第四章弹性变形·塑性变形·本构方程
当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。
在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。
大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。
在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示:
ζ=Eε(4-1)
式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作ζP。由A点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作ζr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即ζP与ζr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以ζr表示，并认为当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于ζr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作ζs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。
显然，我们注意到材料变形一旦进人塑性变形阶段，应力和应变就不再具有一一对应的关系。在F点之前，试件处于均匀应变状态，到达F点后，试件往往开始出现颈缩现象。如果再继续加载则变形将主要集中于颈缩区进行，F点对应的应力是材料强化阶段的最大应力，称为强度极限，用Qa表示。由于颈缩区的截面逐渐缩小，所以试件很快受拉被剪断。试件在断裂之前。一般产生有较大的塑性变形。韧性较好的低碳钢材料的应力应变曲线所反映的变形特征既典型又具有代表性。这也为大量固体材料的力学试验结果所证实。综上所述.并对大量固体材料力学试验资料综合分析知，固体材料弹性变形具有以下特点:
(1)弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能)的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复。
(2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系。
(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。
而固体材料的塑性变形具有以下特点:
(l)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功)。
(2)在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。因此，不能应用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径(即加载历史)。
(3)当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。
但判断物体中某一点是否由弹性状态转变到塑性状态，必然要满足一定的条件(或判据)，这一条件就称为屈服条件。在分析物体的塑性变形时，材料的屈服条件是非常重要的关系式(详见§4-4)。
无疑，在弹性区，材料在加载或卸载的过程中都服从应力应变成线性比例关系，即广义虎克定律(详见§4-3)。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。为了考虑材料的变形历史、应研究应力和应变增量之间的关系，以这种关系为基础的理论，称为增量理论。在比例变形条件下，通过对增量理论的应力和应变增量关系的积分，就可以得到全量理论的应力和应变关系。增量形式的应力与应变增量的关系和全量形式的应力应变关系都是非线性的关系式，它们就是塑性变形的应力应变关系(详见§4-7)。
此外，若对材料加载，应力超过屈服极限后，卸去载荷，然后再反向加载(即由轴向拉伸改为压缩)，则这时产生的新的屈服极限将有所降低，如图4-2所示，ζs''<ζs'且ζs''<ζs。这种具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向上降低的效应，是德国的包辛格(J. Bauschinger)首先发现的，故称之为包辛格效应。包辛格效应使材料具有各向异性性质。由于这一效应的数学描述比较复杂，一般塑性理论(在本教程)中都忽略它的影响。
综上所述可知，塑性力学要比弹性力学的理论复杂得多。为研究塑性力学的需要，这里我们在第一章绪论中对固体材料所做基本假设的基础上，再提出以下附加假设，这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基础上的，它们是:
(1)球应力引起了全部体变(即体积改变量)，而不包含畸变(即形状改变量)，体变是弹性的。因此，球应力不影响屈服条件。
(2)偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起的。因此，在塑性变形过程中，材料其有不可压缩性(即体积应变为零)。
(3)不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性的。
此外必须指出，上述附加假设的前两条对于一般岩土类材料是不适用的。有关岩土类材料的讨论请见§4-5。
§4-2 弹塑性力学中常用的简化力学模型
不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。
对于不同的材料，不同的应用领域，可以采用不同的变形体模型。在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单，以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用的简化力学模型分析如下：
(1)理想弹塑性力学模型当材料进行塑性状态后，具有明显的屈服流动阶段，而强化程度较小。若不考虑材料的强化性质，则可得到如图4-3所示理想弹塑性模型，又称为弹性完全塑性模型。在图4-3中，线段OA表示材料处于弹性阶段，线段AB表示材料处于塑性阶段，应力可用如下公式求出:
由于公式(4-2)只包括了材料常数E和εs，故不能描述应力应变曲线的全部特征，又由于在ε=εs处解析式有变化，故给具体计算带来一定困难。这一力学模型抓住了韧性材料的主要特征，因而与实际情况符合得较好。
(2)理想线性强化弹塑性力学模型当材料有显著强化率，而屈服流动不明显时，可不考虑材料的塑性
流动，而采用如图4-4所示线性强化弹塑性力学模型。图中有两条直线，其解析表达式为:
式中E及E1分别表示线段OA及AB的斜率。具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材料。由于OA和AB是两条直线，故有时也称之为双线性强化模型。显然，这种模型和理想弹塑性力学模型虽然相差不大，但具体计算却要复杂得多。
在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小得多，因而可以忽略弹性应变。于是上述两种力学模型又可简化为理想刚塑性力学模型。
