新人教版八年级上册数学[等腰三角形性质及判定(提高)知识点整理及重点题型梳理]

等腰三角形 要点全析1．等腰三角形〔isosceles triangle 〕有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC 中，AB ＝AC ，那么△ABC 是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC 叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC ，底边和腰的夹角∠ABC 和∠ACB 叫底角．如图14-3-2中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，那么，AC 、BC 为腰，AB 边为底，∠A 、∠B 为底角，∠C 为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：〔1〕等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB 为底，∠C 为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．〔2〕等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边〔或任意两边之差小于第三边〕．假设图14-3-1中，AB ＝AC ＝m ，BC ＝a ，那么2m ＞a ，即m ＞2a时，才能构成三角形，否那么不成立．如边长分别为2，的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：〔1〕以下各组数据为边长时，能否组成三角形？①a ＝2，b ＝3，c ＝5；②a ＝4，b ＝3，c ＝2；③a ＝1，b ＝2，c ＝2；④a ＝2 005，b ＝2 004，c ＝2 008．〔2〕等腰三角形的两边为6 cm ，7 cm ，求其周长．〔3〕等腰三角形的两边长为2 cm ，7 cm ，求其周长．解：〔1〕①由于2＋3＝5，即a ＋b ＝c ，而不满足a ＋b ＞c ，∴ 不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b ＋c ＞a ，所以a 、b 、c 可以组成三角形． ③由于1＋2＞2，即a ＋b ＞c ，所以a 、b 、c 可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．〔2〕因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19〔cm〕当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20〔cm〕．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．〔3〕因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．假设为2 cm，那么2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16〔cm〕，∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，那么∠B＝∠C证法一：〔利用轴对称〕过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD〔轴对称性质〕．∴∠B＝∠C证法二：〔作顶角平分线〕过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD〔SAS〕．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠，＝＝（公共角），＝，＝90AEC ADB A A AC AB∴ △ABD ≌△ACE 〔AAS 〕．∴ BD ＝CE在Rt △BCD 和Rt △CBE 中，⎩⎨⎧CE BD CB BC ＝＝∴ Rt △BCD ≌Rt △CBE 〔HL 〕．∴ ∠B ＝∠C ．证法四：如图14-3-5，分别取AB 、AC 的中点E 、D ，连接BD 、CE ．∵ AB ＝AC ，AD ＝DC ＝21AC ，AE ＝BE ＝21AB ，∴ AD ＝BE ＝AE ＝DC在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝AE AD A A AC AB∴ △ABD ≌△ACE 〔SAS 〕．∴ BD ＝CE ．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧，＝，＝，＝CD BEBD CECB BC∴△BCE≌△CBD〔SSS〕．∴∠ABC＝∠ACB．【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．3．等腰三角形的性质2〔简称“三线合一〞〕等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，假设AD平分∠BAC，那么AD⊥BC，BD＝CD；假设BD＝CD，那么AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；假设AD⊥BC，那么BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】〔1〕“三线合一〞仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．〔2〕在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，假设某一三角形中三线重合，那么该三角形为等腰三角形．〔3〕在今后的证明题中，经常会使用“三线合一〞进展证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC ＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－〔∠ABC＋∠ACB〕＝180°－2∠ACB＝2〔90°－∠C〕．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，那么AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3〔轴对称性〕等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线〔顶角平分线、底边上的高〕所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，那么△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4〔两腰上的对应线段相等〕等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，假设BD、CE分别为AC、AB 边上的高线，那么BD＝CE．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB 〔等边对等角〕．又∵ BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴ ∠BDC ＝∠CEB ＝90°．在△BCD 和△CBE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CB BC CEB BDC CBE BCD∴ △BCD ≌△CBE 〔AAS 〕．∴ BD ＝CE ．或S △ABC ＝21AB ·CE ＝21AC ·BD ．∵ AB ＝AC ，∴ BD ＝CE ．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理〔等角对等边〕如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等〔简写成“等角对等边〞〕．例如：如图14-3-11，△ABC 中，假设∠B ＝∠C ，那么AB ＝AC证明：过点A 作AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，那么∠BAD ＝∠CAD ．在△ABD 和△ACD 中，∴ △ABD ≌△ACD 〔AAS 〕．∴AB ＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】〔1〕在使用“等边对等角〞或“等角对等边〞时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系． 〔2〕有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB〔等边对等角〕．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD〔SAS〕．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC〔等角对等边〕．【说明】证两条线段相等，假设这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．底边和底边上的高，求作等腰三角形线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：〔1〕作线段BC＝a；〔2〕作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；〔3〕在MN上截取AD＝b；〔4〕连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】〔1〕由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．〔2〕以前所作的三角形分别为：三边，两边夹角，两角夹边和斜边、直角边求作三角形，今天又学习了底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为根底进展作图的．8．等边三角形〔equilateral triangle〕〔1〕定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC 中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形．〔2〕性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，假设△ABC为等边三角形，那么∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．〔3〕判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠C 求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ ∠B ＝∠C ，∴ AB ＝AC又∵ ∠A ＝∠B ∴ AC ＝BC∴ AB ＝AC ＝BC ，∴ △ABC 是等边三角形．判定②：如图14-3-15，△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．