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数学理科试题参考答案及评分标准

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数学理科试题参考答案及评分标准Prepared on 24 November 20202010 年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．1- 11. ①②③ 12．3413. ()(),01,-∞+∞14．50 15．()1,1- 简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则r =≥=1a =时等号成立.当r 最小时，圆的面积2S r π=最小，此时圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=，选A .解2：画图可得，当直线20x y m ++=与曲线2(0)y x x=>相切时，以切点为圆心，切点到直线210x y ++=的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)P x y x >，因为22'y x=-，所以2022x -=-，解得001,2x y ==，r =22(1)(2)5x y -+-=为所求，选A .8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设2010a 位于第n 组，由(1)(1)201022n n n n -+<<，解得63n =，所以2010a 位于第63组中的第63622010572⨯-=项，故2010757a =，选B ．12．22012132()4(2)P A x x dx ⨯⨯==-+⎰． 14．由FP BC ⊥，FQ AC ⊥，得C 、Q 、F 、P 四点共圆，所以CQP CFP B ∠=∠=∠()180A C =-∠+∠()180607050=-+=．15．即求直线20x y -+=与抛物线段2y x =（02y ≤≤）的交点，交点的直角坐标为()1,1-．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，(cos 3,sin AB OB OA θθ=-=-+，……………………………2分 所以()(222cos 3sin ABθθ=-++136cos 13θθ=-+=，……………………………………………………4分3cos θθ=．因为cos 0θ≠，所以tan θ=． ……………………………………………………………6分 （2）解：由02πθ≤≤，得6AOB πθ∠=+． ………………………………………………8分所以1sin 2AOB S OA OB AOB ∆=∠11sin 266ππθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………10分所以当3πθ=时，△AOB ． …………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：ξ的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………1分依题意，得3436C 1(0)C 5P ξ===， 214236C C 3(1)C 5P ξ===， 124236C C 1(2)C 5P ξ===．∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………………………………………………6分（2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则()2536C 1C 2P A ==，()1436C 1C 5P AB ==， ……………………………………………………10分……………4分∴()()()25P AB P B A P A ==． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C ，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C 10=，…………………………8分男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C 4=，……………………………………………10分∴()1425C 42C 105P C ===． 故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分18．（本小题满分14分） 方法1：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ．…………………………………………………………………1分xyz设0(1,,0)E y ()002y ≤≤．………………………………2分 （1）证明：∵()101,,1D E y =-，()11,0,1A D =--． 则()()1101,,11,0,10D E A D y =---=，∴11D E A D ⊥，即11D E A D ⊥． ……………………………4分 （2）解：当2AE =1D EC D --的平面角为4π．…………………………5分 ∵0(1,2,0)EC y =--，()10,2,1D C =-， …………………………………………………6分 设平面1D EC 的法向量为1(,,)x y z =n ，则10110(2)0200EC x y y y z D C ⎧=-+-=⎧⎪⇒⎨⎨-==⎩⎪⎩n n ， ………………………………………………………8分取1y =，则()102,1,2y =-n 是平面1D EC 的一个法向量．…………………………………9分 而平面ECD 的一个法向量为()20,0,1=n ， ………………………………………………10分 要使二面角1D EC D --的平面角为4π，则121212coscos 42(2π=<>===⋅n n n ,nn n 12分 解得02y =()002y ≤≤．∴当2AE =1D EC D --的平面角为4π．………………………………14分 方法2：（1）证明：连结1AD ，在长方体1111ABCD A B C D -中，∵BA ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，∴1A D AE ⊥．……………………………1分∵11AD AA ==，则四边形11ADD A 是正方形，∴11A D AD ⊥．…………………………2分∵1AEAD A =，∴1A D ⊥平面1AD E ．………3分∵1D E ⊂平面1AD E ，∴11D E A D ⊥． …………4分（2）解：当23AE =-时，二面角1D EC D --的平面角为6π． …………………………………………………………5分连结DE ，过D 作DH EC ⊥交EC 于点H ，连结1D H ．………………………………6分 在长方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ， ∴1D D ⊥EC ．…………………………………………………………………………………7分 ∵1DHD D D =，∴EC ⊥平面1D DH ．