高中数学选修4-5同步练习题库：一般形式的柯西不等式(全部)

课堂练习(八) 柯西不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝2，则ax ＋by 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ． 2D ．4[解析] ∵(ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝2， ∴ax ＋by ≤ 2. [答案] C2．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．3 B ．1 C ．33D ． 3[解析] ∵a ＋b ＋c ＝1·a ＋1·b ＋1·c ，且a ，b ，c 大于0.由柯西不等式得 (1·a ＋1·b ＋1·c )2≤(12＋12＋12)(a 2＋b 2＋c 2)， ∴a 2＋b 2＋c 2≥3.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立， ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值为 3. [答案] D3．已知x ＋y ＝1，且x >0，y >0，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65， 当且仅当2x ·13＝3y ·12，即x ＝35，y ＝25时等号成立，∴2x 2＋3y 2的最小值为65.[答案] B4．若a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2[解析] ∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )， ≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4，故a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2.因此a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为2.[答案] C5．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(－1,1) C ．(0，－1)D ．[－1,1][解析] 设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1， 由|α||β|≥|α·β|，得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1,1]． [答案] D 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． [解析] ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6，∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．[答案] 127．若a ＝(1,0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2＋y 2＋z 2＝16，则a ·b 的最大值为________． [解析] 由题知，a ·b ＝x －2z ，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2，当且仅当向量a 与b 共线时“＝”成立， ∴5×16≥(x －2z )2， ∴－45≤x －2z ≤45， 即－45≤a ·b ≤4 5. 故a ·b 的最大值为4 5. [答案] 4 58．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则a 2＋b 2＝________. [解析] 由柯西不等式得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1， 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)， 于是a 2＋b 2＝1. [答案] 1 三、解答题9．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2· 1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 10．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．[解] 如图所示，设内接长方形ABCD 的长为x ，宽为4R 2－x 2，于是 ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1×4R 2－x 2)． 由柯西不等式得l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12) 12＝22·2R ＝42R .当且仅当x1＝4R 2－x21，即x ＝2R 时等号成立．此时，宽＝4R 2－(2R )2＝2R ，即ABCD 为正方形， 故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .[能力提升练]1．函数y ＝x 2－2x ＋3＋x 2－6x ＋14的最小值是( ) A ．10B ．210C ．11＋210D ．10＋1[解析] y ＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5.根据柯西不等式，得y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2[(x －1)2＋2][(3－x )2＋5] ≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2[(x －1)(3－x )＋10] ＝[(x －1)＋(3－x )]2＋2＋5＋210 ＝11＋210，当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝210－13时等号成立．此时，y min ＝11＋210＝10＋1. [答案] D2．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取“＝”． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.[答案] 56。

