试谈圣彼得堡概率学派：从切比雪夫到马尔科夫

TECHNOLOGY WIND“统计与概率”观念已经作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一。

所以即将成为中小学数学教师和在职的中小学数学教师都应该对概率论的历史背景有所了解。

因为了解一门数学课题的历史会为讲解这一课题提供非常好的思路。

概率论是以“概率”概念为核心形成的一门数学分科。

一般认为，概率是偶然性事件出现的可能性大小的数值。

实践表明，偶然性事件在个别的试验中毫无规律可言，但是在大量的试验中却呈现某种规律性。

概率论就是研究大量偶然性事件的规律的数学。

由于偶然性事件是客观世界中广泛存在的现象，所以概率论的应用非常广泛。

正如Ｗ．Ｓ．Ｊｅｖｏｎｓ所说的“概率论是‘生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难移，无所作为。

’”一、概率论的酝酿概率和统计在其发展的初期是难以区分的。

它们的历史可以追溯到遥远的古代，比如，在公元前２０００年的埃及古墓中已有正立方体的骰子，虽然人们并不能确定这些骰子的用途，但它们非常可能用于预测未来以及用于赌博。

所以在古代游戏与赌博活动中就有概率思想的雏型。

但是概率论作为一门学科，则酝酿于１６世纪前后的两百余年之间，产生于１７世纪中期前后。

它产生的原因主要原因是由于当时保险行业的产生与发展以及赌博的盛行。

赌博的盛行，为研究概率论提供了优良的模型（如掷骰子的等概性明显，又可作重复试验），对概率论产生起了催化剂的作用。

１６世纪前后，相当多的数学家对赌博中的问题有浓厚的兴趣。

意大利的帕奇奥里、塔塔利亚和卡尔丹都曾经研究过镀金如何分配的问题。

尽管他们三人都没有得出赌徒分配赌金的正确方法，也没有建立概率论基本原理，但他们毕竟研究了概率论早期的重要问题，为概率论的产生作了准备。

二、古典概率论概率论的产生是同费马、帕斯卡和惠更斯的工作分不开的。

帕斯卡的朋友德．默勒向帕斯卡提出这样一个问题：甲、乙两人相约赌若干局，谁先赢ｓ局谁就是胜者，就可得全部赌金，现在甲赢１７６赌金？帕斯卡将这个问题转告给了费马。

切比雪夫不等式估计概率引言在概率论中，切比雪夫不等式是一种用于估计随机变量偏离其均值的可能程度的工具。

它是由俄罗斯数学家切比雪夫在19世纪末提出的，被广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。

切比雪夫不等式的核心思想是通过测量随机变量与其均值之间的差异，来估计随机变量落在某个范围内的概率。

该不等式提供了一个上界，使我们能够以较小的信息量对概率进行估计。

本文将详细介绍切比雪夫不等式的原理和应用，并通过实例演示如何使用切比雪夫不等式来估计概率。

切比雪夫不等式原理假设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望值（均值），Var(X)表示X的方差。

根据切比雪夫不等式，对于任意正数ε（ε > 0），有以下不等式成立：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^2换句话说，随机变量X偏离其期望值E(X)超过ε的概率不会超过Var(X)/ε^2。

切比雪夫不等式的推导过程相对简单，这里不再详述。

需要注意的是，切比雪夫不等式是一个上界估计，给出了随机变量落在某个范围内的概率的最大可能值。

切比雪夫不等式应用切比雪夫不等式在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 数据分析与异常检测在数据分析中，我们经常需要评估数据点与其均值之间的偏差程度。

通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计数据点落在某个范围内的概率，并进一步判断是否存在异常值。

例如，假设我们有一组电子商务网站用户的购物金额数据。

我们可以计算该数据集的均值和方差，并使用切比雪夫不等式来估计购物金额高于平均值两倍标准差的概率。

如果这个概率很小，我们可以将这些高额购物金额视为异常值。

2. 统计推断与抽样在统计推断中，我们经常需要对总体参数进行估计。

通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计总体参数落在某个范围内的概率，并计算置信区间。

例如，假设我们想要估计一组学生的平均身高。

我们可以从这组学生中随机抽取一部分样本，并通过样本均值和样本方差来估计总体均值和总体方差。

概率论的起源和发展2011111159 宁柯琳概率论是一门既古老又年轻的学科。

说它古老，是因为产生概率的重要因素---赌博游戏已经存在了几千年，概率思想早在文明早期就己经开始萌芽了。

而说它年轻，则是因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢，现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史，他们更愿意把1654年帕斯卡(Pasac)l和费马(Fomrat)之间的七封通信看作是概率论的开端。

这样，概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。

一般认为，概率论的历史只有短短的三百多年时间。

虽然在早期概率论的发展非常缓慢，但是十八世纪以后，由于社会学，天文学等其它学科的研究需要，使得概率本身的理论得到了迅速发展，它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。

