实变函数与泛函分析基础第二版 程其襄 第11章课后习题答案
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《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
《实变函数和泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
实变函数与泛函分析基础》习题解答
n=0
习题 1.4
1. 证：记[0,1]上的无理数所成之集为 I，[0,1]上的有理数全体为 Q．若 I
可数，则 I ∪ Q = [0,1] 可数，这与[0,1]不可数矛盾． 2. 证： A ∈ 2[0,1] ，则 χ A (x) ∈ F．于是 2[0,1] 与 F 的一个子集对等，故
F ≥ 2[0,1] = 2C ．另方面， f ∈ F ，{(x, f (x) x ∈[0, 1]}∈ 2R2 ．于是 F 对等于
一个子集对等，从而至多可数．
2. 设单调增函数 f 的间断点集为 D， x0 ∈ D : x0 →( f (x0 − 0), f (x0 + 0))
此对应是 D 到直线上某些互不相交的开区间所成之集的一个对等，由习题 1 知，
D 至多可数．
3. An 为 A 的 n 个元素所成子集的全体．由定理 1.3.7 知 An 可数，从而由定
∪ x ∈ A ∩ Bα ⇔ x ∈ ( A ∩ Bα ) ． α∈Γ
2.
①因
U U Aα U Bα ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ， 所 以
α∈Γ
α∈Γ
U U U U U ( Aα U Bα ) ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ． 另 一 方 面 Aα ⊂ ( Aα U Bα ) ，
α∈Γ
8. x ∈ E[ f ≥ a] ⇔ lim fn (x) = f (x) ≥ a, x ∈ E ⇔ ∀ k, ∃ N ， 当
n ≥ N 时有
∩ ∪ ∩ fn
(x)
>
a
−
1 k
⇔
x∈
∞ k =1
∞ N =1
∞
E[
n=N
fn
>
习题 1.4
1. 证：记[0,1]上的无理数所成之集为 I，[0,1]上的有理数全体为 Q．若 I
可数，则 I ∪ Q = [0,1] 可数，这与[0,1]不可数矛盾． 2. 证： A ∈ 2[0,1] ，则 χ A (x) ∈ F．于是 2[0,1] 与 F 的一个子集对等，故
F ≥ 2[0,1] = 2C ．另方面， f ∈ F ，{(x, f (x) x ∈[0, 1]}∈ 2R2 ．于是 F 对等于
一个子集对等，从而至多可数．
2. 设单调增函数 f 的间断点集为 D， x0 ∈ D : x0 →( f (x0 − 0), f (x0 + 0))
此对应是 D 到直线上某些互不相交的开区间所成之集的一个对等，由习题 1 知，
D 至多可数．
3. An 为 A 的 n 个元素所成子集的全体．由定理 1.3.7 知 An 可数，从而由定
∪ x ∈ A ∩ Bα ⇔ x ∈ ( A ∩ Bα ) ． α∈Γ
2.
①因
U U Aα U Bα ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ， 所 以
α∈Γ
α∈Γ
U U U U U ( Aα U Bα ) ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ． 另 一 方 面 Aα ⊂ ( Aα U Bα ) ，
α∈Γ
8. x ∈ E[ f ≥ a] ⇔ lim fn (x) = f (x) ≥ a, x ∈ E ⇔ ∀ k, ∃ N ， 当
n ≥ N 时有
∩ ∪ ∩ fn
(x)
>
a
−
1 k
⇔
x∈
∞ k =1
∞ N =1
∞
E[
n=N
fn
>
实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案
2.集合的包含关系
若集合A和B满足关系：对任意 ∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为A B或B A，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集.
例7. 若 在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对
∈[a,b]有 M.用集合语言表示为：[a,b] { ： M}.
用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.
定理1
（交换律）
证明我们只证明
先设 则有 且有 于是这证来自了在证反过来的包含关系，设 ，则有 ,此即 ，因此 于是 。
综合起来，便是等式成立。
这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立
3、集合的差集和余集
若A和B是集合，称 为A和B是差集，A\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：
请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的 语言，转换为集合语言。
例12 设 是定义在E上的函数列，若x是使 收敛与0的点，则对任意的 ，存在 ,使得对任意 即
顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。
例14，7 ，8，3四个自然数构成的集合。
例2全体自然数
例30和1之间的实数全体
例4 上的所有实函数全体
例5A,B,C三个字母构成的集合
例6平面上的向量全体
全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。
例1设 和 是定义在E上的函数，则对任意
例2.