二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。

二维形式的柯西不等式（全部）1、已知2x+3y+4z=1，则x2+y2+z2的最小值是（）A． B． C． D．2、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．8 B．6 C．4 D．23、已知a＋b＋c＝1，且a ， b ， c＞0，则的最小值为( )A．1 B．3 C．6 D．94、若实数a ，b ，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )A．3 B．1 C． D．5、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为( )A．1 B．6 C．11 D．6、n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A．1 B．n C．n2 D．7、设a ， b ， c＞0，且a＋b＋c＝1，则的最大值是( )A．1 B． C．3 D．98、函数的最大值是( )A． B． C． D．9、设实数满足关系：，，则实数的最大值为（）A．2 B． C．3 D．10、函数的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．611、已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则的值为（）A．2 B．1 C． D．12、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A． B． C． D．13、设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+ B．2 C．3 D．14、用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A． B．3 C．4 D．515、对任意正数x，y不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，则实数k的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．416、已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A．1 B．4 C．8 D．917、已知a+b=1，则以下成立的是（）A．a2+b2＞1 B．a2+b2=1 C．a2+b2＜1 D．a2b2=118、二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）19、已知a，b∈R，a2+b2=4，求3a+2b的取值范围为（）A．3a+2b≤4 B．3a+2b≤ C．3a+2b≥4 D．不确定20、（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A． B． C． D．21、（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2 C．2 D．322、（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2 C． D．123、选修4-5:不等式选讲已知.(Ⅰ)求证:；(Ⅱ)若不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.24、选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，满足，求证：．25、（2014•镇江二模）已知不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，求实数a的取值范围．26、选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（1）求的值；（2）求函数的最大值.27、若函数的最小值为．（1）求实数的值；（2）若，且，证明：．28、设2x＋3y＋5z＝29，求函数的最大值.29、已知 a,b 为实数,且 a>0,b>0 ,(1)求证: ;(2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2的最小值.30、(1)关于的不等式的解集不是空集，求的取值范围；(2)设，，，且，求的取值范围．31、(1)设x＞0，求的最小值；(2)已知，求的最小值．32、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.33、已知函数，，且的解集为.(1)求的值；(2)若，且，求证：.34、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.35、函数的最大值为______.36、（1）证明：如果，，那么；（2）已知，求的最小值．37、设对于任意实数，不等式恒成立，且的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：．38、【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）求函数：最大值．39、（选修４－５：不等式选讲）已知均为正数，且a＋2b＋3c＝9．求证：＋＋≥．40、选修4—5：不等式证明选讲设为正实数，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若，求的值．41、函数的最大值为______.42、[选修4-5：不等式选讲]已知，且，，求的取值范围．43、选修4-5：不等式选讲已知，函数的最大值为.（1）求的值；（2）求的最小值，并求出此时的值.44、已知函数，且的解集为.(1)求的值；(2)若正实数，满足.求的最小值.45、已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2.（1）求整数的值；（2）已知，若，求的最大值；（3）函数，若不等式的解集为，且存在实数使成立，求实数的取值范围.46、选修4-5：不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．47、D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.48、选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为.（1）求的值；（2）设为正数，且，求最大值.49、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：.50、选修4-5：不等式选讲（1）若关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围；（2）对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.51、选修4-5：不等式选讲已知函数，，且的解集为．（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若均为正实数，且满足，求证：．52、已知函数，且的解集为.（1）解不等式：；（2）若均为正实数，且满足，求证：.53、（2014•陕西模拟）函数的最大值是．54、（2014•黄浦区一模）设向量=（a，b），=（m，n），其中a，b，m，n∈R，由不等式||•||恒成立，可以证明（柯西）不等式（am+bn）2≤（a2+b2）（m2+n2）（当且仅当，即an=bm时等号成立），己知x，y∈R+，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．