北京市西城区高一数学上学期期末考试试题

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第1页（共11页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =I （ ） （A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}-- （3）函数11y x =+-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,1)(1,)+∞U（D ）[0,1)(1,)+∞U（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第2页（共11页）（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷 高一数学 第3页（共11页）第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟 A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =u u u r（ ）（A ）1()2AB AC +u u ur u u u r（B ）1()2AB AC -u u ur u u u r（C ）1()2AB BC +u u ur u u u r（D ）1()2AB BC -u u ur u u u r5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）3π2（C ）π （D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ） （A ）6π （B ）6π-（C ）3π（D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD的中点，那么AE DC ⋅=u u u r u u u r（ ）（A ）4（B ）2（C ）3（D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos 3sin f x x x =-的值域是（ ） （A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[2,3]-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ） （A ）21m +（B ）1（C ）||m（D ）21m -二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____． 16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,22=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}A B a b c =U 的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则 实数m 的取值范围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 7．（本小题满分10分）已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1 A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13. (,)42ππ；14.32； 15.12+； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ， 【 1分】 所以+a b =， 【 2分】 所以||+=a b = 【 4分】 （Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(,22=-b ， 得1(cos ,sin 22+=-+ααa b，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ， 由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒， 所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 222-+=αα， 即 π1sin()62-=α. 【12分】 因为 π02<<α， 所以 πππ663-<-<α， 【13分】 所以 ππ66-=α， 即3π=α. 【14分】19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x aπ≠，所以 1k a π>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 4；2.12； 3. 2-，1； 4. (2,2)-； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)xxxxy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xa b-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+． （Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D 【答案】D 7. 若直线x a =是函数sin()6y x π=+图象的一条对称轴，则a 的值可以是（ ）（A ）3π （B ）2π （C ）6π-（D ）3π-【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。

故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A9. 函数2sin(2)y x =π的图象与直线y x =的交点个数为（ ） （A ）3（B ）4（C ）7（D ）8【知识点】数量积的定义【试题解析】因为由图像可知共7个交点 故答案为：C【答案】C10. 关于函数()sin cos f x x x =+，给出下列三个结论：①函数()f x 的最小值是1； ②函数()f x 的最大值是2； ③函数()f x 在区间(0,)4π上单调递增.其中全部正确结论的序号是（ ） （A ）②（B ）②③（C ）①③（D ）①②③【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式【试题解析】因为ABCD故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，则BD u u u r_____.（用a ，b 表示）【知识点】平面向量基本定理【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan2α=_____.【知识点】倍角公式【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以，故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为所以，的夹角等于。