(3)理想刚塑性力学模型如图4-5所示，应力应变关系的数学表达式为:
上式表明在应力到达屈服极限之前，应变为零，这种模型又称为刚性完全塑性力学模型，它特别适宜于塑性极限载荷的分析。
(4)理想线性强化刚塑性力学模型如图4-6所示，其应力应变关系的数学表达式为:
(5)幂强化力学模型为了避免在ε=εs处的变化，有时可以采用幂强化力学模型，即取：
式中n为幕强化系数，介于0与1之间。式(4-6)所代表的曲线(如图4-7所示)在ε=0处与ζ轴相切，而且有：
式（4-7)的第一式代表理想弹性模型，若将式中
的A用弹性模量E代替，则为虎克定律式(4-1);
第二式若将A用ζs代替，则为理想塑性(或称理想
刚塑性)力学模型。通过求解式(4-7)则可得ε=1，即
两条直线在ε=1处相交。由于幂强化模型也只有两
个参数A和n，因而也不可能准确地表示材料的
所有特征。但由于它的解析式比较简单，而且n可以
在较大范围内变化，所以也经常被采用。
§4-3 弹性本构方程·弹性应变能函数·弹性常数间的关系
4-3-1 广义虎克定律——弹性本构方程
大量的试验研究结果表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。
若取过某点的x方向为单轴向力方向，则简单拉(压)时的虎克定律为:ζx=Eεx。由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化，因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系，故可将上述应力应变线性比例关系推广到一般情况，即在弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数；反之亦然。这种形式的应力应变关系，称为广义虎克定律或弹性本构方程①，表达为数学形式则为:
式中是a mn(m、n=1,2，…，6)共36个，是材料弹性性质的表征。由均匀性假设知，这种弹性性质应与点的位置坐标无关，于是弹性系数a mn都是与位置无关的常数，故称为弹性常数。如果采用张量记法，则式(4-8)可缩写为:
式(4-9)中的a ijkt与式(4-8)中的a mn的对应关系如表4-1所示。
例如：C12 = C1122,C34=C3312或C3321,…
现在的问题是：广义虎克定律中的36个弹性常数是否都彼此无关?如果不是，那么在各种情况(如在各向同性体情况等)下，它们之间有什么关系?特别是对各种各向异性材料，它们之间又有什么关系?在回答这些问题之前，我们先引入弹性应变能的概念，并给出在普遍情况下应变能的计算公式。
4-3-2 弹性应变能函数
现设物体在外力作用下处于平衡状态，在物体产生弹性变形的过程中，外力沿其作用线方向的位移上作了功。若对于静载作用下的物体产生弹性变形过程中可以不计能量(包括动能与热量)的损失。于是，根据功能原理可以认为：产生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种能的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应变能，或称弹性变形能，并且物体的弹性应变能在数值上等于外力功。这就是变形能原理。若弹性应变能用U表示，外力功用W e，表示，则有:
在加载过程中，变形体的外力和内力都要作功。在小变形条件下，根据机械能守恒定理，则可认为这一过程中的外力功和内力功(用W i表示)之和为零，也即:
于是有:
因为内力是由于材料对应变的抵抗而产生的，所以在静力加载过程中，内力与变形方向反，内力功取负值。
这里所谈的内力实际上就是指物体内的应力，也即一点单元体各微截面上作用的应力。显然，整个物体的内力功，就等于物体内每一点处(单元体)由于变形应力所作的内力功的总和。应当注意到，当我们取物体内一点(单元体)作为研究对象时，则该单元体各微截面上作用的应力，就应视为该单元体的外力了，见图2-12所示，当单元体各边长dx、dy、dz因变形都产生有位移分量δu、δv、δw时，应力分量ζij和应变分量εij也应有相应的增量，由此可计算出单元体上应力所作的功。
首先考察单元体上外法线与x轴相平行的微截面上拉力(或压力)所作的功，如图4-8(a)所示。当有应变增量δεx时，则两平行微截面间的相对位移为δεx d x。略去右侧截面上正应力增量势错误！未找到引用源。
dx一项(因该项力所作的功为高阶微量)，则得单元体x方向的拉力(或压力)ζx dydz所作的功为(b)式第一项.同理可得单元体y、z方向上的拉力(或压力)所作的功为(b)式后两项:
再考察单元体xOy平面内剪力在剪变形上所作的功。如图4-8(b)所示，当有剪应变增量δγxy时，同理
略去剪应力增量错误！未找到引用源。dx，单元体两侧面上作用的剪力错误！未找到引用源。xy dydz组成力偶错误！未找到dydzdx，则该力偶所作的功为式(c)第一项。同理再考察单元体yOz或zOx截面上剪力作的功，可得引用源。xy
式(c)后两项:
综上所述，物体内一点单元体各微截面上的全部外力在微小变形增量上所作的功为:
考虑到dxdydz是单元体的体积，因此单元体中单位体积内外力在微小应变增量上所作的功为:
根据外力功与应变能的关系，单位体积内外力在微小应变增量上所作的功应等于单位体积内应变能的全部增量δU0，即：
从零应变状态到达某一应变状态εij的过程中，积累在弹性体单位体积内的应变能，称为应变能密度或应变比能，记为U0。则为：
于是整个弹性体内的应变能为：
由式（4-13）知，δU0。是单位体积应变能增量，因而由式(4-14)知应变比能U0是应变状态的函数，即:
则可表示为函数的全微分，也即：
与式(4-13)相比较，即得：
函数U0称为弹性应变比能函数或弹性势。此式表明，应力分量等于弹性应变比能函数对相应的应变分量求一阶偏导数，且该式适用于一般弹性体，可缩记为：
4-3-3 弹性常数间的关系
现在我们来回答前面提出的问题，即式（4-8）中的36个弹性常数之间有什么关系?我们先从最复杂的情况开始，逐个加以讨论。
1 极端各向异性体
如果在物体内的任一点，沿任何两个不同方向上的弹性性质都互不相同时，则称该物体为极端各向异性体。在实际工程材料中，这种情况虽然很少见到，但其36个弹性常数之间也存在有某些内在联系。
现将式(4-8)中第一式对εy求偏导，第二式对εx求偏导，则有：
根据式(4-18)的结论有：
由于应变比能U0是应变分量的连续函数，故式(f)中两式应相等，联系式(e)得：a12=a21。同理可证明36个弹性常数之间存在有以下关系;
因此，可知这36个弹性常数中，对极端各向异性体，独立的弹性常数只有21个。于是极端各向异性体从零应变状态到应变状态为εij的过程中，积累在单位体积内的应变能为:
注意上式中不带系数错误！未找到引用源。的项均为合并项。
2 正交各向异性体
如果在物体内的每一点都有三
个互相正交的弹性对称面，在侮个面
两边的对称方向上弹性相同，但在这
三个方向上弹性各不相同。这种物体
就称为正交各向异性体。例如工程上
常见的双向配筋不同的钢筋混凝土
构件、木材以及煤岩等。
若取x、y轴在一弹性对称面内，
则z轴颠倒方向时，如图4-9 (a)所示，
由于xOy平面两侧弹性相同，由式
(4-21)所得的U0值应不变，因为U0
只取决于弹性常数和最终的应变状
态，同坐标系的选择无关。因此，只
要xOy为平面两边弹性相同，变形结果也相同。而U0的数值与z轴怎样设取无关。于是对于弹性体应有：
若同理再讨论另两个弹性对称平面，则在式(g)所得结果基础上，还应有：
