拉普拉斯变换 习题集

拉普拉斯变换题库(共7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--六．拉普拉斯变换㈠选择㈡填空1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________.3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________.4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________.5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________.7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________.8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________.9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________.10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。

11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________.13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________.14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________.15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________.16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________.17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________.18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________.19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________.20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.21.t e t f t cos )(=的拉普拉斯变换是______________.22.t e t t f 2)1()(-=的拉普拉斯变换是________________.23.t t t f cos 32sin 5)(-=的拉普拉斯变换是_________________.24.)(3sin 2)(t u t t f -=的拉普拉斯变换是_______________.25.)(3)(t t t f δ+=的拉普拉斯变换是___________________.26.t te t f -=1)(的拉普拉斯变换是__________________.27.)53()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_______________. 28.tt t f sin )(=的拉普拉斯变换是__________________. 29.t e t t f )()(δ=的拉普拉斯变换是_____________.30.t t t f sin )(=的拉普拉斯变换是______________. 31.932)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是___________________. 32.2)(+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 33.ss F 1)(=的拉普拉斯逆变换是_________________. 34.11)(-=s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________. 35.11)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是___________________. 36.21)(ss F =的拉普拉斯逆变换是________________. 37.11)(2+=s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 38.2)1(1)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 39.11)(2-=s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________. 40.se s F s2)(-=的拉普拉斯逆变换是____________________. 41.31)(ss F =的拉普拉斯逆变换是________________.42.91)(2+=s s F 的拉普拉斯逆变换是______________ 43.4)(2+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 44.41)(2+-=s s s F 的拉普拉斯逆变换是____________. 45.41)(2--=s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 46.42)(s s F =的拉普拉斯逆变换是_______________. 47.51)(+=s s F 的拉普拉斯逆变换是______________. 48.2)(-=s s s F 的拉普拉斯逆变换是_______________. 49.)3)(1(2)(-+-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 50.432)(2++=s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________. 51.61)(2-++=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是____________________. 52.61)(2--+=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是________________. 53.161)(4-=s s F 的拉普拉斯逆变换是____________________. 54.23)(se s F s-=的拉普拉斯逆变换是__________________. 55.)1(1)(22+=s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________. 56.)2)(1(3)(+-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是_________________ 57.651)(2++-=s s s s F 的拉普拉斯逆变换是__________________。

积分变换练习题 第二章 Laplace 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质一、选择题1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1se s -+11[(1)][()];1[(1)](1)ss t s u t e u t se e u t s e --+⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪+⎝⎭由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L2．设2sinh ()tf t t =，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）12ln 1s s +-见课本P84二、填空题1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L。

22''222321[(2)][()];1442[(1)]ss s s u t e u t se s s t u t se s e -⎛⎫-== ⎪ ⎪++ ⎪⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L。

(1)00''231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t te e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---⎛⎫===> ⎪- ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎰⎰再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题1．求下列函数的Laplace 变换：（1）302()12404t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩242242422402[()]()3(1)33334ststst st st s s s s s f t f t e dt e dt e dte e e e e e e s s s s s s s+∞----------==+--+=+=-++-=-⎰⎰⎰L（2）3,2()cos ,2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩20222222()22202222[()]()3cos 3333,cos cos()sin 2133[()].1stst st sst stst s s sts ssf t f t e dt e dt te dtee e dt ss se te dt ed ee d s e ef t s s sπππππππτππττππππττττ+∞+∞--------=+∞+∞+∞-+-----==+==-+-=+=-=-+=--++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，从而L L（3）()sin2tf t = 222002[()]sin 2sin .241t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+⎰⎰L（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=⋅-⋅200[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1st stst stst t f t t t t u t e dtt t e dt t u t e dttete dt s δδ-+∞-+∞+∞--+∞--==⋅-⋅=⋅-⋅=-=-+⎰⎰⎰⎰L2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t bf t b t b<≤⎧=⎨-<≤⎩的Laplace 变换。

第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：为变量，其它参数为常量）。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）(15)(16)(17)(18) ()(19)(20)(21)（22）（23）（24）4.2 已知，求下列信号的拉普拉斯变换。

（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）所以4.3 已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。

（1）（2）（3）（4）解（1）初值：终值：（2）初值：终值：（3）初值：终值：（4）初值：终值：4.4 求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。

题图4.4解（1）所以根据微分性质所以注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2）根据定义（3）根据（1）小题的结果再根据时移性质所以根据微分性质得（4）根据定义注：也可根据分部积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义，本小题与（1）小题的结果一致。