…………………………………………………8分∵1D H ⊂平面1D DH ，∴EC ⊥1D H ．……………………………………………………9分 ∴1D HD ∠为二面角1D EC D --的平面角，即16D HD π∠=．…………………………10分设AE x =()02x ≤≤，则2EB x =-，进而EC =． ……………………11分 在△DEC 中，利用面积相等的关系有，EC DH CD AD ⨯=⨯， ∴DH =……………………………………………………………12分在Rt △1D DH 中，∵16D HD π∠=，∴1tan6D DDHπ=． ………………………………13分=，解得23x =-()02x ≤≤． 故当2AE =时，二面角1D EC D --的平面角为6π．………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)P x y ，则(2,0)MN =，(1,)NP x y =-，(1,)MP x y =+．……………2分1由||||MN NP MN MP ⋅=⋅，得2(1)x =+，…………………………………………………………………4分 化简得24y x =．所以动点P 的轨迹方程为24y x =．……………………………………………………………5分 （2）解：由点(),4A t 在轨迹24y x =上，则244t =，解得4t =，即()4,4A ． ………6分当4m =时，直线AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离．………7分当4m ≠时，直线AK 的方程为4()4y x m m=--，即4(4)40x m y m +--=，…………8分圆心(0,2)到直线AK的距离d =令2d =<，解得1m <；令2d ==，解得1m =；令2d =>，解得1m >．综上所述，当1m <时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相交；当1m =时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相切；当1m >时，直线AK 与圆22(2)4x y +-=相离． (14)分20．（本小题满分14分）（1）解：∵()32f x x ax =-，∴()2'32f x x ax =-.…………………………………………1分∵函数()x f 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数，∴()2'320f x x ax =-≤在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立．……2分 即32x a ≥在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，……………………………………………………………………3分 3321223x <⨯=，∴1a ≥．故实数a 的取值范围为[)1,+∞．……………………………4分 （2）解：∵()2'33f x x x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()'0f x =得203x a =或．…………………………5分①若0a ≤，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数， 所以()()11h a f a ==-．………………………………………………………………………6分 ②若302a <<，即2013a <<，则当12x ≤≤时，()'0f x >，所以()f x 在区间[]1,2上是增函数，所以()()11h a f a ==-．……………………………………………………………7分 ③若332a ≤<，即2123a ≤<，则当213x a <<时，()'0f x <；当223a x <<时，()'0f x >．∴()f x 在21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数．∴()324327h a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．…8分④若3a ≥，即223a ≥，则当12x <<时，()'0f x <，所以()f x 在区间[]1,2上是减函数．所以()()284h a f a ==-．………………9分综上()331,,243,3,27284, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩…………10分 （3）解：由题意()12h a m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不相等的实数解，即（2）中函数()h a 的图像与直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有两个不同的交点．……………………………………………11分而直线12y m a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，由右图知实数m 的取值范围是()4,1--．……14分21．（本小题满分14分）（1）证明：当1=n 时，()1111a S m ma ==+-，解得11=a ．……………………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．…………………………………………………2分 即()11n n m a ma -+=． ∵m 为常数，且0m >，∴11n n a ma m-=+()2n ≥．…………………………………………3分 ∴数列}{n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．………………………………………4分 （2）解：由（1）得，()m f q =1mm=+，1122b a ==． ………………………………5分∵()1111n n n n b b f b b ---==+，…………………………………………………………………6分 ∴1111n n b b -=+，即1111=--n n b b ()2n ≥．………………………………………………7分 ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分∴()11211122n n n b -=+-⋅=，即221n b n =-（∈n N *）．………………………………9分（3）证明：由（2）知221n b n =-，则()22421n b n =-．…………………………………10分 所以2222123n n T b b b b =++++ ()2444492521n =++++-，………………………11分当2n ≥时，()()24411222121n n n nn <=----， ………………………………………12分 所以()2444492521n T n =++++-41111114923341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4011899218n =+-<．…………………………………………………………………14分。