2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<，那么(A B = )A ．{1-，1}B ．{2-，0}C ．{2-，0，2}D ．{2-，1-，0，1}2．（5分）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A ．{(1,1)-，(1,1)}- B ．{(1,1)，(1,1)}-- C ．{(2,2)-，(2,2)}- D ．{(2,2)，(2,2)}--3．（5分）函数11y x -的定义域是( ) A ．[0，1)B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞4．（5分）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．1y x =+B ．21y x =-C ．2x y =D ．12log y x =5．（5分）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（5分）若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．ac bd >B ．ac bd <C ．ad bc <D ．ad bc >7．（5分）设a R ∈，b R ∈．则“a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( )A ．2000(10.2)x mg -B ．2000(10.2)x mg -C ．2000(10.2)x mg -D ．20000.2x mg9．（5分）如图，向量a b -等于( )A ．123e e -B ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x += ． 12．（4分）已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =-，其中m R ∈．若a ，b 共线，则||b = ．13．（4分）已知函数3()log f x x =．若正数a ，b 满足19a b =，则f （a ）f -（b ）= ． 14．（4分）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．15．（4分）已知集合2{|60}A x x x =--，{|}B x x c =>，其中c R ∈．①集合RA = ；②若x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，则c 的取值范围是 ．16．（4分）给定函数()y f x =，设集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==．若对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，则称函数()f x 具有性质P ．给出下列三个函数： ①1y x =； ②1()2x y =； ③y lgx =． 其中，具有性质P 的函数的序号是 ．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈． （Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数3()log (82)x f x =-的图象为曲线1C ，函数()g x =2C ．（Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线1C 在直线1y =的下方时，求x 的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线1C 和2C 没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率； （Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 20．（13分）已知函数2||1()1x f x x +=-． （Ⅰ）证明：()f x 为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：()f x 是(1,)+∞上的减函数； （Ⅲ）当[4x ∈-，2]-时，求()f x 的值域．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06,814, 6.x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪⎩ （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？22．（13分）设函数,,(),,x x Pf xx x M∈⎧=⎨-∈⎩其中P，M是非空数集．记(){|()f P y y f x==，}x P∈，(){|()f M y y f x==，}x M∈．（Ⅰ）若[0P=，3]，(,1)M=-∞-，求()()f P f M；（Ⅱ）若P M=∅，且()f x是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P M R≠，则()()f P f M R≠”的真假，并加以证明．2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<，那么(A B = )A ．{1-，1}B ．{2-，0}C ．{2-，0，2}D ．{2-，1-，0，1}【解答】解：集合{|2A x x k ==，}k Z ∈，{|33}B x x =-<<， {2AB =-，0，2}．故选：C ．2．（5分）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是( ) A ．{(1,1)-，(1,1)}- B ．{(1,1)，(1,1)}-- C ．{(2,2)-，(2,2)}-D ．{(2,2)，(2,2)}--【解答】解：记220,2,x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由①得：x y =-③，将③代入②得222y =，解得1y =±， 当1y =时，1x =-，当1y =-时，1x =， 故原方程组的解集为{(1,1)-，(1,1)}-， 故选：A ．3．（5分）函数11y x -的定义域是( ) A ．[0，1)B ．(1,)+∞C ．(0，1)(1⋃，)+∞D ．[0，1)(1⋃，)+∞【解答】解：依题意，010x x ⎧⎨-≠⎩，解得0x 且1x ≠，即函数的定义域为[0，1)(1⋃，)+∞，故选：D ．4．（5分）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是( ) A ．1y x =+B ．21y x =-C ．2x y =D ．12log y x =【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，1y x =+，为一次函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意； 对于B ，21y x =-，为二次函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意；对于C ，2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递增，不符合题意； 对于D ，12y log x =，为对数函数，在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故选：D ．5．（5分）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：22log 0.4log 10<=，0a ∴<， 20.40.16=，0.16b ∴=，0.40221>=，1c ∴>，a b c ∴<<，故选：A ．6．（5分）若0a b >>，0c d <<，则一定有( ) A ．ac bd >B ．ac bd <C ．ad bc <D ．ad bc >【解答】解：若0a b >>，0c d <<，则：ac bc bd <<，故ac bd <，故A 错误，B 正确； ad 与bc 的大小无法确定，故C ，D 错误； 故选：B ．7．（5分）设a R ∈，b R ∈．