例3若记
例4 若 是一族开区间，而 ，则存在
使得 （有限覆盖定理）
例5若 是定义在E上的函数，则
2、集合的交集
设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作 ,它可以表示为
若集合A和B满足关系：对任意 ∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为A B或B A，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集.
例7. 若 在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对
∈[a,b]有 M.用集合语言表示为：[a,b] { ： M}.
用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例.
定理1
（交换律）
证明我们只证明
先设 则有 且有 于是这证来自了在证反过来的包含关系，设 ，则有 ,此即 ，因此 于是 。
综合起来，便是等式成立。
这表面，集合运算的分配律，在无限并的情况下依然成立
3、集合的差集和余集
若A和B是集合，称 为A和B是差集，A\B也可以记为A-B，如图1.3是A-B的示意图：
请读者注意：我们怎样把描述函数列性质的 语言，转换为集合语言。
例12 设 是定义在E上的函数列，若x是使 收敛与0的点，则对任意的 ，存在 ,使得对任意 即
顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。
例14，7 ，8，3四个自然数构成的集合。
例2全体自然数
例30和1之间的实数全体
例4 上的所有实函数全体
例5A,B,C三个字母构成的集合
例6平面上的向量全体
全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。
例1设 和 是定义在E上的函数，则对任意
例2.
例3若记
例4 若 是一族开区间，而 ，则存在
使得 （有限覆盖定理）
例5若 是定义在E上的函数，则
2、集合的交集
设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作 ,它可以表示为
实变函数课后习题答案
第一章习题1.证明：(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右； （2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明： (1)();(2)().IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-(1)ccI IA B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明：左（）右；(2)()c cI I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭左右.111111.{},,1.{}1.n n n n n nnA B A B A A n B B A n νννννν-===⎛⎫==- ⎪⎝⎭>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，证明：用数学归纳法。
当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，1211,,,kkk B B B B A νννν===两两互不相交，而且，111111111kk k kkkk k n k B A A B A BA B νννννννν++=++====+=-==-⇒下证，当时命题成立，因为而，所以11211+1111111111111,,,;k k k k k k k k k kk k k k k B B B B B B B B B B A A A A A A A νννννννννννννννν++=++===+++====⎛⎫=∅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。
{}21214.0,,(0,),1,2,,n n n A A n n A n-⎛⎫=== ⎪⎝⎭设求出集列的上限集和下限集。
实变函数与泛函分析基础 习题答案
n=0
n=0
xn+p ln
1 x
≥
0,
1 xp 1
∞
0
1 − x ln x dx = −
n=0
1 0
xn+p ln xdx
=
∞ n=0
(n +
1 p+
1)2
=
∞ n=1
1 (n + p)2 .
ßÎ 15. { fn} E
¨
¹ Ö lim
n→∞
fn(x)
=
f (x)a.e.
E,
¿ f (x) Î ¡ Æà ¶¸²³
E −
ǯ± ¡
ÝÌ [0, 1] ÙÄß ℄Ï ¨
¤¤ f
(x)
=
1, 0,
x x
[0,1] [0,1]
· ¨, ¨.
´
¨ ÙÄ n, [0,1]
¿ max 1≤i≤n
mEin
=
1 n
→
0(n
→
∞).
¾
Ó Dn = {Ein},
Ein =
i−1 n
,
i n
, i = 1, 2, · · · , n − 1, Enn =
0.
¨ª
mE[| f |= ∞] = 0.
1
¶¹ | f(x) | Î ¶ ¾ Ê´
´¹Ü° ¾ Ö ǫ > 0, δ > 0, e ⊂ E me < δ
´ ¾ ¡ δ > 0,
N,
n>N
| f (x) | dx < ǫ.
e
men < δ,
n · men ≤ | f (x) | dx < ǫ.