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高考理科数学试题及答案2024

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高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学参考答案及评分标准

理科数学参考答案及评分标准

理科数学参考答案及评分标准参考答案1.C 解析：{}|22A x x x =<->或，则{}|22R C A x x =-≤≤，又{}|1B x x =>，∴()R C A B =I{}|12x x <≤，故选C.2.B解析：22|1||1(1)(1)||23|z z i i i ++=++++=+=，故选B.3.B 解析：等差数列{}n a 中，由11212()1802a a +=，得11230a a +=，∴5830a a +=，又512a =，∴818a =，故选B.4.D 解析：若//a b ，但a ⊂α，显然//a α不成立；若//a α，且b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，∴“//a b ”是“//a α”的既不充分也不必要条件，故选D.5.A 解析：由θ的终边上一点P 的坐标为(1,2)，得sin θ=，cos θ=，∴sin cos sin 2cos θθθθ⋅=+= A. 6.C 解析：“从4名男生和3名女生 选出的3人中至少有1名女生”的不同的选法共337431C C -=种，故选C.7.C 解析：设双曲线的方程为223x y -=λ，代入点的坐标，得6λ=-，∴该双曲线方程为2236x y -=-即22162y x -=，故选C.8.D 解析：()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，且11()ln ||ln ||()11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以()f x 为奇函数，排除选项B ，又1x >时，12()ln ln(1)11x f x x x +==+--单调递减，且(3)ln 21f =<，所以排除选项A 及选项C ，故选D.9.B 解析：结合()2sin()4f x x πω=-的图象，若02x π≤≤时，()f x的值域为[2]，则342322ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，∴332ω≤≤，故选B.10.D 解析：记AB ，AC 边的中点分别为点M ，N ，则OM AB ⊥，ON AC ⊥，则()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u r u u u r||||cos ||||cos ||||||||AO AC AO AB AO AC OAC AO AB OAB AC AN AB AM =⋅-⋅=∠-∠=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r2211||||1022AC AB =-=u u ur u u u r ，故选D.11.D 解析：当[0,1]x ∈时，()sin f x x =π的图象关于直线12x =对称，结合(1)2()f x f x +=可得()f x 在 其它区间中的图象及对称轴，如图.由()0g x =，得()f x k =，考虑直线y k =与()f x 在区间[1,4]-内的图象的交点情况，结合四个选项中k 的取值范围，当1(0,)2k ∈时，所有的十个交点的横坐标之和为1135715-++++=；当(1,2)k ∈时，所有的六个交点的横坐标之和为135715+++=；当(4,8)k ∈时，所有的两个交点的横坐标之和为715≠. 综上，1(0,)(1,2)2k ∈U 时，函数()g x 在区间[1,4]-12.C 解析：记点P 在底面ABCD 内的射影为点H ，则PH⊥底面ABCD ，且H 为棱AD 的中点，记正方形ABCD 的中心为1O ，∵球心O 与1O 的连线与底面ABCD 垂直，且可求得1||AO =||2PH =，设球半径为R ，∴1||||EH OO ===，1||||1OE O H ==，∴||2PE =，在Rt PEO ∆中，由222||||||PO PE EO =+得222(21R =+，解得24116R =，∴该球的表面积为414π，故选C.ABCD H1O OPE13.1- 解析：满足约束条件的可行域为图中阴影部分，作出直线20x y +=并平移，当其移至过点(3,5)A -时 即当3x =-，5y =时，2z x y =+的最小值为1-.14.300解析：6(x 展开式的通项为136622166(2)(2)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-（0r =，1，2，L ，6），在36(1)(x x +-展开式中，3x 项为22334403661(2)(2)300C x x C x x ⋅-+⋅-=，∴3x 项的系数为300. 