在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。

无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。

概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。

1、机会的早期计算古希腊人从航海实践中发现了许多概率经验规律, 古犹太人在纪元之初就有概率加法定律和乘法定律的应用记录。

但是由于结果不确定的特点, 人们一直认为随机现象好似运气都由天神决定, 其规则是世俗不可想象的。

能够刺激人们思考概率的事情很多, 但最终孕育概率论的却是庸俗的骰子赌博。

公元 960 年左右, 怀特尔德大主教计算出掷三个骰子时不计次序所能出现的不同组合有 56 种。

十三世纪左右拉丁诗歌《维图拉》指出这 56 种组合出现的机会不是相同的: 3 枚骰子点数一样, 每个点数只有一种方式; 2 枚骰子点数一样而另一枚不一样, 则有 3 种方式; 如果 3 枚都不一样就有 6 种方式。

但是这些经验并没有引起更多的思考, 机会的计算仍处于直觉的、散乱的经验水平上。

叙述切比雪夫不等式
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目录
1.切比雪夫不等式的定义和背景
2.切比雪夫不等式的基本形式
3.切比雪夫不等式的应用举例
4.切比雪夫不等式的推广和发展
正文
1.切比雪夫不等式的定义和背景
切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，由俄国数学家切比雪夫（Chebyshev）在 19 世纪末提出。

切比雪夫不等式用于估计一个随机变量偏离其数学期望的概率，为研究随机变量的分布和性质提供了一种有效的方法。

2.切比雪夫不等式的基本形式
切比雪夫不等式的基本形式如下：
对于任意实数 k > 0，随机变量 X 的数学期望为μ，方差为σ^2，则有
P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k^2
其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率。

3.切比雪夫不等式的应用举例
假设我们要估计一个袋子里面装有 n 个红球和 k 个蓝球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率。

我们可以用切比雪夫不等式来估计这个概率。

设红球的概率为 p，蓝球的概率为 1-p，根据切比雪夫不等式，我们
可以得到：
P(抽到红球) ≥ 1 - 1/n^2
这意味着，当我们从袋子中抽取的次数越多，我们估计抽到红球的概率会越来越接近真实的概率。

4.切比雪夫不等式的推广和发展
切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用。

随着研究领域的不断拓展，切比雪夫不等式也得到了不断的推广和发展。

例如，在多元随机变量的情况下，切比雪夫不等式可以推广到切比雪夫 - 马尔可夫不等式（Chebyshev-Markov inequality）等。

概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。

16世纪意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷二个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。

17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡，P.de.费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合的方法研究了一些比较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”（即历史上有名的“得分问题”）“输光问题”等等，其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今成为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。

概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利。

他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，这个结果发表于他死后八年(1713)出版的遗著《推测术》。

1716年前后，A.棣莫弗用他导出的斯特林公式（即：）进一步证明了渐进地服从正态分布（德国数学家C.F.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，故亦称为高斯分布），这里，后来法国数学家P.S.拉普拉斯将棣莫弗的这一结果推广到一般的的情形，后世称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理的原始形式。

拉普拉斯对概率论的发展贡献很大，他在系统总结前人工作的基础上写出了《概率的分析理论》（1812年出版后又再版6次），在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。

拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤感兴趣。

继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数定律及棣莫弗—拉普拉斯极限定理，在这方面俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用自己创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数定律，次年又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机序列的中心极限定理。

1901年，A.M.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理，他利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。

概率论的起源及公理化概率论起源于博奕问题。

15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。

1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。

他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。

惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。

这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。

一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有P {|nm - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。

伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。

伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。

其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。

特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。

正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。

19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。

概率论思想的历史演变一、概述概率论，作为研究随机现象的数学学科，其思想的历史演变跨越了数千年，从古希腊和罗马时期的哲学思考，到中世纪文艺复兴时期的理论探索，再到19世纪的数学化进程，直至20和21世纪的科技应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。

概率论的起源可以追溯到古希腊和罗马时期，当时哲学家们开始从哲学的角度探讨可能性和偶然性的问题。

例如，亚里士多德提出了两种判断事件可能性的方法：一是基于结论的推导，二是基于实验观测。

在罗马时期，概率理论被应用于实际工程中，如托勒密在巨大工程中应用概率理论进行估算。

进入中世纪，文艺复兴时期的哲学家们将概率的概念引入了哲学论点中，如但丁对可能事件发生概率的探讨，以及随机离散数组的建立。

这一时期，概率理论还发展到了骰子投掷和算术遗传学等领域。

18世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段，罗伯特李和耶稣等学者提出了主观概率论和超确定性等思想，为研究不同可能性的情况提供了新的视角。

