作业2 动量与角动量 功与能2-1一步枪在射击时，子弹在枪膛受到的推力满足 t F 51034400⨯-= 的规律，已知击发前子弹的速率为零，子弹出枪口时的速度为300 m/s ，受到的力变为零． 求： ⑴ 子弹受到的冲量？ ⑵ 子弹的质量为多少克？ 原题 3-32-2 一个质量m = 50 g ，以速率υ= 20 m/s 作匀速圆周运动的小球，在1/4周期向心力加给它的冲量是多大？ 原题 3-42-3 有一运送砂子的皮带以恒定的速率υ水平运动，砂子经一静止的漏斗垂直落到皮带上，忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：⑴ 若每秒有质量为t M M d d ='的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率υ运动，需要多大的功率？⑵ 若='M 20 kg/s ，5.1=υm/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？ 解： ⑴ 设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ， 速率为υ，t + d t 时刻，皮带上的砂子质量为 M + d M ，速率也是υ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的外力 F 的冲量为：)0d ()d (d ⋅+-+=M M M M t F υυυ⋅=M d∴ M t M F '==υυ d d由第三定律，此力等于砂子对皮带的作用力F '，即F F ='． 由于皮带匀速运动，动力源对皮带的牵引力F F '=''，因而，F F =''，F F =''，F ρ''与υρ同向，动力源所供给的功率为： t M F P d d υυυρρρρ⋅=⋅=t M d 2υ=M '=2υ⑵ 当t M M d d ='＝20 kg/s ，5.1=υm/s ，时， 水平牵引力 M F '=''υ＝ 30N 所需功率 M P '=2υ＝45W2-4 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个非常扁的椭圆，它离太阳最近的距离是1011075.8⨯=r m ，此时它的速度是 411046.5⨯=υm/s ，它离太阳最远时的速率是221008.9⨯=υm/s ，这时它离太阳的距离r 2是多少？ 原题 3-82-5 假设一个运动的质子P 只受某重核N 的有心排斥力的作用．已知质子的质量为m ，当它运动到与N 相距最近的A 点时，距离为a ，速度为A υρ，运动到某点B 时，速度为B υρ，求此时重核N 到速度B υρ的垂直距离b ．（图左侧的长虚线为与B υρ方向平行的直线）． 解：重核N 的质量 M >> m ，在质子P 从接近到远离重核N 的全过程中，重核 N 可视为静止． 质子P 只受重核N 的有心排斥力作用，P 对N 中心的角动量守恒．υρρρm r L ⨯= = 恒矢量 B B B A A A m r m r θυθυsin sin = a r A A =θsin ， b r B B =θsin ∴ b m a m B A υυ= 得 a b BAυυ=2-6 一质量为 3102-⨯kg 的子弹，在枪膛中前进时受到的合力 x F 98000400-= (SI),子弹在枪口的速度为300 m/s ．试计算枪筒的长度． 原题 4-1题2-5图2-7 一质量为m 的质点在指向圆心的平方反比力2--=kr F 的作用下，作半径为r 的势能零点，则其机械能为 )2(r k - ．原题 4-32-8 有一劲度系数为 k 的轻弹簧，竖直放置，下端悬一质量为 m 的小球，先使弹簧为原长，而小球恰好与地接触，再将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离 地面为止．在此过程中外力所作的功为 )2(22k g m ．原题 4-72-9 有一人造地球卫星，质量为m ，在地球表面上空 2 倍于地球半径 R 的高度沿圆轨道运行，用m ，R ，引力常数 Ｇ 和地球的质量 M 表示⑴ 卫星的动能 ；⑵ 卫星的引力势能为 ． 原题 4-82-10 一长方体蓄水池，面积为S = 50 m 2，贮水深度为 h 1 = 1.5 m ．假定水平面低于地面的高度是h 2 = 5 m ，问要将这池水全部抽到地面上来，抽水机需做功多少？若抽水机的功率为80％，输入功率为P = 35 kw ，则抽光这池水需要多长时间？ 原题 4-22-11 某弹簧不遵守胡克定律，若施力F ，则相应伸长为x ，力与伸长的关系为： F = 52.8 x + 38.4 x 2（SI ），求：⑴ 将弹簧从伸长x 1 = 0.50 m 拉伸到伸长 x 2 = 1.00 m 时所需做的功； ⑵ 将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg 的物体，然后将弹簧拉伸到伸长 x = 1.00 m ，再将物体由静止释放．求当弹簧回到伸长x 1 = 0.50 m 时，物体的速率． 原题 4-52-12 一质量为m 的质点在xOy 平面上运动，其位置矢量为j t q it p r ˆ sin ˆ cos ωω+=ρ (SI)，式中p 、q 、ω是正值常数，且p > q ．求：⑴ 求质点在点 P ( p , 0) 和点Q ( 0, q ) 处的动能； ⑵ 质点所受的作用力 F ρ，以及当质点从点 P 运动到点Q 的过程中的分力F x 和F y 分别作的功．