因此，对于正交各向异性体，独立的物性参数只剩下9个。则由式(4-8)得正交各向异性体的应力应变关系为:
应变比能为:
从以上讨论可以看出，如果所设的x、y、z轴恰在应变的主方向上，则有γxy=γyz=γzx=0，同时由式(4-22)可得错误！未找到引用源。xy=错误！未找到引用源。yz=错误！未找到引用源。zx=0，即所设x、y、z方向也恰是应力的主方向。因此结论是：
只要是正交各向异性体，其应变主方向与应力主方向相重合。至于下面将讨论的横观各向同性体和各向同性体，则更是如此。
3 横观各向同性体
有一类正交各向异性体，其特点是在平行于某一平面的所有各个方向(即所谓横向)都具有相同的弹性，我们将这类正交异性体称为横观各向同性体。许多成层的岩石就属于这一类。
现把y轴设在纵向，而z、x轴设在上述平面内的横向。由于xOz平面内的任意方向弹性都相同，因此把原有的εx和εz的数值对调，对U0应无影响。同样把γxy与γzy的数值对调，对U0也应该无影响。于是对照式(4-22)可知：
则相应的应力应变关系为：
也可将式(4-24)改为用应力表示应变的形式：
对比材料力学的公式，令:
则式(4-25)可写成:
由于在xOy平面内各向同性，故由材料力学的证明知：
因此，对于横观各向同性体，独立的弹性常数只有5个，它们是:E1、E2、μ1、μ2、G2。
若将式(4-24)中的各系数代人式(4-21)中，则可得横观各向同性体的弹性应变比能表达式。
4 各向同性体
若在物体内的任一点，沿任何方向的物性都相同，则称为各向同性体。例如许多金属材料、水泥，以及许多岩石材料等。联系上面对横观各向同性体的讨论可知，对于各向同性体来说，现在不仅在xOz平面内各方向弹性相同，而且在空间任何方向上的弹性都相同。采用上面同样的方法可证明：
由于是各向同性，故在式(4-26)中令：
于是各向同性体的应力应变关系为:
式(4-28)可缩写为;
式(4-29)中令。材料力学中已证明了：
上式中G就是工程中使用的剪切弹性模量，E称为杨氏弹性模，μ称为泊松(Poisson )比。式(4-28)也可改写为用应变表示应力的形式：
若令：
上式中的λ称为拉梅（Lame）常数。已知体积应变，则上式可写为:
若将式(4-31)中各弹性系数代入式(4-23)，即可得各向同性体的应变比能为：
综上所述，对于各向同性弹性体，弹性常数只有三个，分别是E、G、μ，由式(4-30)知，独立的弹性常数只有两个，通常选用杨氏弹性模量E和泊松比μ。
若将式(4-28)左边三式相加，则得：
于是由平均应力，平均应变，则得:
若令：
则式(4-36)变为:
式(m)反映了球应力与体积应变的比例关系，式中K称为体积弹性模量，再由式(4 - 29)得:
又应用式(4-36)，并加以整理得：
显然式((n)方括号项为零，子是得：
式(p)表明应力偏量与应变偏量成正比。我们注意到第一偏应力不变量，J1=S ij=0，因此式(p)中只有5个方程是独立的，必须与式(m)联立，才构成与广义虎克定律式(4-28）或式(4-33)等价的应力应变关系式。于是，关于各向同性体的用球应力和偏应力表示的广义虎克定律为：
若从式(4-30)和式(4-32)求出μ和E，则可得：
根据材料力学实验知：
于是由式(4-34)得到Uo>0。这表明，对于各向同性材料，
应变能函数Uo恒为正值。
例4-1将一橡皮方块放入与它等体积的铁盒内，在
上面用铁盖封闭，使铁盖承受均匀压力p，如图4-l0所
示。假设把铁盖和铁盒视为刚体，且不计橡皮与铁之间
的摩擦。试求：
(1)铁盒内侧面所受的压力q以及橡皮块的体积应变
θ；
（2)若将橡皮换成刚体或不可压缩体时，其体积应
变将有什么变化。
解：取xyz坐标系的z方向与压力p方向一致，则
有：
因εx=εy=0，故得到侧向压力q为：
体积应变为：
当换成刚体时，E→∞，因此θ = 0；当换成不可压缩体时，μ=1/2，因此，θ = 0。
§4-4屈服函数·主应力空间·常用屈服条件4-4-1屈服函数与应力空间
由本章中关于材料弹性变形和塑性变形的讨论及其
特点的总结可看出，塑性应力应变关系比弹性应力应变关
系要复杂得多。并且我们必须要做的一项工作就是首先要
判断材料是处于弹性状态还是已经进人到塑性状态，而进
行这一判断所依据的准则，就称为屈服条件，又称塑性条
件。当材料处于单向拉伸(或压缩)应力状态时，我们通过
简单的试验〔如图4-1所示)就可使这一问题容易地得到解
决：当应力小于屈服极限ζs时，材料处于弹性状态，当
达到屈服极限ζs时，便认为材料已进人塑性状态。即便
是对那些应力应变曲线上弹塑性分界不明显的材料，通常
将对应于塑性应变为εs=0.2%时的应力ζ0.2作为屈服极限
来判明，如图4-11所示。但是，当材料一旦处于复杂应力
状态时，问题就不那么简单了。因为一点的应力状态通常
是由六个应力分量所共同确定，因而不能简单地选择其中
某一个应力分量的数值来作为判断材料是否进人塑性状态的标准，而是应该考虑到所有这些应力分量对材料进入塑性状态的贡献。当然，也不能采用只根据不同的应力状态进行试验的方法来确定材料的屈服条件。因为要进行次数如此可观的实验是不切实际的，并且所需实验设备和实验方法也较复杂，甚至是目前根本做不到的。那么在复杂应力状态下材料的屈服条件如何确立呢？
人们根据材料破坏的现象，总结材料破坏的规律，逐渐认识到：不管固体材料产生断裂或塑性屈服的表面现象多么复杂，对应某种破坏形式都具有共同的某一决定强度的因素。对于同一种材料，无论它处于何种应力状态，当导致它产生某种破坏的这一共同的因素达到某一个极限值时，材料就会产生相应的破坏。因此。我们可以通过材料的简单力学试验来确定这个因素的极限值。现在的问题就是考虑根据简单受力状态的试验结果去建立同复杂应力状态下所有的应力分量都相关的关系，也即屈服条件。
在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是该点六个独立的应力分量的函数，即为：
f（ζij）称为屈服函数。式(4-40)表示在一个六维应力空间内的超曲面。所谓六维应力空间是以六个应力分量ζx，ζy，…的全体所构成的抽象空间。因为由六个应力分量组成，所以称它为六维应力空间。空间内的任一点都代表一个确定的应力状态。.f（ζij）是这个空间内的一个曲面。因为它不同于普通的几何空间内的曲面，所以称为超曲面。该曲面上的任意一点（称为应力点）都表示一个屈服应力状态，所以又称屈服面。例如，在单向拉伸时，屈服应力ζs应在屈服面上，如用六维应力空间来描述，则该点应为超曲面上的一个点，且该点坐标为(ζs，0,0,0,0,0）
对于各向同性材料来说，坐标轴的转动不应当影响材料的屈服①。而一点的应力状态可用该点的主单元体来表示，因此可以取三个应力主轴为坐标轴。此时，屈服函数式((4-40)可改写为：
前面曾经谈到，球形应力状态只引起弹性体积变化，而不影响材料的屈服。所以。可以认为屈服函数中只包含应力偏量，即；
这样一来，屈服函数就转化为用应力偏量表示的函数，而且可以在主应力ζ1、ζ2、ζ3所构成的空间，即主应力空间来讨论。主应力空间是一个三维空间，物体中任意一点的应力状态都可以用主应力空间中相应点的坐标矢量来表示，如图4-12所示。因此，我们在这一主应力空间内可以形象地给出屈服函数的几何图象，而直观的几何图形将有助于我们对屈服面的认识。
需要说明，在静水压力不太大的情况下，静水压力不影响材料的塑性性质这一假设，对许多金属材料和饱和土质是适用的，但对于岩土一类材料，这一假定并不符合实际.这时就应对式(4-42)进行相应的修正。
下面介绍几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：
