数学提高班第十一讲 数列中的最值

高中数学——数列中的最值问题（相对于其他...
高中数学——数列中的最值问题（相对于其他考点算比较的难考点）
1.例题比较经典，基本都是常考题型，个别题目难度稍微大一些，基础中等偏上的同学们需要掌握
2.一般求最值需要判断数列单调性，做差或者做商，或者变成函数求导来判断，但是要注意数列是离散型的，只能取正整数。

3.趁着寒假，多花一点时间去复习自己薄弱的缓解，今年年后开学早，可以适度放松，但要有自己的学习计划，老想着玩注定与名校无缘[玫瑰][玫瑰][玫瑰]。

本内容主要研究数列最值的相关问题.相关题型大致为判断某一项的最值并求出，或者结合数列的单调性来一起考察.我们先来看一道例题：例1.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________．解析：配方：a n ＝－3n 2＋15n －18=－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34， 由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.我们再来看一道例题：例2.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.在下面这个例题中，我们体会一下一种思想方法：例3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________.解析：当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧ n ＋⎝⎛⎭⎫78n n ＋⎝⎛⎭⎫78n －1，n ＋⎝⎛⎭⎫78n n ＋⎝⎛⎭⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5. ∴n ＝5或6.总结：数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.最后我们看一道例题：例4.数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项的值是________．由于n ∈N *，不难发现当n ＝10时，a n ＝119最大．练习：1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________.2.若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案：1．5或6 2. k ＝4。

第十一讲趣味数学找规律知识阶梯知识装备数学问题真有趣，数列周期和极值；找到窍门和技巧，趣味问题解决了。

初级挑战11+2+3+4+5+…+99+100=?思维导航你能找到快速计算的方法吗？能力探索11+2+3+4+5+…+200+201=?初级挑战2找规律填数:1、4、9、16、25、（）、（）、……思维导航每个数有什么特征？能力探索2找规律填数:1、10、11、100、101、111、（）、1001、1011、1111……中级挑战1把自然数按下图排列12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16第8行正中间的数字是多少？思维导航第二行中间的数与第一行中间的数有什么关系?能力探索312 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16第十行最后一个数字是几？中级挑战2有一列数，23688……,从第三个数开始,每个数都是前两个数乘积的个位数,这列数中,第二十个数字是多少?思维导航找到这列数的排列规律了吗?能力探索4有一列数,1 ,1989,1988,1,1987,1986,1,1985,1984……那么第1989个数是多少?聪明泉贾宪贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。

曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。

他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。

目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

高级挑战1连续从1写到999,这些数各个数位上数字总和是多少?思维导航这些数个位上的数字之和是多少？十位上的数字之和是多少？百位呢？能力探索5有一列数,1234567891011121314……1999,这列数各个数位上数字总和是多少?高级挑战2某路公共汽车,起点到终点共14站,有辆车除终点外,每站上车的乘客中,恰好有一位乘客到以后每一站下车,为使每位乘客都有座位,这辆车至少要提供多少个座位?思维导航第一站至少要上多少个乘客呢?能力探索6某路公共汽车,起点到终点共15站,有辆车除终点外,每站上车的乘客中,恰好有一位乘客到以后每一站下车,为使每位乘客都有座位,这辆车至少要提供多少个座位?思维竞技1.有一个数字，不论横看，竖看，或是反过来看，倒过来看，它的字义和字型都不变，你能猜出这个数字吗？2.计算1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-993．找规律填数：7、14、10、12、14、9、19、5、（）、（）4．如图:1 3 6 10 15 ……2 5 9 14 ……4 8 13 ……7 12 ……11 ……问第一行第8个数字是多少?第三行第6个数字是多少?4、有一个数47868……，从第3个数字开始，以后每个数字都是前两个数字乘积的个位数字，那么第90个数字是几？思维拓展1.（2+4+6……+100）-（1+3+5+……+99）=2.找规律填数：6、13、27、55、（）、（）3、如图:1 3 6 10 15 21……2 5 9 14 20 ……4 8 13 19 ……7 12 18 ……11 17 ……16 ……从上自下第一列中第12个数字是几？4、1+2+1=41+2+3+2+1=91+2+3+4+3+2+1=16……1+2+3+……+10+9+……+3+2+1= 1+2+3+……+50+49+……+3+2+1=。