（6）根据单边拉氏变换的定义，在是，对比（3）小题，可得4.5 已知为因果信号，，求下列信号的拉普拉斯变换。

（1）（2）（3）（4）解：（1）根据尺度性质再根据s域平移性质（2）根据尺度性质根据s域微分性质根据时移性质（3）根据尺度性质再根据s域平移性质（4）根据时移性质再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到，再时移单位，得到结果4.6 求下列函数的拉普拉斯逆变换。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）{} =（15）{} =（16）{}=（17）{}=（18）{}=（19）{}=（20）{}=（21）{}=（22）{}=(23) {}=(24) ()=4.7 求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。

第四章拉普拉斯变换第一题选择题1．系统函数H（ s）与激励信号X（ s）之间B。

A、是反比关系；B、无关系； C 、线性关系；D、不确定。

2．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t) 应是 B。

A、指数增长信号 B 、指数衰减振荡信号 C 、常数 D 、等幅振荡信号3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的A。

A、左半平面B、右半平面C、虚轴上D、虚轴或左半平面4．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B。

A、指数增长信号B、指数衰减振荡信号C、常数 D 、等幅振荡信号5．一个因果稳定的连续系统，其H( s) 的全部极点须分布在复平面的A。

A 左半平面B右半平面C虚轴上D虚轴或左半平面6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是 D 。

A 指数增长信号B指数衰减信号C常数D等幅振荡信号7．如果一连续时间系统的系统函数H(s) 只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是DA、指数增长信号 B 、指数衰减振荡信号C、常数 D 、等幅振荡信号8．如果系统函数 H(s) 有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统B 。

A 稳定B 不稳定C 临界稳定D 无法判断稳定性9．系统函数 H( s) 是由 D决定的。

A 激励信号E(s) B响应信号R(s) C激励信号E(s) 和响应信号R(s) D系统。

10．若连续时间系统的系统函数H(s) 只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是B。

A 指数增长信号B指数衰减信号C常数D等幅振荡信号11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间BA、是反比关系； B 、无关系； C 、线性关系；D、不确定。

12．关于系统函数 H(s) 的说法，错误的是C。

A 是冲激响应 h(t)的拉氏变换 B决定冲激响应 h(t) 的模式 C 与激励成反比 D 决定自由响应模式13．若某连续时间系统的系统函数H(s) 只有一个在原点的极点，则它的h(t) 应是 C 。

第八章 拉普拉斯变换一、 判断题1．Laplace 变换本质是傅立叶变换。

（ ） 2．任意函数的拉普拉斯变换都存在。

（ ）3． )3sin(π-t 和)3()3sin(ππ--t u t 的拉普拉斯变换结果相同。

4．可以通过计算1+s s 在1-=s 处留数得到1+s s的拉普拉斯逆变换。

（ ） 5．可以通过计算st s e s e 1+ 在1-=s 处留数得到1+s e s的拉普拉斯逆变换。

（ ） 6．用拉普拉斯变换求微分方程时可直接求出满足初始条件的解。

（ ）二、 选择题（2）=-)]4[cos(πt L （ ）（A ）11222++s s （B ）11222+-s s （C ）s e s s 421122π-++ （D ）s e s s 421122π-+- (3) =⎰-]d sin [03ttt t eL （ ）（A ）1)3(112+-s s （B ）1)3(112++s s （C ）1)3(112++-s s （D ）1)3(112+--s s (4) =⎰-]d sin [L 03tt t t e t（ ）（A ）1)3(101231222+-++-s s s s （B ）1)3(101231222+-++s s s s )()]([),()()1(0=-=t f t t t f L 则设δπ2)()()(1)(00D eC e B A st st -（C ）1)3(101231222++++-s s s s （D ）1)3(101231222++++s s s s (5) 函数1)1(22++s s 的拉普拉斯逆变换为（ ） （A ）t e t t cos 2)(--δ （B ）t t t sin 2cos 2)(--δ （C ）t e t t sin 2)(--δ (D)ite i 21- (6) 函数s e s s-+1的拉普拉斯逆变换为（ ） （A ）t e t ---)1(δ （B ）t e t u t ----)1()1(δ（C ）)1()1(---t u e t （D ）)1()1()1()1(------t u e t u t t δ (7)积分⎰+∞-02cos tdt te t 的值为（ ）（A ） 0 (B)253 (C) 253- (D) 254 (8) 积分⎰⎰+∞-0]cos [dt e d e t ττττ的值为（ ）（A ） 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在 (9) a t <时)()(t f a t u *-的值为（ ）（A ） 0 (B) 1 (C) 1- (D) 不存在三、 填空题 （1）设L ),()]([s F t f = ,0>a 则L =-)]([atf eat（2）L =--)]1([2te u t（3）L =+-]cos [)(t e t βα （4）L =--)]2()2[sin(t u t（5）L=+--][151se s（6）L=--])(1[31a s s （7）L=++-])1(1[ln 21s s s（8）=⎰∞+dt ttsin （9）=*-)()(t f a t δ 四、 计算下列函数的拉普拉斯变换.（1）⎪⎩⎪⎨⎧><≤-<≤=4,042,100,3)(t t t t f （2）282cos 32sin )(2+--=-te t t t f（3）at t t f cos )(= （4）)2(sin )(-⋅=t u t t f （5）dt tte tt ⎰-02cos 五、 计算下列函数的拉普拉斯逆变换。