则“a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若a b >，取1a =，2b =-，则||||a b <，则“a b >”是“||||a b >”不充分条件； 若||||a b >，取2a =-，1b =，则a b <，则“||||a b >”是‘a b >”不必要条件； 则a R ∈，b R ∈．“a b >”是“||||a b >”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为( )A ．2000(10.2)x mg -B ．2000(10.2)x mg -C ．2000(10.2)x mg -D ．20000.2x mg【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为2000(120%)20000.8()x x y mg =⨯-=⨯，即y 与x 的关系式为20000.8x y =⨯． 故选：B ．9．（5分）如图，向量a b -等于( )A ．123e e -B ．123e e -C ．123e e -+D ．123e e -+【解答】解：如图，设123a b AB e e -==-，∴123a b e e -=-．故选：B ．10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解答】解：由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x += 14 ． 【解答】解：方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，124x x +=，121x x =，222121212()216214x x x x x x +=+-=-=，故答案为：14．12．（4分）已知向量(1,2)a =-，(3,)b m =-，其中m R ∈．若a ，b 共线，则||b =【解答】解：,a b 共线，60m ∴-=，6m ∴=，(3,6)b =-，∴||35b =．故答案为：13．（4分）已知函数3()log f x x =．若正数a ，b 满足19a b =，则f （a ）f -（b ）= 2- ． 【解答】解：正数a ，b 满足19a b =，3()log f x x =， 则f （a ）f -（b ）3331log log log 29a xb ====-． 故答案为：2-．14．（4分）函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩的零点个数是 2 ；满足0()1f x >的0x 的取值范围是 ．【解答】解：函数22,0,()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩可得0x <时，20x +=，解得2x =-；0x >时，230x -=，解得x =函数的零点有2个．满足0()1f x >，可得0021x x <⎧⎨+>⎩，解得0(1,0)x ∈-．0231x x >⎧⎨->⎩，解得0(2,)x ∈+∞． 故答案为：2；(1-，0)(2⋃，)+∞．15．（4分）已知集合2{|60}A x x x =--，{|}B x x c =>，其中c R ∈．①集合RA = {|23}x x -<< ；②若x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，则c 的取值范围是 ． 【解答】解：①集合2{|60}{|2A x x x x x =--=-或3}x ，{|23}R A x x ∴=-<<；②对x R ∀∈，都有x A ∈或x B ∈，A B R ∴=，集合{|2A x x =-或3}x ，{|}B x x c =>，2c ∴-，c ∴的取值范围是：(-∞，2]-，故答案为：{|23}x x -<<，(-∞，2]-．16．（4分）给定函数()y f x =，设集合{|()}A x y f x ==，{|()}B y y f x ==．若对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，则称函数()f x 具有性质P ．给出下列三个函数： ①1y x =； ②1()2x y =； ③y lgx =． 其中，具有性质P 的函数的序号是 ①③ ．【解答】解：对①，(A =-∞，0)(0⋃，)+∞，(B =-∞，0)(0⋃，)+∞，显然对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，即具有性质P ；对②，A R =，(0,)B =+∞，当0x >时，不存在y B ∈，使得0x y +=成立，即不具有性质P ； 对③，(0,)A =+∞，B R =，显然对于x A ∀∈，y B ∃∈，使得0x y +=成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈． （Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．（Ⅱ）记这5人中的3名男生为1B ，2B ，3B ，2名女生为1G ，2G ， 则样本空间为：1{(B Ω=，2)B ，1(B ，3)B ，1(B ，1)G ，1(B ，2)G ，2(B ，3)B ，2(B ，1)G ，2(B ，2)G ，3(B ，1)G ，3(B ，2)G ，1(G ，2)}G ，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则1{(A B =，1)G ，1(B ，2)G ，2(B ，1)G ，2(B ，2)G ，3(B ，1)G ，3(B ，2)}G ，事件A 共包含6个样本点．从而63()105P A ==． 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，记函数3()log (82)x f x =-的图象为曲线1C ，函数()g x =2C ． （Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线1C 在直线1y =的下方时，求x 的取值范围；（Ⅲ）证明：曲线1C 和2C 没有交点．【解答】解：（Ⅰ）因为233(2)log (82)log 4f =-=，又函数3log y x =是(0,)+∞上的增函数，所以f （2）33log 4log 31=>=．（Ⅱ）因为“曲线C 在直线1y =的下方”等价于“()1f x <”， 所以3log (82)1x -<．因为 函数3log y x =是(0,)+∞上的增函数， 所以0823x <-<， 即528x <<，所以x 的取值范围是2(log 5，3)．（Ⅲ）因为()f x 有意义当且仅当820x ->， 解得3x <．所以()f x 的定义域为1(,3)D =-∞． ()g x 有意义当且仅当30x -，解得3x ．所以()g x 的定义域为2[3D =，)+∞．因为12D D =∅，所以曲线1C 和2C 没有交点．19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率； （Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明） 【解答】解：（Ⅰ）由图可得0.010.190.290.451a ++++=， 所以0.06a =．（Ⅱ）设事件A 为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”． 则事件A 包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10， 所以P （A ）0.450.290.010.75=++=．设事件i A 为“队员甲第i 次射击，中靶环数大于7”，其中1i =，2，则12()()0.75P A P A ==．