《数列中常见的最值问题》教学设计一、教材分析数列作为一类特殊的函数，虽然在课程中的课时数不多，但由于数列蕴含着丰富的数学思想方法，有利于培养学生的运算求解能力、推理论证能力、逻辑思维能力、应用数学知识分析问题和解决问题的能力，深刻迎合了新课程改革的教学理念，因而在高中数学中占有重要的地位，也是每年各地高考的重点、热点。

高考对数列知识的考查主要体现在三个方面：一是考查数列的基本概念，二是考查等差、等比数列的概念和性质、通项公式及前n 项和公式，三是考查数列与函数、方程、不等式、解析几何等知识的结合。

最值问题是数学中的常见题型，而数列是特殊的函数，所以数列中最值问题的解决可以从以下三个方面来着手：1、数列的基本量法2、利用数列的性质3、借助函数的思想。

二、学情分析学生已经对数列知识有了初步的认识，对数列公式的运用已具备一定的技能。

但高三文科班，男生少，女生多，女生很认真，但太过于定性思维，成绩不是太理想！针对学生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、教学设计思想数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题主要有以下2种类型： 类型1、求数列}{n a 的前n 项和n S 的最值。

类型2、求数列}{n a 的最值。

这节课为高三第一轮复习课中数列最值问题的第一课时，学生对数列的最值问题大多没有形成明晰的知识脉络，因此，这节课在知识技能上以基本概念和基本解题思路的理解和掌握为主，同时注意函数思想的渗透和部分函数、不等式知识技能的应用。

四、目标分析教学目标：1.通过教与学，使学生能够利用等差、等比数列的通项、前n 项和公式及性质解决相关的最值问题.2.通过对数列中最值问题的探究，让学生归纳总结求最值的一般方法 .3.在解决问题的过程中，使学生学会借助函数的单调性解决有关数列最值问题，体会转化思想、函数思想.教学重点：学生对数列最值问题的解题思路的初步应用教学难点:函数思想在数列中的应用五、教学过程（一）知识回顾（二）合作探究的前（三）类比探究（四）拓展提升（五）课堂小结及板书（六）知识反馈前前。

数列中的最值问题一、考情分析数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 二、经验分享(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列．②用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．(2) 最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小. (3)求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值. 三、知识拓展已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，①若0d >，n S 有最小值，若，则k S 最小，若0k a =则1,k k S S -最小； ①若0d <，n S 有最大值，若，则k S 最大，若0k a =则1,k kS S -最大。