19世纪，概率论得到了更大的发展，统计学家和数学家如费马、贝尔、马克斯及高斯等人，将概率理论的概念分解为可能性、随机估计及测度论三个基本层次。

这一时期，概率论逐渐形成了完整的理论体系，并被广泛应用于各个领域。

进入20世纪后半叶，随着科技的飞速发展，概率论与统计学的结合越来越紧密，被广泛应用于模拟计算、逻辑思维等领域，实现了高效率的实证分析及预测性研究。

这使得概率论在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为了现代科学研究中不可或缺的一部分。

概率论思想的历史演变是一个漫长而不断深化的过程，从早期的哲学思考到现代的数学化、科技化应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。

这一过程不仅展现了人类对于随机现象认识的不断深化，也体现了科学技术的发展对于概率论思想的推动和影响。

1. 概率论思想的起源和背景概率论，作为数学的一个分支，其思想的形成和演变跨越了数百年，与人类对随机现象的探索和理解紧密相连。

其起源可以追溯到古希腊和古罗马时期，当时机会主义盛行，但由于数字系统和科学思想的限制，概率论并未得到显著发展。

历史上的数学学派——彼得堡学派俄国圣彼得堡（原苏联列宁格勒）19世纪下半叶至20世纪初兴起的数学学派。

以切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人为代表，主要特征是数学理论紧密与实际相结合，在应用数学中做出较大贡献。

切比雪夫是该学派的创始人，他自1847年起在圣彼得堡大学任教达35年之久，培养了大批优秀学生，不断创造新的成果。

他本人在数论方面从本质上推进了对素数分布问题的研究，在概率论中的多项成果使这一学科的发展进人新的阶段，在函数逼近论中建立切比雪夫多项式，由此开始创立函数构造理论。

他还在积分学等方面有所建树。

马尔可夫早年在圣彼得堡受教于切比雪夫，后任该校教授。

他研究数论中连分数和二次不等式理论，解决了许多难题。

1906—1912年间开创的马尔可夫过程研究在自然科学、工程技术和公用事业中有着广泛的应用。

他写的《有限差分学》和《概率演算》已成为学科经典著作。

李亚普诺夫也是切比雪夫的学生，他在概率论中得到中心极限定理的简洁证明，被广泛采用。

他的最大贡献是奠定常微分方程稳定性理论的基础，提出许多新方法。

这一方向的发展成为以后原苏联数学的一大特点。

彼得堡学派是原苏联最早的数学学派，它的成员和成果对原
苏联近代数学的发展产生巨大影响。

20世纪中叶，列宁格勒大学又出现了坎托罗维奇等现代数学家，他们在继承和发展彼得堡学派的理论及传统方面做出新的贡献。

（。

切比雪夫不等式1. 引言切比雪夫不等式（Chebyshev’s inequality）是概率论中一条重要的不等式，它描述了随机变量偏离其均值的程度。

切比雪夫不等式是由俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev）在1867年提出的，是概率论与数理统计中常用的一个基本定理。

2. 切比雪夫不等式的表述设X是一个随机变量，其期望值为μ，方差为σ^2。

则对于任意大于0的实数k，有： P(|X-μ| >= kσ) <= 1/k^2其中，P表示概率。

3. 推导过程为了推导切比雪夫不等式，我们需要先引入马尔可夫不等式。

3.1 马尔可夫不等式马尔可夫不等式（Markov’s inequality）是概率论中另一条重要的不等式，它描述了非负随机变量大于某个正数时的概率上界。

设X是一个非负随机变量，其期望值为E(X)，则对于任意大于0的实数a，有： P(X >= a) <= E(X)/a3.2 推导步骤现在我们开始推导切比雪夫不等式。

首先，我们将随机变量X标准化，即令Y = (X-μ)/σ。

此时，Y的期望值为0，方差为1。

根据马尔可夫不等式，对于任意大于0的实数t，有： P(|Y| >= t) <= E(Y2)/t2将Y的定义代入上式，得到： P(|(X-μ)/σ| >= t) <= E(((X-μ)/σ)2)/t2化简上式得到： P(|X-μ| >= tσ) <= E((X-μ)2)/(t2σ^2)由于方差的定义为Var(X) = E((X-μ)^2)，所以上式可以进一步化简为： P(|X-μ| >= tσ) <= Var(X)/(t2σ2)将切比雪夫不等式的表述形式代入上式，得到： P(|X-μ| >= kσ) <= 1/k^24. 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式在概率论和数理统计中有广泛的应用。