1球应力状态或静水应力状态
关于球应力状态，应力偏量为零。即S1=S2=S3=0，且ζ1=ζ2=ζ3=ζm。显然在主应力空间中，它的轨迹是经过坐标原点并与ζ1、ζ2、ζ3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线On，如图4-12所示，其方向余弦为l1=l2=l3=1/√3。On直线的方程式为：
On直线上各点所对应的应力状态是取不同的ζm值的球应力状态。
2平均应力为零
平均应力为零，即ζm= 0，应力偏量S ij不等于零。在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与On直线相垂直，也即过原点与坐标平面成等倾斜的平面，我们称它为π平面〔图4-12）。其方程式为；
设在主应力空间中。任一点的坐标矢量用来表示，如图4-12所示，它可以分解为在直线On方向
上的分量和在π平面上的一个分量(即相当于）这就等于把应力张量ζij分解为球应力张量，和偏应力张量S ij。如果我们所研究的问题希望排除球张量而着重考虑偏张量，那么在主应力空间中，我们只濡要分析应力矢量在，平面上的投影就可以了。
3应力偏量为常量
应力偏量为常量，即S1=C1，S2=C2，S3=C3，(C1、C2、C3为常数)。这时，ζ1-C1=ζ2-C2 =ζ3-C3=ζm，它在主应力空间中的轨迹是与On线平行但不经过坐标原点的直线L，如图4-13所示。其方程为；
或写为：
式（d）中，。显然，直线L上各点对应的应力状态具有相同的偏张量，即：
4平均应力为常量
平均应力为常量，即(C为常量)。其在主应力空间的轨迹为一个与On直线正交但不通过坐标原点的平面。显然该平面与π平面平行。其方程为：
式（f）中的d为该平面与π平面间的距离。显然，该平面上的各点所对应的应力状态具有相同的球张量
。
我们知道。当应力ζij较小时.材料处于弹性状态。这就是说，在主应力空间中，围绕着坐标原点有一个弹性变形区域。在这个区域内，应力的无限小增量dζij不会引起塑性变形。当应力增大到一定程度，材料便进人了塑性状态，这时应力的增量dζij就将引起塑性变形(或使塑性变形发生变化)。因此，我们可以设想：在主应力空间中，坐标原点附近的弹性区是被塑性区包围着的，若仅从π平面上来看，弹性区与塑性
区的分界为一条曲线，而在主应力空间中，弹性区与塑性区的分界则为一曲面，该曲面就称为屈服面。它是屈服条件式(4-41)在主应力空间中的轨迹。屈服面的概念是拉伸〔或压缩)应力应变曲线的屈服极限概念的推广。
若我们认为球应力〔静水压力)状态不影响材料的屈服，则上述屈服面必定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表面，其母线垂直于π平面。显然我们对屈服面的讨论只需研究它与π平面的截迹C就可以了，如图4-14所示。曲线C就称为屈服曲线或屈服轨迹。
屈服曲线在π平面内有下列重要性质：
（1）屈服曲线是一条封闭曲线。并且坐标原点被包围在内。容易理解，坐标原点是一个无应力状态，材料不可能在无应力状态下屈服，所以屈服曲线必定不过坐标原点。同时，初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线必定是封闭的，否则将出现在某种应力状态下材料不屈服的情况，这是不可能的。
（2）屈服曲线与任一从坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。在只讨论初始屈服的条件下，材料既然在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与同一应力状态相差若千倍的另一应力状态下再次达到屈服。初始屈服只有一次。
（3）屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。因为材料认为是各向同性的，所以如果（ζ1、ζ2、ζ3）是屈服时的应力状态，那么(ζ1、ζ2、ζ3)必定也是屈服时的应力状态。这就表明，屈服轨迹应当对称于Ⅰ轴(即坐标轴Ⅰ在π平面上的投影)。同样道理，轨迹C也对称于Ⅱ轴和Ⅲ轴，如图4-15所示。这里需要指出的是图4-15所示仅表示理论曲线，未考虑其外凸性。由于我们假定当应力分量改变符号时，屈服函数f（ζij）的值保持不变，即f（ζij）=f（-ζij），所以，如果我们从屈服轨迹上任一点引一条过原点的线段(表示应力按比例卸载，并按同样的比例向反方向加载)，那末它必定在对称于原点的那一点处与轨迹C相交。由此可见，轨迹C不仅对称于轴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，而且还对称于与它们垂直的三条直径，如图4-15中虚线所示。这就是说，由这六条线段所分割的12个30°幅角中，轨迹的形状是相同的，因此，我们只需要考虑其中任一幅角里的应力矢量就可以了。
（4）屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。可以证明，屈服曲线必定是外凸
的(殷绥域，1990)，这就意味着在π平面内任何一根直线至多与屈服曲线相交于两点(除非该直线本身就是屈服轨迹C上的一部分)。
下面再讨论一下屈服曲线的可能位置。
为不失一般性，可以假设轨迹C通过Ⅲ轴上的A点，如图4-16所示。那么，根据上面讨论过的对称条件，可知B、F点(它们分别在Ⅰ、Ⅱ轴上，且)同样也是轨迹C上的两个点，而且连接
A、B和A、F点的两条直线就是外凸的逐段光滑曲线。它通过A、B及F点，并对称于Ⅲ轴。同时也对称干与Ⅲ轴相邻的两轴(它们分别垂直于Ⅰ轴和Ⅱ轴，图中用虚线表示)。显然，具有上述特征的其他曲线不可能位于折线FAB的内侧。
其次，考虑到对Ⅲ轴的对称性，凡是经过A点并且是外凸的分段光滑的曲线不可能在直线F'AA'的外侧。因此从图4-17可知，一切满足各向同性、不计包辛格效应、与球应力状态无关，并且外凸等条件的可能的屈服轨迹一定位于正六边形ABCDEFA与A'B'C'D'E'F'A'之间。必须强调指出，并非位于两个六边形之间的一切曲线都是许可的，只有外凸的曲线才是可能的屈服轨迹。
4-2-2常用屈服条件
历史上(从19世纪中叶开始)曾经先后提出许多不同形式的屈服条件，如最大正应力条件(G. Galilea )、最大弹性应变条件(B.Saint Venant)、弹性总能量条件(E.Beltrarni ) ,最大剪应力条件(H.Tresca ) 、歪形能条件(R. V on Mises）、Mohr条件(（）. Mohr)等等。但经过大量的实验验证及工程实践的检验，证明符合工程材料特性，又便于在工程中应用的常用屈服条件有以下两种：
1 Tresca屈服条件
1864年，法国工程师屈雷斯卡(H.Tresea)在做了一系列金属挤压实验的基础上，发现在变形的金属表面有很细的痕纹，而这些痕纹的方向很接近于最大剪应力的方向，因此他认为金属的塑性变形是由于剪切应力引起金属中晶格滑移而形成的。Tresca提出：在物体中，当最大剪应力ηmax(指绝对值)达到某一极限值时，材料便进人塑性状态。当ζ1≥ζ2≥ζ3时，这个条件可写为如下形式：
如果不知道主应力的大小和次序，则在主应力空间应将Tresca条件写为：
在式（4一44）中，如果有一个式子为等式时，则材料便已进人塑性状态。若将式(4一44)改写为一般性公式，则为：
在主应力空间中，式(4-45)的几何轨迹相当于图4一18（a）中所示正六角柱体。该柱体与ζ1ζ2平面