55、（2014•宜昌三模）若a，b，c为正实数且满足a+2b+3c=6，则++的最大值为．56、（2014•祁东县一模）已知a，b，c∈R，且2a+2b+c=8，则（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是．57、（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．58、（2014•陕西三模）已知a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4，cd=1，则（a2c2+b2d2）（b2c2+a2d2）的最小值为．59、函数的最小值为________60、已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．61、已知向量，则__________．62、函数的最大值为__________．63、（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．参考答案1、D2、C3、D4、D5、D6、C7、B8、D9、B10、A11、C12、A13、D14、C15、A16、D17、B18、C19、B20、A21、C22、B23、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .24、（1）；（2）见解析.25、≤a≤26、(1);(2)5.27、（1）；（2）证明见解析.28、29、（1）见解析（2）30、(1)；(2).31、（1）3；（2）.32、(1) (2)3633、(1) (2)3634、（1）（2）935、36、（1）见解析；（2）.37、（1）（2）见解析38、39、见解析.40、（Ⅰ）．（Ⅱ）1.41、42、．43、（1）；（2）最小值为，.44、（1）（2）945、（1）；（2）；（3）.46、（1）（2）见解析47、详见解析.48、（1）;（2）.49、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.50、（1）（2）51、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.52、（1）；（2）证明见解析.53、10．54、k＞．55、3．56、57、．58、1659、2560、61、162、1063、k＞．【解析】1、试题分析：由条件利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，由此求得x2+y2+z2的最小值．解：∵2x+3y+4z=1，利用柯西不等式可得（x2+y2+z2）（4+9+16）≥（2x+3y+4z）2=1，故x2+y2+z2≥，当且仅当时，取等号，故x2+y2+z2的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式应用，属于基础题．2、所以，正实数的最小值为4.3、，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.4、，，当且仅当时等号成立，故选D.5、，当且仅当时等号成立，的最小值，故选D.6、由柯西不等式，得，当且仅当时取等号，故选C.7、由柯西不等式得，，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选B.8、由柯西不等式可得故选D.9、解：根据柯西不等式可知：4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2，∴4(16-e2)≥(8-e)2，即64-4e2≥64-16e+e2，∴5e2-16e≤0，∴0≤e≤，本题选择B选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．10、由题意得，因为，则，当且仅当时等号成立的，所以函数的最小值为，故选A.11、试题分析：由题意可得tanθ=＞1，再由+=化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ 的值，可得tanθ=的值．解：∵x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，∴tanθ=＞1．再由，+=，可得=，化简可得 3tan4θ﹣10tan2θ+3=0．解得 tan2θ=3，或 tan2θ=（舍去），∴tanθ==，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，一元二次方程的解法，属于基础题．12、设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，（），半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设椭圆和双曲线的离心率分别为∵，则由余弦定理可得，①在椭圆中，①化简为即…②，在双曲线中，①化简为即…③，由柯西不等式得故选B．【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．13、试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．14、试题分析：由柯西不等式可得，函数y=≤•，从而求得函数的最大值．解：由柯西不等式可得，函数y=≤•=4，当且仅当==时，等号成立，故函数y的最大值为4，故选：C．点评：本题主要考查了二维形式的柯西不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），在求解函数最值中的应用，属于基础题．15、试题分析：根据题意可得（k﹣）x+ky≥2，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，可得2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0，由此求得k的最小值．解：由所给的选项可得k≥1，∵（k﹣）x+ky≥2，x、y都是正实数，不等式（k﹣）x+ky≥恒成立，∴2≥，∴2≥，化简可得（2k+1）（k﹣1）≥0．解得k≤﹣（舍去），或k≥1，故k的最小值为1，故选：A．点评：本题主要考查基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16、试题分析：由柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，由此求得正数k的值．解：由题意利用柯西不等式可得（x2+4y2+kz2）（1++）≥（x+y+z）2，即 36（1++）≥（x+y+z）2．再根据x+y+z的最大值为7，可得36（1++）=49，求得正数k=9，故选：D．点评：本题主要考查柯西不等式的应用，属于基础题．17、试题分析：利用柯西不等式即可得出．解：由柯西不等式，得1=a+b≤[a2+（1﹣a2）][（1﹣b2）+b2]=1，当且仅当=时，上式取等号，∴，化为a2b2=（1﹣a2）（1﹣b2），于是 a2+b2=1．故选：B．点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．18、试题分析：二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．19、试题分析：首先分析题目已知a2+b2=4，求3a+2b的取值范围．考虑到应用柯西不等式，首先构造出柯西不等式求出（3a+2b）2的最大值，开平方根即可得到答案．