设事件B 为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．则1212B A A A A =+，1A ，2A 独立．所以121231133()()()44448P B P A A P A A =+=⨯+⨯=．所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为38．（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定． 20．（13分）已知函数2||1()1x f x x +=-． （Ⅰ）证明：()f x 为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：()f x 是(1,)+∞上的减函数； （Ⅲ）当[4x ∈-，2]-时，求()f x 的值域．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，2||1()1x f x x +=-，则()f x 的定义域为{|D x x R =∈，且1}x ≠±；对于任意x D ∈，因为22||1||1()()()11x x f x f x x x -++-===---，所以()f x 为偶函数．（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，211()11x f x x x +==--， 任取1x ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <，那么2112121211()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----； 因为121x x <<，所以210x x ->，12(1)(1)0x x -->，从而12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >． 所以()f x 是(1,)+∞上的减函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，()f x 在[4-，2]-上单调递增， 又由1(4)3f -=，(2)1f -=，则有1()13f x ； 所以当[4x ∈-，2]-时，()f x 的值域是1[,1]3．21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06,814, 6.x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪⎩ （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y （万元）， 依题意得1822,06,811, 6.x x Y S C x x x ⎧++<<⎪=-=-⎨⎪-⎩．（Ⅱ）当06x <<时，18228Y x x =++-． 所以182(8)188Y x x =-++- 92[(8)]188x x=--++- 94(8)1868x x--+=-． 当且仅当988x x-=-，即5x =时取等号， 所以，当06x <<时，Y 有最大值6（万元）． 当6x 时，115Y x =-．综上，当5x =时，Y 取得最大值6（万元）．因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．22．（13分）设函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记(){|()f P y y f x ==，}x P ∈，(){|()f M y y f x ==，}x M ∈．（Ⅰ）若[0P =，3]，(,1)M =-∞-，求()()f P f M ；（Ⅱ）若P M =∅，且()f x 是定义在R 上的增函数，求集合P ，M ；（Ⅲ）判断命题“若P M R ≠，则()()f P f M R ≠”的真假，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）因为[0P =，3]，(,1)M =-∞-， 所以()[0f P =，3]，()(1f M =，)+∞， 所以()()[0f P f M =，)+∞．（Ⅱ）因为()f x 是定义在R 上的增函数，且(0)0f =，所以当0x <时，()0f x <，所以(,0)P -∞⊆． 同理可证(0,)P +∞⊆． 因为PM =∅，所以(P =-∞，0)(0⋃，)+∞，{0}M =． （Ⅲ）该命题为真命题．证明如下： 假设存在非空数集P ，M ，且PM R ≠，但()()f P f M R =．首先证明0P M ∈．否则，若0P M ∉，则0P ∉，且0M ∉，则0()f P ∉，且0()f M ∉， 即0()()f P f M ∉，这与()()f P f M R =矛盾．若0x P M ∃∉，且00x ≠，则0x P ∉，且0x M ∉，所以0()x f P ∉，且0()x f M -∉．因为()()f P f M R =，所以0()x f P -∈，且0()x f M ∈．所以0x P -∈，且0x M -∈．所以00()f x x -=-，且000()()f x x x -=--=，根据函数的定义，必有00x x -=，即00x =，这与00x ≠矛盾． 综上，该命题为真命题．纯公益资料，欢迎用于学术研讨，禁止用于任何的商业模式。

北京市西城区2022-2023学年高一上册期末考试数学试卷（含答案）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤9，则A B =（A ）[5,3]-（B ）(3,1]-（C ）[3,1)-（D ）[3,3]-（2）已知命题:p 1x ∃<，21x ≤，则p⌝为（A ）1x ∀≥,21x >（B ）1x ∃<,21x >（C ）1x ∀<,21x >（D ）1x ∃≥,21x >（3）如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=（A ）CB（B ）AD（C ）BD （D ）CD （4）若a b >，则下列不等式一定成立的是（A ）11a b<（B ）22a b >（C ）e e a b--<（D ）ln ln a b>（5）不等式2112x x +-≤的解集为（A ）[3,2]-（B ）(,3]-∞-（C ）[3,2)-（D ）(,3](2,)-∞-+∞ （6）正方形ABCD 的边长为1，则|2|AB AD +=uu u r uuu r（A ）1（B ）3（C （D （7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C （单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位：km ）之间满足的关系为80022000C s s=++，则当C 最小时，的值为（A ）20（B ）（C ）40（D ）400（8）设2log 3a =，则122a +=（A ）8（B ）11（C ）12（D ）18（9）已知为单位向量，则“||||1+-=a b b ”是“存在0λ>，使得λb =a ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度与能见度满足函数关系：0.20.1,1.4,0.110,110,b x k ax x x ⎧<⎪⎪=+⎨⎪⎪>⎩≤≤，，（,a b 是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，的值是（参考数据：lg30.48≈）（A ）0.24-（B ）0.48-（C ）0.24（D ）0.48第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A. {﹣1，1}【答案】CB. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x y 02.