的截迹[将ζ3代人式(4-45)即得]为：
这表示六条直线，如图4-18(b)所示，也即：
该柱体与π平面的截迹则为一正六边形，如图4-18（c）所示。
上面出现的k值，只需通过简单受力状态的试验来测定。如采用单向拉伸试验，则ζs为屈服极限，于是有。ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，则由式(4-43)得出：
若采用纯剪切试验，则：，为剪切屈服极限ηs，于是有ζ1=ηs，ζ2=0，ζ3=-ηs得出
比较式(4-48)与式(4一49），若Tresca屈服条件正确，则必有：
最大剪应力的假设，由于和实验结果比较一致，因而一般是被接受的。但在使用Tresca条件时，主应力的人小和次序应该知道，因为这样才能求出最大剪应力ηmax如果能知道主应力的次序，则使用Tresca条件是很方便的。因为从数学表达式来看，它是个线性的简单公式，使用它求解问题是非常方便的。此外。Tresca的最大剪应力屈服条件忽略了中间主应力ζ2对材料屈服的贡献，这是它的不足之处。
2 Mises屈服条件
上面已经指出，Tresca条件在预知主应力大小次序的问题中，应用起来很方便。但在一般情况下却相当麻烦。191年德国力学家米塞斯(R. V on Mises)指出：在等倾面上，Tresca条件六边形的六个顶点是由实验得到的，但是连接六个顶点的直线段却包含了假定(认为中间主应力不影响屈服)，这种假定是否合适，需经实验证明。Miser认为：用一个圆来连接这六个顶点似乎更合理，并且可避免因曲线不光滑而造成的数学上的困难。Mises屈服条件在主应力空间中的轨迹是外接于Tresca六角柱体的圆柱体，如图连一19（a）所示，
该圆柱体垂直于正八面体斜面或π平面。因此它在π平面上的截迹则为一半径等于的圆，如图4-19
（c）所示，它在ζ1ζ2平面的截迹为外接于六角形的椭圆，如图4-19(b)所示。如用方程表示，Miles条件可
写成：
或者写成为
上两式中的k为常量，其值可通过简单应力状态的试验来测定。若采用单向拉伸试验，ζs,为屈服极限，则ζ1=ζs，ζ2=ζ3=0，由式（4-51)得：
若采用纯剪切试验，同理得ηs=k，于是知：
也就是说ηs≈0.577ζs。
1924年汉基(H. Heneky)对Mises条件的物理意义做了解释.他指出式(4-51)相当于形状改变应变能密度①等于某一定值，即：
Hencky认为：当韧性材料的形状改变应变能密度U od达到一定数值k'时，材料便开始屈服。若采用单向拉
伸试验，则材料屈服时的，于是知式(4-51)同式(4-55)是一致的。故也常将Mises屈服
条件称为畸变能条件。
1937年纳达依(A. Nadai)对Mises，条件的物理意义提出了另外的解释。Nadai认为式(4 -51)相当于八面体剪应力η8等于某一定值，即
也就是说，当八面体剪应力达到一定数值时，材料开始屈服。1952年诺沃日洛夫（B.B. Harauricm)又对Mises 条件的物理意义用剪应力的均方值给了又一种解释(此略)。总之，以上三种解释虽然表达形式不同，但实际上。它们之间是存在有内在联系的。
有关验证上述屈服条件的试验资料很多。此处不再详细介绍。实验证明：畸变能条件比最大剪应力条件更接近于实验结果，并且不需要预先知道主应力的大小次序，也考虑到了中间主应力ζ2对屈服的贡献。图4-20给出了薄管实验与拉扭实验的结果。图4 - 20（a）为泰勒等人（G. I. Taylor,H.Quinney)的拉扭试验结果；图4一20(b)为洛德(W. Lodc )薄管试验结果。
例4-2 有一等截面圆轴，处于弯
扭组合应力状态下，如图4-21所示。已
测得材料的屈服极限为ζs=300MPa ,且已知弯
矩Mw = 10kN·m，扭矩Mn=30kN·m。若取
安全系数为n=1.2，试按材料力学有关公式和
强度理论设计轴的直径。
解：圆轴处于弯扭联合作用，故轴内危险点横
截面上的两应力分量为：
上式中，而主应力为：
显然。该圆轴内某点的应力状态为ζ1=ζmax，ζ2=0，ζ3=ζmin。且ζ1、ζ3分别为：
根据Tresca条件知：ζ1一ζ3=ζs，将式(3)代人，并考虑安全系数后得：
解得：
所以轴径可取d≥10.9cm。
根据Mises条件知：，将式(3)及安全系数计入并化简得：
由式(6)解得：
所以轴径可取d≥10.4cm 。
§4一5岩土材料的变形模型与强度准则
4-5-1岩土材料的变形特点及主要假设
地质或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料以及工业陶瓷等材料统称为岩土材料。
在一般的常规材料试验机上，进行岩土类介质的材料力学实验时，由于试验机压头的位移量大于试件的变形量，试件在破坏时，试验机贮存的弹
性变形能立即释放，对试件产生冲击作用并
导致剧烈破坏，因此得不到材料应变软化阶
段的规律，即不能得到全应力应变曲线。若
采用刚性试验机，并能控制加载速度以适应
试件的变形速度，就可获得全应力应变曲
线。岩石和混凝土等材料的具代表性的全应
力应变曲线如图4-22所示。实验表明，当
应力较低时，试件材料的内部裂隙被压实，
在这个阶段(OA段)，应力的数值增加不大，
而压缩应变较大；在内部裂隙被压实之后，
应力与应变呈现近似线性增长，在这个阶段
( AB段)中，伴有体积变化，而B点的应力
值称为屈服强度，随着应力的增加，材料的
微裂纹也在不断发生与扩展，因此应力和应变之间表现出明显的非线性增长，也表现出一定的应变硬化特性(BC段)，C点的应力值称为强度极限(压缩强度极限ζbc或拉伸强度极限ζbt）在C点附近，试件总的体积变形从收缩转人扩胀，即材料出现宏观裂纹，裂纹的扩展使得材料的变形不断增加，而应力不断下降，将这一阶段（CD段)称为应变软化阶段；DE阶段则显示出了材料的剩余强度。在达到强度极限时积蓄于材料内的应变能的数值为峰值左侧曲线OABCF所包围的面积，记为U1，从裂缝到破坏整个过程所消耗的能
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值 应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所 示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??===?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε==； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= o o o o V ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = o V ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-?? ??+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P v 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题图1-3