15.4e - 解析：()f x由12()()f x fx =可得12ln x x =，且1201x x e <≤<≤，∴214x x -可化为224ln x x -，2(1,]x e ∈. 令()4ln g x x x =-，(1,]x e ∈，则44()1x g x x x-'=-=，∵(1,]x e ∈，∴()0g x '<，∴()g x 在(1,]e 上单调递减，其最小值为()4g e e =-，故214x x -的最小值是4e -.16.12n n a n +=⋅，6 解析：由12(1)n n na n a +=+得，121n n a a n n +=⋅+，且141a =，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成首项为4，公比为2的等比数列，∴142n n a n-=⋅，即12n n a n +=⋅. ∵121222(1)(2)(1)(2)21n n n n a n n n n n n n +++⋅==-++++++，∴n S =32432122222222()()()23243212n n n n n n +++-+-++-=-+++L . ∵3212232n n n n S S n n +++-=-++2(1)2(2)(3)n n n n ++⋅=++0>，∴n S 随n 的增大而增大，且630S =，∴n 的最小值为6.17.解：（Ⅰ）甲恰好答对两道题的概率为223113()(1)228C -=， 乙通过初试的概率为2233111311()(1)()222882C -+=+=. ……………………………6分（Ⅱ）依题意，甲、乙、丙三人是否通过初试彼此相互独立，且通过初试的概率均为12， 甲、乙、丙三人中通过初试的人数0X =，1，2，3，∴311(0)(1)28P X ==-=，123113(1)(1)228P X C ==-=， 223113(2)()(1)228P X C ==-=，311(3)()28P X ===，∴X 的分布列为X 的数学期望13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………12分18.解：（Ⅰ）由43sin 4cos c b A a B =+，得4sin 3sin sin 4sin cos C A B A B =+，又sin sin()sin()C A B A B π=--=+，∴4sin()3sin sin 4sin cos A B A B A B +=+，∴4sin cos 4cos sin 3sin sin 4sin cos A B A B A B A B +=+，整理得4cos sin 3sin sin A B A B =， ……………………………3分 ∵(0,)B π∈，∴sin 0B > ∴4cos 3sin A A =，∴4tan 3A =……………………………6分 （Ⅱ）∵4cos 3sin A A =，22sin cos 1A A +=，(0,)A π∈，∴3cos 5A =，4sin 5A =，又cos 5B =，(0,)B π∈，∴sin B =，∴sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= ……………………………9分 ∴sin sin C B =， ∴2b c ==， ∵D 为BC 边中点， ∴AD BC ⊥，∴sin AD c B ==AD. ……………………………12分 19.解：（Ⅰ）∵90BAD ∠=o，//AD BC ，∴90ABC ∠=o，即BC AB ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，又PA AB A =I ，∴BC ⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ， ∴BC AE ⊥， ∵PA AB =，点E 为棱PB 的中点，∴AE PB ⊥，又PB BC B =I ，∴AE ⊥平面PBC ……………………………6分（Ⅱ）以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图. 设22PA AB AD BC ====，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，则(1,0,1)E ，(0,1,1)F设(,,)n x y z =r 为平面ACF 的法向量，由00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r得(,,)(2,1,0)(,,)(0,1,1)x y z x y z ⋅=⎧⎨⋅=⎩∴20x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得(1,2,2)n =-r ， FPABCDE又由（Ⅰ）得平面PBC 的一个法向量为(1,0,1)AE =u u u r，∴|||cos ,|2||||AE n AE n AE n ⋅<>===u u u r ru u u r r u u u r r 故平面PBC 与平面ACF 所成锐二面角的大小为45o. ……………………………12分 20.