解：⑴ 由位矢 j t q it p r ˆ sin ˆ cos ωω+=ρ 可知： cos t p x ω=， sin t q y ω= t x x d d =υ sin t p ωω-=， t y y d =υ cos t q ωω=点P ( p , 0 ) 处 1 cos =t ω， 0 sin =t ω， 22k 2121y xP mv mv E +=2221ωmq = 点Q ( 0, q ) 处 0 cos =t ω， 1 sin =t ω， 22k 2121y xQ mv mv E +=2221ωmp = ⑵ t a x x d υ= cos 2t p ωω-=， t a y y d υ= sin 2t q ωω-=)ˆˆ(ˆˆj a i a m j F i F F y x y x +=+=ρ)ˆ sin ˆ cos ( 2j t q it p m ωωω+-= 由点P →Q x F A p x x d 0⎰=x ma p x d 0⎰=x t mp p d cos 02⋅-=⎰ωωx x m p d 02⎰-=ω2221ωmp =y F A qy y d 0⎰=y ma qy d 0⎰=y t mq qd sin 02⋅-=⎰ωωy y m qd 02⎰-=ω2221ωmq -=作业4 气体动理论4-1 氧气钢瓶体积为5升，充氧气后在27℃时压强为20个大气压，试求瓶贮存有多少氧气？现高空中使用这些氧气，在高空空气的压强为0.67个大气压，温度为-27℃，试问这时钢瓶可提供在高空使用的氧气是多少升？0.13 kg ，117升；原题 8—14-2 在P-V图上的一点代表系统平衡状态；一条光滑的曲线代表气体的准静态过程．4-3 设想每秒有1023个氧分子以500 m/s的速度沿着与器壁法线成30°角的方向撞在面积为3 104m2的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强．原题 8—34-4 两瓶不同类型的理想气体，它们的温度和压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 相同 ；气体的质量密度 不同 ；单位体积气体分子的平均动能为 不同 ．原题 8—44-5 若理想气体的体积为V ，压强为P ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳解： kT VN nkT p == kT pVN = 4-6 质量相同的氢气和氦气，温度相同，则氢气和氦气的能之比为 10 : 3 ，氢分子与氦分子的平均动能之比为 5 : 3 ；氢分子与氦分子的平均平动动能之比为 1 : 1 ．原题 8—64-7 试指出下列各量的物理意义⑴ kT /2； ⑵ 3kT /2； ⑶ ikT /2.答： ⑴ kT /2 ——理想气体分子任一自由度的平均动能； ⑵ 3kT /2 ——理想气体的分子的平均平动动能；⑶ ikT /2 ——理想气体的分子的平均总动能 4-8 将0.2mol 氧气从27℃加热到37℃，其能增加了多少？分子的平均平动动能变化了多少？解：氧气为双原子分子，5=i ，则能增量为55.411031.82.025)(212 =⨯⨯⨯=-=∆T T R i E νJ分子的平均平动动能为kT E K 23=，其增量为22231007.2101038.12323--⨯=⨯⨯⨯=∆=∆T k E K J4-9 一绝热密封容器的体积为102m 3，以100 m/s 的速度匀速直线运动，容器中有100g 的氢气，当容器突然停止时，氢气的温度、压强各增加多少？原题 8—74-10 容器有一摩尔的双原子分子理想气体，气体的摩尔质量为μ，能为E ，则气体的温度T = R E 52 ，分子的最可几速率 p υ= )5(2μE ，分子的平均速率 υ= )π5(4μE ．原题 8—84-11 已知)(υf 为麦克斯韦速率分布函数，N 为分子总数， 则速率大于100 m/s 的分子数目的表达式 υυυd )(d 100⎰⎰∞=='f NN N ； 速率大于100 m/s 的分子数目占分子总数的百分比的表达式 υυd )(100⎰∞=f P ； 速率大于100 m/s 的分子的平均速率的表达式 υυυυυυd )(d )(100100⎰⎰∞∞=f f ．∵d )(d υυυf NN =—— 速率区间 υυυd ~+的分子数占总分子数的百分比(几率)4-12 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A ，B 两部分面积相等，则该图表示[ ]（A ）0υ为最概然速率 （B ）0υ为平均速率（C ）0υ为方均根速率（D ）速率大于和小于0υ的分子数各占一半 参考解：A 部分面积()N N f S AA Δd 00==⎰υυυ； B 部分面积 ()NN f S BB Δd 0==⎰∞υυυ B A S S = ∴B A N N ΔΔ= 答案为 [ D ]4-13 容积为33100.2m -⨯的容器中，有能为J 21075.6⨯的刚性双原子分子理想气体，求：⑴ 气体的压强；⑵ 设分子总数为22104.5⨯个，求分子的平均平动动能及气体的温度；解：（1） 由 RT i M m E 2•=和 RT Mm PV = 可得气体压强 5321035.1100.251075.622⨯=⨯⨯⨯⨯==-iV E P Pa （2）分子数密度V N n =，则该气体温度k .NkPV nk P T 210623⨯=== 气体分子的平均平动动能为 211049723-⨯==.kT k εJ4-14 真空管的线度为 210-m ，真空度为 310333.1-⨯Pa ．设空气分子的有效直径为10103-⨯m ，摩尔质量为28.97310-⨯kg ．求在27℃时真空管中空气的分子数密度、平均碰撞频率和平均自由程． 