应用弹塑性力学李同林第四章 这是变形理论。这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。伊柳欣的变形理论应该满足几个条件: (1)外载荷(包括体力)成比例增加，变形体处于主动变形过程中(即应力强度无中间卸载)； (2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ = 1/2进行计算；(3)材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即 或者 ； 在变形过程中 (4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。 法律。 使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指
数m来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即: 如果使用主应力，有 等效应变的表达式为: 从这里 因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下: 展开等式(4-84): 根据胡克定律(4-33)，弹性应变为: 因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得: 公式(4-86)可以缩写为: 实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。材料是各向同性的。尝试找到: (1)如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加； (2)如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。 因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上 的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?， 如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无 关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0) (2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为 ???? ??????=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分 布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位
弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
第四章弹性变形·塑性变形·本构方程 当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。 在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。 大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。 在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示: ζ=Eε(4-1) 式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作ζP。由A点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作ζr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即ζP与ζr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以ζr表示，并认为当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于ζr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作ζs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。
R r u A A' x y z Ch3-1 位移与应变几何方程 分量形式： 符号规定：与坐标轴同向为正 刚体位移：各点间相对位置在物体发生位移后依然不变。 刚体位移不会使物体产生变形 n 位移： 定义A 点位移： u =r -R 位移—物体内每一点的空间位置的变化位移场：物体内各点位移矢量的集合 l l l ?′= εα ?=γ0 90A B A B l l ' ' ' x y z A B A B l l ''' C C ' α 90 x y z o 应变：符号规定：正应变—线元伸长为正 剪应变—直角变小为正 物体变形 { 体积改变形状畸变 长度变化，方向改变 O A B C O A B C ' ' ' 'x y z OA OA -A O x ′′= ε OB OB -B O y ′′= ε OC OC -C O z ′′= εA O B yx xy ′ ′′∠?π =γ=γ2B O C zy yz ′ ′′∠?π =γ=γ2C O A zx xz ′ ′′∠?π =γ=γ2 与一点的应力状态相似，可以证明：应变张量决定了一点的应变状态
x u dx u dx x u u x ??= ??? ??????+=εy v dy v dy y v v y ??= ???????????+=εx v dx v dx x v v yx ??= ???+= α)(y u dy u dy y u u xy ??= ???+= α)(xy u v y x γ??= +??dx x u u ??+dx x v v ??+dy y u u ??+dy y v v ??+考虑小变形假定 v αxy αyx x y O A B A'B' O' u x u x ε?= ?y v y ε?= ?xy yx u v y x γγ??== +??z w z ??= εyz zy v w z y γγ??== +??xz zx u w z x γγ??== +??几何方程（小变形）： 其他应变分量同理可以得出 z w z ??= εx w z u zx xz ??+??= γ=γy w z v zy yz ??+??= γ=γε εεεε εεεε ε???? =?? ????? ? 1 2ij ij εγ=几何方程张量表示 )(2 1 ,,i j j i ij u u += εCauchy 应变 张量 ??? ???????????? ???+=dx x w dx x v dx x u A'M'，， 1??? ???????????????+??=dy y w dy y v dy y u B'M'，，1? ??????????? ??+????=dz z w dz z v dz z u C'M'1，，Ch3-2 体积应变 M 点位移,,) u v w （A B C A B C ' ' ' x y z M M ' d z d x d y 变形后各边长沿坐标轴的投影
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
