BP 和1C D 所成的角是2π；当2a ≠，即(]0,2t ∈时，1cos ,BP C D <>=，令11,2m t ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，1cos ,BP C D <>=所以112m t ==，即0a =时，1cos ,BP C D <>取得最大值2，直线BP 和1C D 所成角的最小值为π4，故选项D 正确.故选.ABD 三、填空题13．若直线()2110x a y ---=与直线()4230x a y -+-=平行，则a ＝______________.【正确答案】4【分析】根据直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=平行时的条件计算即可.【详解】因为直线()2110x a y ---=与直线()4230x a y -+-=平行，所以()()2241a a -+=--，解得4a =，经检验，当4a =时，两直线不重合，所以4a =.故4.14．已知椭圆221369x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2214AF BF +=，则AB =______________.【正确答案】10【分析】根据椭圆的定义可得22||4AF BF AB a ++=，结合题意即可求解.【详解】因为6a =，122AF AF a +=，122BF BF a +=，两式相加得22||424AF BF AB a ++==.又2AF +214BF =，所以10AB =.故10.15．某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别12，23，p ，已知每个人投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为78，则p ＝______________.【正确答案】14##0.25【分析】由已知结合对立事件的概率关系及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】由题意可知()1271111238p ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14p =.故答案为.1416．已知圆22:2O x y +=，M 是直线l ：40x y -+=上的动点，过点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则MA MB ⋅的最小值为______.【正确答案】3【分析】画出图形，设2AMB θ∠=,利用数量积公式将MA MB ⋅ 转化为求2||cos 2MA θ的最小值，从而分析图形可知当OM l ⊥时,这时2||cos 2MA θ最小，即MA MB ⋅ 最小.【详解】设2AMB θ∠=,则2||||cos 2||cos 2MA MB MA MB MA ⋅== θθ,可知当OM l ⊥时,||MA 最小且2θ最大,cos 2θ最小,这时MA MB ⋅ 最小.设点O 到直线l 的距离为d ,则d =因为圆O 的半径为所以当OM l ⊥时,1sin 2θ=,可得21cos 2,||2MA = θ226d =-=,所以MA MB ⋅ 的最小值为3.故3.四、解答题17．已知△ABC 的顶点()5,0A -，()2,2B -，BC 边上的高所在直线的方程为550++=x y .(1)求直线BC 的方程；(2)若，求直线AC 的方程.在①点C 在直线0x y -=上；②BC 边上的中线所在直线的方程为120x y +-=这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)5120x y --=(2)选①：38150x y -+=；选②：1811900x y -+=【分析】（1）由BC 边上的高所在直线的方程求出直线BC 的斜率，再由点斜式求方程即可；（2）若选①联立直线方程求出C 点坐标，再求出AC 斜率，点斜式得直线方程；若选②先求出BC 中点坐标，再由中点坐标公式求出C 点坐标，利用点斜式求方程即可.【详解】（1）因为BC 边上的高所在直线的方程为550++=x y ，所以直线BC 的斜率5k =.直线BC 的方程为()252y x +=-，即5120x y --=.（2）若选①.由05120x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，即()3,3C ，所以38AC k =，直线AC 的方程为()3058y x -=+，即38150x y -+=.若选②.由1205120x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩，即线段BC 的中点坐标为()4,8.设点()11,C x y ，则11242282x y +⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得11618x y =⎧⎨=⎩，即()6,18C ，所以1811AC k =，直线AC 的方程为()180511y x -=+，即1811900x y -+=.18．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线:50l x y ++=上．（1）求圆C 的方程；（2）若过点()1,1D --的直线m 被圆C截得的弦长为m 的方程．【正确答案】（1）()()223225x y +++=；（2）直线m 的方程为=1x -或3470x y ++=．【分析】（1）由圆的性质可得：AB 的垂直平分线方程与直线:50l x y ++=联立方程组求得圆心为()3,2--，用两点之间距离公式求得5r CA ===，即可求出圆的标准方差.（2）由圆的半径，弦长，利用垂径定理和勾股定理求出弦心距2d =，再利用圆心到直线的距离为2求出直线方程即可，需注意斜率不存在的情况.【详解】（1）因为()1,1A ，()2,2B -，所以线段AB 的中点坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率21321AB k --==--，因此线段AB 的垂直平分线方程是：113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．圆心C 的坐标是方程组33050x y x y --=⎧⎨++=⎩的解．解此方程组得：32x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆心C 的坐标是()3,2--．圆C 的半径长5r CA ==，所以圆心为C 的圆的标准方程是()()223225x y +++=．（2）因为()()22131225-++-+<，所以()1,1D --在圆内.又因为直线m 被圆C 截得的弦长为所以圆心C 到直线m 的距离2d =①当直线m 的斜率不存在时，:1m x =-，()3,2--到=1x -的距离为3(1)2---=，符合题意．②当直线m 的斜率存在时，设():11m y k x +=+，即10kx y k -+-=．2=2=⇒22(12)4(1)k k -=+，解得34k =-，直线m 为：31(1)4y x +=-+，即：3470x y ++=综上：直线m 的方程为=1x -或3470x y ++=．本题第一问考查了圆的标准方程，主要利用弦的垂直平分线过圆心来求圆的标准方差.第二问主要考查圆的弦长及垂径定理，直线斜率不存在的情况容易丢掉，熟练掌握公式及定理是解决本题的关键.属于中档题.19．某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130]．(1)求语文成绩在[]120,130内的学生人数．