解：P301 12.26空气的分子数密度为 kTpn == …… = 3.2×1017 (m -3 )平均自由程为 nd 2π21=λ= …… = 7.8(m) 0(υf 题4-12图平均碰撞频率为 υn d z 2 π2=MRT nd π8 π22= = …… = 59.9 (s -1)*4-15 麦克斯韦速率分布律kTm kT m f 22322eπ2π4)(υυυ-⎪⎭⎫⎝⎛=，求速率倒数的平均值⎪⎭⎫⎝⎛υ1，并给出它与速率的平均值υ的关系． 解：P296 12.9由平均值的定义有υυυυd )(110f ⎰∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛υυυd eπ2π4 22230kTm kT m -∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∞⎰220232d eπ2π42υυkT m m kT kT m kTm ∵速率的平均值υkT m 8 π=∴*4-16 假定 N 个粒子的速率分布曲线如图示．⑴ 由 N 和0υ求a ；⑵ 求速率在1.50υ到2.00υ之间的粒子数 N ∆； ⑶ 求粒子的平均速率 υ 和方均根速率2υ． 解：P295 12.7 ⑴ 由归一化条件有υυd )(0⎰∞f 1d d 00 0200=+=⎰⎰υυυυυυυa a， 解之，得 032υ=a ⑵ υυυυd )(025.1⎰=∆f N N υυυd 025.1Na ⎰=)5.10.2(32000υυυ-=N N 31== 0.333 N ⑶ υυυυd )( 0⎰∞=f υυυυυυυυd d 00 02020a a⎰⎰+=03031υυυa =002221υυυa +0911υ== 1.220υυυυυd )(022⎰∞=f υυυυυυυυd d 220300 0a a⎰⎰+=004041υυυa =002331υυυa +301231υa =201831υ= 021831υυ=0662υ== 1.310υ 0题4-16图作业6 狭义相对论基础6-1 惯性系S 和S '的坐标在 0='=t t 时重合，有一事件发生在S '系中的时空坐标为()8108 ,0 ,10 ,60-⨯．若s '系相对于s 以速度u = 0.6c 沿x x '-轴正方向运动，则该事件在S 系中测量时空坐标为( , , , )． 原题 6-16-2 天津和相距120 km ．在某日19时整有一工厂因过载而断电，在天津同日19时0分0.0003秒有人放了一响礼炮． 试求在以 c u 8.0= 速度沿到天津方向飞行的飞船中，观察者测量到这两个事件之间的时间间隔．哪一个事件发生在前．原题 6-36-3 长为4m 的棒静止在s 系中xOy 平面，并与x 轴成ο30角，s '系以速度0.5c 相对于s 系沿x x '-轴正向运动，0='=t t 时两坐标原点重合，求s '系中测得此棒的长度和它与x '轴的夹角．原题 6-46-4 中子静止时的平均寿命为15 min 30 s ，它能自发地衰变为三个粒子（质子、电子和中微子）．已知地球到太阳的平均距离为1.4961110⨯m ．有一个中子被太阳抛 向地球，它必须具有 1.418×108 = 0.473 c m/s 的速率，才能在衰变前到达地球．解： 0γττ=20)(1c u -=τ ♉ τu l =20)(1c u u -=τ ♉ 220)(c l lu +=τ6-5 一火箭静止在地面上测量时长度20 m ，当它以 0.8 c 在空间竖直向上匀速直线飞行时，地面上观察者测得其长度为 ．若宇航员在飞船上举一次手用2.4 s ，则地面上测到其举手所用时间为 ． 原题 6-66-6 以地球-月球作为参考系测得地-月之间的距离为 810844.3⨯m ，一火箭以0.8c 的速率沿着地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件1），之后又经过月球（事件2）．要求分别用：⑴ 洛仑兹变换公式，⑵ 长度收缩公式，⑶ 时间膨胀公式，求在地球-月球参考系和在火箭参考系中观测，火箭由地球飞向月球各需要多少时间？ P369 15.4；P371 15.9解： 取地-月系为S 系，地-月距离=∆x 810844.3⨯m ，固定在火箭上的坐标系为S '系，其相对S 系的速率 u = 0.8 c ，则在S 系中火箭由地球飞向月球的时间为u x t ∆=∆= …= 1.6 s由已知 8.0=≡c uβ 35112=-≡βγ⑴ 由洛仑兹变换公式 )(x c t t βγ-=' )(x c t t ∆-∆='∆βγ可求得在火箭S '系中 t '∆= …= 0.96 s⑵ S '系中，测地-月距离为l '，是运动长度，由长度收缩公式 l l '= γ 有 l l =' 则 l t '='∆)(γu l t ='∆ =…= 0.96 s⑶ S '系中，两个事件在同一个地点发生，t '∆为固有时间0τ；S 系中两事件时间间隔t ∆为运动时间τ，由时间膨胀公式 0γττ=γττ=='∆0t γt ∆==…= 0.96 s6-7一匀质薄板静止时测得长、宽分别是a 、b ，质量为m ，假定该板沿长度方向以接近光速的速度υ作匀速直线运动，那么它的长度为 )(122c a υ- ，质量为面积密度（单位面积的质量）．(原题6-8) 解：∵ 沿运动方向 0l l =，)(1 22c a a a υγ-=='∴；m m γ=')(122c mυ-=∵ b ⊥ 运动方向，b b ='∴ ， b a m '''=∴σ )1(22c ab m υ-=6-8 一静止长度为 l 0 的火箭，相对于地面以速率 u 飞行，现从火箭的尾端发射一个光信号．