证明：∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ．又∵ ∠B ＝60°，∴ ∠B ＝∠C ＝60°．又∵ ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴ ∠A ＝180°－〔∠B ＋∠C 〕＝60°．∴ ∠A ＝∠B ＝∠C ，∴ AB ＝BC ＝AC ．∴ △ABC 为等边三角形．〔4〕应用：例如：如图14-3-16，△ABC 为等边三角形，D 、E 为直线BC 上的两点，且BD ＝BC ＝CE ，求∠DAE 的度数．分析：要求∠DAE 的度数，需分开求，先求∠BAC ，再求∠DAB 和∠CAE ，由△ABC 为等边三角形知∠BAC ＝60°，又∵ BD ＝BC ，而BC ＝BA ，那么BD＝BA ，∴ △ABD 为等腰三角形，∴ ∠D ＝∠DAB ＝21∠ABC ＝30°．同理可知，∠CAE ＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】此题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：此题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD〔SAS〕．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵ ∠ACQ ＋∠BCF ＝60°，∴ ∠ACQ ＋∠CAQ ＝60°．∴ ∠AQF ＝∠ACQ ＋∠CAQ ＝60°，即∠PQR ＝60°．同理，∠RPQ ＝∠PRQ ＝60°．∴△PQR 为等边三角形．【说明】〔1〕此题证明思路比拟清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真； 〔2〕在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么BC ＝21AB ，这一性质反过来也成立．即在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，假设BC ＝21AB ，那么∠A＝30°．因此Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°BC ＝21AB 这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt △ABC 中，∠BAC 为直角，高AD 交BC 于D ，∠B ＝30°，BC ＝12米，求CD ，BD 的长．解：∵ 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，∴ ∠C ＝60°，BC ＝2AC∴ AC ＝21BC ＝6〔米〕．在Rt △ACD 中，∵ AD ⊥BC ，∠C ＝60°，∴ ∠CAD ＝30°．∴ DC ＝21AC ＝21×6＝3〔米〕．∴ BD ＝BC －DC ＝9－6＝12－3＝9〔米〕．【说明】在此题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．10．证明线段相等的方法到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：〔1〕全等三角形的对应边相等〔在两个三角形中〕．〔2〕等角对等边〔在一个三角形中〕．〔3〕轴对称的性质〔在某条直线的两侧〕．〔4〕角平分线的性质〔在角的平分线上的两条线段〕．〔5〕中点的概念〔在一条直线上〕．〔6〕利用第三条等量线段．〔7〕作辅助线、创造条件．例如：如图14-3-20，点D 、E 在BC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE ．求证：BD ＝CE ．分析：因BD 与CE 在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进展证明，也可用轴对称的性质进展证明． 证法一：用全等三角形∵AB＝AC，∴∠B＝∠C又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE〔SAS〕．∴BD＝CE．证法二：用中线如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF〔三线合一〕．又∵AD＝AE，AF⊥DE，∴DF＝EF〔三线合一〕．∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．证法三：用轴对称过A作BC边上的垂线，垂足为F．∵AB＝AC，AF⊥BC，∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．即BD＝CE．【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．11．证明角相等的方法到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：〔1〕角平分线的定义及性质．〔2〕全等三角形的对应角相等〔在两个三角形中〕．〔3〕等边对等角〔在一个三角形中〕．〔4〕轴对称的性质．〔5〕找第三等量角〔如∠A＝∠C，∠B＝∠C，那么∠A＝∠B〕．〔6〕作辅助线，创造条件．例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：∠BAD＝∠CAD．分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进展证明．证法一：用全等三角形∵∠1＝∠2，∴DB＝DC在△ABD和△ACD中，AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，∴∠ABD≌△ACD〔SSS〕．∴∠BAD＝∠CAD．证法二：用轴对称∵∠1＝∠2，∴DB＝DC∴点D在BC的垂直平分线上．又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．∴∠BAD＝∠CAD〔轴对称的性质〕．证法三：用角平分线∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，∴点A、D都在BC的垂直平分线上．∴AD也为∠BAC的平分线〔三线合一〕．∴∠BAD＝∠CAD．例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD 于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．证明：∵EF垂直平分AD，∴F A＝FD．∴∠1＝∠3＋∠4．又∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．即∠B＝∠CAF．12．三角形中的不等关系〔1〕大边对大角：在一个三角形中，如果两条边不等，那么这两条边所对的角也不等，并且较大的边所对的角也较大，简称“大边对大角〞．如图14-3-23，在△ABC中，假设AB＞AC，那么∠C＞∠B〔2〕大角对大边：在一个三角形中，如果两个角不等，那么这两个角所对的边也不等，并且较大的角所对的边较大，简称“大角对大边〞．如图14-3-23，在△ABC中，假设∠C＞∠B，那么AB＞AC．【说明】〔1〕上述两个定理的使用条件是在一个三角形中，否那么不成立；〔2〕上述不等关系具有传递性，即△ABC中的三边分别为a、b、c，假设a＞b，b＞c那么a＞c；同样所对的角也如此．假设△ABC中，∠A＞∠B，∠B＞∠C，那么∠A＞∠C例如：判断以下说法是否正确，为什么？〔1〕在一个三角形中，假设最长边所对的角为锐角，那么此三角形为锐角三角形．〔2〕直角三角形中，斜边最长．〔3〕钝角三角形中，钝角所对的边不一定是最长边．分析：此题目的在于考察三角形中边、角不等关系的灵活应用情况．解：〔1〕正确．因最长边对的角是最大角，而最大角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形．〔2〕正确．因为直角三角形中，直角最大，那么斜边应是最长的．〔3〕不正确．因为钝角三角形中，钝角最大，它所对的边应该最大，所以，上述说法不正确．再如：△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的中线．求证：∠BAD＜∠CAD分析：要比拟两个角的大小，需将其放入同一个三角形中．如何放入一个三角形中，通常采用平移法，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，那么△BDE≌△CDA，有∠E＝∠CAD，BE＝AC，在△ABE中，AB＞BE．那么∠E ＞∠BAD，即∠BAD＜∠CAD成立．证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB〔SAS〕．∴∠CAD＝∠E，AC＝BE．又∵AB＞AC，∴AB＞BE．在△ABE中，∵AB＞BE，∴∠E＞∠BAD．又∵∠E＝∠CAD，∴∠CAD＞∠BAD即∠BAD＜∠CAD．【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD，通过辅助线移至一个三角形ABE中，而这种移法较为常用．【题目变式1】如图14-3-25，在△ABC中，AB＞AC，AD为角平分线．求证：BD＞CD．证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE．那么△ADE≌△ADC〔SAS〕．∴DE＝DC，∠3＝∠4．又∵∠BED＞∠3，∴∠BED＞∠4．又∵∠4＞∠B，∴∠BED＞∠B．∴BD＞DE．即BD＞DC【题目变式2】如图14-3-26，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高．求证：∠BAD＞∠CAD证明：在△ABC中，∵AB＞AC，∴∠B＜∠C．又∵AD⊥BC于D，∴∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°．∴∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．而∠B＜∠C，∴∠BAD＞∠CAD．13．得到等腰三角形的方法〔1〕如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰〔或两腰的延长线〕相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．〔2〕把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合局部是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．〔3〕等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．〔4〕等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．〔5〕等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．〔6〕36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．〔7〕90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．。