四、题型分析(一) 求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项. 【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项． 【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值.【解法一】基本不等式法.， 120S <，则当0n S >时， n 的最大值为11，故选A(三) 求满足数列的特定条件的n 的最值【例3】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为，且145,,2a a a -成等差数列，，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11 【分析】先求和，再解不等式. 【答案】C【解析】，当2n ≥时，，由145,,2a a a -成等差数列可得，即，解得2m =-，故2nn a =，则，故，由20172018n T >得，即122019n +>，则111n +≥，即10n ≥，故n 的最小值为10.【小试牛刀】【湖南省邵东县创新实验学校2019届高三月考】已知数列的通项，数列的前项和为，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列，则满足的的最大整数值为（ ）A ．338B ．337C ．336D ．335 【答案】D(四) 求满足条件的参数的最值【例4】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对恒成立,求实数t 的最大值.【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ,可得.因为,所以1n n T T +>,所以数列{}n T 是递增数列,所以,所以实数t 的最大值是1.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前n 项和为n S ,若对任意的正整数n ,不等式恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为 .【答案】5 【解析】要使恒成立,只需.因,所以,，数列为等差数列，首项为，,,,,在数列中只有,,为正数的最大值为故选5．【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的的最小值是( )A．62 B．63C．126 D．127【答案】D6．【湖南省岳阳市第一中学2019届高三上学期第三次质检】在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为（）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项【答案】B【解析】数列中，，，得到：，，，，上边个式子相加得：，解得：．当时，首项符合通项．故：．数列满足，则， 由于，故：，解得：，∴当n ∈[1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈[45,100]时,{a n }单调递减,结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.10.已知函数,且,设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得． 由题意可得或解得a=1或a=-4, 当a=-1时, ,数列{a n }不是等差数列；当a=-4时,,,,当且仅当1311n n +=+,即1n =时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 11．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】625912．【江苏省常州2018届高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若，则3a 的最小值为________.【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，所以，则，即，即，即3a 13．【福建省闽侯县第八中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得的最小正整数n 的值为__________．【答案】5【解析】，，两式相减，故， 112n n a ++=故，故n 的最小值为5.14．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=， 242b b +=,则12222n b b b 的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有，解得，故.，故当3n =时，取得最大值为92512=.15．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >， 260S <，则数列的最大项是第________项.【答案】1316.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，，且11a =，设，则的最小值是________.【答案】9【解析】当2n ≥ 时，，即，展开化为：∵正项数列{}n a 的前n 项和为n S∴数列{}n S 是等比数列，首项为1，公比为4．则则当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立. 故答案为919.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a …,且,记集合.（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数.由,可归纳证明对任意n k …,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数； 如果1k >,因为12k k a a -=或,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n …,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.。

例谈数列最值的求法综观近年高考题，求最值问题可是个大热门，几乎年年必考。

为帮助大家探索这类问题的解题规律，本文将这类问题归纳为以下几种解法供大家参考。

一、单调性法例1：已知数列{a n }的通项公式为n a =1131...2111-++++++n n n ，求它的数值最小的项。

解：∵n a =1131...2111-++++++n n n ， ∴ 1+n a -n a =11231331431+-+++++n n n n =332231431+-+++n n n =)43)(33)(23(2+++n n n >0， ∴数列{n a }为递增数列．∴数列的最小项为1a =1413121-++=121 点评：要求数列{b n }的最大值项或最小值项，往往可通过作差比较(累加型)或作者比较(累积型)得数列单调性，从而求出数列的最值项。

二、函数法数列是一种特殊的函数，它是以正整数1，2，3，…，n 作为自变量的函数。

这也就提醒我们可以用函数思想来求解数列中的最值问题。

但要注意数列自变量都是自然数集或其子集这一特殊之处。

例2：已知数列{a n }的通项公式为a n =－0.3n 2+2n+732，求它的数值最大的项. 析：求数列{a n }的数值最大的项，也就是求a n 的最大值.由于数列可以看作函数，故可先用求函数最值的任何方法求出相应函数的最值，由此得出相应数列的最值.解法一（配方法）：∵a n =－0.3（n －310）2+11，令f(x)=－0.3（x －310）2+11，则二次函数对称轴为直线x=310≈3.3，又n ∈N +，∴四舍五入得n=3. 故当n=3时，a n 最大，∴数列的最大项为a 3=30329. 解法二（单调性法）：∵a n+1－a n =－0.3(2n+1)+2，令－0.3(2n+1)+2<0得n>8.2617≈，∴当n≥3时，a n+1－a n <0，当n≤2时，a n+1－a n >0，故数列{a n }当n≤2时递增，当n≥3时递减.∴数值最大的项为a 3=30329. 点评：数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与nS 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等。

题型一：求数列的最大项【例1】已知数列}{na 的通项公式为na =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1:利用基本不等式求解。