(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．(3)若语文成绩在[)80,90内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在[)80,90内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．【正确答案】(1)5(2)0.21(3)35．【分析】（1）利用频率分布直方图中，频率和为1求出a ，即可求出语文成绩在[]120,130内的学生人数；（2）直接利用频率分布直方图求概率；（3）利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】（1）由频率分布直方图，知()20.020.030.04101a +++⨯=，解得0.005a =，语文成绩在[]120,130内的学生人数为0.005101005⨯⨯=．（2）由频率分布直方图，知语文成绩不低于112分的概率1201120.02100.005100.2110-⨯⨯+⨯=．（3）由频率分布直方图，知语文成绩在[)80,90内的学生有0.005101005⨯⨯=人，其中女生2名，男生3名，分别记2名女生为A ，B ，3名男生为a ，b ，c .样本空间为{,,,,,,,,,}AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，其中抽到1名男生和1名女生的情况有,,,,,Aa Ab Ac Ba Bb Bc ，所以抽到的是1名男生和1名女生的概率为63105=．20．如图1，在△ABC 中，D 为AC 的中点，2BC =，5CD =25cos 5C =，将△ABD 沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P -BCD ，且平面PBD ⊥平面BDC .(1)证明：BC ⊥面PBD ；(2)求二面角C -PD -B 的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)6【分析】(1)根据余弦定理可得1BD =，利用勾股定理的逆定理可得BC BD ⊥，结合面面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB ，进而求得点P 的坐标，得平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可即可求解.【详解】（1）在△BCD 中，2BC =，CD =cos 5C =，由余弦定理知22252215BD =+-⨯⨯=，即1BD =，所以222BD BC CD +=，即BC BD ⊥.因为平面PBD ⊥平面BDC ，平面BCD 平面PBD BD =，所以BC ⊥平面PB D.（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D .在△ABC中，由余弦定理知(2222225AB =+-⨯⨯⨯，解得AB =，所以cos 2ABD ∠=，4ABD π∠=，可求得()0,2,2P ，从而()0,1,2DP = ，()2,1,0DC =- .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，由00DP n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x y +=⎧⎨-=⎩，令2y =，可得()1,2,1n =- .因为BC ⊥平面PBD ，所以可取平面PBD 的一个法向量为()1,0,0m = ，所以cos ,m n 〈〉== ，即二面角C -PD -B21．已知圆224：+=C x y .(1)若圆C 与直线320：-+-=l x my m 相切，求m 的值；(2)已知点()10M ，，过点P 作圆C 的切线，切点为Q ，再过P 作圆()()221112：'-+-=C x y 的切线，切点为R ，若=PQ PR ，求MP 的最小值.【正确答案】(1)0m =或125m =(2)【分析】（1）利用圆C 的圆心到与直线l 等于半径可得答案；（2）设点(),P x y ，求出PQ ，PR ，利用=PQ PR ，可得点P 所在直线方程，MP 的最小值即为点P 到所求直线的距离可得答案.【详解】（1）圆224：+=C x y 的圆心为()00C ，半径为2，因为圆C 与直线320：-+-=l x my m 相切，2=，解得0m =或125m =；（2）圆224：+=C x y 的圆心为()00C ，半径为2，()()221112：'-+-=C x y 的圆心为()11，'C 半径为设点(),P x y ，由题意可得PQ ==PR ==，因为=PQ PR =，整理得30x y ++=，因为()00C ，到直线30x y ++=1>，所以直线30x y ++=与圆C 相离，因为()11，'C 到直线30x y ++=>30x y ++=与圆C '相离，即点P 在直线30x y ++=上，MP的最小值即为点P 到直线30x y ++==.22．已知四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，33AD AB ===，点E在棱BC 上.(1)若E 为BC 的中点，求直线SE 与平面SCD 所成角的正弦值；(2)是否存在一点E ，使得点A 到平面SDE 若存在，求出BE EC 的值；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)310(2)存在，2【分析】(1)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面SCD 的法向量，结合空间向量数量积的定义即可求解；(2)设点E 的坐标，利用空间向量法求出平面SDE 的法向量，结合向量法即可求出点A 到平面SDE的距离，列出等式，解之即可.【详解】（1）由SA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD 得,SA AB SA AD ⊥⊥，又AD AB ⊥，以A 为原点，AB ，AD ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为()0,0,0A，(S ，()1,3,0C ，()0,3,0D ，31,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以31,,2SE ⎛= ⎝ ，()1,0,0CD =-，(0,3,SD = .设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00CD n SD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则030x y -=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =，得(n = .设直线SE 与平面SCD 所成的角为θ，则332sin cos ,51022SE n SE n SE n θ⋅====⨯ ，所以直线SE 与面SCD 所成角的正弦值为310.（2）设()()1,,003E λλ≤≤，平面SDE 的法向量为()111,,m x y z = ，则00SD m SE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则11111300y x y λ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令1z(3m λ=- .又(AS = ，当点A 到平面SDE的距离为5，AS m m ⋅= 解得2λ=，所以存在点()1,2,0E ，使得点A 到平面SDE 的距离为5，此时2BE EC =.。