它可以用来估计随机变量偏离其均值的程度，并给出一个概率上界。

ｃｎ ｉｏ ｓ ｆ ａ ａ ｃ ｆｈ ｎ ｏ ｖｒ ｂｅｕ ｉ ｒ ｌ ， ｎ ｅｇｖ ｅＭａｋｖＳ（ ８ ６ １２ ）ｔｅｒｍ ｏ ｒｅ ｏ ｄｔ ｎ ｒ ｎ ｅｏ ｅｒ ｄｍ ａｉ ｌ ｎｆ ｍ ｙ ａ ｄｈ ａｅｔ ｒｏ １５ － ９ ２ ｈ ｏｅ ｆ ａｇ ｉ ｏ ｖｉ ｔ ａ ａ ｏ ｈ ｌ
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西北大学学报 （ 自然科 学 版 ）
科 学技 术 史 与科 学传 播 ・
圣 彼 得 堡 概 率 学 派 的 大 数 定 理山东 临 沂 ２ ６０ ） ７ ０ １
摘要 ： 目的 系统探 讨 和 分析 圣彼 得 堡 概 率 学派 的 大数 定理 理 论 。方 法 历 史分 析 和 文 献考 证 。
ａ ｕ ｒ ｏ ｌ Ｓｔ ｅ ｒ ｍ ｆｌｒ ｅ ｎｕ ｅ ｓ ｉ ４５；ａ ｘ ｅ ｄ ｄ ｔ ｅ ｒ ｓ ｌｓｔ ｈ ｉｓ ｎ ｓｔ ｅ ｒ ｍ ｆＬａ ｇ ｂｏ ｔＢｅ ｎ ｕｌ ｈ ｏ ｅ ｏ ａｇ ｍｂ ｒ ｎ １ ｉ ８ ｎｄ ｈｅ ｅ ｔｎ ｅ ｈ ｅ ｕｔ ｏ ｔ ｅ Ｐｏｓ ｏ ｈ ｏ ｅ ｏ ｒ ｅ
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他 又拓 广 了大数 定理 的条件 给 出切 比 雪夫 大数 定理 。 秉承切 比 雪夫 的研 究风 范 ， 尔可 夫 （ Ａ． 马 Ａ．

圣彼得堡悖论圣彼得堡悖论概述圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。

圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(Nicola Bernoulli)在1738提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。

设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。

如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。

按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。

游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。

随着n的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为l，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。

按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。

但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。

正如Hacking(1980)所说：“没有人愿意花25元去参加一次这样的游戏。

”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少? 决策理论的期望值准则在这里还成立吗?这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战? 正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。

、圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。

悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。

从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。

对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。

圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。

切比雪夫不等式推导切比雪夫不等式是概率论与统计学中一种重要的不等式，它描述了一个随机变量离其期望值的距离与标准差之间的关系。

通过切比雪夫不等式，我们可以得到对于任意分布的随机变量，在概率上限制其偏离期望值的范围。

为了推导切比雪夫不等式，我们先从定义入手。

令X为一个随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。

现在我们想要知道X离μ的距离超过多少时是非常罕见的情况，即X与μ的偏差较大的概率有多小。

为了求得这个概率，我们可以利用马尔可夫不等式。

根据马尔可夫不等式，对于一个非负随机变量Y和任意t > 0，有P(Y ≥ t) ≤ E(Y)/t。

我们将Y定义为(X-μ)^2，即X与μ之间的偏差的平方。

由于Y非负，我们可以使用马尔可夫不等式得到以下不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤ E((X-μ)^2) / t^2。

注意到E((X-μ)^2)正好是X的方差，记作σ^2。

将其代入上述不等式中，我们得到以下形式的不等式：P((X-μ)^2 ≥ t^2) ≤σ^2 / t^2。

由于X的标准差为σ，即σ^2 = σ^2，我们可以将不等式变形为：P(|X-μ| ≥ t) ≤ σ^2 / t^2。

现在，我们将不等式改写成概率形式，就变成了切比雪夫不等式：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2，其中k = t/σ。

切比雪夫不等式的意义在于它不受随机变量分布形式的限制，适用于任意随机变量。

通过这个不等式，我们可以得到一个随机变量离其期望值一定范围内的概率上界，无论是正态分布、均匀分布还是其他分布都适用。

例如，假设X是服从任意分布的随机变量，其期望值为μ，标准差为σ。

我们可以利用切比雪夫不等式来推导X离μ的距离超过2个标准差的概率上限。

根据切比雪夫不等式，我们有P(|X-μ| ≥ 2σ) ≤ 1/2^2 = 1/4，即X离μ的距离超过2个标准差的概率不会超过1/4。

切比雪夫不等式在实际应用中具有重要意义。

它告诉我们，如果我们想要控制一个随机变量离其期望值的距离的概率，我们只需要关注该随机变量的标准差。

概率论切比雪夫不等式概率论是数学的一个分支，研究的是随机事件的概率。

切比雪夫不等式是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量与其期望值之间的关系。

本文将详细介绍切比雪夫不等式的定义、证明和应用。

一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是概率论中的一种不等式，它描述了随机变量与其期望值之间的关系。

具体而言，对于任意一个随机变量X，其期望值为E(X)，则有：P(|X-E(X)|>=k)<=Var(X)/k^2其中，P表示概率，|X-E(X)|表示X与其期望值的差的绝对值，k表示一个正实数，Var(X)表示X的方差。

这个不等式的意义是，如果一个随机变量的方差越小，那么它与其期望值之间的差距也就越小，即它越稳定。

二、切比雪夫不等式的证明切比雪夫不等式的证明分为两部分：一是证明一个引理，即对于任意一个正实数k，有P(|X-E(X)|>=k)<=Var(X)/k^2；二是利用这个引理证明切比雪夫不等式。