2003年结构工程博士研究生入学考试 弹塑性力学试卷答案 第一道题答案： 圣维南原理可以这样陈述：如果把作用在物体表面一小部分边界上的面力，被分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对同一点的主矩也相同)所代替，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响小得可以忽略不计。 圣维南原理也可以这样陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一自相平衡的力系(主矢量及主矩都等于零)，那么，这个面力就只会在靠近受力表面附近产生显著的应力，远处(与受力表面之尺寸相较)产生的应力可以忽略不计。 上面两种陈述是一致的，因为，静力等效的两组面力，它们的差异是一个平衡力系。 正确理解和运用圣经南原理的关键是弄清“一小部分”，“静力等效”，“近处与远处”的概念。 实践应用中，圣维南原理可提供： 1．我们知道，弹性力学问题在数学上被称为边值问题，其待求的未知量(应力、位移、应变)完全满足基本方程并不困难，但是，要求在全部边界上都逐点地满足边界条件，往往会发生很大困难。为了使问题得到简化或有解，在符合圣维市原理的那部分边界上，可以放弃严格的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的以合力形式表示的整体边界条件。这对于离边界较远处的应力状态，并无显著的误差。这已经为理论分析和实验所证实。 2．当物体的一小部分边界，仅仅知道物体所受外力的合力，而不能确知其分布方式时，就不能逐点地写出面力的边界条件，因而难以求解或无法求解。根据圣维南原理，可以在这一小部分边界，直接写合力条件进行求解。 3．当物体一小部分边界上的位移边界条件不能精确满足时，有时也可以应用圣维南原理得到有用的解答。 4．在工程结构的受力分析中，根据圣维南原理，有时可近似地判断应力分布和应力集中的情况。 第三道题答案：
3. STRAIN 3.1. Deformation and Strain tensor In present chapter we examine the deformation geometry of the deformable solid without regard for the actual forces required to produce it. The most obvious and direct method of describing the motion of a continuum solid is to consider the motion of each and every particle making up the solid. If the relative position of every particle is not changed, there is only rigid moving and rotation, then we may consider it as a rigid displacement. If the relative position of every particle is changed, in the same time the initial shape of the body is distorted, then we called there is a deformation. In the following, we will discuss the deformation of elastic-plastic body. Suppose the distance between two points P o(x o, y o) and P(x,y) is P o P in plane Oxy before deformation. After deformation the two ends of segment P o P moved to P o′(x o′y o′) and P′(x′, y′). Let P o P =s, P o′P′= s ′then the components of vectors s′and s along the x , y axes are: s x′=s x+ s x s y′=s y′+s y The displacement component at point P o is u o =x o′?x o v o =y o′?y o (3.1) Similarly, at point P the displacement component is(Fig.3.1): u =x′– x v =y′– y (3.2) Suppose the displacement u and v are the single-value continuously functions of x and y, then we can expand the displacement at point P in an infinite Taylor series about point P o, that is: u = u o + s x + s y + 0 (s x2, s y2 ) v =v o + s x + s y+ 0(s x2, s y2) (3.3) Because point P is in the neighbourhood of the point P o, therefore the quantity s is sufficiently small, so that we obtain the formula s x =s x′–s x = (x′-x ) – (x o′-x o ) = s x+s y s y =s y′–s y = (y′-y) – (y o′-y o )= s x+ Using the indicial notation and summation convention, these equations
第三章 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化， 即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。 位移与线元长度、方向的变化 坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 ?? ? ?? +=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ 上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。 如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程
应用弹塑性力学读书报告 姓名： 学号： 专业：结构工程 指导老师：
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
应用弹塑性力学习题 解答 Revised on November 25, 2020
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，，
，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得
第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，， ，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得 则主应变有