试根据洛仑兹变换计算，在地面系中观测，光信号从火箭的尾端到前端所经历的位移、时间和速度． P370 15.6 解：取固定在地面上的坐标系为S 系，固定在火箭上的坐标系为S '系，自火箭尾端发射光信号为事件“1”， 光信号到达火箭前端为事件“2”，则有S 系中：事件1),(11t x ，事件2),(22t x ， 12x x x -=∆， 12t t t -=∆S '系中：事件1),(11t x ''，事件2),(22t x ''， 012l x x x ='-'='∆， 12t t t '-'='∆c l c x 0='∆= S '系相对S 系运动速率为u ，由洛仑兹变换)( t c x x '+'=βγ，)(x c t t '+'=βγ可得位移 )( t c x x '∆+'∆=∆βγ200)(1)]([c u c l u l -+=cu c u l -+=110时间 )(x c t t '∆+'∆=∆βγ2200)(1)]([c u c l u c l -+=cu cu cl -+=110 速度 c t x =∆∆=υ6-9 设火箭的静止质量为100 t ，当它以第二宇宙速率 3102.11⨯=υm/s 飞行时，其质量增加了 0.7×10 kg ． P374 15.13 解： c <<υ，2)(2020k υm c m m E =-=，)2()(2202k 0c m c E m m m υ==-=∆=… 6-10 电子静止质量 310101.9-⨯=m Kg ，当它具有2.6 ⨯ 105 eV 动能时，增加的质量与静止质量之比是 0.508 原题 6-9 解：2k mc E ∆=Θ，2kc E m =∆∴，20k 0 c m E m m =∆∴= 0.508 = 50.8% 6-11 α 粒子在加速器中被加速，当其质量为静止质量的5倍时，其动能为静止能量的 4 倍． (解：2k mc E ∆=Θ，020km m c m E ∆=∴005m m m -= = 4 ) 原题 6-106-12 设某微观粒子的总能量是它的静止能量的k 倍，求其运动速度的大小．（用c 表示真空中光速） 原题 6-11 解： 02020m m c m mc E E k ===γ=2211c υ-=， 1 2-=∴k k c υ,211 k c -=υ6-13 ⑴ 粒子以多大速度运动时，它的相对论动量是非相对论动量的两倍？ ⑵ 如果粒子的动能与它的静能相等，粒子的速率是多少？ 原题 6-12 解：⑴ Θγ=0p p2211c υ-== 2，c 23 =∴υ= 0.866 c ⑵ 202k c m mc E -=Θ2020 c m c m -=γ20c m =，2 =∴γ，c 23 =∴υ= 0.866 c6-14 要使电子的速率从1.2 ×108m/s 增加到2.4 ×108m/s ，需做多少功？P374 15.15解：做功等于电子动能的增量201202k )()(c m m c m m E ---=∆212)(c m m -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221222201111c c cm υυ = … = 4.7×10 J = 2.94×10 eV6-15 在氢的核聚变反应中，氢原子核聚变成质量较大的核，每用 1 g 氢约损失0.006 g 静止质量．而1 g 氢燃烧变成水释放出的能量为1.3 × 105J ．氢的核聚变反应中 释放出来的能量与同质量的氢燃烧变成水释放出的能量之比为 4.1×106 ． 解：每用1g 氢释放核能 21mc E ∆=∆=…= 5.4×1011 J ；1g 氢燃释放能量2E ∆= 1.3×105 J6-16 两个静止质量都是m 0的小球，其中一个静止，另一个以=υ0.8c 的速度运动，在它们作对心碰撞后粘在一起，求碰撞后合成小球的质量、速度及静止质量． 原题 6-13 m=2.67m 0，=υ0.5c ，0031.2m m =' 6-13 (没详解)*6-17 ⑴ 如果要把一个粒子的动能写作 220υm ，而误差不大于1%，试问这个粒子的最大速率等于多少？⑵ 以这个速率运动的电子动能是多少？（电子静止质量 31e 101.9-⨯=m Kg ） ⑶ 以这个速率运动的质子动能是多少？（质子静止质量 e 01840m m =） P377 15.21 解： c υβ=，211βγ-=⑴ 相对论动能 20k )(c m m E -=20)1(c m -=γ202][111 c m --=β 依题意有 %12k 20k ≤-E m E υ ♉ %1111 21222][≤---cβυ♉ 01.0111 21][22≤---ββ∵ 211βγ-=， 则 2211γβ-=，上式可写为01.01 112112≤--⋅-γγ ♉ 01.0)1(2112≤+-γγ♉ 0198.12≤--γγ 解方程 0198.12=--γγ ♉ 98.1298.1411⨯⨯+±=γγ取正值有 211βγ-=0067.1≤ ♉ 2211γβ-=115.0≤即 c 115.0≤υ(= 3.45×107 m) ∴ c 115.0m ax =υ⑵ 以速率c 116.0=υ时， β= 0.115，γ= 1.0067运动的电子动能 2e ke )(c m m E -=2e 2][111 c m --=β=…= 5.49×1016(J) = 3.43×103 eV（电子加速电压 V ≥3.5 kV 时，电子速率≥υ=3.5×107m 时，要用相对论公式！！）⑶∵ 质子的静止质量 e p 1840m m =∴以速率c 116.0=υ运动的质子动能 ke kp 1840E E == 6.31×106eV作业8 波 动8-1 一个余弦横波以速度u 沿x 轴正方向传播，t 时刻波形曲线如图所示．