引理的证明如下：首先，对于任意一个正实数k，我们有：P(|X-E(X)|>=k) = P((X-E(X))^2>=k^2) <= E[(X-E(X))^2]/k^2 这里用到了马尔可夫不等式，即对于任意一个非负随机变量X和任意一个正实数a，有P(X>=a)<=E(X)/a。

由于k是正实数，所以k^2也是正实数，因此可以应用马尔可夫不等式。

接下来，我们需要证明E[(X-E(X))^2]/k^2 <= Var(X)/k^2。

这个证明可以通过以下步骤完成：E[(X-E(X))^2]/k^2 = E[X^2 - 2XE(X) + E(X)^2]/k^2= E(X^2)/k^2 - 2E(X)E(X)/k^2 + E(X)^2/k^2= [E(X^2) - E(X)^2]/k^2= Var(X)/k^2因此，对于任意一个正实数k，有P(|X-E(X)|>=k)<=Var(X)/k^2。

一些概率统计方面的数学家的简介2008-07-29 11:51:03| 分类：统计\数学人物| 标签：|字号大中小订阅一些概率统计方面的数学家的简介转自/teacherweb/detail.phpusername=sunfujie&aid=4501&page=index下面向大家介绍一些概率统计方面的数学家的简介.好多没有，希望大家可以补充波莱尔(1871~1956)法国数学家1871年1月生于法国阿韦龙省的圣·阿弗里克,1956年2月卒于巴黎.1893年毕业于巴黎高等师范学校,在里尔大学任教.1894年获博士学位,1909年任巴黎大学理学院函数论教授第一次世界大战后改任概率及数学物理学教授.1921年当选为法国科学院院士,1928年协助建立庞加莱研究所并任所长直至去世.波莱尔把康托尔的点集论同自己的知识相结合,建立起实变函数论,他将测度从有限空间推广至更大一类点集(波莱尔可测集)上,建立起测度论的基础.20世纪初,他把概率论同测度结合起来,1909年引进可数事件的概率,填补了古典有限概率和几何概率之间的空白,同时证明了强大数律的一种特殊情形.泊松,S.D. (1902～1950)法国数学家,1781年6月生于法国皮蒂维耶,1840年4月卒于法国索镇.1798年入巴黎综合工科学校深造,其数学才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意,毕业时因优秀的毕业论文而被指定为讲师,1806年任该样教授.1809年任巴黎理学院力学教授.1812年当选为巴黎科学院院士.泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用.他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题,并由此得到数学上的发现.他主张概率方法的普遍适用性,他得到了概率论中著名的泊松分布.他一生共发表300多篇论著,最著名的著作有《力学教程》(二卷,1811,1833)和《判断的概率研究》(1837).棣莫佛.A. (1667~1754)棣莫佛是分析三角和概率论的先驱,1667年5月生于法国维特里—勒弗朗索瓦,1954年11月卒于伦敦.原来是法国加尔文派教徒,在新旧教斗争中被投入监狱,获释后于1685年移居伦敦,在那里以担任家庭教师和保险事业顾问等终其一生.他和I.牛顿及天文学家E.哈雷友善,谙熟牛顿的流数术,1697年被选入英国皇家学会.1718年出版《机遇论》,这是早期概率论的重要著作,其中第一次定义独立事件的乘法定理.在《分析杂录》(1730)中给出的近似公式,1733年棣莫佛用的近似公式导出正态分布的频率曲线作为二项分布的近似.他是最早给出棣莫佛公式的学者之一.费马.P. (1601~1665)法国数学家1601年8月生于法国南部博蒙-德洛马涅,1665年卒于卡斯特尔.他利用公务之余钻研数学,在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献,被誉为“业余数学家之王”.费马博览群书,精通数国文字,掌握多门自然科学.虽然年近30才关注数学,但成果累累.他性情淡泊,为人谦逊,对著作无意发表,去世后他的儿子S.费马将其论述汇集成书,在图卢兹出版(1679).费马特别爱好数论,他证明或提出许多命题.最有名的就是“费马大定理”.费马较早得到了解析几何的要旨,他是微积分学的先驱之一,他还是17世纪兴起的概率论的探索者之一.费希尔,R.A. (1890~1962)英国数学家,现代数理统计学的奠基人.1890年2月生于伦敦,1962年7月逝世.他1913年毕业于剑桥大学,1933年起任伦敦大学教授.在20世纪二三十年代提出了许多重要的统计方法,开辟了一系列统计学的分支领域.他发展了正态总体下各种统计量的抽样分布,与叶茨合作创立了“试验设计”统计分支并提出相适应的方差分析方法;费希尔在假设检验分支中引进了显著性检验概念并开辟了多元统计分析的方向.