等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。

【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】 利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】 利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】 如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】 利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】 如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】 与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】 如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】 确定等腰三角形的个数 【例7】 如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】 在坐标系中确定三角形的个数【例8】 已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】 判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。

初二上册数学等腰三角形知识点总结
初二上册数学等腰三角形知识点总结
数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了初二上册数学等腰三角形知识点总结,希望能够帮助到大家。

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形.
相等的两条边叫腰;两腰的夹角叫顶角;顶角所对的边叫底;腰与底的夹角叫底角。

等腰三角形性质：(1)具有一般三角形的边角关系
(2)等边对等角;(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合;
(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线;(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半;(6)顶角等于180减去底角的两倍;(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角.
等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形.
等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等并且每个都是60。

5. 等腰三角形的判定：
①利用定义;②等角对等边;
等边三角形的判定：
①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形
②有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.
含30锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半。

三角形边角的不等关系;长边对大角，短边对小角;大角对长边，小角对短边。

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等腰三角形性质及判定（基础）【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴其余各角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.3.（2015春•安岳县期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组．（1）求a、b的值．（2）求这个等腰三角形的周长．【答案与解析】解：（1），②×2﹣①得5b=15，解得b=3，把b=3代入②得2a+3=13，解得a=5；（2）若a=5为腰长，5+5＞3满足，此时三角形周长为：5×2+3=13；若b=3为腰长，3+3＞5满足，此时三角形周长为：3×2+5=11．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．举一反三：【变式】（2015•裕华区模拟）若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A． 12 B．14 C．15 D．12或15【答案】C.解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0，解得x=3，y=6，①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，∵3+3=6，EB A DC F∴不能组成三角形，②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6， 能组成三角形，周长=3+6+6=15， 所以，三角形的周长为15． 故选C ．类型三、等腰三角形性质和判定综合应用【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例8】4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥B C 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD ＝DC ，易证△ABD ≌△CFD ，要证BE ⊥AC ，只需证∠BEC ＝90°即可，DF ＝BD ，可知∠FBD ＝45°，由已知∠ACD ＝45°，可知∠BEC ＝90°. 【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.∵ 45ACB ∠=︒，∴ 45ACB DAC ∠=∠=︒ ∴ AD＝CD∵ BAD FCD ∠=∠，∴ △ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴ BD＝FD.∵ ∠FDB＝90°，∴ 45FBD BFD ∠=∠=︒.∵ 45ACB ∠=︒， ∴ 90BEC ∠=︒. ∴ BE⊥AC．【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD ，求出∠FBD=∠BFD=45°． 举一反三：【变式】（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠1=∠2，EF ∥BC 交AC 于点F ．试说明AE=CF ．【思路点拨】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可．【答案与解析】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，∵∠1=∠2，AD⊥BC，∴EH=ED（角平分线的性质）∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，∴四边形EFGD是矩形，∴ED=FG，∴EH=FG，∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AHE=∠FGC=90°，∴△AEH≌△CFG（AAS）∴AE=CF．【总结升华】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．附录资料：《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形　底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形　等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数； ②已知正多边形边数，求外角度数. (2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边. (2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用. 【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016•丰润区二模）若三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ，则它的第三边长不可能为（ ）A ．5cmB ．8cmC ．10cmD ．17cm【思路点拨】直接利用三角形三边关系得出第三边的取值范围，进而得出答案． 【答案与解析】解：∵三角形的两条边长分别为6cm 和10cm ， ∴第三边长的取值范围是：4＜x ＜16， ∴它的第三边长不可能为：17cm ． 故选：D ．【总结升华】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出第三边的取值范围是解题关键． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.2.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型二、三角形中重要线段3. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．4.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC ＝8cm，求边AC的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD为△ABC的AB边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1类型三、与三角形有关的角5、（2014春•新泰市期末）已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 平分线，∠B=50°，∠DAE=10°， （1）求∠BAE 的度数； （2）求∠C 的度数．【思路点拨】（1）根据AD 是BC 边上的高和∠DAE=10°，求得∠AED 的度数；再进一步根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；（2）根据（1）的结论和角平分线的定义求得∠BAC 的度数，再根据三角形的内角和定理就可求得∠C 的度数． 【答案与解析】 解：（1）∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠AED=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=180°﹣90°﹣10°=80°． ∵∠B+∠BAE=∠AED，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=80°﹣50°=30°． （2）∵AE 是∠BAC 平分线，∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°． ∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°． 【总结升华】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质． 【高清课堂：与三角形有关的角 例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型五、多边形内角和及外角和公式7．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【思路点拨】本题实际告诉了这个多边形的内角和是.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，∴，解得.∴这个多边形是十二边形.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数，根据条件列出关于的方程，求出的值即可，这是一种常用的解题思路.举一反三【变式】（2015•徐州）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是．【答案】9.解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，边数：360°÷40°=9．类型六、多边形对角线公式的运用8．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C;类型七、镶嵌问题9．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.。