思路2:求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法。

n a =2156nn +=1156n n+，因为156n n+1562n n⨯；当且仅当156n n =，即n=156时,而，144156169<< 且n ∈N *，于是将n=12或13代人，得1213a=a 且最大．【评注】这类问题一般是利用基本不等式求解或求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值，从而找到最大项【小试牛刀】已知等差数列{}na 的前项和为nS ，若4510,15SS ≥≤，则4a 的最大值为_____．【答案】4【解析】∵4510,15S S ≥≤,化为，令，，解得,,，的最大值为4．题型二：nS 的最值问题【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－错误!n 2＋kn （其中k ∈N ＋），且S n 的最大值为8。

（Ⅰ）确定常数k ，并求a n ；（Ⅱ)求数列}229{nna -的前n 项和T n 。

【分析】第(Ⅰ)问先根据n 的二次函数求最值条件确定的值，并利用结论a n ＝错误!求出通项即可；第（Ⅱ)问把第(Ⅰ）问的结果代入后错位相减求和．【评注】 （1）一般地，如果数列{a n ｝是等差数列,｛b n }是等比数列，求数列{a n ·b n ｝的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛b n }的公比，然后作差求解． （2）在写出“S n "与“qS n "的表达式时应特别注意将两式“错项对齐"以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．【小试牛刀】【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考数学（理）试题】在等差数列{}na 中，135105a aa ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前项和，则使nS 达到最大值的是 . 【答案】20考点：1、等差数列的性质;2、等差数列的通项公式． 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}na 是等差数列，若981aa <-，且它的前n 项和nS 有最大值，那么当nS 取得最小正值时，n 等于__________________.【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【小试牛刀】已知数列}{na 的前项和21n n S a n =+-，数列{nb ｝满足113(1)n n n n b n a na ++⋅=+-，且13b =．(Ⅰ）求na ，nb ；(Ⅱ)设nT 为数列{nb }的前项和，求nT ，并求满足nT 7时的最大值．【解析】（Ⅰ）2n ≥时,21nn S a n =+-，211(1)1,n n S a n --=+--两式相减,得1121,21nn n n aa a n a n --=-+-∴=-21n a n ∴=+,()()()114331232143,3n n n nn b n n n n n b +++∴⋅=++-+=+∴=当2n ≥时,1413n n n b --=,又13b =适合上式，1413n n n b --∴=. (Ⅱ)由（Ⅰ)知1413n n n b --=， 2213711454113333n n n n n T ----∴=+++++…………①231137114541333333n n n n n T ---=+++++…………② ①—②，得23124444413333333n n nn T --=+++++-， =111141453334513313n n n n n -⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+⋅-=--11545223n n n T -+∴=-⋅， ()114154543023233n n n n nn n n T T +-++++-=-=-<⋅⋅, 所以，1nn T T +<，即{}n T 递增数列又3459647,799TT =<=> 当7nT<时，的最大值为3.题型四:求满足条件的参数的最值【例4】 己知各项均不相等的等差数列}{na 的前四项和144=S ,且1a ,3a ，7a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{na 的通项公式;(Ⅱ）设nT 为 数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和，若1+≤n n a T λ对*n N ∀∈恒成立，求实数λ的最小值．【分析】（Ⅰ)求等差数列通项公式基本方法为待定系数法，即求出首项与公差即可，将题中两个条件: 前四项和144=S ,且1a ,3a ，7a 成等比数列转化为关于首项与公差的方程组⎩⎨⎧+=+=+)6()2(146411211d a a d a d a 解出即得1n a n =+，（Ⅱ)本题先求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和,这可利用裂项相消法，得到11112334n T =-+-+…11122(2)n n n n +-=+++,然后对恒成立问题进行等价转化，即分离变量为22(2)nn λ+≤对n N *∀∈恒成立，所以max2[2(2)nn λ+]≤，从而转化为求对应函数最值，因为211142(2)2(44)162(4)n n n n==++++≤，所以116λ≥【评注】求解与参数有关的问题,一般是分离变量，再构造新函数求解.【小试牛刀】已知数列{}na 的通项公式为11nan =+,前项和为n S ，若对任意的正整数，不等式216nn mS S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为 . 【答案】5题型五:实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50%;乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．（Ⅰ)求经过n个月，两省新购校车的总数S（n）；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列，而乙方案能构成等差数列，利用等差等比数列的前n项和公式分别求和，再相加即可；第二问,利用第一问的结论，得出3n=且(3)1000S≥,直接解不等式即可得到m的取值范围，并写出最小值.【小试牛刀】某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于____________. 【答案】3【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为na 万元，则数列{}na 是以为首项，以为公差的等差数列，则2na n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a aa n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为nS 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-，因此，该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭，当且仅当9n n =且当n N *∈，即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =。