第9章拉普拉斯变换习题9.1 对下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数σ的值：解：（a）因可见，要使积分收敛，当t→∞时，需满足5＋σ＞0，即σ＞－5，此时积分为。

（b）此题中的被积函数与（a）相同，只是积分区间不同。

利用（a）中的积分过程可见，要使积分收敛，当t→∞时，需满足5＋σ＜0，即σ＜－5。

σ＜－5即为实数σ的取值范围。

（c）与（b）相似。

由于积分是在一个有限的区间[－5，5]上进行的，所以无论σ取何实值，积分均收敛，即实数盯的取值范围为－∞＜1＜∞。

（d）与（b）相似。

要使积分收敛，当t→∞时，应有5＋σ＞0，即t＞－5；且当t→－∞时，又应有5＋σ＜0，即σ＜－5。

综合以上分析可知，无论σ取何值，该积分都不收敛。

（e）此积分可化为以上第一个积分要收敛，需满足σ＞－5。

对于第二个积分，由于可见要使其收敛，需满足σ＜5。

综上所述，当－5＜σ＜5时，积分收敛。

（f）此积分可化为由（e）中分析可知，当实数σ＜5时，积分收敛。

9.2 考虑信号x（t）＝e-5t u（t－1）其拉普拉斯变换记为X（s），（a）利用式（9.3）求X（s），并给出它的收敛域。

（b）确定有限数A和t0，以使g（t）＝Ae-5t u（-t－t0）的拉普拉斯变换G（s）与X （s）有相同的代数式。

对应于G（s）的收敛域是什么？解：（a）由拉普拉斯变换的定义得（b）由拉普拉斯变换的定义得要使G（s）收敛，当t→∞时，需满足，即，此时对比G（s）与X（s）的代数表达式可发现，要使两者相同，应有A＝－1，t0＝－1,G （s）的ROC为9.3 考虑信号x（t）＝e-5t u（t）＋e-βt u（t）其拉普拉斯变换记为X（s）。

若X（s）的收敛域是Re{s}＞-3，应在β的实部和虚部上施加什么限制？解：利用常用信号的拉普拉斯变换对可直接写出这里的β可为复数，也可为实数。

若β为复数，那么只有它的实部对X（s）的ROC有影响。

X（s）的ROC为Re{S}大于－5和Re{－β}中的大者。

第14 章 Laplace 变换1． 求下列函数的拉氏变换 （1）1cos wtw- （2）chwt 解 （1）{}{}220sin 1cos sin ()tL wt wt wL Lwzdz w p p p w -⎧⎫===⎨⎬+⎩⎭⎰（2）{}{}22111122wt wt pL chwt L e e p w p w p w-⎧⎫=+=+=⎨⎬-+-⎩⎭ 2．求下列函数的逆拉氏变换 （1）2845p p p +++； （2）222()p p a + 其中a ＞0。

解 （1）111222821645(2)1(2)1p p L L L p p p p ---⎧⎫⎧⎫⎧⎫++=+⎨⎬⎨⎬⎨⎬++++++⎩⎭⎩⎭⎩⎭22cos 6sin tt et e t --=+（2）1222sin ()2pt at L p a a -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭3. 设11()sin f t wt w=，2()f t chwt =，其中w ≠0,求12()()f t f t *。