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第11章课后习题答案
第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。
证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。
证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。
反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。
则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。
易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。
总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。
由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。
证毕。
2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。
证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。
因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。
这样{1}()A λλσ=⊂。
反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。
类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。
即()A λσ∈。
因此(){1}A σλλ==。
证毕。
3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===，试求()A σ。
解对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。
实变函数论与泛函分析课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ，故0)(i n f s u p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(in f l i m x nA nχ=0 ，从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i n i B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第九章答案
，若
y ∈Y
，则存在
x n
∈
spanM
，使
xn
→
y
( ) ( ) 设 x ∈ M ⊥ ，则( y, x)
=
lim
(
x n
,
x
)
=
0
，因此
y
∈
M⊥
⊥
，即Y ⊂
M⊥
⊥
又Y 是 X 中
n→∞
( ) ( ) ( ) 闭子空间，且 M ⊂ Y ，则Y ⊥
⊂ M ⊥ ，从而
M⊥
⊥
⊂
Y⊥
⊥
=
Y ，所以Y =
M⊥
⊥
。
证毕
7
设
{e } n
是
L2 [a, b]
中的规范正交系，说明两元函数列
en
( x)em
(
y)(n, m
=
1, 2, 3L
)是
L2
([a,b]×[a,b])
中的规范正交系，若{e } 完全。则两 n
元函数列 en ( x) em ( y) (n, m = 1, 2, 3,L ) 也是完全的‘
证明
对 任 意 (n, m) 和 (n', m ') ，
2
eλ − eλ‘ =
eλ
2
+
eλ‘ 2 = 2 。
{ } X 是可分的，则存在 X 的可数稠密子集
x n
∞ n=1
因
∧
不可数，则必有某
xN
，及
λ，‘λ ∈
∧
，
λ ≠ λ′ 使
xN − eλ〈
2， 2
xN − eλ’〈
2 2
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第十章答案
t
1
,
t 2
,L
,
t k
,
tiαi ≤ M
tx
ii
.
i =1
i =1
证 [必要性] 若线性连续泛函 f 满足(1)和(2),则
k
k
k
k
∑ ∑ ∑ ∑ tiαi = f (ti xi ) ≤ f ⋅ ti xi ≤ M ti xi .
i =1
i =1
i =1
i =1
k
k
∑ ∑ [充分性]
若对任意数
t1,
(1)当 x ∈ Z 时, f0 ( x) = f0 (0 ⋅ x0 + x) = 0 ⋅ d ( x0, Z ) = 0 ;
(2) f ( x0 ) = f (1⋅ x0 + 0) = 1⋅ d ( x0, Z ) = d ( x0, Z ) ;
(3)对任意的
λ
x 0
+
x∈
M
,则
f0 (λx0 + x) = λd ( x0, Z ) ≤ λ
{ } sup T x ≤ max m
Tx 1
,L
,
Tx n
< +∞ ,
m
以上例子说明一致有界性定理中 X 的完备性条件不能去掉.
8. 证明:在完备度量空间 X 中成立闭球套定理,即若
{ } S i
=
x
d
( x,
x i
)
≤
ε i
,i = 1, 2,L
,且
S 1
⊃
S 2
