斜面上的平抛运动

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斜面上平抛运动的探讨
作者：马洪斌李兴
来源：《理科考试研究·高中》2013年第06期
平抛运动是高中物理中的重要内容，教学过程中经常会遇到发生在斜面上的平抛运动.笔
者发现，对于这类问题，许多学生往往浅尝辄止，导致一些错误认识长期得不到纠正.本文就
相关问题进行详细探讨.
例题如图1所示，从倾角为θ的斜面上的O点以速度v0平抛一个小球，最终落在斜面上的A点.求：（1）小球从抛出开始计时经多长时间落到A点？位移的大小|OA|为多少？（2）小球经多长时间距离斜面最远？最远距离是多大？（3）若以小球轨迹上距斜面最远点为分界点，将其轨迹分为两部分，两部分长度相等么？是否关于该点对称？（4）斜面足够长，改变v0的大小重新平抛，试证明末速度方向与斜面之间的夹角为定值，与v0的大小无关.
二、距离斜面最远的条件
如图3所示，采用正交分解法将小球所受重力mg与初速度v0分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向分别分解，根据力的独立作用原理知，F2只改变v2的大小，F1只改变v1的大小和方向，F1、v1和运动时间共同决定小球离开斜面距离的大小.所以当v1减小到零时，小球离开斜面的距离最远，此时只有v2，即当小球的速度方向与斜面平行时距离斜面最远.。

模型10 斜面上的平抛运动平抛运动与斜面模型组合是一种常见的题型,也是高考考查的热点题型,具体有以下两种情况。

模型解题方法方法应用分解速度,构建速度矢量三角形水平方向:v x=v0竖直方向:v y=gt合速度:v=方向:tan θ=分解位移,构建位移矢量三角形水平方向:x=v0t竖直方向:y=gt2合位移:s=方向:tan θ=【典例1】如图所示,倾角为θ的斜面上有A、B、C三点,现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球,三个小球均落在斜面上的D点,今测得AB∶BC∶CD=5∶3∶1,由此可判断()A.A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为1∶2∶3D.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1【答案】D【解析】选D。

A、B、C处三个小球下降的高度之比为9∶4∶1,根据平抛运动的时间t=知,A、B、C处三个小球运动时间之比为3∶2∶1,故A项错误;因最后三个小球落到同一点,抛出点不同,轨迹不同,故三个小球的运动不可能在空中相交,故B项错误;三个小球的水平位移之比为9∶4∶1,根据x=v0t知,初速度之比为3∶2∶1,故C项错误;对于任意一球,因为平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍,三个小球落在斜面上,位移与水平方向夹角相等,即位移与水平方向夹角正切值相等,则三个小球在D点速度与水平方向上的夹角的正切值相等,也就是三个小球在D点的速度与水平方向的夹角相等,故D项正确。

【变式训练1】第十六届中国崇礼国际滑雪节在张家口市崇礼区的长城岭滑雪场隆重举行．如图1所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点水平飞出，落到斜坡上的B点．A、B两点间的竖直高度h＝45 m，斜坡与水平面的夹角α＝37°，不计空气阻力(取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10 m/s2)．求：(1)运动员水平飞出时初速度v0的大小；(2)设运动员从A点以不同的水平速度v0飞出，落到斜坡上时速度大小为v，请通过计算确定v与v0的关系式，并在图2中画出v-v0的关系图象．【答案】(1)20 m/s (2)v ＝132 v 0 图见解析 【解析】(1)运动员离开A 点后做平抛运动，竖直方向上，h ＝12gt 2 根据几何关系可知，水平位移x ＝h tan α＝60 m 水平方向上，v 0＝x t＝20 m/s. (2)竖直方向上的位移y ＝12gt 2 水平方向上位移x ＝v 0t根据平抛运动规律可知tan α＝y x ＝gt 2v 0竖直分速度v y ＝gt根据平行四边形定则可知，合速度v ＝v 20＋v 2y联立解得v ＝132v 0，作图如下．【典例2】如图所示，在斜面顶端a 处以速度v a 水平抛出一小球，经过时间t a 恰好落在斜面底端P 处；今在P 点正上方与a 等高的b 处以速度v b 水平抛出另一小球，经过时间t b 恰好落在斜面的中点处。