方程组的解集是（）y 2x22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}B.{(1，1),(﹣1，﹣1)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x y 0x 1x 1【详解】方程组的解为或，y 2y 1y 1x22其解集为{(1,1),(1,1)}．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(x,y)，一个解可表示为(1,1)．13.函数y＝x的定义域是（）x 1A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】x 0由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 x 1 0，解出即可求得定义域．x 0【详解】依题意， x 1 0，解得x ≥0 且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） y l og xA. y ＝x +1 【答案】DB. y ＝x ﹣1 C. y ＝2xD.2 12【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x ﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 2 对于C ，y ＝2 ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；x y l og x对于D ，，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；1 2故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 2 A. a ＜b ＜c 【答案】A0.4，b ＝0.4 ，c ＝2 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）20.4B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0 和 1 比较．【详解】∵log 0.4＜log 1＝0，∴a＜0，22∵0.4 ＝0.16，∴b＝0.16，2∵2 ＞2 ＝1，∴c＞1，0.40∴a＜b＜c，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．b0c d06.若a，，则一定有（）A.ac b d ac bdB.C.ad bcD.ad bc【答案】B【解析】d0c d0，由于a b0试题分析：根据c，有bd,ac bd，故选B.，两式相乘有ac考点：不等式的性质.a,b R ，则a b a b7.设“”的（）”是“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】b试题分析：因为a成立，a,b的符号是不确定的，所以不能推出a b成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）A. 2000(1﹣0.2x )mgB. 2000(1﹣0.2)x mgD. 2000•0.2x mgC. 2000(1﹣0.2 )mgx 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg ，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y ＝2000× (1﹣20%) ＝2000×0.8 (mg )， x x 即 y 与 x 的关系式为 y ＝2000×0.8． x 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． r r9.如图，向量a b 等于（）u r u u r A. 3 ﹣ u r u u r e 3eu r u u r 3e eu r u u r e 3eD.e eB. C.12121212【答案】B 【解析】 【分析】r r根据向量减法法则，表示出a b，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． u r u u rr r a b e 3e，【详解】 ＝ 12故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调 整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2） 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图 （3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和 x ，则x +x ＝_____． 222 1 2 1 2【答案】14 【解析】 分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和x ， 2 1 2x +x ＝4，x x ＝1， 1 2 1 2x +x ＝ (x +x ) ﹣2x x ＝16﹣2＝14， 2 2 2 1 2 1 2 1 2故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．r r r r r12.已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中 m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】3 5 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出 m ，再由模的坐标运算计算出模．r r【详解】∵ ， 共线，∴m －6＝0，m ＝6，a br∴ b (3) 6 3 5 ． 22 故答案为：3 5 ．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． a 1b 913.已知函数 f (x )＝log 3x ．若正数 a ，b 满足，则 f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入函数式计算．a 1f (b) l og a l og b l og l og 2 【详解】 f (a) ． b 93 3 3 3 故答案为： ．2 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．x 2,x 0f x 14.函数 的零点个数是_____；满足 f (x 0 )＞1 的 x 的取值范围是_____． x 2 3,x 0【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】 【分析】(x) 0 直接解方程 f 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x )＞1 也同样由函数 0 解析式去求解．0 f (x) x3 0 0 ， 3 ，当 x 时， f(x) x 2 0, x 2 ，共 2 个零点，即 【详解】 x 时， 2 x 零点个数为 2；0 f (x) x3 1 x 0 ( ) 2 1, 1 时， f x x ，即 1 0 ，x当 x ∴ f 时， ， 2 ，当 x 2 x (x ) 1 (1,0) U (2, ) 的 的取值范围是 x． 0 0故答案为：2；(1,0)U (2, )．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范 围即可．15.已知集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中 c ∈R ．