试在图中画出A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各质点在该时刻的运动方向．并画出（t + T /4）时刻的波形曲线．原题 20-18-2 地震波纵波和横波的速度分别为8000 m/s 和4450 m/s ，观测点测得这两种波到达的时间差=∆t 75.6 s ，则震中到观测点的距离 r = 7.58×105m ． 解： t u r u r ∆=-)()(12 )(2121u u u u t r -⋅∆==…= 7.58×105m8-3 ⑴ 有一钢丝，长2.00 m ，质量20.0×103 kg ，拉紧后的力是1000 N ，则此钢丝上横波的传播速率为 316 m/s ． ⑵钢棒中声速5200m/s ，钢的密度=ρ7.8g/cm 3， 钢的弹性模量为2.11×1011(N/m 2).8-4 已知一波的波函数为 )6.0π10sin(105 2x t y -⨯=-⑴ 求波长，频率，波速及传播方向；⑵ 说明x = 0时波函数的意义． 原题 20-3y8-5 一螺旋形长弹簧的一端系一频率为25 Hz 的波源，在弹簧上激起一连续的正弦纵波，弹簧中相邻的两个稀疏区之间的距离为24 cm ．⑴ 试求该纵波的传播速度；⑵ 如果弹簧中质点的最大纵向位移为 0.30 cm ，而这个波沿x 轴的负向传播，设波源在 x = 0 处，而x = 0 处的质点在 t = 0 时恰好在平衡位置处，且向x 轴的正向运动，试写出该正弦波的波函数． 解：⑴ νλ=u = 24 ×25 = 600 cm/s⑵ 波源处⎭⎬⎫>-===0sin 0cos 00ϕωυϕA A y 初相位 2π-=ϕ，波源振动方程为 )π2cos(30.000ϕν+=t y )2ππ50cos(30.0-=t 波沿x 轴的负向传播的波函数为])(cos[ϕω-+=u x t A y ]2π)600π(50cos[30.0-+=x t )]24π(252sin[30.0x t +=即，该正弦波的波函数为 )]24π(252sin[30.0x t y += (cm)8-6 波源作谐振动，周期为0.01s ，经平衡位置向正方向运动时，作为时间起点，若此振动以υ= 400 ms 1的速度沿直线传播，求： ⑴ 距波源为8 m 处的振动方程和初相位；⑵ 距波源为9 m 和10 m 两点的相位差． 原题 20-58-7 一平面简谐波，沿x 轴正向传播，波速为4 m/s ，已知位于坐标原点处的波源的振动曲线如图(a)所示．⑴ 写出此波的波函数； ⑵ 在图(b)中画出t = 3 s 时刻的波形图（标明尺度）． P317 13.16 解：⑴ 由图知，A = 4 cm = 4 × 102 m ， T = 4 s ∴ T π2=ω2π=，uT =λ= 4 × 4 = 16 m 原点处 A A y ==ϕcos 0 初相位 0=ϕ 原点振动方程为 )cos(ϕω+=t A y t A ωcos = ∴ 波函数为 )(cos u x t A y -=ω即 )]4(2cos[1042x t y -⨯=-π⑵ 将t = 3 s 代入波函数，得波形曲线方程)]43(2cos[1042x y -⨯=-πt = 3 s 时刻的波形图见图(b)．8-8 一正弦式空气波沿直径为0.14 m 的圆柱形管道传播，波的平均强度为1.8⨯10 2J/(sm 2)，频率为300 Hz ，波速为300 m/s ，问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻周相差为2π 的同相面之间的波段中包含有多少能量？ 原题 20-78-9 频率为100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上两点振动的位相差为31π，则此两点距离为 0.5 m ． 原题 20-11 解：νλu ==…= 3 m ， x ∆=∆)π2(λϕ，))π2(λϕ∆=∆x =…= 0.5 m(b)u)cm (y 48O1216202444-)m (x 题8-7图(a))cm (y )s (t 12O 34564-(b)cm)(y O)m (x8-10 在弹性媒质中有一波动方程为)2ππ4cos(01.0--=x t y （SI ）的平面波沿x 轴正向传播，若在x = 5.00处有一媒质分界面，且在分界面处相位突变 π，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波函数． 原题 20-108-11 一平面简谐波某时刻的波形图如图所示，此波以速率u 沿x 轴正向传播，振幅为A ，频率为v ．⑴ 若以图中B 点为坐标原点，并以此时刻为 t = 0 时刻，写出此波的波函数； ⑵ 图中D 点为反射点，且为波节，若以D 点为坐标原点，并以此时刻为 t = 0 时刻，写出入射波的波函数和反射波的波函数；⑶ 写出合成波的波函数，并定出波节和波腹的位置坐标．P326 13.29解：⑴ B 点为坐标原点，t = 0 时刻，A A y -==ϕcos 0 ♉ 初相位 π=ϕ 振动方程 )cos(ϕω+=t A y ♉ )ππ2cos(+=t A yB ν ∴ 波函数为 ]π)(π2cos[+-=u x t A y ν ⑵ D 点为坐标原点，t = 0 时刻，入射波： ⎭⎬⎫>'-=='=0sin 0cos 00ϕωυϕA A y ♉ 初相位 2π-='ϕ 反射波：∵D 点为波节，∴初相位 2ππ=+'=''ϕϕD 点振动方程 )2ππ2cos(-=t A y D ν入， )2ππ2cos(+=t A y D ν反∴波函数为 ]2π)(π2cos[--=x t A y ν入， ]2π)(π2cos[++=x t A y ν反 ⑶ 合成波的波函数 )π2cos()2ππ2cos(2t u x A y y y νν+=+=反入波节：由 π)21(2ππ2+=+k u x ν 得 νu k x ⋅=2 （k = 0, -1, -2, …）波腹：由 π2ππ2k x =+ν 得 νu k x )412(-= （k = 0, -1, -2, …）题8-11图8-12 入射波的波函数为)( π2cos 1λx T t A y +=，在x = 0处发生反射，反射点为自由端.