13.3等腰三角形一、本节学习指导本节中我们要掌握等腰三角形、等边三角形的性质和特征。

不用刻意去做练习增强这部分记忆，后面我们将会在很多题目中遇到这些知识，慢慢的就谨记于心了。

二、知识要点1、等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形。

如图：相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。

两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

2、等腰三角形的性质【重点】性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

注：（1）等腰三角形是轴对称图形。

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等。

（3）在全等三角形中，相等的边对应的角相等，反之也成立。

3、等腰三角形的判定定理、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

4、等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。

5、等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°6、等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7、常用结论【重点】（1）在直角三角形中，30°多对的边是斜边的一半。

（2）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

（3）等边三角形中三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

上图中一一用图形展现了上面的结论，希望能帮助同学们理解这些里结论。

（1）直角三角形ACB中，∠B=30°，所对的边AC=（1/2）AB（2）三角形ABC中，三个内角平分线交与点O，则有OE=OF=OD。

适用于任何三角形。

（3）在等边三角形中，三边的中垂线AD、BE、CF交于一点，并且三个顶点ABC到交点的距离相等。

三、经验之谈：本节的知识还算比较简单，不过同学们要善于观察图形，总结经验。

等腰三角形知识点归纳及提高知识点归纳：（一）等腰三角形的性质1、有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2、定理及推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线相互垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1、有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

3、等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，视具体情况而定。

例1、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE=CD，D M⊥BC，垂足为M。

求证：M是BE的中点。

例2、如图，已知：△ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，且ＡＤ＝ＤＢ，ＤＣ＝ＣＡ，求∠ＢＡＣ的度数例3、已知：如图：△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形拥有一些独特的性质和判定条件。

本文将介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边长度相等，即两边的边长相同。

2. 两顶角相等：等腰三角形的顶角（顶点所对的角）相等，即两个顶角的度数相同。

3. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等，即两个底角的度数相同。

4. 对称轴：等腰三角形的对称轴通过顶角的顶点和底边的中点。

二、如何判定三角形为等腰三角形：1. 两边相等判定法：若一个三角形的两条边相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2. 两角相等判定法：若一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

3. 底角相等判定法：若一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

4. 边角关系判定法：若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

由于等腰三角形的性质和判定条件相对简单明确，故在解决几何问题时常常利用这些性质进行推理和证明。

以下是一些等腰三角形的应用实例：实例一：已知三角形ABC，其中AB=AC，角B=60°，求角A和角C的度数。

解：由等腰三角形的性质可知，AB=AC，故角A=角C。

又知角B=60°，所以角A=角C=60°。

实例二：判断以下三角形是否为等腰三角形：三角形XYZ，其中XY=XZ，角Y=60°。

解：由等腰三角形的判定条件可知，若一个三角形的两边相等，同时这两边所对的角也相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

已知XY=XZ，角Y=60°，符合判定条件，故三角形XYZ是等腰三角形。

实例三：已知等腰三角形PQR，其中底边PQ=8cm，顶角R=110°，求顶角P和底角Q的度数。

解：由等腰三角形的性质可知，底角Q=底角R。

又知顶角R=110°，所以底角Q=底角R=110°。

等腰三角形的知识点等腰三角形是初中数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。

接下来，让我们一起深入了解等腰三角形的相关知识点。

首先，等腰三角形的定义是：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的性质是理解和解决与它相关问题的关键。

性质一：等腰三角形的两腰相等。

这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。

性质二：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

这一性质在证明角相等、计算角度等问题中经常被用到。

例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，那么根据“三角形内角和为 180 度”以及“等腰三角形两底角相等”，可以很容易地算出每个底角的度数为 50 度。