解：已知a2+b2=4和柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）故（3a+2b）2≤（a2+b2）（32+22）=52即：3a+2b≤故选B．点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少，计算量小，属于基础题目．20、试题分析：运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．21、试题分析：利用柯西不等式，可得（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，结合x+y+z=2，即可求出++的最大值．解：∵x、y、z是正数，∴（1+2+3）（x+y+z）≥（++）2，∵x+y+z=2，∴++≤=2，∴++的最大值是2．故选：C．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．22、试题分析：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得：[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2=[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2，∴[（a5+a6）﹣（a1+a4）]2≤8，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）≤2，∴（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为2，故选B．点评：本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，利用[（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2]（1+1+1+4+1）≥[（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+2（a5﹣a4）+（a6﹣a5）]2，是解题的关键．23、试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.24、试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式求得最小值，由柯西不等式证明即可.试题解析：（1）由，得，当时，，即，解得；当时，，即，即，恒成立；当时，，即，解得．综上得的解集为．（2）由，得，即．因为，所以，令向量，．由，得，即，当且仅当，即，时，取到等号．从而成立．25、试题分析：不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2恒成立，只要|a﹣2||≤（x2+2y2+3z2）min，利用柯西不等式求出x2+2y2+3z2的最小值，再解关于a的绝对值不等式即可．解：因为已知x，y，z是实数，且x+y+z=1，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2故有（x2+2y2+3z2）（1++）≥（x+y+z）2故x2+2y2+3z2≥，当且仅当x=，y=，z=时取等号，∵不等式|a﹣2|≤x2+2y2+3z2对满足x+y+z=1的一切实数x，y，z都成立，∴|a﹣2|≤，∴≤a≤．点评：本题主要考查了柯西不等式求解最值的应用及函数的恒成立与最值的相互转化关系的应用．26、试题分析:(1)方法1：将函数按零点分段去掉绝对值,写成分段函数的形式,可得函数的单调性,进而得出最小值,即a的值; 方法2：根据绝对值三角不等式放缩,再由绝对值恒大于等于0求出函数的最值以及取等条件,进而得到a值;(2)先求出函数的定义,根据柯西不等式放缩求出最值并验证取等条件.试题解析:（Ⅰ）方法1：∵∴在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数，则，∴．方法2：∵，当且仅当时取等号，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为，且，由柯西不等式可得：，当且仅当时等号成立，即时，函数取最大值．27、试题分析：（1）化简的解析式，判断的单调性，利用函数的最小值为列方程解出；（2）搭配，利用柯西不等式可得出结论.试题解析：（1）当时，最小值为，,当时，最小值为，（舍）综上所述，.（2）证明：∵,∴.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值或者证明不等式时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答28、试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件，本题采取如下方法将原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.试题解析：根据柯西不等式120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥，故 .当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即，时等号成立，此时 .29、试题分析：（1）先利用基本不等式可得，可得，再次利用基本不等式可得结论；（2）原不等式左边化为.，利用柯西不等式求解即可.试题解析：（1）证明:因为a>0,b>0,所以（2）解：[(5-2a)2+4b2+(a-b)2 ][12+12+22] ≥[(5-2a)1+2b1+(a-b)2]2 ,所以当且仅当时取等号,解得所以当时取最小值 .当时取最小值.30、试题分析：（1）利用绝对值不等式可得，，依题意即可求得的取值范围；（2）利用柯西不等式，可求得，从而可得答案.试题解析：(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，————2分且|x－3|＋|x－4|<a的解集不是空集，∴a>1，即a的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·[()2＋()2＋()2]≥(4×＋×＋2×)2＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．31、试题分析：（1）利用均值不等式得其最小值；（2）构造柯西不等式得其最小值.试题解析：（1），当且仅当时取“”号．（2）由柯西不等式，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为. 32、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)33、试题分析：（1）由不等式解集与对应方程根的关系可得.（2）直接由柯西不等式得：36试题解析：解：(1)因为，所以等价于，由有且其解集为，因为的解集为，所以.(2)由(1)得，由柯西不等式得：(另解：)34、试题分析：（1）由得，解得其解集为，即可得到实数的值；（2）由(1)知，又是正实数，利用柯西不等式，即可求解其最小值.试题解析：（1）因为所以由得由有解，得，且其解集为又不等式解集为，故（2）由(1)知，又是正实数，由柯西不等式得当且仅当时取等号故的最小值为935、由柯西不等式：，即函数的最大值为.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．36、试题分析：（1）作差利用乘法公式与实数的性质即可得出．（2）利用柯西不等式的性质即可得出．试题解析：（1）∵，，∴，∴．（2），∴,当且仅当时取等号。