⑴ 写出反射波的波函数；⑵ 写出驻波的波函数；⑶ 给出波节和波腹的位置． P327 13.30解：反射点为自由端，是波腹，无半波损失， ⑴ 反射波的波函数为 )( π2cos 2λx T t A y -=⑵ 驻波的波函数为 t Tx A y y y π2cos π2cos 221λ=+=⑶ 当1π2cos =x λ，即ππ2 k x =λ时，得波腹的位置为 2 λk x =，k = 0, 1, 2, …当0π2cos =x λ，即2π)12(π2 +=k x λ时，得波节的位置为4)2( λ+=k x ，k = 0, 1, 2, …*8-13 一平面简谐波沿x 轴正向传播，振幅为A = 10 cm ，角频率π7=ω rad/s ，当t = 1.0 s 时，x = 10 cm 处a 质点的振动状态为0=a y ，0)d d (<a t y ；同时x = 20cm 处b 质点的振动状态为0.5=b y cm ，0)d (>b t y ．设波长10>λcm ，求该波的波函数．P315 13.13解：当t = 1.0s 时刻，a 质点 0cos ==a a A y ϕ，0sin )d d ( <-==a a a A t y ϕωυ， ♉ 2ππ2+=k a ϕ ①b 质点 2cos A A y a b ==ϕ，0sin )d d ( >-==a b b A t y ϕωυ，♉ 3ππ2-'=k b ϕ a 、b 两点相位差 b a ϕϕϕ-=∆65π)(π2+'-=k ka 、b 两点间距λ<=-=∆10b a x x x ，∴π2<∆ϕ，则ϕ∆的取值可分两种情况⑴ 当0='-k k 时，b a ϕϕϕ-=∆65π=，♉λϕ2π=∆∆x ，则 )(2πϕλ∆∆=x = 24 (cm)∵波沿x 轴正向传播，可设波函数为)π2cos(0ϕλω+-=x t A y )24π2π7cos(100ϕ+-=x t当t = 1.0 s ，x = 10 cm 时波函数的相位 a ϕϕ=+⨯-⨯01024π21.0π7 ②由式①、②求得： 317ππ20-=k ϕ， 不妨取 k = 0，则 17π0-=ϕ 波函数为 )π31712ππ7cos(10--=x t y (cm)⑵ 当1-='-k k 时，b a ϕϕϕ-=∆67π-= < 0，波将沿x 轴负向传播，故舍去．作业10 光的衍射10-1 如果单缝夫琅和费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为︒=30θ的方位上，所用单色光波长为500=λnm ，则单缝宽度为： 1.0 μm ． 解： 暗纹公式 λθk a =sin10-2 在单缝夫琅和费衍射装置中，设中央明纹衍射角围很小．若使单缝宽度a 变为原来的3/2，同时使入射单色光波长变为原来的3/4，则屏上单缝衍射条纹中央明纹的宽度2ρ将变为原来的 1/2 倍．解：由单缝衍射暗纹公式 λθk a =sin ，暗纹位置 θθsin tan f f x k ≈⋅=，∴中央明半纹宽a f x λρ==1；若43λλ='，23a a =' 代入上式得 2ρρ=' 10-3 在单缝夫琅和费衍射中，设第一级暗纹的衍射角很小．若纳黄光（≈1λ589.3 nm ）中央明纹宽度为4.00 mm ，则=2λ442 nm 的兰紫色光的中央明纹宽度为 3 mm. 解：单缝衍射中央明纹半宽度a f x λρ==1，∴2121λλρρ=，1122)(22ρλρ== 3 mm 10-4 单缝夫琅和费衍射对应三级暗纹，单缝宽度所对应的波面可分为 6 个半波带．若缝宽缩小一半，原来第三级暗纹变为第 一级明 纹．（原题22-2）解：由单缝暗纹公式 263sin λλλθ⨯===k a ∴ 单缝面分为6个半波带．若缝宽缩小一半，单缝面分为3个半波带，所以原第三级暗纹为变第一级明纹． 10-5 波长分别为1λ和2λ的两束平面光波，通过单缝后形成衍射，1λ的第一极小和2λ的第二极小重合．问：⑴1λ与2λ之间关系如何？⑵ 图样中还有其他极小重合吗？ 解：⑴ 由单缝极小条件 11sin λθ=a 222sin λθ=a而 21θθ= ∴ 212λλ=⑵ 由 111sin λθk a =与 222sin λθk a = ，如有其它级极小重合时，必有21θθ= ，于是 2211λλk k = ，而212λλ=∴ 212k k = 即只要符合级数间的这个关系时，还有其它级次的极小还会重合．10-6 如图所示，用波长为546 nm 的单色平行光垂直照射单缝，缝后透镜的焦距为40.0 cm ，测得透镜后焦平面上衍射中央明纹宽度为 1.50 mm ，求：⑴ 单缝的宽度；⑵ 若把此套实验装置浸入水中，保持透镜焦距不变，则衍射中央明条纹宽度将为多少？（水的折射率为1.33） 原题22-1⑴ a = 2.912×10-4m⑵ 中央明纹宽a f x λρ2221=== 1.13×10-3 m10-7 衍射光栅主极大公式λθk d =sin ，Λ,3 ,2 ,1 ,0±±±=k ．在k = 2的方向上第一条缝与第六条缝对应点发出的两条衍射光的光程差δ λ10 ． 解：光栅相邻缝对应点发出的衍射光在2=k 的方向上光程差为λ2，则1=N 与6=N 对应点发出的衍射光的光程差λλδ1052=⨯=．