《弹塑性力学》复习提纲 1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？ 研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究 研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。并可用来校核材料力学得出的近似解。 2. 弹性力学有哪些基本假设？ （1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的 3. 弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。 (1)平面问题的平衡微分方程: 平面问题的几何方程： 平面应力问题的物理方程： (在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程) (2)空间问题的平衡微分方程;
空间问题的几何方程; 空间问题的物理方程： 4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？ (1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力 分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。 (2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移 分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。 5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力与平 面应变；逆解法与半逆解法。 位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每一点，位移函数u和v和应满足条件=，=（在 上） 应力边界条件：若在部分边界上给定了面力分量(s)和(s),则可以由边界 上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z
我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性
假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别
弹塑性力学试题 (土木院15研) 考试时间：2小时 考试形式：笔试，开卷 一﹑是非题（下列各题，你认为正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。每小题3 分，共21分） 1． 孔边应力集中的程度与孔的形状有关，圆孔应力集中程度最高。（ ） 2． 已知物体内P 点坐标P （x, y, z ）, P '点坐标P '（x+dx, y+dy, z+dz ）, 若P 点在x, y, z 方向的位移分别为u, v, w ，则P '点在x 方向的位移为dz z w dy y v dx x u u ??+??+??+ （ ） 3． 任何边界上都可应用圣维南（St. Venant ）原理，条件是静力等效。。 （ ） 4． 塑性力学假设卸载时服从初始弹性规律。（ ） 5． 弹性力学空间问题应变状态第二不变量为2 2 2 - yz xz xy z y z x y x γγγεεεεεε--++。（ ） 6． 弹性力学问题的两类基本解法为逆解法和半逆解法。（ ） 7． 全量理论中，加载时应力—应变存在一一对应的关系。（ ） 二﹑填空及简答题（填空每小题3分，共23分） 1． 弹性力学平面问题，结构特点是（ ），受力特点是（ ）。 2．求解塑性问题，可将应力——应变曲线理想化，分为5种简单模型，它们分别是（ ）。 2． 薄板小挠度弯曲中内力弯矩和剪力的量纲分别为（ ）、（ ）。 3． 比较Tresca 屈服准则和von Mises 屈服准则的相同点与不同点。（5分） 4． 弹性力学的几何方程是根据什么假设条件推导出来的?（4分） 6．简述弹性力学量纲分析的基本思路。（5分） 三﹑计算题（共56分） 1. 写出圆形薄板轴对称弯曲的弹性曲面方程。若受均布荷载0q 作用，推导（必须有推导过程）出其挠度w 的表达式。（8分） 2. 已知应力函数)(A 2 3 xy x +＝?，A 为常数。试求图中所示形状平板的面力（以表面法向和切向应力表示）并在图中标出。(8分)
弹塑性力学课程总结 主要内容： 1.应力分析 2.应变分析 3.弹性与塑型应力与应变的关系 4.弹性与塑性力学的解题方法 5.旋转圆盘的分析 第一章 应力分析 1．点的应力状态：①定义——合力dP 与面积微元dS 的比值 ②描述方法（3个正应力分量与3个剪应力分量可以描述点 的应力状态）； ③分解：意义、方法（m ij ij ij σδσσ+=' ）、图示 2．特殊应力： ①主应力（相互正交），含义/求解？ '3 '2'1'3 21321,,,,,,I I I I I I ij ij →→→σσσσσ ②最大剪应力 （主应力平面上的剪应力为零；最大剪应力位于坐标 轴分角面上，而三个最大剪应力分别等于三个主应力两两之差的一 半）且最大剪应力为： 23 1max σστ-= ③等倾面上的正应力和剪应力 等倾面即和三个主应力轴成相同角 度的面满足 12 22=++n m l ④ 平均应力（静水压力） 只产生体积缩胀，不产生形变；抑制裂 纹扩展。满足： () 321031 σσσσ++= ⑤应力偏量 ?? ?≠==j i j i ij 当当01δ 从而有 ij ij ij s +=0σδσ 3平衡微分方程：
熟悉35页公式1-39与37页1-40 第二章 应变分析 1．点的应变状态：定义、描述、分解 a 正应变（变形分布均匀） l l l x -= ε b 用位移表示应变的几何关系47页式 （2-8） 柱坐标应变的几何方程48页式 （2-9） 球坐标应变的几何方程50页式 （2-12） 2．应力、应变分析的相似性与差异性（概念、分解、表示、相容性等） 一点的应变状态可以用50页式 （2-13） 3. 应变张量和应变偏量（注意：主应变、主剪应变形式差别） 31max εεγ-= 4. 应变协调方程 见67页式 （2-40） 柱坐标的变形协调方程见68页式 （2-41） 第三章 弹性与塑性应力应变关系 应力与应变的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。 注意复习与掌握5组基本方程： 1. 应力平衡微分方程：含义：表征点的应力之间的关系（基体假设的应用，平面问题的具体形式） 2．几何方程：含义：位移-应变的关系 3．物理方程：广义虎克定律 含义：σ—ε关系 ①公式；②参数含义、关系 ()μ+= 12E G a 胡克定律用应力表示应变见85页式 （3-15） b 胡克定律用应变来表示应力见87页式 （3-18） 4．应变协调方程（相容方程，连续方程）：含义，平面问题的相容方程（塑性变形连续方程：） 0321=++p p p εεε a 特雷斯卡屈服条件见90页式 （3-21） b 米泽斯屈服条件见式 （3-23） c 熟悉特雷斯卡条件(1、2、3）与米泽斯条件（1、2、3）的不同处与相同处（1、2） d 塑性应力应变关系（增量理论）：莱维-米泽斯本构方程（100）(3-31) 普朗特-罗伊斯本构方程（102）(3-39) （全量理论）：亨奇-伊柳辛变形理论 （111）(3-49)