①集合∁ A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 2 Rx ∈B ，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3}(2). （﹣∞，﹣2]【解析】 【分析】①先求出集合 A ，再利用补集的定义求出∁ A ；R ②由对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，所以 A ∪B ＝R ，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}， 2 ∴∁ A ＝{x |﹣2＜x ＜3}； R②∵对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合 A ＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }， ∴c ≤﹣2，∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x |﹣2＜x ＜3}； (﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属 于基础题．16.给定函数 y ＝f (x )，设集合 A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得 x +y ＝0 成立，1x1则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②y ；③y＝lgx．其中，具有性质的函Pyx2数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5 人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5 人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．3【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5 人中男生人数和女生人数．(Ⅰ)记这5人中3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1 名女1 2 3 1 2生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19232012832053，女生人数为52．(Ⅰ)记这5人中的3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，1 2 3 1 2则样本空间为：Ω＝{(B，B)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2(G ，G )}，1 2 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，则 A ＝{ (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )}， 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 63P A事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 10 5 3所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．5【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x 3f x l og8 2 的图象为曲线 C ，函 数 g x 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线x13C ． 2（Ⅰ）比较 f （2）和 1 的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线 C 在直线 y ＝1 的下方时，求 x 的取值范围； 1 （Ⅲ）证明：曲线 C 和 C 没有交点．1 2 【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 5,3)；（Ⅲ）证明见解析 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 f2l og 8 2 l og 4 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的大小．2332 1 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，推出log 8 ．求解即可．x3(Ⅰ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 和 C 没有交点．1 2 f 2 l og 8 2 l og 4 【详解】解： (Ⅰ)因为，2 33又函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数， 3 所以 f (2)＝log 4＞log 3＝1．3 3 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，log 8 2 1 所以．x 3因为 函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数，3 所以 0＜8﹣2 ＜3， x 即 5＜2＜8， x 所以 x 的取值范围是 (log 5，3)．2(Ⅰ)因为f(x)有意义当且仅当8﹣2 ＞0，x解得x＜3．所以f(x)的定义域为D＝(﹣∞，3)．1g(x)有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g(x)的定义域为D＝[3，+∞)．2因为D∩D＝，1 2所以曲线C和C没有交点．1 2【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1 次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）3【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲8【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(I I)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(I I I)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5 个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．a1(0.190.450.290.01)0.06【详解】(I)由题意；(II)记事件 A 甲中射击一次中靶环数大于 7，则 P (A) 0.45 0.29 0.01 0.75，甲射击 2 次，恰有 1 次中靶数大于 7 的概率为：3P P(AA) P(AA) P(A)P(A) P(A)P(A)0.750.25 0.250.75； 8(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本 数据特征，属于基础题．x 1, 20.已知函数． f x x21 （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数； （Ⅲ）当 x ∈[﹣4，﹣2]时，求 f (x )的值域．