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二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a，b，c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是()A。

A>B B。

A≥BC。

A<B D.A≤B解析因为(12+12+12）·(a2+b2+c2)≥（a+b+c）2,所以,当且仅当a=b=c时,等号成立。

又a，b,c均大于0，所以a+b+c>0,所以。

答案B2。

若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2 B。

4C.D。

8解析由柯西不等式，可得［12+12+（)2］（x2+y2+z2)≥(x+y+z)2，即（x+y+z）2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=，即x=,y=,z=时，等号成立,即x+y+z的最大值等于2.答案A3.已知+…+=1，+…+=1，则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是（）A.1B.2C.3 D。

4解析∵(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(+…+）×(+…+)=1×1=1，∴a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.答案A4。

设a,b,c均为正数且a+b+c=9，则的最小值为（)A.81 B。

自主广场我夯基我达标1.已知a 12+a 22+…+a n 2=1,x 12+x 22+…+x n 2=1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4思路解析：(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2)=1×1=1.∴a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是1. 答案：A2.已知x,y,z ∈R +且x+y+z=1,则x 2+y 2+z 2的最小值是( )A.1B.31 C.32D.2 思路解析：根据柯西不等式，x 2+y 2+z 2=31(12+12+12)(x 2+y 2+z 2)≥31(1×x+1×y+1×z)2=31(x+y+z)2=31. 答案：B3.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A.1 B.n C.n 2 D.n1 思路解析：设n 个正数为x 1,x 2,…,x n ，由柯西不等式，得 (x 1+x 2+…+x n )(n x x x 11121+++ )≥(nn x x x x x x 1112211⨯++⨯+⨯ )2=(1+1+…+1)2=n 2.答案：C4.已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A.56 B.356 C.3536 D.6 思路解析：由柯西不等式，得x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 2)×2225311++≥(1×x+3×y+5×z)2×363635163512=⨯=. 答案：C5.已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( )A.65,910,35 B.2940,2930,2920 C.1，21，31 D.1，91,41思路解析：当且仅当2x =43z y =时，取到最小值，所以联立⎪⎩⎪⎨⎧=++==,10432,432z y x zy x 可得2940,2930,2920===z y x . 答案：B6.已知a,b,c ∈R +，且a+b+c=1,求141414+++++c b a 的最大值.解：由柯西不等式，得 (141414+++++c b a )2=(1×14+a +1×14+b +1×14+c )2≤(12+12+12）（4a+1+4b+1+4c+1) =3［4(a+b+c)+3］=21. 当且仅当a=b=c=31时，取“=”. 故141414+++++c b a 的最大值为21.我综合我发展7.三角形三边a,b,c 对应的高为h a ,h b ,h c ，r 为三角形内切圆半径.若h a +h b +h c 的值为9r.试判断此三角形的形状.思路解析：记三角形的面积为S ，则2S=ah a =bh b =ch c ，又因为2S=r(a+b+c),所以h a +h b +h c =2S(a 1+b 1+c 1) =r(a+b+c)(a 1+b 1+c1).由柯西不等式，得 (a+b+c)(a 1+b 1+c1) =［(a )2+(b )2+(c )2］［(a 1)2+(b1)2+(c 1)2］ ≥［a ×a 1+b ×b1+c ×c 1］2=9. 当且仅当a=b=c 时取等号.所以h a +h b +h c =9r,当且仅当a=b=c 时取等号. 故h a +h b +h c =9r 时，三角形为等边三角形.8.△ABC 的三边长为a,b,c ，其外接圆半径为R.求证：(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥36R 2. 证明：由三角形的正弦定理，得sinA=R a2,所以2224sin 1a R A =.同理，2222224sin 1,4sin 1cR C b R B ==. 于是左边=(a 2+b 2+c 2)(222222444cRb R a R ++)≥(a×a R 2+b×b R 2+c×cR 2)2=36R 2. 9.求实数x,y 的值，使(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值. 解：由柯西不等式，得(12+22+12)×［(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2］ ≥［1×（y-1)+2×(3-x-y)+1×(2x+y-6)］2=1.即(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥61. 当且仅当1622311-+=--=-y x y x y , 即x=25,y=65时上式取等号.故所求值为x=25,y=65.10.设x 1,x 2, …,x n 都是正数，且∑=ni ix1=1.求证：∑∑==-≥-n i i ni i i x n x x 11111. 证明：不等式的左端，即∑∑∑===---=-ni i ni ini ii x x x x 1111111，①∑∑==≥n i ini iy n y 1211,取y i =i x -1 则∑∑==-≥-ni i ni ix n x 121)1(11.②由柯西不等式，有)1(])1([)1(11212111-=-≤-∑∑∑===n n x x ni i ni ni i ③及n x ni i ≤∑=1.④综合①②③④,得∑∑∑===---=-ni i ni ini ii x x x x 1111111≥∑∑==---ni i ni i x x n 1121)1(≥∑=-≥-=---ni i x n n nn n n n n 12111)1()1(.。