性质三：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

这一性质在解决与等腰三角形的线段相等、垂直等问题时非常有用。

比如，已知一个等腰三角形，顶角平分线同时也是底边上的高，那么可以直接得出这条线段也是底边上的中线。

等腰三角形的判定方法同样重要。

判定一：如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形。

这是根据等腰三角形的定义直接得出的判定方法。

判定二：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

通过这个判定方法，我们可以在已知角的关系时，判断三角形是否为等腰三角形。

在实际应用中，等腰三角形的知识经常与其他几何图形的知识相结合。

比如，等腰三角形与直角三角形结合，在一个等腰直角三角形中，我们可以利用等腰三角形的性质和直角三角形的勾股定理来求解边长和角度。

等腰三角形在生活中也有广泛的应用。

比如建筑设计中，等腰三角形的结构可以增加稳定性和美观性；在服装设计中，等腰三角形的图案可以增加服装的独特性。

接下来，我们通过一些具体的例题来加深对等腰三角形知识点的理解。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是我们初中数学学习的重要内容之一。

它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等腰三角形的相关概念和定理，并提供一些实例以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、等腰三角形的定义等腰三角形是指两边边长相等的三角形。

具体而言，等腰三角形拥有以下特点：1. 两个底边边长相等（a = b）2. 两个底边所对的角度相等（∠A = ∠B）3. 顶点角可以是锐角、直角或钝角，但不可能是等边三角形的顶点角二、等腰三角形的性质1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是它的高线，且它们重合于等腰三角形的底边中点。

2. 底角相等：等腰三角形的底角（底边所对的角）相等。

3. 对称性：等腰三角形具有对称性。

即，以等腰三角形的顶点为中心，底边为轴进行对称变换，可以得到另一个完全相同的等腰三角形。

4. 面积计算：等腰三角形的面积可通过底边长度和高（顶角平分线）的关系公式计算，即S = 1/2 * b * h。

三、等腰三角形的判定1. 边长判定：若三角形的两边边长相等，则该三角形为等腰三角形。

2. 角度判定：若三角形的两个角度相等，则该三角形为等腰三角形。

3. 边角关系判定：若三角形的一个角度和一个边边长与另一个角度和另一边边长相等，则该三角形为等腰三角形。

实例一：已知三角形ABC，AB = AC，∠B = ∠C。

判断该三角形是否为等腰三角形。

解：根据等腰三角形的定义，若两边边长相等且两个底角相等，则该三角形为等腰三角形。

根据题目给出的已知条件，可以得出AB = AC，∠B = ∠C。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

实例二：已知三角形DEF，DF = EF，∠E = 60°。

判断该三角形是否为等腰三角形。

解：根据等腰三角形的定理，若两边边长相等且两个底角相等，则该三角形为等腰三角形。

根据题目给出的已知条件，可以得出DF = EF，∠E = 60°。

因此，三角形DEF为等腰三角形。

新人教版八年级数学上册知识点总结归纳+重点整理新人教版八年级上册数学各章节知识点总结第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.n-·180°⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2)⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.n-条对角线，⑸多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引(3)第十二章全等三角形第一节：全等三角形形状大小放在一起完全重合的图形，叫做全等形。

换句话说，全等形就是能够完全重合的图形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个全等的三角形重合放在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

等腰三角形知识点复习：精选八年级上册数学
第13章
学好知识就需要平时的积累。

知识积累越多，掌握越熟练，查字典数学网编辑了等腰三角形知识点复习：精选八年级上册数学第13章，欢迎参考!一、等腰三角形知识点回顾1.等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

二、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)通过对等腰三角形知识点复习：精选八年级上册数学第13章的学习，是否已经掌握了本文知识点，更多参考资料尽在查字典数学网!
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第7讲等腰三角形❖基本知识（熟记，会画图，要提问．）（1）（等边对等角）．【证明之】（2）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）．【证明之】（3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．【证明之】❖等腰三角形的性质【方程思想计算角度】1、【易】如图，求下列等腰三角形的所有角的度数。

（1）顶角30° （2）底角30°2、【易】计算：（1）等腰三角形的一个角是110°，求其余内角。

（2）等腰三角形的一个角是80°，求其余内角。

（3）已知一个等腰三角形的两角分别为（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。

3、【易】如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，△BAD=26°，求△B和△C的度数．4、【易】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△A、△ADB和△C的度数．5、【中】如图所示，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则△AMB的度数为______．6、【中】如图，AB=AC，△A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求△DBC的度数．7、【中】如图，等腰△ABC中，AB=AC，△DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△A的度数是_______．【基础证明题】8、【易】如图，AD△BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想△A与△E的大小关系，并说明理由．9、【中】已知：CD平分AB，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．【如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

这句话倒过来也是对的，学到矩形时会证明。

】10、【中】如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．【全等法或三线合一法】11、【中】【仿上题】如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ．若BD=CE ，F 为DE 的中点，求证：AF△BC ．12、【中】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上一点，△B=30°，△DAB=45°．（1）求△DAC 的度数；（2）求证：DC=AB ．13、【难】如图，在△ABC 中，AB=AC ，△ABC 、△ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后得出以下结论：△△BCD△△CBE ；△△BAD△△BCD ；△△BDA△△CEA ；△△BOE△△COD ；△△ACE△△BCE ；上述结论一定正确的是________．14、【中】已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE△AB ，DF△AC ，E ，F 分别是垂足，求证：AE=AF ．15、【中】如图，已知：AB=AC ，△CAE 是△ABC 的外角，△1=△2．求证：AD △ BC ．参考答案1、（1）底角75°；（2）底角30°，顶角120°．2、（1）35°，35°；（2）50°，50°；或80°，20°。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质和判定方法。