在20世纪三四十年代,费希尔和他的学派在数理统计学研究方面占据着主导地位.由于他的成就,曾多次获得英国和多国的荣誉,1952年被授予爵士称号.他发表的294篇论文收集在《费希尔论文集》中,其专著有:《研究人员用的统计方法》(1925),《试验设计》(1935),《统计方法与科学推断》(1956)等冯·诺伊曼.J (1903～1957)著名数学家.1903年生于匈牙利布达佩斯,1957年2月在华盛顿因病去世.诺伊曼从小就显示出数学天才,1921年入柏林大学,1923年入瑞士苏黎世联邦工业大学学习化学,在此期间开始研究数理逻辑,1926年春在布达佩斯大学获博士学位.之后相继在柏林大学、汉堡大学和普林斯顿大学任教,1933年成为普林斯顿高等研究所教授.第二次世界大战期间,曾任研制原子弹顾问,参加研制计算机.1954年成为美国原子能委会委员.冯·诺伊曼是20世纪最重要的数学家之一,在纯粹数学和应用数学方面都有杰出的贡献.1940年以前主要是纯粹数学的研究,1940年以后转向应用数学.从1942年起,与他人合作完成的《博弈论和经济行为》一书是博弈论中的经典著作,使他成为数理经济学的奠基人之一.高斯,C.F. (1777~1855)德国数学家和物理学家.1777年4月30日生于德国布伦瑞克幼时家境贫困,聪敏异常,受一贵族资助才进学校受教育.1795~1789年在哥廷根大学学习,1799年获博士学位.1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长,直到逝世.1833年和物理学家W.E.韦伯共同建立地磁观测台,组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网.1855年2月23日在哥廷根逝世.高斯长期从事数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研究,著述丰富,成就甚多.他一生共发表323篇(种)著作,提出404项科学创见(发表178项),在各领域的主要成就有:(1)利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像,建立高斯光学.(2)天文学和大地测量学中,如小行星轨道的计算,地球大小和形状的理论研究等.(3)结合试验数据的测算,发展了概率统计理论和误差理论,发明了最小二乘法,引入高斯误差曲线.此外,在纯数学方面,对代数、几何学等的若干基本定理作出严格证明.柯尔莫哥洛夫,A.H (1930～1987)苏联科学家,1903年4月生于俄国顿巴夫,1987年10月卒于苏联莫斯科.1920年入莫斯科大学学习,1931年任莫斯科大学教授后任该校数学所所长,1939年任苏联科学院院士,他对开创现代数学的一系列重要分支做出了重大贡献.柯尔莫哥洛夫建立了在测度论基础上的概率论公理系统,奠定了近代概率论的基础,他也是随机过程论的奠基人之一.1980年由于他在调和分析、概率论、遍历理论等方面的出色工作获沃尔夫奖.此外,他在信息论、测度论、拓朴学等领域都有重大贡献.他的工作为数学的一系列领域提供了新方法,开创了新方向,揭示了不同数学领域间的联系,并提供了它们在物、工程、计算机等学科的应用前景.他是20世纪最有影响的数学家.是美国、法国、英国等多国院士或皇家学会会员,是三次列宁勋章的获得者.拉普拉斯.P.S. (1749~1827)法国数学家、天文学家.1749年3月生于法国博蒙昂诺日,1927年3月卒于巴黎.年幼时就显露出数学才能,1767年他到巴黎拜见达朗贝尔,经过周折,终于以自己对力学原理的论述受到达朗贝尔的称赞,随即被介绍到巴黎军事学校任数学教授,1875年当选为法国科学院院士.1795年后,任巴黎综合工科学校、高等师范学校教授.1816年被选为法兰西科学院院士,后任该院院长.拉普拉斯的研究领域很广,涉及天文、数学、物理、化学等多方面课题.他把数学当作解决问题的主要工具,在运用数学的同时又创造和发展了许多新的数学方法.他在微分方程、复变函数论、代数学和概率论中都有卓越的贡献.他被公认为概率论的奠基人之一.拉普拉斯的研究成果大都包括在《宇宙体系论》(1796)中.《概率的分析理论》(1812)概率论方面一部内容丰富的奠基性著作,书中首次明确给出了概率的古典定义,系统叙述了概率论的基本定理,建立了观测误差理论(包括最小二乘法),并把概率论应用于人口统计.他的《关于概率的哲学探讨》为该书第二版的序言,文中提出了关于概率论的重要见解;概率论将成为人类知识中最重要的组成部分等等.马尔可夫.A.A (1856~1922)苏联科学家,1856年6月生于梁赞,1922年7月卒于彼得堡.1874年入圣彼得大学,1878年毕业,两年后取得硕士学位并任圣彼得堡大学副教授,1884年取得物理,数学博士学位.1886年任该校教授,1896年被选为圣彼得堡科学院院士,1905年被授予功勋教授的称号.