课时跟踪检测(十) 一般形式的柯西不等式1. 已知a2+ b2+ c2+ d2= 5，贝V ab + bc+ cd+ ad 的最小值为()A. 5B.—5C . 25D . —25解析：选 B (ab+ bc+ cd+ ad)2w (a2+ b2+ c2+ d2) (b2+ c2+ d2+ a2) = 25,当且仅当a=b= c= d= ±当时，等号成立.二ab+ bc+ cd+ bd的最小值为一5・2. 已知a i + a2+…+ a n = 1, x1+ x2+・・・ + X：= 1，贝U a i x i+ a2X2+…+ a n X n的最大值是( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 A (a i x i + a?x2+…+ a n X n)2w (a i + a2+・・・ + a$ (x1+ x2+…+ x n)= 1 x 1 = 1, 当且仅当xi= x2=- = xn= 1时取等号.a i a2 a na i x i + a2X2+ …+ a n X n 的最大值是1.12 3 y z3.已知x, y, z€ R +,且一+ 2+ 3= 1,则x +彳+ 3的最小值是()x y z 2 3B. 63(a2+ b2+ c2)(x2+ y2+ z2)> (ax+ by+ cz)2= 400,当且仅z =2时等号成立.2 2当且仅当J = 2= x yC . 8 解析：选D x + 2+ 3= 2 + 3y +3 D . X + y +2 2 2 2 2 24.设 a , b , c , x , y , z 是正数，且 a + b + c = 10, x + y + z = 40, ax + by + cz = 20,5.已知2x + 3y + z = 8,则x 2+ y 2 + z 2取得最小值时，x,y, z 形成的点(x,y, z)= 解析：由柯西不等式(22+ 32+ 12)(x 2 + y 2 + z 2) > (2x + 3y + z)2,即 x 2+ y 2+ z 2> 372.当 a = b = c x y z 2时取等号，因此有 a + b + c = 1x + y + z = 2解析:由柯西不等式当且仅当2= y =z 时等号成立.又 2x + 3y + z = 8,解得 x = 7 y =号,z = 7, 故所求点为 8, 12, 4 . 答案：i8 1! 4) 7，7，7 6.设a , b, c 为正数，则(a + b + c)f +詈+ 36的最小值是 解析:(a + b + c)g + b +36 /= ［(W )2+(阿+ (回［点)+ 境)+ 财］》a I b '3b +c '6c 2=(2 + 3+ 6)2= 121.a =b =c = k(k 为正实数)时，等号成立. 2 3 6答案：1217.已知实数x , y , z 满足3x + 2y + z = 1,则x 2+ 2/ + 3Z 2的最小值为解析：由柯西不等式，得[x 2+ (J2y)2+ (^z)2] -32+所以 x 2+ 2y 2 + 3z 2> 34,x 2y 3z 93 当且仅当3= 2 = 〒，即x = 34, y = 34, 所以x 2+ 2y 2 + 3z 2的最小值为34.答案：34a b c证明：•'snA =snB =snC =2R ,2 2 2 j 1 1 1 I•••(a + b +c) snA +拆+ snc当且仅当 1 z = 34时，等号成立, 8 .在△ ABC 中，设其各边长为a ,b ,c ,外接圆半径为 R ，求证：(a 2 + b 2 + c 2)sik +孟+sfc2 > 36R 2.> (3x + 2y + z)2 = 1,A a ±+ 2b 盘+ 3c ± 屈丿=9.-i c C 2= 36R 2. sin C9.在直线5x + 3y = 2上求一点，使(x + 2y — 1)2+ (3x — y + 3)2取得最小值.解：由柯西不等式得(22 + 12)[(x + 2y — 1)2+ (3x — y + 3)2]A [2(X + 2y — 1)+ (3x — y + 3)] 2 =2(5x + 3y + 1) = 9.••• (x + 2y — 1)2+ (3x — y + 3)2> 9. 5当且仅当 x + 2y — 1 = 2(3x — y + 3)即5x — 4y + 7= 0时取等号.x =—賞, 得35 y =9.10.已知函数 f(x) = m — |x — 2|, m € R ，且 f(x + 2)>0 的解集为[—1,1]. ⑴求m 的值;111 ⑵若a , b , c 为正实数，且a + 2b + 3C = m ,求证：a + 2b + 30 9.解：(1)因为 f(x + 2)= m — |x|, 所以f(x + 2) A 0等价于|x|w m.由|x|w m 有解，得 m >0,且其解集为{x| — m <x < m}, 又 f(x + 2)> 0 的解集为[—1,1],故 m = 1.111(2)证明：由(1)知a +莎+3c =1,所以 a + 2b + 3c = (a + 2b + 3c) a , )b ,sin A sin B 解方程组 5x + 3y = 2,5x — 4y =— 7, 故所求点的坐标为13 35'9. 1+丄 2b 3c。

高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。

同步测控我夯基，我达标1。

y=x x -+-625的最大值是（) A.3 B.5C.3D.5解析：y=1×5-x +2x -6≤2221+×5)6()5(22=-+-x x 。

答案:B2.若x 、y∈R +，x+y≤4,则下列不等式成立的是（ ） A 。

yx +1≤41B 。

yx11+≥1 C 。

xy ≥2D 。

xy1≥1解析：∵x+y≤4，x 、y∈R +， ∴yx +1≥41.A 不成立。

∵x+y≥2xy ，∴4≥2xy 。

∴xy ≤2。

∴C 不成立。

∴0<xy≤4,xy1≥41。

D 一定不成立。

而(x1+y1)(x+y)≥(x x•1+y y•1)2=4, ∵x+y>0,∴x1+y1≥yx +4。

∵x+y≤4,∴yx +1≥41.∴yx +4≥4×41=1。

∴x1+y1≥1成立,即B 成立.3.已知x 、y 、z∈R +,且x+y+z=1,则x 2+y 2+z 2的最小值是（ ） A.1 B 。

31 C 。

32 D 。

2解析：∵（x 2+y 2+z 2)（12+12+12)≥（x+y+z)2=1， ∴x 2+y 2+z 2≥31，当且仅当x=y=z=31时，取“=”。

答案:B4。

n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是（ ） A 。

1 B 。

n C 。

n 2 D.n1解析:设a i 〉0(i=1,2，…，n),则（a 1+a 2+…+a n )（11a +21a +…+na 1）≥(221111a a a a •+•+…+nn a a 1•）2=n 2.答案:C5。