本文将详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的两底角（底边两旁的角）是相等的。

设等腰三角形的两底角分别为A，那么∠A = ∠B。

2. 等腰三角形的顶角（底边对面的角）是锐角。

设等腰三角形的顶角为C，那么∠C < 90°。

3. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂直线）同时也是它的中线和对称轴。

等腰三角形的高线可以将底边分成两段相等的线段，同时也将顶角分成两个相等的角。

4. 等腰三角形的中线（从顶点到底边中点的线段）是它的高线和对称轴。

等腰三角形的中线同时也是它的底边的二等分线，它将等腰三角形分成两个面积相等的小三角形。

二、判定一个三角形是否为等腰三角形在判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们可以利用以下几种方法：1. 通过测量两边的长度。

如果一个三角形的两边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

2. 通过测量两底角的大小。

如果一个三角形的两底角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

3. 通过判断顶角是否为锐角。

如果一个三角形的顶角是锐角，那么这个三角形就有可能是等腰三角形。

我们可以通过测量或计算三个角的大小来判断是否满足等腰三角形的顶角为锐角的条件。

4. 通过判断两条边长和夹角的关系。

如果一个三角形的两边长度相等且夹角小于90°，那么这个三角形就是等腰三角形。

需要注意的是，以上方法只是判定等腰三角形的一些常见方法，并非所有方法的总结。

在实际问题中，可能还会涉及其他判定方法。

在几何学中，等腰三角形的性质和判定是非常重要的基础知识。

通过对等腰三角形的学习，可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。

无论是在数学学习中还是实际应用中，等腰三角形的性质和判定都具有广泛的应用价值。

总结：等腰三角形具有两边长度相等、两底角相等、顶角为锐角等性质。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质，也有一些方法可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。

本文将详细介绍等腰三角形的性质和判定方法。

一、等腰三角形的性质1. 两边相等性质：等腰三角形的两边边长相等，记为AB=AC。

2. 两底角相等性质：等腰三角形的两个底角（即两边和底边之间的角）相等，记为∠B=∠C。

3. 顶角性质：等腰三角形的顶角（即底边上的角）是不等于底角的，记为∠A≠∠B。

二、等腰三角形的判定方法1. 边长判定法：如果一个三角形的两边边长相等，那么它是一个等腰三角形。

例如，已知一个三角形的边长为AB=AC，我们就可以确定这个三角形是等腰三角形。

2. 角度判定法：如果一个三角形的两个角相等，那么它是一个等腰三角形。

例如，已知一个三角形的两个底角相等，即∠B=∠C，我们可以得出结论这个三角形是等腰三角形。

三、等腰三角形的性质应用1. 等腰三角形的高：等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。

高可以分割底边成两个相等的线段。

等腰三角形的高线段是三角形的对称轴，将等腰三角形分为两个完全相同的部分。

2. 等腰三角形的中线：等腰三角形的中线是连接底边中点和顶点的线段。

等腰三角形的中线同时也是高线，因此中线也分割底边成两个相等的线段。

3. 等腰三角形的角平分线：等腰三角形的角平分线是从顶点到底边中点的线段。

等腰三角形的角平分线同时也是高线和中线，因此角平分线也分割底边成两个相等的线段。

4. 等腰三角形的内切圆：等腰三角形有一个内切圆，该圆与等腰三角形的两边和底边相切，且切点是底边的中点。

5. 等腰三角形的外接圆：等腰三角形有一个外接圆，该圆过等腰三角形的三个顶点。

综上所述，等腰三角形具有两边相等和两底角相等的性质。

通过边长判定法和角度判定法，可以判定一个三角形是否为等腰三角形。

等腰三角形的性质在几何学中有着重要的应用，例如计算三角形的面积、周长等。

《等腰三角形》◆教材分析本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。

◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握等腰三角形的性质。

2、会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。

3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。

4、探索等腰三角形的判定定理【过程与方法目标】1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力。

2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。

3、探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念【情感态度价值观目标】1、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。

2、在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

3、感受图形中的动态美、和谐美、对称美，感受合作交流带来的成功感，树立自信心。

4、通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力【教学重点】1、等腰三角形的概念和性质及其应用。

2、等腰三角形的判定定理及其应用【教学难点】1、等腰三角形的性质的证明。

2、探索等腰三角形的判定定理◆教学过程一、情景导入：师：日常生活中，我们会经常看到一些美丽的图案，其中一些是平面几何图形，接下来我们观察几幅图片，说一说你们看到了什么图形？（课件向学生展示平常见到的有关等腰三角形的图片）学生观察一组图片，回答问题。