马尔可夫是彼得堡数学学派的代表人物,以数论和概率论方面的工作著称.在数论方面,他研究了连分数和二次不等式理论,解决了许多难题.在概率论中,他发展了“矩法”扩大了大数律和中心极限定理的应用范围.马尔可夫最重要的工作是在1606～1912年间提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式—马尔可夫链,同时开创了一种无后效性的随机过程(马尔可夫过程)的研究.马尔可夫过程在自然科学、工程技术和公共事业中有广泛的应用.他的主要著作有《概率演算》等.切比雪夫.П.Л (1821～1894)俄国数学家,机械学家.1821年5月生于奥卡托瓦,1894年12月卒于彼得堡.1841年毕业于莫斯科大学,1849年获博士学位,1847～1882年在彼得堡大学任教,1850年成为教授.1859年当选为彼得堡科学院院士,他还是许多国家科学院的外籍院士和学术团体成员,1890年获法国荣誉团勋章.在概率论方面切比雪夫建立了证明极限定理的新方法—矩法,用十分初等的方法证明了一般形式的大数律,研究了独立随机变量和函数收敛条件,证明了这种和函数可以按的方幂渐近展开.他的贡献使概率论的发展进入新阶段.此外,切比雪夫还创立了函数构造理论,建立了著名的切比雪夫多项式.他在数学分析中也做了大量的工作.切比雪夫去世后,先后出版了他的论文集、全集和选集.1994年苏联科学院设立了切比雪夫奖金.瓦尔德.A (1902～1950)著名统计学家.1902年10月生于罗马尼亚的克卢日,1950年12月因飞机失事遇难.1927年入维也纳大学学习数学,1931年获博士学位,后在经济学领域作研究工作.1938年到美国,在哥伦比亚大学做统计推断理论方面的工作,1944年任教授,1946年被任命为新建立的数理统计系的执行官员.瓦尔德在统计学中的贡献是多方面的,最重要的有:1939年开始发展的统计决策理论.他提出了一般的判决问题,引进了损失函数、风险函数、极大极小原则和最不利先验分布等概念,这方面的成果系统总结反映在他的专著《统计决策函数论》(1950)中另一成果是序贯分析,他在第二次世界大战期间首次提出了著名的序贯概率比检验法(SPRT),并研究了这种检验法的各种特性,如计算两类错误概率及平均样本量.他和J.沃尔弗维茨SPRT的最优性(1948)被认为是理论统计领域中最深刻的结果之一.他的专著《序贯分析》(1947)奠定了序贯分析的基础.他的重要论文被收集在《瓦尔德概率统计论文集》(1955)中.辛钦, A.Я.(1894~1959)苏联数学家与数学教育家,现代概率论的奠基者之一,在分析学、数论及概率论对统计力学的应用方面有重要贡献.辛钦1894年7月生于莫斯科,1959年11月卒于莫斯科.他1916年毕业于莫斯科大学,并先后在本校及苏联科学院捷克洛夫数学研究所工作,1927年成为教授,1939年当选为苏联科学院通讯院士.他还是俄罗斯教育科学院院士.他最早的概率论成果是贝努里实验序列的重对数律,它导源于数论,是莫斯科学派的开端.直到现在重对数律仍然是概率论的重要研究课题之一.独立随机变量序列是概率论的重要领域,他与柯尔莫哥洛夫讨论了随即变量函数的收敛性,他证明了辛钦弱大数律等,他提出并证明了严格平稳过程的一般遍历定理,首次给出了宽平稳过程的概念并建立了它的谱理论基础.他还研究了概率极限理论与统计力学基础的关系.辛钦的10本专著涉及数学分析、概率极限理论、排队论、信息等,对促进社会发展起了显著的作用.许宝禄(1910~1970)中国现代数学家,统计学家,1910年4月生于北京,1928年入燕京大学学习,1930年转入清华大学攻数学,毕业后在北京大学任助教,1936年赴英国留学,在伦敦大学读研究生,同时又在剑桥大学学习,获哲学博士和科学博士学位.1940年回国任北京大学教授,执教于西南联合大学.1945年再次出国,先后在美国泊克利加州大学、哥伦比亚大学等任访问教授.1947年回国后一直在北京大学任教授.他是中国科学院学部委员.许宝禄是中国早期从事概率论和数理统计学研究并达到世界先进水平的一位杰出学者.他在多元统计分析与统计推断方面发表了一系列出色论文,推进了矩阵论在数理统计学中的应用.他对高斯一马尔可夫模型中方差的最优估计的研究是后来关于方差分量和方差的最佳二次估计的众多研究的起点,他揭示了线性假设的似然比检验的第一个优良性质,经研究他得到了样本方差分布的渐进展开以及中心极限定理中误差大小的阶的精确估计及其他若干成果.20世纪50年代后他抱病工作,为国家培养新一代数理工作者做出很大贡献,并对马尔可夫过程转多函数的可微性、次序统计量的极限分布等多方面开展研究,并发表了有价值的论文.他的著作主要有《抽样论》、《许宝禄论文选集》等.卡尔·皮尔逊（Karl Prarson,1857-1936）英国生物学家和统计学家，旧数理学派和描述统计学派的代表人物，现代统计科学的创立者。

摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。

它起源于十七世纪中叶，当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博者的问题。

费马、帕斯卡、惠更斯对这个问题进行了首先的研究与讨论，科尔莫戈罗夫等数学家对它进行了公理化。

后来，由于社会和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，隶莫弗、拉普拉斯、高斯等著名数学家对这方面内容进行了研究。

发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。

关键词：概率论公理化随机现象赌博问题17世纪资本主义经济的发展和文艺复兴运动的兴起，给欧洲数学注入了新的活力，欧洲数学家们开始以前所未有的热情投入到数学科学的研究中去。

在这一个世纪里，他们不仅建立起了以解析几何和微积分为代表的变量数学，进一步研究现实世界中的必然现象及其规律，而且还开始了对偶然现象的研究，这就是所谓的概率论。

记得大数学家庞加莱说过：“若想预见数学的将来，正确的方法是研究它的历史和现状。

”一、概率论的起源概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。

十分有趣的是，这样一门重要的数学分支，竟然起源于对赌博问题的研究。

1653年的夏天，法国著名的数学家、物理学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623——1662）前往浦埃托镇度假，旅途中，他遇到了“赌坛老手”梅累。

为了消除旅途的寂寞，梅累向帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”的问题。

问题是这样的——一次，梅累与其赌友赌掷骰子，每人押了32个金币，并事先约定：如果梅累先掷出三个6点，或其赌友先掷出三个4点，便算赢家。

遗憾的是，这场赌注不算小的赌博并未能顺利结束。

当梅累掷出两次6点，其赌友掷出一次4点时，梅累接到通知，要他马上陪同国王接见外宾。

君命难违，但就此收回各自的赌注又不甘心，他们只好按照已有的成绩分取这64个金币。

这下可把他难住了。

所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。

历史上的数学学派莫斯科学派历史上的数学学派——莫斯科学派原苏联20世纪初在莫斯科创立并不断发展的数学学派。

本质上不同于俄国十月革命前的彼得堡学派，主要侧重于理论数学。

该学派常被划分为两个专业方向不同的学派，即函数论学派和拓扑学派。

前者由叶戈洛夫和卢津创始，柯尔莫戈罗夫等人发扬光大。

后者以Π.C．亚历山德罗夫、乌雷松、庞特里亚金等人为代表。

莫斯科学派还包括其他分支的一大批数学家，直接代表了原苏联近现代数学发展的水平。

卢津是叶戈洛夫的学生，曾到法国和德国学习过，后在莫斯科大学主持实变函数论讲座。

他的《积分与三角级数》论述了许多函数论的重要结果，还提出一系列问题，长期以来左右着该学派的研究方向。

卢津培养了许多优秀学生，编写了一些经典教科书。

他的学生柯尔莫戈罗夫在函数论方面做了大量工作，后应用实变函数论和测度论将概率论建立在严格的数学公理体系上，还在若干数学分支中做出重大贡献，曾获1980年度沃尔夫奖。

Π.C．亚历山德罗夫和乌雷松也是卢津的学生，早年都从事函数论研究，后转向拓扑学，成为20世纪该学科的先驱。

乌雷松开创维数理论研究，发展了一般拓扑学。

Π.C．亚历山德罗夫组织拓扑学讨论班，在代数拓扑学方面多有建树。

庞特里亚金是该讨论班成员之一，写了几本著名的拓扑学专著，还在应用数学领域取得较大成就。

莫斯科学派的数学家将函数论作为工具，在拓扑学、微分方程、概率论等几个方面获得长足进展。

其中较著名的还有索伯列夫的现代微分方程理论，辛钦的概率论研究，盖尔范德的泛函分析与代数学成就等。

近年来莫斯科数学界仍然新人辈出，其中C.Π．诺维科夫和马尔古利斯分别荣获1970年和1978年度菲尔兹奖。

（。

马尔可夫不等式与切⽐雪夫不等式
马尔可夫不等式
若随机变量X只取⾮负值，则任意a>0，有P(X>=a)<=\frac{E(X)} 该不等式的证明主要是利⽤对期望概念的理解，根据下图的计算过程⾛就是了。

该不等式对随机变量的信息利⽤不够全⾯，只使⽤了期望进⾏计算，所以计算出来的概率上界⽐较宽松。

据此推出的切⽐雪夫不等式应⽤⽐较⼴泛。

切⽐雪夫不等式
切⽐雪夫不等式的⼀种推导⽅式是马尔科夫不等式的特殊情况。

取$Y=(X-\mu)2，则有E(Y)=\sigma2$，将其带⼊到马尔可夫不等式中即可得证。

还有⼀种推导⽅式是利⽤密度函数计算，具体过程是从参考链接2搬来的。

Processing math: 100%。