已知a 12+a 22+…+a n 2=1,x 12+x 22+…+x n 2=1,则a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n 的最大值是（ )A 。

1 B.2 C.3 D 。

4 解析:由柯西不等式(a 12+a 22+…+a n 2)(x 12+x 22+…+x n 2） ≥(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )2， 得a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤1。

二一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知a,b,c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是()A.A>BB.A≥BC.A<BD.A≤B解析因为(12+12+12)·(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,所以,当且仅当a=b=c时,等号成立.又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,所以.答案B2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()A.2B.4C. D.8解析由柯西不等式,可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=,即x=,y=,z=时,等号成立,即x+y+z的最大值等于2.答案A3.已知+…+=1,+…+=1,则a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析∵(a1x1+a2x2+…+a n x n)2≤(+…+)×(+…+)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+a n x n的最大值是1.答案A4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则的最小值为()A.81B.49C.9D.7解析由柯西不等式,可得(a+b+c)··81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为9.答案C5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A. B. C.6 D.3解析由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]≥[x+y+(1-x-y)]2=1,即x2+y2+(1-x-y)2≥,当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.答案B6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值为. 解析由柯西不等式,得()2=(1×+1×+1×)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21.当且仅当a=b=c=时,取等号.故的最大值为.答案7.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为.解析因为(a+b+c)=[()2+()2+()2]=18,所以≥2当且仅当,即a=b=c=3时,等号成立,故的最小值为2.答案28.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则=. 解析由柯西不等式知25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当=k时,等号成立.由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=,所以=k=.答案9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证≥9.证明左边=[2(a+b+c)]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,故原不等式成立.10.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),所以16≤14(x2+y2+z2).因此x2+y2+z2≥,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.B组1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析由柯西不等式,得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3≤x+2y+2z≤3.当且仅当|x|=时,等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.答案C2.导学号26394054已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于()A. B.C.13D.18解析当且仅当时,等号成立,故最大值为.答案A3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是.解析(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥=(2+3+6)2=121.当且仅当时,等号成立.答案1214.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为.解析2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.答案95.导学号26394055已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,=12,求证0≤x i≤3(i=1,2,3,4).证明由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(),由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1,=12-,代入上式,得(6-x1)2≤3(12-),∴36-12x1+≤36-3,∴4-12x1≤0,∴0≤x1≤3,同理可证0≤x i≤3(i=2,3,4).综上所述,0≤x i≤3(i=1,2,3,4).6.导学号26394056设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得5e2-16e≤0⇒0≤e≤,故e max=.。