⊃L
⊃
S n
⊃L
,εi
→ 0(i → ∞) ,则存在唯一
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第十一章 线性算子的谱1． 设[0,1],()()(),X C Ax t tx t x X ==∈。
证明()[0,1]A σ=，且其中没有特征值。
证明 当[0,1]λ∈时，常值函数1不在I A λ-的值域中，因此I A λ-不是满射，这样()A λσ∈。
反之若[0,1]λ∈，定义算子1:()R R x t tλλλ=-。
则由于[0,1]λ∈，且 11max()(,[0,1])a t bR x x t x t d λλλ≤≤=≤- 因此R λ是C[0，1]中有界线性算子。
易验证()()R I A I A R I λλλλ-=-=，所以()A λσ∈。
总之()[0,1]A σ=，若Af f λ=，则对任意t λ≠，()()tf t f t λ=，可推得()0f t =。
由于()[0,1]f t C ∈，必有()0f t ≡，所以A 无特征值。
证毕。
2． 设[0,2],()()(),.itX C Ax t e x t x X π==∈，证明(){1}A σλλ==。
证明 对任意000,()()()()it itit it e e I A x t e e x t -=-。
因为常值函数1不在0ite I A -的值域中，因此0()ite A σ∈。
这样{1}()A λλσ=⊂。
反之，若1λ≠，定义1:()()()itR R x t x t eλλλ=-。
类似第1题可证R λ是有界线性算子，且()()R I A I A R I λλλλ-=-=。
即()A λσ∈。
因此(){1}A σλλ==。
证毕。
3． 设21223,(,,,)(,,,)n n X l Ax A x x x x x x ===L L L L ，试求()A σ。
解 对任意λ，若1λ<，定义(1,,,,)n x λλλ=L L ，显然22,(,,,,)(1,,,,)n n x l Ax x λλλλλλλλλλ∈===L L L L ，因此{1}λλ=的内点都是A 的点谱，由于()A σ是闭集，则{1}()A λλσ=⊂。
对任意x A ∈，显然Ax x ≤，因此1A ≤，所以(){}{1}A A σλλλλ⊂≤⊂=。
这样我们就证明了(){1}A σλλ==。
4． 设F 是平面上无限有界闭集，{}n α是F 的一稠密子集，在2l 中定义算子T ：1211(,,,)(,,)n n n Tx x x x x x αα==L L L L则n α都是特征值，(),\{}n T F F σα=中每个点是T 的连续谱。
证明 对任意n ，(0,0,,1,0,)n e =L L ，其中1在第n 个坐标上。
由题设，n n n Te e α=，因此n α是T 的特征值。
又由于()T σ是闭集，所以{}()n F T ασ=⊂。
若F λ∉，则(,)0d F λ>。
定义算子R λ，若212(,,,)n x x x x l =∈L L ，1212111(,,,,)nn R x x x x λλαλαλα=---L L易验证1(,)R x x d F λλ≤，且()()R I T I T R I λλλλ-=-=。
因此()T F σ⊂。
若{}n F λα∈-，且212(,,,)n x x x x l =∈L L ，使Tx x λ=。
则对任意n ，n n n x x λα=。
由于n λα≠，则0n x =，1,2,n =L 。
这样x=0，因此λ不是特征值，而是连续谱。
证毕。
5． 设λ为线性算子nA 的特征值，则λ的n 次根中至少有一个是算子A 的特征值。
证明 设λ是nA 的特征值，λ的n 次根为12,,,n λλλL 。
存在0x ≠，使()0nA I x λ-=，则12()()()()0nn A I x A I A I A I x λλλλ-=---=L 。
若1()0A I x λ-=，则1λ就是A 的特征值，否则必有某i ，11()()()0i i A I A I A I x λλλ----≠L ，而11()()()0i i A I A I A I x λλλ+---=L ，则1i λ+是A 的特征值。
证毕。
6． 设A 为Banach 空间X 上的有界线性算子，0()A λρ∈，又设{}n A 为X 上一列有界线性算子，且lim 0n n A A →∞-=，证明当n 充分大后，n A 也以0λ为正则点。
证明 00()n n I A I A A A λλ-=---100()[()()]n I A I I A A A λλ-=----。
当n 充分大时，10()()1n I A A A λ---<，这样 10()()n I I A A A λ---- 是可逆的。
此可逆性由本章§2定理1可证，又0I A λ-也是可逆的。
因此当n 充分大后，0n I A λ-也可逆。
证毕。
7． 设A 是为Banach 空间X 上的有界线性算子，则当A λ>时，11()nn n A R A I λλλ∞-+==-=∑，1R Aλλ≤-。
证明 当A λ>时幂级数1n nn Aλλ∞=∑收敛，因此级数1nn n A λ∞+=∑必按算子范数收敛。
111100()()1nnnn n n nn n n n n A A A A I A I A λλλλλλ+∞∞∞∞+++====-=-=-=∑∑∑∑这就证明了110()nn n A A I λλ∞-+=-=∑，111nnn n n n AA R Aλλλλ∞∞++===≤=-∑∑。