第十一讲 极端原理考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。

在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。

运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。

A 类例题例1在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )(A) 2,n n ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 1,n n ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 21,n n n n ππ--⎛⎫ ⎪⎝⎭(1994 年全国高中联赛题) 分析 利用图形的极端位置解题。

解 当正n 棱锥的顶点S 向下无限趋近底面正n 边形中心时, 所求值趋于π；当S 向上运动, 趋向无穷远时, 正n 棱锥趋于正n 棱柱,所求值趋于正n 边形的一个内角(即2n nπ-),故选A. 例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。

分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况。

解 无三人得分相同的最低分值为：2³(0+1+…99)+100=10000。

无三人得分相同的最高分值为：2³(1+2+…100)+ 0=10100。

即无三人得分相同时的得分取值情况为10000，10001，…，10100。

所以（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。

说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，…，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，…，100分各2人，得0分1人。

情景再现1．已知长方形的4 个顶点A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和D(0 , 1),一质点从AB 的中点P 0 沿与AB 夹角为θ的方向入射到BC 上的点P 1后依次反射到CD 、DA 和AB 上的点是P 2 、P 3和P 4 (入射角等于反射角). 设P 4的坐标为(x 4 ,0),若1<x 4<2 ,则tan θ的取值范围是( ) (A) 1,13⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) 21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭(D) 22,53⎛⎫ ⎪⎝⎭(2003年全国高考题) 2．已知A(2 , 3) ,B ( -3 , -2), 若直线l 过点P(1 , 1), 且与线段AB 相交, 则直线l 的斜率k 的取值范围为( )(A) k ≥34. (B) 34≤k ≤2. (C) k ≥2 或k ≤34 (D) k ≤2. B 类例题例3已知对任意正自然数n,不等式nlga< (n +1) lg a a ( a >0)恒成立, 求实数a 的取值范围.分析 用分离变量的方法处理恒成立的问题，即a>f(x)对任意x 恒成立等价于a>max ｛f(x)｝.解 当lg a >0 ,即a >1 时, 则不等式1n a n >+对任意正自然数n 恒成立, 因为当n 无限增大时,n 无限接近于1 ,且1n n +<1 , 所以a >1 ; 当lg a <0 ,即0< a <1 时,要使1n a n <+对任意正自然数n 恒成立,因为1n n +的最小值为12，所以a < 12,即0< a <12. 故所求实数a 的取值范围是0< a <12或a >1. 说明 本题考虑了1n n +取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数f(n)=1n n +单调递增的性质。