课后导练基础达标1设A=a 2+b 2+c 2,B=ab+bc+ca(a,b,c ∈R ),则A 、B 的大小关系是( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B解析:(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.答案:C2若a,b,c>0且ab+bc+ca=1,则a+b+c 的最小值为( )A.1B.2C.3D.3解析:(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca)2=1.∴a 2+b 2+c 2≥1.从而(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ac)≥1+2=3.∴a+b+c≥3.答案:D3若a≠b,则a 2+3b 2与2b(a+b)的大小关系为( )A.a 2+3b 2>2b(a+b)B.a 2+3b 2<2b(a+b)C.a 2+3b 2≥2b(a+b)D.a 2+3b 2≤2b(a+b)解析:(a 2+3b 2)2=(a 2+b 2+2b 2)(b 2+a 2+2b 2)>(ab+ba+2b 2)2=4b 2(a+b)2(∵a≠b,∴“=”不取),∴a 2+3b 2>2b(a+b).答案:A4若a,b ，c ＞0，则M=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2),N=9abc 的大小关系为( )A.M>NB.M<NC.M≥ND.M≤N解析:∵(a 2+b 2+c 2)(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ac)2,∴a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.∴(a+b+c)(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c)(bc+ac+ab) ≥(ab c ac b bc a •+•+•)2 =(abc 3)2=9abc.∴M≥N.答案:C5设a,b,c>0，M=ab+bc+ca+c 2,N=ab+a+b+1,P=16abc,则MN 与P 的大小关系是( )A.MN>PB.MN≤PC.MN≥PD.MN<P解析:MN=(ab+bc+ca+c 2)·(ab+a+b+1)=abc(c 1+a 1+b 1+ab c )(1+a+b+ab)≥abc(c 1+1+1+c )2=abc(c 1+1+1+c )(c +1+1+c 1)≥abc(1+1+1+1)2=16abc.答案:C综合运用6已知A 、B 、C 是三角形三内角的弧度数，则C B A 111++与π9的大小关系为( ) A.C B A 111++≥π9 B.C B A 111++≤π9 C.C B A 111++>π9 D.C B A 111++<π9 解析:∵A ＋B ＋C ＝π,∴(A+B+C)(CB A 111++)≥(1+1+1)2=9. ∴C B A 111++≥π9. 等号当且仅当A ＝B ＝C=π3时取得. 答案:A7a 、b 、c ∈R +，求证：)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++. 证明:2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a),∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［ac c b b a +++++111］≥(1+1+1)2=9. ∴)(29111c b a a c c b b a ++≥+++++. 等号当且仅当a=b=c 时取得.8a ∈R ，求证:(1+a+a 2)2≤3(1+a 2+a 4).证明:3(1+a 2+a 4)=(1+1+1)(1+a 2+a 4)≥(1+a+a 2)2.9设a 、b 、c ∈R +，求证：abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2. 证明:(bc+ac+ab)(abc ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2. 又bc+ac+ab≤a 2+b 2+c 2,∴(a 2+b 2+c 2)(abc ac b bc a 444++)≥(a 2+b 2+c 2)2, 即abc ac b bc a 444++≥a 2+b 2+c 2.拓展探究10设n 是不小于2的正整数，证明2221211174<+++++≤n n n . 证明:∵(nn n 212111+++++ )·［(n+1)+(n+2)+…+2n ］≥(1+1+…+1)2=n 2, n n n 212111+++++ ≥1322)2()1(2+=+++++n n n n n n 742323211=+≥+=--n 由柯西不等式,nn n 212111+++++ ≤])2(1)2(1)1(1)[111(222222n n n ++++++++ 22)211(])2)(12(1)2)(1(1)1(1[=-=-++++++•<n n n n n n n n n n 备选习题11已知非负数x i (i=1,2,3,…,n)满足x 1+x 2+…+x n =1, 求证：n x x x n ≤+++21(n ∈N *). 证明:))(1111()(12121n n x x x x x x n n +++++++=+++=• 221)(n x x x +++≥ =n x x x +++ 21∴原不等式成立.12设三角形三边分别为a,b,c,半周长为p. 求证：p c p b p a p 3≤-+-+-. 解析:设z c p y b p x a p =-=-=-,,, 记c p b p a p -+-+-=s,则x+y+z=s,x 2+y 2+z 2=p.（注:a+b+c=2p ）由柯西不等式得s 2=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3p ⇒s≤p 3, 即p c p b p a p 3≤-+-+-13(第18届美国数学奥林匹克试题)试确定方程组x+y+z=3...(1)x 2+y 2+z 2=3 (2)x 5+y 5+z 5＝3…（3）的一切实数解.解析:由已知并根据柯西不等式得32=(x+y+z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+12+12)=3×3, 上式等号成立的充要条件是111z y x ==,代入(1)，得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解，经验证也是（3）的解，所以原方程组的唯一实数解是(1,1,1). 14设x i ∈R +（i=1,2,…,n ），试证(x 1+x 2+…+x n )［n x x x 11121+++ ］≥n 2. 证明:［(1x )2+(2x )2+…+(n x )2］ ［(11x )2+(21x )2+…+(nx 1)2］ ≥［1x ·11x +2x ·21x +…+n x ·nx 1］2 =(1+1+…+1)2.15设a,b,c ∈R +，试证2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:［(c b a+)2+(a c b +)2+(ba c +)2］ ［(cb +)2+(ac +)2+(b a +)2］≥(a+b+c)2,即(ba c a cbc b a +++++222)(b+c+c+a+a+b)≥(a+b+c)2. 故2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 16设a,b,c,d ＞1，且log a (bcd)≤9,试证log b a+log c a+log d a≥1.证明:［(a b log )2+(a c log )2+(a d log )2］［(b a log )2+(c a log )2+(d a log )2］ ≥(log b a·log a b+log c a·log a c+log d a·log a d)2=(1+1+1)2=9, log b a+log c a+log d a ≥)(log 9log log log 9bcd d c b a a a a =++≥1.。