1,1 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】 【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2] 上的单调性，可得最大值和最小值，得值域． 【详解】(I)函数定义域是{x |x 1},x 1 x 1 f (x )f (x) , (x ) 1 x 12 2 (x) ∴ f 是偶函数；1 x 1 1 x 11 x x (II)当 x 时， f x，设， 1 x 1 x 1 1 2 x2 2 11xx(x ) f (x )则 f ， 2 1 1 2x11 x21 (x 1)(x 1)121 x x x 1 0, x1 0, x x 0，∵，∴ 121221f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) ，∴ ，即 1 2 1 2在(1,)上是减函数；(x) ∴ f(III)由 (I) (II)知函数 f(x) [4,2] 在 上是增函数， 4 1 1 2 1 (x)f (4)f (x) f (2) ， 1， ∴ f (43 (2) 1min2 max 2 1[ ,1] ∴所求值域为 ． 3【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量 x （单位：千件）183x 5,0 x 6 8 间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是Sx . 14, x 6（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．183x5 (3 x),0 x6 S C 8 y (万元)，则 y【详解】(I)设利润是 x ， 14 (3 x), x 6 182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6∴ ； 18 9 0 x 6时， 2 2 2[(8 x) ]18 y x (II)， x 8 8 x9 由“对勾函数”知，当8 x，即 x 6 5时， 6 ， y 8 xm ax 6 11 5 当 x ∴ x时， y x 是减函数， x 时， y， m ax5时， 6 ，ym ax∴生产量为 5 千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．x , x P f x 22.设函数 其中 P ，M 是非空数集．记 f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }． x , x M（Ⅰ）若 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求 f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若 P ∩M ＝∅，且 f (x )是定义在 R 上 增函数，求集合 P ，M ； （Ⅲ）判断命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．的【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出 f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出 f (P )∪f (M )．(Ⅰ)由 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0，得到当 x ＜0 时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0， +∞)⊆P ． 由此能求出 P ，M ．(Ⅰ)假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ．证明 0∈P ∪M ．推导出 f (﹣x )＝﹣x ，且 0 0 f (﹣x )＝﹣ (﹣x )＝x ，由此能证明命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”是真命题． 0 0 0 【详解】(Ⅰ)因为 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)， 所以 f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)， 所以 f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅰ)因为 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0， 所以当 x ＜0 时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ． 同理可证(0，+∞)⊆P ． 因为 P ∩M ＝∅，所以 P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}． (Ⅰ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ． 首先证明 0∈P ∪M ．否则，若 0∉P ∪M ，则 0∉P ，且 0∉M ， 则 0∉f (P )，且 0∉f (M )，即 0∉f (P )∪f (M )，这与 f (P )∪f (M )＝R 矛盾． 若∃x ∉P ∪M ，且 x ≠0，则 x ∉P ，且 x ∉M ， 00 0 0所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.【知识点】三角函数应用【试题解析】因为，是第二或三象限角，或终边在x轴负半轴，又，是第一或三象限角，所以，是第三象限的角，故答案为：C【答案】C【知识点】线性运算【试题解析】因为，故答案为：B【答案】B【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】因为向量共线，所以，得，故答案为：B【答案】B【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为在是减函数，在先增后减，在是减函数，在是增函数，故答案为：C【答案】C【知识点】倍角公式【试题解析】因为所以，是最小正周期为的奇函数故答案为：D【答案】D【知识点】三角函数图像变换【试题解析】因为所以，可以将函数的图象向右平移个单位长度故答案为：D【答案】D的值可以是（【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为直线是函数图象的一条对称轴，所以，，由选项可知a只能是。

故答案为：A【答案】A【知识点】三角函数的图像与性质【试题解析】因为非零向量，夹角为，且，，所以，，，因为为非零向量，解得=故答案为：A【答案】A交点个数为（【试题解析】因为由图像可知共7个交点故答案为：C【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【试题解析】因为当时，，当时单增所以，①②③均正确 故答案为：D 【答案】D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 【知识点】诱导公式 【试题解析】因为故答案为：【答案】12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）ABC【知识点】平面向量基本定理 【试题解析】因为故答案为：【答案】13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 【知识点】倍角公式 【试题解析】因为角终边上一点的坐标为，所以， 故答案为：【答案】14. 设向量(0,2),)a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】因为所以，的夹角等于。