证毕。
8． 设A 为X 上的有界线性算子，,()A λμρ∈，则()R R R R λμλμμλ-=-。
其中与,R R λμ的意义同第7题。
证明 在等式11()()R R I A I A μλμλ---=---两边左乘R λ右乘R μ得()(()())R R R I A I A R R R λμλμλμμλμλ-=---=-。
因此()R R R R λμλμμλ-=-，证毕。
9． 设A 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，A*为A 的共轭算子，证明(*){()}()A A A σλλσσ=∈=证明 先证若T 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，若T 可逆，则T*也可逆，且11(*)()*T T --=。
事实上，对任意,x y H ∈，11,,,()**x y TT x y x T T y --<>=<>=<>。
这样1,()**0x y T T y -<->=对任意x H ∈成立，因此1()**y T T y -=恒成立，进而1*()*T T I -=。
同理1*()*T T I -=。
这一证明了T*也可逆，且11()*(*)T T --=。
现在设()A λσ∈，则A I λ-可逆，因此()**A I A I λλ-=-也可逆，从而(*)A λσ∈。
同理若(*)A λσ∈，则()A λσ∈，这就证明了(*){()}A A σλλσ=∈。
证毕。
10． 设1T 是 1X 到2X 的全连续算子，2T 是2X 到3X 的有界线性算子，则21T T 是1X 到3X 的全连续算子。
证明 设{}n x 是1X 中有界点列。
因为1T 全连续，所以1{}n T x 中必有收敛子列。
我们记之为1{}k n T x 。
又因为2T 有界，所以21{}k n T T x 也收敛，因此21{}n T T x 有收敛子列。
这就证明了21T T 是全连续算子。
证毕。
11． 设A 是2l 上线性算子，记1(0,0,,0,1,0,)n n e -=L L 14243个，1k jk j j Ae a e ∞==∑其中2,1k iji j Ae a∞==<∞∑，证明A 是全连续的。
证明 若12(,,,)n x x x x =L L ，定义11:()nn n kjkj j k A A x x ae ∞===∑∑：则n A 是有界秩算子，且2211()n kjkj n k A A x x a∞∞=+=-=∑∑22111()()kjk j n k k xa ∞∞∞=+==≤∑∑∑2211jkj n k a x ∞∞=+==∑∑所以0n A A -≤→()n →∞。
由本章§3定理2，A 是全连续算子。
证毕。
12． n e 的符号同第11题。
作2l 上算子U 。
11,1,2,.k k Ue e k k+==L 证明U 是2l 上全连续算子且(){0}U σ=。
证明 若21i i i x x e l ∞==∈∑，则111i i i Ux x e i ∞+==∑。
令111n i i i U x x e i∞+==∑，则n U 是有限秩算子，且 222211111()()n i i i i n i n U U x x x i i ∞∞∞==+=+-=≤∑∑∑2211i x i∞=≤∑所以0()n U U n -≤→∞。
这样U 是有限秩算子n U 的极限，U 必是全连续算子。
由于全连续算子的非零谱都是特征值，因此要证(){0}U σ=，只要证U 无非零特征值。
倘若0λ≠，211111,,i i i i i i i i i x x e l Ux x x e x e i λλ∞∞∞+====∈==∑∑∑。
即121211(0,,,,,)(,,,)2n n x x x x x x nλ=L L L L 。
则1110,,1,2,i i x x x i iλλ+===L ，由此可得0,1,2,i x i ==L 。
因此λ不是U 的特征值。
证毕。
13．设 10()()()s tA s et dt ϕϕ+=⎰， 求A 的特征值和特征函数。
（提示：记 10()tc e t dt ϕ=⎰ ）解 记1()t c e t dt ϕ=⎰。
设ϕ为对应特征值λ的特征函数，则A ϕλϕ=，即s ce λϕ=。
若0λ≠，则sce ϕλ=。
代入c 的表达式：1ss cc e e ds λ=⎰，解得12201(1)2s e ds e λ==-⎰。
因此非零特征值21(1)2e λ=-，特征函数为0()s s c e ϕ=，其中0c 为任意非零常数。
若0λ=，则1()0s e s ds ϕ=⎰，特征函数{}s e ⊥为中任意非零函数。
14．积分算子的核为，1(,)()()nkkk K s t p s q t ==∑，其中{}k p 为线性无关的函数组，则其非零特征值λ相应的特征向量e 有形式 1nkk k e cp ==∑， k c 是常数。
若记 ()()bij i j aq q x p x dx =⎰，则k c 可由下式决定：1,1,2,nk i iki c c qk n λ===∑L 。
证明 (,)()baA K s t t dt ϕϕ=⎰1()()()nb kkak p s q t t dt ϕ==∑⎰1(()())()nb k k ak q t t dt p s ϕ==∑⎰。