【设计意图】使学生能从实际生活中抽象出等腰三角形，初步感知等腰三角形在实际生活中的广泛应用，用美丽的画面激发学生的求知欲。

培养学生勤观察，肯思考的学习习惯。

初二数学等腰三角形的性质知识精讲人教义务几何【学习目标】1．能熟练地说出等腰三角形的性质定理及两个推论，并会进行有关计算．2．能运用性质和推论证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的问题．3．会证明用文字语言叙述的几何命题．【主体知识归纳】1．等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．2．三线合一性质等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．3．等边三角形的性质等边三角形各边都相等，各角都相等，并且每个角都等于60°．【基础知识精讲】1．为了牢固地掌握等腰三角形的性质，并能灵活地运用它们，应非常熟练地进行下面的推理．如图3—143，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．(2)∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC，BD＝CD．(3)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠1＝∠2．(4)∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠1＝∠2．2．证明用文字语言叙述的几何命题是这一节的难点．首先应读懂题意，画出图形；然后分析题设和结论，结合图形写出已知、求证，最后给出证明，如果已知中有“等腰三角形”这个条件，在已知中一般要具体写出哪两条边相等，以便证明时应用．3．在等腰三角形中，作顶角的平分线或作底边上的中线或作底边上的高是一种常见的辅助线．【例题精讲】［例1］求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边．剖析：本题的题设“等腰三角形顶角的外角平分线”，结论是“外角的平分线平行于底边”，因此，先作一个等腰三角形，在此基础上作出顶角的一个外角平分线，如图3—144，结合图形写出已知、求证，即已知：如图3—144，△ABC中，AB＝AC，E在BA延长线上，∠1＝∠2．求证：AD∥BC．剖析：要证平行，从角上考虑，本题的图形AD与BC既被BE所截又被AC所截，同时存在同位角、内错角和同旁内角，可证∠1＝∠B或∠2＝∠C或∠BAD＋∠B＝180°之一成立即可，结合等腰三角形的性质与三角形外角性质这并不难办到．证明：∵AB＝AC(已知)，∴∠B＝∠C(等边对等角)．又∵∠1＋∠2＝∠B＋∠C(三角形外角性质)，又∵∠1＝∠2(已知)，∴2∠1＝2∠B，∴∠1＝∠B．∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．说明：其他证法请读者写出，此略．［例2］如图3—145，已知在△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E，使AE＝AD，连结DE，求证：DE⊥BC．剖析：欲证DE⊥BC，BC是等腰三角形的底边，三角形的高垂直于底边，所以想到作AF⊥BC，垂足为F，要证DE⊥BC，只需证DE∥AF，由等腰三角形的性质和外角的性质容易证明．证明：作AF⊥BC，垂足为F．∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，又∵∠BAC＝∠E＋∠ADE，∴2∠1＝∠E＋∠ADE，∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∴2∠1＝2∠E，即∠1＝∠E，∴DE∥AF，∴DE⊥BC．说明：等腰三角形的高、中线、顶角的平分线这三条辅助线，有时作哪一条效果是相同的，但有的题目需根据实际情况选择合适的辅助线．［例3］等腰△ABC中，有一内角为40°，求其余两个内角．剖析：40°的角可能是顶角，也可能是底角，所以，应分两种情况来解．解：(1)若40°角为顶角，则两底角相等，且底角为︒=︒-︒70240180，所以其余两个内角都是70°．(2)若40°角为底角，则另一底角也是40°，顶角应为180°－2×40°＝100°，所以其余两个内角度数分别为40°、100°．说明：(1)有关等腰三角形的角的计算题，一般要与三角形内角和定理及推论相结合，应注意等腰三角形的顶角可能是钝角，可能是锐角，也可能是直角，但底角一定是锐角．(2)若已知角为锐角，则此角可作顶角，也可作底角；若已知角为钝角，则此角只可能作顶角；若等腰三角形的顶角为n °，则等腰三角形的底角为2180︒-︒n ．若等腰三角形的底角为m °，则等腰三角形的顶角为(180°－2m °)．［例4］已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为18 cm 和21 cm 两部分． 求：它的三边长．剖析：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是中线，BD 把周长分为18 cm 和21 cm 两部分，有可能是AB ＋AD ＝18 cm ，也有可能是BC ＋CD ＝18 cm ，所以要分两种情况进行讨论．解：在△ABC 中，设AB ＝AC ，BD 是它的中线，根据题意，设腰长为x cm ，底边长为y cm ，则有：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+;11,14;15,12:;1821,2121;2121,1821y x y x x y x x x y x x 或解这两个方程组得或 ∴△ABC 的三边长AB ＝AC ＝12，BC ＝15或AB ＝AC ＝14，BC ＝11．说明：(1)有关等腰三角形的边的计算题，一般要与周长和三角形的有关概念相结合，应注意用三角形的三边关系定理检查求出的三边．(2)在一个等腰三角形中没有注明哪条边是腰，哪条边是底的情况下，要注意讨论，看一看各种条件是否符合题意．【同步达纲练习】 1．判断题(1)若等腰三角形腰长为4，则底边长x ＜8； (2)最大内角是60°的三角形是等边三角形． 2．填空题(1)如图3—147，在△ABC 中，①∵AB ＝AC ，∴∠_____＝∠_______；②∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴BD＝__________，__________⊥__________．(2)已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为__________．(3)在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1 cm，这条高与底的夹角是45°，则△ABC 的面积为__________．(1)如图3—148，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝__________．(5)如图3—149，B、D在AN上，C、E在AG上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FEG＝__________．(6)如图3—150，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，那么∠FEM＝__________．(7)一个等腰三角形的顶角为钝角，则它的底角的取值X围是__________．