小球在斜面平抛的规律当小球在斜面上以水平方向进行平抛时，我们可以分析小球在水平方向和竖直方向上的运动规律。

首先，水平方向上的运动是匀速直线运动。

因为小球在水平方向上不受任何水平力的作用，只受到竖直方向上的重力作用。

而重力只对小球的竖直运动起作用，并不影响小球在水平方向的运动。

其次，竖直方向上的运动是自由落体运动。

小球在竖直方向上受到重力的作用，因此竖直方向上的运动是加速运动。

根据重力加速度公式g=9.8m/s²，小球在竖直方向上的运动速度会不断增加，而且方向是向下的。

由于斜面的倾角不同，小球在斜面上的平抛运动规律也会有所不同。

当斜面倾角为0度时，即斜面与水平面平行时，小球的平抛运动退化为水平抛体运动。

小球在水平方向上的速度保持不变，而在竖直方向上的速度会以重力加速度g向下增加。

当斜面倾角为45度时，即斜面的角度为最大角度时，小球在水平方向上的速度和竖直方向上的速度是相等的。

小球在斜面上进行平抛运动时，水平方向上的速度和竖直方向上的速度都保持不变。

当斜面倾角小于45度时，小球在水平方向上的速度大于竖直方向上的速度，小球会沿着斜面向下运动，但速度逐渐减小。

在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作用逐渐增大。

当斜面倾角大于45度时，小球在水平方向上的速度小于竖直方向上的速度，小球会沿着斜面向上运动，但速度逐渐减小。

在斜面上进行平抛运动时，小球在水平方向上的速度会随着时间的增加而减小，而竖直方向上的速度会随着重力加速度的作用逐渐减小。

综上所述，当小球在斜面上进行平抛运动时，水平方向上的运动是匀速直线运动，而竖直方向上的运动是自由落体运动。

而斜面的倾角决定了小球在斜面上的平抛运动的特点，包括速度的大小和变化规律。

斜面上的平抛运动一、斜面上的平抛运动○顺着斜面运动（斜面足够长）<落到斜面>1.【典型例题】如图所示，斜面倾角为θ，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到斜面B点，求：①AB间的距离；②物体在空中飞行的时间；2.如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B点所用的时间为（）答案：B 〔同类题〕3. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观。

设一位运动员由山坡顶部的A 点沿水平方向飞出，到山坡上的B 点着陆。

如图所示，已知运动员水平飞行的速度为v 0=20m/s ，山坡倾角为θ=37°，山坡可以看成一个斜面。

(取g=10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)求:(1)运动员在空中飞行的时间t ; (2)AB 间的距离s 。

答案:(1)3s (2)75m解析:(1)设运动员从A 到B 时间为t ，则有x =v 0t y =gt 2由数学关系知tan θ=y /x 所以t =3s 。

(2)A 、B 间的距离为:s = m =75m 。

〔STS 〕跳台滑雪4. 如图所示，在足够长的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t 1；若将此球改用2v 0抛出，落到斜面上所用时间为t 2，则t 1与t 2之比为（ ） A ．1∶1 B ．1∶2 C ．1∶3 D ．1∶4 答案：B解析：因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝12gt 21v 0t 1＝12gt 222v 0t 2，所以t 1t 2＝12。

〔延展题〕变初速度5. ［多选］如图所示，斜面上有a 、b 、c 、d 、e 五个点，ab ＝bc ＝cd ＝de ，从a 点以初速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点，速度方向与斜面之间的夹角为θ。

平抛专题练习一、物体的起点在斜面外，落点在斜面上1．求平抛时间1．以Vo=9.8m/s 的初速水平抛出一小球，小球垂直撞击倾角为30°的斜面，问小球在空中飞行了多少时间。

解：t=3s 2．求平抛初速度2．如图3，在倾角为37°的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。