解：（Ⅰ）由(0)1f =-，得1b =-，∵()(cos sin )f x a x x x '=-，依题意，()22f a πππ'=-=-，∴2a =，∴()2cos 1f x x x =-，()()2(cos sin )g x f x x x x '==-， ∴()2(2sin cos )2(2sin cos )g x x x x x x x '=--=-+，∵(0,)2x π∈，∴()0g x '<，∴()g x 在区间(0,)2π内单调递减. ……………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x '在区间(0,)2π内单调递减，又(0)20f '=>，()02f ππ'=-<，∴0(0,)2x π∈，使得0()0f x '=，当00x x <<时，()0f x '>；当02x x π<<时，()0f x '<，∴()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)2x π内单调递减， ∵(0)10f =-<，()1044f π=->，()102f π=-<， ∴()f x 在(0,)4π及(,)42ππ内各有一个零点，即()f x 在(0,)2π内有两个不同的零点. ………12分21.解：（Ⅰ）(0,1)F ，依题意，直线AB 与x 轴不垂直，设AB 的方程为1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩ 得2440x kx --=， ∵216160k ∆=+>，∴124x x k +=，124x x =-，由24x y =得214y x =，∴12y x '= 则直线MA 的方程为1111()2y y x x x -=-，且21114y x =， ∴MA ：2111124y x x x =-， 同理，直线MB 的方程为2221124y x x x =-， 由21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消y 得2212121()()2x x x x x -=-，又12x x ≠∴121()22M x x x k =+=，21121121111()12244M y x x x x x x =⋅+-==- ∴(2,1)M k -在定直线 1y =-上 ……………………………6分（Ⅱ）∵点D 为AB 的中点，∴1222D M x x x k x +===， 2121212(1)(1)()221222D y y kx kx k x x y k ++++++====+，且DM x ⊥轴，∴2N D x x k ==，2214N N y x k ==， ∴ABM ∆的面积22112121211|||||||21(1)|(1)||22D M S x x y y x x k k x x =⋅-⋅-=⋅-⋅+--=+⋅-， AMN ∆的面积221221112111|2||||||(1)|(1)||2224N M x x S x k y y x k k x x +=⋅-⋅-=⋅-⋅--=⋅+⋅-，∴21122212(1)||=41(1)||4S k x x S k x x +⋅-=⋅+⋅-. ……………………………12分 22.解：（Ⅰ）由2222sin )sin )x y θθθθ+=-++，得曲线C 方程为224x y +=． ……………………………3分直线l的极坐标方程展开为1sin )22ρθθ-=， 故l40y --=． ……………………………5分（Ⅱ）（方法一）P 的坐标为(0,4)-，设直线m 方程为cos 4sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数），将其代入方程中224x y +=，得28sin 120t t α-+=， ……………………………8分 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，∴1212||||||||12||PA PB t t t t ⋅⋅===为定值． ……………………………10分 （方法二）P 的坐标为(0,4)-，曲线C 是以O 为圆心，半径为2的圆过点P 做与圆C 相切的直线，设切点为M ， 则222||||212PM PO =-=，∴2||||||12PA PB PM ⋅==为定值． ……………………………10分23.解：（Ⅰ）2(1),031,0()2|||1|2(1),011,012(1),131,1x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ---≤-+≤⎧⎧⎪⎪=+-=--<≤=+<≤⎨⎨⎪⎪+->->⎩⎩…………………………3分∴当0x ≤时，()1f x ≥；当01x <≤时，1()2f x <≤；当1x >时，()2f x > ∴()f x 的值域为[1,)+∞∴1m = ……………………………5分 （Ⅱ）∵a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，∴111111()()a b c a b c a b c++=++++3()()()b a c b a c a b b c c a=++++++39≥+= ……………………………9分 （当且仅当b a a b =，c b b c =，a cc a=，即13a b c ===时取等号）……………………………10分。