解法1 由于{}{}{}1212L f f L f L f *=⋅ {}12211()sin L f t L wt w p w⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭ {}{}222()pL f t L chwt p w ==-所以 {}1222221pL f f p w p w*=⋅+- 2222222()2()p pw p w w p w =--+2211cos 22L chwt L wt w w ⎧⎫⎧⎫=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭2211cos 22L chwt wt w w ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭1221(cos )2f f chwt wt w *=- 解法2 由卷积定义求1201()()sin ()tf t f t w chw t d wτττ*=-⎰()()01sin 2w t w t te e w d w ττττ---+=⎰ ()()0011sin sin 22t t w t w t e w d e w d w w ττττττ---=+⎰⎰ 22221111sin cos sin 4444wt wt wt e wt w w w w =--++-2211cos 44wtt e w w -+ 2211cos 222wt wt e e wt w w -+=-21(cos )2chwt wt w =- 4．求解'1(0)0x x x +=⎧⎨=⎩解 对方程施行Laplace 变换，并注意初始条件：x(0)=0,我们有 [][][]'1L x L x L +=[][]1pL x L x p+=[]11111(1)1(1)L x p p p p p p ==-=-++--[]11111(1)tx L L x L e p p ---⎡⎤==-=-⎢⎥--⎣⎦5. 求解2'3(0)2tx x e x -⎧-=-⎨=⎩解 对方程两边施以Laplace 变换，并注意初始条件x(0)=0,则有[][]2'3tL x L x L e -⎡⎤-=-⎣⎦[][]3(0)2pL x x L x p ---=+ []311(1)(2)21L x p p p p -==--++-11211()()21t tx t L x L e e p p ---⎡⎤==-=-⎢⎥+-⎣⎦6. 求解01"(0),'(0)tx x e x x x x ⎧+=⎨==⎩解 对方程两边施以Laplace 变换得[][]"tL x L x L e ⎡⎤+=⎣⎦[][]20111p L x px x L x p --+=- 解得 []0122221111121212111x p x p L x p p p p p =--++-++++ 所以 101222211111()21212111x p x p x t L p p p p p -⎡⎤=--++⎢⎥-++++⎣⎦01111()cos ()sin 222t e x t x t =+-+- 7. 求解01"(0),'(0)tx x e x x x x ⎧-=⎨==⎩解 对方程两边施以Laplace 变换得 [][]"t L x L x L e ⎡⎤-=⎣⎦[][]201'(0)1p L x p xx L x p ---=- []201111p L x px x p ⎡⎤-=++⎣⎦- 解得 []2111()2(1)4(1)4(1)L x t p p p =-+--+ 012211x p x p p ++-- []101111()(())244t t t x t L L x t te e e x cht x sht --==-+++8. 求解"'2"'4(0)1,'(0)2,"(0)2x x x x x x --=⎧⎨===-⎩解 对方程两边施行Laplace 变换，并注三个初始条件，则有[][][][]"'2"'4L x L x L x L -+=[][]322(0)'()"(0)2(0)'(0)p x p x px x x p L x px x ⎡⎤------+⎣⎦[]4(0)L x x p-=[][][]3224222241p L x p p p L x p pL x p--+-+++-=[]224(1)5p p L x p p-=+- 解得 []222254()(1)(1)(1)p L x t p p p p p =-+--- 23421p p p =+-- 所以 []1()()342tx t L L x t t e -==+-9. 求解21"'2(0)'(0)"(0)0t x x t e x x x ⎧+=⎪⎨⎪===⎩ 解 对方程两边施以Laplace 变换并利用初始条件有 [][]21"'2tL x L x L t e ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦[][]3221(0)'(0)"(0)(1)p L x p x px x L x p ---+=-解得 []331()(1)(1)L x t p p =-+- 当331231,,ii p p e p e ππ-=-==是一阶极点，p=1是三阶极点，由留数计算公式：22331111Re ()lim 2(1)(1)ptpt p p d s F p e e dp p p →=⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦!+-⎣⎦2133448t t tt e te e =-+31311(1)Re ()|(1)24ptptt p p e p s F p e e p -=-=--⎡⎤==-⎣⎦+3332(1)Re ()|3i i pt ptp e p e e p s F p e p ππ==-⎡⎤==⎣⎦3Re ()iptp es F p e π-=⎡⎤=⎣⎦所以221331()44824t t t t t x t t e te e e -=-+--21cos 32te10. 求解3''21'4'30(0)(0)0x y x x y y x y ++=⎧⎪++=⎨⎪==⎩解 对方程组两边施行Laplace 变换，并设[][](),(),X L x t Y L y t ==得 1(32)(43)0p X pY p pX p Y ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩解得 221111111765(116)5(1)431133(11176)25(1)10(116)Y p p p p p X p p p p p p --⎧==+⎪++++⎪⎨+⎪==--⎪++++⎩所以 [][]61116111113()251011()55t t t tx t L X e e y t L Y e e ------⎧==--⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩11. 求解0sin ()sin()()ta t G t t z G z dz =--⎰，a 为常数。