(8)若等腰三角形腰上的高与底边的夹角为α，它和顶角β之间的关系是__________．3．选择题(1)等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个内角的度数分别为A．40°，40°B．100°，20°C．50°，50°D．40°，40°或100°，20°(2)等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为A．50°，50°，80°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°(3)如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为A．45°B．40°C．55°D．50°(4)已知等腰三角形的一边长为5 cm，另一边长为6 cm，则它的周长为A．11 cmB．17 cmC．16 cmD．16 cm或17 cm(5)已知等腰三角形的一边长为4 cm，另一边长为9 cm，则它的周长为A．13 cmB．17 cmC．22 cmD．17 cm或22 cm(6)等腰三角形底边长为5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3 cm，则腰长为A．2 cmB．8 cmC．2 cm或8 cmD．以上结论都不对(7)已知：如图3—151，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为A．30°B．45°C．36°D．72°(8)如图3—152，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°且AD＝AE，则∠EDC等于A．10°B．12.5°C．15°D．20°(9)如图3—153，△ABC中，点D在AC上，且AB＝AD，∠ABC＝∠C＋30°，则∠CBD等于A．15°B．18°C．20°D．22.5°(10)如图3—154，△ABC中，D为BC上一点，而且AB＝AC＝BD，则图中∠1与∠2的关系为A．∠1＝2∠2B．2∠1＋∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－2∠2＝180°(11)下列命题为真命题的是A．等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．顶角相等的两个等腰三角形全等D．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍(12)在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为A．20B．16C．16或20D．以上都不对4．如图3—155，在正三角形ABC的BC边上任取一点D，以CD为边向外作正三角形CDE．求证：BE＝AD．5．如图3—156，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使DF ＝DE ，连结FC ．求证：∠F ＝∠A ．6．如图3—157，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD ＝BD ，AB ＝AC ＝CD ，求∠BAC 的度数．7．如图3—158，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝30°，且AD ＝AE ．求∠EDC 的度数．8．如图3—159，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝CE ，B 是AD 上一点，BE ⊥CB 交CD 于E ，AC ⊥DC ．求证：BE ＝21BC ．9．已知：如图3—160，D 、E 分别为等边△ABC 的边BC 、AC 上的点，且BD ＝CE ，连结BE 、AD ，它们交于F ．求证：∠AFE ＝60°．【思路拓展题】 想一想如图3—161，AOB 是一钢架，且∠AOB ＝10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……，添加的钢管长度若都与OE 相等，那么最多能添加这样的钢管多少根？参考答案【同步达纲练习】 1．(1)× (2)√ 2．(1)①B C ②DC(或21BC ) ADBC (2)80°或20° (3)21cm 2 (4)55° (5)100° (6)75° (7)0°＜α＜45° (8)α＝21β3．(1)A (2)D (3)D (4)D (5)C (6)B (7)C (8)C (9)A (10)D (11)A (12)B 4．提示：证△ACD ≌△BCE ．5．证明：连结AD ，∵ED ＝E B ，∴∠B ＝∠EDB ∵E A ＝ED ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∴2∠EDB ＋2∠EDA ＝180°，∴∠EDB ＋∠EDA ＝90°，即AD ⊥BC ， 又∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ，又∵∠EDB ＝∠CDF ，ED ＝DF ，∴△BDE ≌△CDF ，∴∠F ＝∠BED ， ∵AB ＝AC ，∴∠EDB ＝∠ACB ，∵EF ∥AC ，∴∠A ＝∠BED ，∴∠F ＝∠A ．6．108°．提示：设∠B ＝x °，则∠C ＝∠BAD ＝x °，∠AD C ＝90°－21x °，利用∠AD C ＝∠B ＋∠BAD ＝2x °，可求得x ＝36．7．15°8．证明：作AF ⊥BC 于点F ，则∵AC ＝AB ， ∴AF 同时为△ABC 的中线，即CF ＝21BC ， 由已知条件易证△ACF ≌△CEB ， ∴BE ＝CF ，即BE ＝21BC ． 9．提示：证明△ABD ≌△BCE (SAS ) ∴∠BAD ＝∠CBE∵∠AFE ＝∠BAD ＋∠ABE ∴∠AFE ＝∠C B E ＋∠ABE ， ∴∠AFE ＝∠ABC ＝60°【思路拓展题】 想一想最多能添加这样的钢管八根．。

新人教版初二数学上册等腰三角形知识点知识点一、等腰三角形知识点1.等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。

二、等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。

三、知识总结等腰三角形在初中几何里很基础也很常见，其中等腰三角形的性质在实际的应用中非常普遍，尤其是“三线合一”这一重要定理.不少教案中都是把它和等边对等角放在一起讲。

等腰三角形的“三线合一”性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位，学生既需要知道她的由来，还要知道它的用途，还应在图形不全的情况下补全三线合一所在的基本图形，老师如果把握好等腰三角形“三线合一”性质在辅助线教学中的应用，把握好化归思想方法的渗透，将有助于让学生把握解题的关键，更好地培养和发展学生的思维能力，有助于学生突破解题的难点，探明解题的方法，从而帮助学生提高解决问题的能力。

这个性质的逆定理在证明中的直接和间接地应用也不亚于这个性质的直接应用，可以作为解决与等腰三角形有关问题的一种重要思路。

因此把它的逆命题放在一起讲，有的学生不见得当堂全部理解，但至少有这样一个印象：三线合一及其逆命题都是正确的，以后再强化加深印象。

课后练习1、等腰三角形的一边长为2，周长是7，则另外两边的长为________________________。