高三理科数学试卷(含答案)

高三理科数学试卷(含答案)

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

高二数学试题(理科)参考答案及评分标准

高二数学试题(理科)参考答案及评分标准

高二数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13、 22y x = . 14、135-. 15、2212x y +=.16、 m 2≤-三、解答题：17、解： 如图建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1，则1A B =（0，1，-1），平面11BB D D 的法向量 n =(-1,1,0)， ……3分cos θ〈n, 1A B 11n A B n AB〉==12， …………………………6分⇒〈n,AB 〉=60所以斜线1A B 和对角面11BB D D 所成的角为30. ……………… 10分 18、解：由题意得500CD =米，300DA =米，…………………2分 60CDO ∠=,则在△COD 中 2222cos60OC CD OD CD OD =+- …………………………………………… 7分而300OD OC =-代入上式（略）⇒490044511OC =≈米. 120ADOC1yCx……………………………………………12分（其它方法仿此酌情给分）19、解⑴当过点A 的直线没有斜率时，方程为0x =与抛物线22y x =-切于点（0，0）。

…………………………………………………3分 ⑵当过点A 的直线有斜率时设斜率为k ，方程为2y kx =+，代入22y x =-得：22(21)40kx k x +++=。

………………………………5分①当0k =时，直线为2y =，与抛物线22y x =-只交于一点（-2，2）…7分 ②当0k ≠时，△=0⇒14k =-，⇒ 直线：480x y +-=…………10分 综上所述：所求直线方程为0x =和2y =及480x y +-=。

…12分 20、解：(1)因为已知直三棱柱的 底面三边分别是3、4、5，所以1,,AC BC CC 两两互相垂直，。

如图以C 为坐标 原点,直线1,,CA CB CC 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角标系， ……………………………2分则，1(0,0,0),(3,0,0),(0,0,4)C A C 13(0,4,0),(0,4,4),(,2,0)2B B D . ∴1(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=-∴10AC BC = ，∴ 1AC BC ⊥； ……………………………………… 4分（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连接DE ,则(0,2,2)E则1131(,0,2),(3,0,4),22DE AC DE AC =-=-⇒= …………… 6分∴DE ∥1AC ， ∵DE ⊂平面1CDB 内，1AC ⊄平面1CDB∴1AC ∥平面1CDB ；…………………………………………… 8分 （3）∵11(3,0,4),(0,0,4),AC CB =-= ∴1116AC CB =，119165,16AC CB =+==+=………………… 10分∴1111112cos ,5AC CB AC CB AC CB <>==； ∴所求角的余弦值为5. ………………………………………12分 （其它方法仿此酌情给分）21、解（1）由已知,点(P 在椭圆上，所以有22211a b+=， 有因为2PM F M +=0,M 在y 轴上，所以M 为2PF 的中点，c ⇒= 3分 而222a b c =+，于是222,(1)b b ⇒==-舍去，于是24a ⇒=故所求的椭圆方程为22142x y += . …………………………… 6分 （2）00(,)M x y 关于直线2y x =的对称点为111(,)M x y ，∴0101010121222y y x x y y x x -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩ 解得001001435345y x x y x y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 110345x y x ⇒-=-…………………………………………… 9分00(,)P x y 在椭圆:C 221(42x y a +=＞b ＞0)上， ∴0022,10510x x -≤≤∴-≤-≤，则1134x y -的取值范围是[]10,10-.…………………………………………… 12分22、解：由1113,12(2,)5n n n a a a a n n N --+=+=≥∈可知112(2)n n a n a -=-≥，………………………………………… 2分 （1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----， 又由条件可推出1111n n b a --=-，…………………………… 4分∴111111(2)11n n n n n a b b n a a -----=-=≥--，又由135a =可求1153215b ==-- ∴数列{}n b 是首项为52-，公差为1的等差数列； …………… 6分（2）由1()1n n b n N a +=∈-可求得11n n a b =+，57(1)122n b n n =-+-⨯=-，∴1172n a n =+-，………………………………………………… 8分考察函数17()722y x x =≠-在区间7(,)2+∞内为单调递减函数， 且0y >；在区间7(,)2-∞内为单调递减函数，且0y <；…… 10分 ∴11()72n a n N n +=+∈-中，当3n =时，1n a =-为最小值，当4n =时，43a =为最大值. ………………………………………… 12分。