10-8 用波长为546.1 nm 的平行单色光垂直照射在一透射光栅上，在分光计上测得第一级光谱线的衍射角︒=30θ，则该光栅每一毫米上有 916 条刻痕．解：由光栅方程 λθk d =sin ， 得 mm 91630sin 1条=︒==λd N10-9 用一毫米刻有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（3.589=λnm ），当光线垂直入射时，最多能看到第 3 级光谱．解：63102500101--⨯=⨯=d m ，光线垂直入射时，光栅衍射明纹条件λθk d =sin∵1sin <θ， 得 39.3=<λdk ，取整数 3max =k10-10 一束平行光垂直入射在平面透射光栅上，当光栅常数d /a = 3 时，k = 3, 6, 9级不出现． 解：由光栅缺级条件()k a d k '=，Λ,3,2,1±±±='k 时，Λ,9,6,3±±±=k 级缺级当k '取1时，3=k ，∴a d 3= 10-11 入射光波长一定时，当光线从垂直于光栅平面入射变为斜入射时，能观察到的光谱线最高级数max k 变大 （填“变小”或“变大”或“不变”）． 解：正入射光栅方程λθk d =sin ；斜入射光栅方程λθk i d '=+)sin (sin ，…，∵︒<90θ，︒<≤︒900i ，∴1sin <θ，1sin 0<<i ， ∴ m ax max k k >' 10-12 用波长围为400~760 nm 的白光照射到衍射光栅上，其衍射光谱的第二级和第三级重叠，则第三级光谱被重叠部分的波长围是 400 ～ 506.7 nm ． 原题22-6 解：λλ''=k k ，2323λλ=，令 2λ= 760 nm ，得 3λ = 506.7 nm 10-13 从光源射出的光束垂直照射到衍射光栅上．若波长为3.6531=λnm 和2.4102=λnm 的两光线的最大值在︒=41θ处首次重合．问衍射光栅常数为何值？解：由光栅方程公式有 dk d k 2211sin λλθ==∴60.12.4103.6561212===λλk k 而1k 与 2k 必须是整数，又取尽量小的级数 ∴8,521==k k=︒⨯⨯==-41sin 103.6565sin 91θλk d 61000.5-⨯ m10-14 波长为500nm 的单色平行光垂直入射于光栅常数为3103-⨯=d mm 的光栅上，若光栅中的透光缝宽度3102-⨯=a mm ，问⑴ 哪些谱线缺级？⑵ 在光栅后面的整个衍射场中，能出现哪几条光谱线？ 解：⑴ 根据缺级条件 k a dk '=（Λ,3,2,1±±±='k ）则光栅的第k 级谱线缺级（k 为整数） 本题 k k k a d k '='⨯⨯='=--2310210333 当 ='k 2、4、6….时k = 3、6、…则第±3、±6，…谱线缺级根据光栅方程 λθk d =sin ， λθsin d k = ， 令 2/πθ<得 61050010103933=⨯⨯⨯=<---λdk ，再考虑到缺级．只能出现 0、±1、±2、±4、±5共9条光谱线．10-15 一双缝，缝距 d = 0.40 mm ，两缝的宽度都是a = 0.080 mm ，用波长为480=λnm 的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距为f = 2.0 m 的透镜，求：⑴ 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距∆x ；⑵ 在单缝衍射中央亮纹围的双缝干涉亮纹数目． 原题22-3⑴ ∆x = 2.4×10-3 m⑵ 在单缝衍射中央亮纹围有 9条 亮谱线：4 ,3 ,2 ,1 ,0±±±±级10-16 光学仪器的最小分辨角的大小[ C ](A) 与物镜直径成正比； (B) 与工作波长成反比(C) 取决于工作波长与物镜直径的比值；(D) 取决于物镜直径与工作波长的比值. 解：Dλϕ22.1δ=10-17 人眼瞳孔随光强大小而变，平均孔径约为3.0 mm ，设感光波长为550 nm ，眼睛可分辨的角距离约为 1 分． 解：取人眼孔径为3 mm ，入射光波长为550nm ，眼最小分辨角 122.1δ'≅=ΛDλϕ10-18 在夜间人眼的瞳孔直径约为5.0 mm ，在可见光中人眼最敏感的波长为550 nm ，此时人眼的最小分辨角为 27.6 秒，有迎面驶来的汽车，两盏前灯相距1.30 m ，当汽车离人的距离为 9.69×103m 时，人眼恰好可分辨这两盏灯．原题22-7 解：Λ==Dλϕ22.1δ； Λ=∆∆=θx l10-19 根据光学仪器分辨率的瑞利判据，要利用望远镜分辨遥远星系中的星体，可采用 增大透镜直径 或 用较短的波长 的方法．10-20 用一部照相机在距离地面20 km 的高空中拍摄地面上的物体，若要求它能分辨地面上相距为0.1m 的两点，问照相机镜头的直径至少要 13.4 cm ．（设感光波长为550 nm ）解：由 l s D ==λϕ22.1δ，得134.01.010*********.1 22.139=⨯⨯⨯⨯==-s l D λm = 13.4cm 10-21 以未知波长的X 射线掠入射于晶面间隔为10103-⨯=d m 的晶面上，测得第一级布喇格衍射角︒=51θ，则该X ． 解：λϕk d =sin 2，k = 1，……10-22 一束波长围为0.095 ~ 0.140 nm 的X 射线照射到某晶体上，入射方向与某一晶面夹角为︒30，此晶面间的间距为0.275 nm ，求这束X 射线中能在此晶面上产生强反射的波长的大小． 原题22-8=λ0.1375 nm10-23 测量未知晶体晶格常数最有效的方法是X 射线衍射法．