数列中的最值问题在高考中出现的频率较高，注意考查：等差数列前n 项和的最值问题和数列与函数、不等式的结合。

等差数列前n 项和的最值问题是高考考查的热点之一，考查形式为选择或填空小题，也可以是解答题的一个小题，是中档题；数列与函数、不等式的结合，是高考考查的重点和热点，重点考查利用数列的相关知识和函数、不等式知识求数列的最值或已知不等式成立求参数取值范围或是证明不等式，为解答题的一个小题，难度为中档偏上试题.1 等差数列中的最值问题求等差数列前n 项和的最值问题的方法：（1）二次函数法：将n S 看成关于n 的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合思想，使问题得到解决，注意项数n 是正整数这一条件. （2）通项公式法：若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， ①若10a >，0d <，且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，则前n 项和n S 最大;②若10a <，0d >，且满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，则前n 项和n S 最小.（3）不等式法：借助n S 取最大值时，有1*1(2,)n n n n S S n n N S S -+≥⎧≥∈⎨≥⎩，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的值和对应n S 的值（即为n S 的最值）.例 1 【山西省孝义市2017届高三上学期二轮模考】在等差数列{}n a 中，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是（ ）A ．21B ．20 C. 19 D ．18 【答案】B例2 【2016届北京市石景山高三上学期期末考试】已知数列{}n a 是等差数列，348,4a a ==，则前n 项和n S 中最大的是（ ）A ．3SB ．4S 或5SC ．5S 或6SD ．6S 【答案】B.2 数列与函数、不等式的结合中的最值问题(1)求数列}{n a 的前n 项和n S 的最值，主要是两种思路：①研究数列)(n f a n =的项的情况，判断n S 的最值；②直接研究n S 的通项公式，即利用类型2的思路求n S 的最值. (2) 求数列}{n a 的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数)(x f y =的性质，求数列)(n f a n =的最值；②利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k kk k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.(3)对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法：①通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；②通过分类讨论，解决恒成立.例3 【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】数列{}n a 中，112a =，111nn na a a ++=-（其中*n ∈N ）， 则使得12372n a a a a ++++≥成立的n 的最小值为 （ ）A ．236B ．238C ．240D ．242 【答案】B【解析】由111121n n na a a a ++==-，，得23411312132131231122a a a ++-====-==--+-，，， 511131213a -==+，…， 由上可知，数列{}n a 是以4为周期的周期数列，又123411732632a a a a +++=+--=．∵7413 597266⨯=<，∴数列{}n a 的前236项和小于72，加上72为大于72，∴使得12372n a a a a +++⋯+≥成立的n 的最小值为238．故选：B ． 例 4 【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1.例 5 【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】在数列{}n a 中，已知12a =，1=321n n a a n ++-．（1）求证：数列{}+n a n 为等比数列；（2）记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）8194λ≤≤【反思提升】数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想 (如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 或 )等.已知数列的前n 项和n s 的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：（1）将和n s 转化为项n a ,即利用1--=n n n s s a 将和转化为项.（2）可将条件看作是数列{}n s 的递推公式，先求出n s ，然后题目即转化为已知数列的前n 项和n s ，求数列通项公式n a ．。

数列的求和与最值〔高考一轮复习〕数列的最值①10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；②n S 最值的求法：①假设n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法〔n N +∈〕；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：假设n a ，那么n S 最值时n 的值〔n N +∈〕可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩。

1、等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，那么前项的和最大。

2、数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是3、设｛a n ｝〔n ∈N *〕是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，那么以下结论错误的选项．．．．．是．〔 〕 A.d ＜0 B.a 7＝0C.S 9＞S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值4、在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }前n 项的和，假设S n 取得最大值，那么n ＝____5、数列{a n }中，6.15-=n n a n )(*∈N n ，求数列{a n }的最大项6、}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，假设100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值7、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，001213123<>=S S a ，，⑴求出公差d 的围，⑵指出1221S S S ，，， 中哪一个值最大，并说明理由。

数列通项公式一、公式法〔定义法〕根据等差数列、等比数列的定义求通项1.数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式2.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 〔*∈N n 〕，求数列{}n a 的通项公式3.数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式4.数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n n n n a a ++-=-〔*∈N n 〕，求数列{}n a 的通项公式；二、t ka a n n +=+1 〔1≠k 〕型在数列{}n a 中，假设111,23(1)n n a a a n +==+≥，那么该数列的通项n a =_______________三、累加法〔适用于：1()n n a a f n +=+〕1.数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式2.数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式四、累乘法〔适用于： 1()n n a f n a +=〕数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a五、待定系数法〔适用于1()n n a qa f n +=+〕六、递推公式法1.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式2.数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列数列的求和总结一、直接用等差、等比数列的求和公式求和。