现用波长07126.0=λ nm （钼谱线）的X 射线照射到某未知晶体上，转动晶体，在三个相互正交的方位上各测得第2级布喇格衍射角分别为59561'''︒=ϕ、79132'''︒=ϕ、14943'''︒=ϕ，请分别求出这三个相互正交方位上的晶面间距． 解：晶体的衍射满足布喇格方程 λϕk d =sin 2 ϕλsin 2k d =已知 k = 2，︒=985.61ϕ、︒=319.32ϕ、︒=161.43ϕ解得：=1d 0.586 nm ，=2d 1.231 nm ，=3d 0.982 nm （该晶体为斜方晶系的无水芒硝）习题参考答案作业2 动量与角动量 功与能2-1 0.6 N·s； 2 g 2-2 1.41 Ns2-3 M P '=2υ；=''F 30N ，=P 45W 2-4 5.30 × 1012m 2-5 B A a b υυ= 2-6 0.45 m2-7 )(mr k ，)2(r k - 2-8 )2(22k g m2-9 )6(R GMm ，)3(R GMm - 2-10 4.23×106 J ， 151 s 2-11 31 J ，5.345 m/s2-12 222k ωq m E P =，222k ωp m E Q =222ωp m A x =，222ωq m A y -=作业4 气体动理论4-1 0.13 kg ，117升4-2 平衡状态，气体的准静态过程 4-3 1.53 × 104 Pa 4-4 相同，不同，不同 4-5 kTpVN =4-6 10 : 3， 5 : 3， 1 : 1 4-7 略4-8 =∆E 41.55 J ，221007.2-⨯=∆K E 4-9 =∆T 0.481 K ，41000.2⨯=∆p Pa 4-10 R E 52，)5(2μE ，)π5(4μE4-11 υυυd )(d 100⎰⎰∞=='f NN N ，υυd )(100⎰∞=f P ，υυυυυυd )(d )(100100⎰⎰∞∞=f f4-12 D4-13 51035.1⨯=P Pa 4-14 n = 3.2×1017 m 3 ，=λ7.8 m ，=z 59.9 s 14-15 =⎪⎭⎫ ⎝⎛υ1kT m π2=， υυ1π41⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛4-16 )3(20υ=a ，=∆N 0.333 N ，=υ 1.220υ，=2υ 1.310υ作业6 狭义相对论基础6-1 93，10，0，2.5×107s 6-2 51033.3-⨯-s ，天津 6-3 3.61 m ，143369.33'︒=︒ 6-4 1.418×108 m/s = 0.473 c 6-5 12 m ，4 s6-6 =∆t 1.6 s ，='∆t 0.96 s 6-7 )(122c a υ-，)(122c mυ-，)1(22c ab mυ-6-8cu c u l x -+=∆110,c u c u cl t -+=∆110,c =υ 6-9 0.7×106-10 50.8% 6-11 46-12 211k c -=υ 6-13 0.866 c ，0.866 c 6-14 2.94×10 eV6-15 4.1×1066-16 m = 2.67m 0，=υ0.5c ，0031.2m m =' 6-17 c 115.0m ax =υ，=ke E 3.43×103eV ，==ke kp 1840E E 6.31×106eV作业8 波 动8-1 略8-2 7.58×105 m8-3 316， 2.11×10118-4 10.5m ，5Hz ，52.4m/s ，x 轴正方向x = 0处质元的振动方程 8-5 600 cm/s ，)]24π(252sin[30.0x t y +=(cm)8-6 2π9-=ϕ，2π=∆ϕ 8-7 )]4(2cos[1042x t y -⨯=-π，图略8-8 4106.0-⨯J/m 3，4102.1-⨯J/m 3；71024.9-⨯J 8-9 0.58-10 []2ππ4cos 01.0++=x t y 反 8-11 ]π)(π2cos[+-=u x t A y ν]2π)(π2cos[--=x t A y ν入]2π)(π2cos[++=u x t A y ν反波节：νu k x ⋅=2（k = 0, -1, -2, …），波腹：νu k x )412(-=（k = 0, -1,-2, …）8-12 )( π2cos 2λx T t A y -=，t Tx A y y y π2cos π2cos 221λ=+=波腹 2 λk x =，k = 0, 1, 2, …波节 4)2( λ+=k x ，k = 0, 1, 2, …8-13 )π31712ππ7cos(10--=x t y (cm)作业10 光的衍射10-1 1.0 10-2 1/2 10-3 310-4 6， 一级明10-5 212λλ=，1λ的第k 1极小和2λ的第k 2 = 2k 1极小重合． 10-6 a = 2.912×10-4m,=ρ2 1.13×10-3m 10-7 λ10 10-8 916 10-9 3 10-10 3 10-11 变大10-12 400 ～ 506.7 10-13 61000.5-⨯=d m10-14 第±3、±6，…谱线缺级，只出现0,±1,±2,±4,±5共9条光谱线. 10-15 2.4 mm ， 9条亮纹10-16 C 10-17 110-18 27.6， 9.69×10310-19 增大透镜直径， 用较短的波长 10-20 13.4 10-21 111023.5-⨯ 10-22 =λ0.1375 nm10-23 =1d 0.586 nm ，=2d 1.231 nm ，=3d 0.982 nm。