解：3．质量为m 的小球以v 0的水平初速度从O 点抛出后，恰好击中斜角为θ的斜面上的A 点．如果A 点距斜面底边（即水平地面）的高度为h ，小球到达A 点时的速度方向恰好与斜面方向垂直，如图5-2-20，则以下正确的叙述为（ ）ABDA ．可以确定小球到达A 点时，重力的功率；B ．可以确定小球由O 到A 过程中，动能的改变C ．可以确定小球从A 点反弹后落地至水平面的时间D ．可以确定小球起抛点O 距斜面端点B 的水平距离 3．求平抛物体的落点4.如图5－14所示，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab ＝bc ＝cd 点正上方O 点以速度v 水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点，若小球从O 点以速度2v 水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的( Ａ)A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点二、物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。

一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。

1．求平抛初速度及时间5．如图，倾角为θ的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为L ，求抛出的初速度及时间？解：钢球下落高度：，∴飞行时间t ＝，水平飞行距离 ，初速度v 0==θθsin 2cos gl6.如图所示,从倾角为θ的斜面上的A 点以速度V 0平抛一个小球,小球落在斜面上的B 点.则小球从A 到B 的运动时间为 。

(gv θtan 20) 2．求平抛末速度及位移大小7．如图，从倾角为θ的斜面上的A 点，以初速度v 0，沿水平方向抛出一个小球，落在斜面上B 点。

与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．两种情况的特点及分析方法对比如下：方法内容斜面飞行时间总结分解速度水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt合速度：v＝v x2＋v y2特点：tan θ＝v xv y＝v0gtt＝v0g tan θ分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2合位移：s＝x2＋y2特点：tan θ＝yx＝gt2v0t＝2v0tan θg分解位移，构建位移三角形【例1】如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()A.23s B.223s ， C. 3 s D.2 s【例2】如图所示，AB为固定斜面倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？【例3】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．【例5】如图所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m ．g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．课后作业1.如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落到了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打在斜面上，则v1、v2之比为()A．1∶2B．2∶1 C．3∶2 D．2∶32.如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O 点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g取10 m/s2)()A．2 s B. 2 s C．1 s D．0.5 s3.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则()A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/sB.小球击中斜面时的速度大小为4 m/sC.小球做平抛运动的水平位移是1.6 mD.小球做平抛运动的竖直位移是1 m4.将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 3 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是()A.斜面的倾角是60°B.小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方D.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处5.如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶46.如图所示，从斜面上的A 点以速度v 0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，已知AB ＝75 m ，α＝37°，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )A.物体的位移大小为60 mB.物体飞行的时间为6 sC.物体的初速度v 0大小为20 m/sD.物体在B 点的速度大小为30 m/s7.如图所示，可视为质点的小球，位于半径为3m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点.过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A.553 m/sB.4 3 m/sC.3 5 m/sD.152m/s8.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求： (1)小球水平抛出的初速度大小v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x .与斜面有关的平抛运动参考答案【例1】【答案】 C【解析】 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有：tan 30°＝v 0v y ，v y ＝gt ，联立得：t＝v 0g tan 30°＝3v 0g＝ 3 s ，故C 正确． 【例2】【答案】 (1)4v 0 23g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0 212g【解析】 (1)设飞行时间为t ，则有：水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t 竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2解得：t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g .(2)方法二(结合斜抛运动分解)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动．小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得：t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y22g y ＝v 0 2sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0 212g.【例3】【答案】 A【解析】 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 20tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误.【例4】【答案】 (1)6.75 m 0.9 s (2)32【解析】 (1)如图所示，小球落到B 点时位移与初速度的夹角为37°，设运动时间为t . 则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得：t ＝0.9 s所以x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)设小球落到B 点时速度方向和水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.【例5】【答案】 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下 【解析】 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有： AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2联立解得：L ＝5 2 m ，t ＝1 s.(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s 竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v yv 0＝1 解得：α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下．课后作业1.【答案】C【解析】球A 做平抛运动，根据分位移公式，有x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，又tan 30°＝yx ，联立解得v 1＝32gt ；小球B 恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝v 2v y ＝v 2gt ，则得v 2＝33gt ，可得v 1∶v 2＝3∶2，故C 正确，A 、B 、D 错误． 2.【答案】C【解析】设小球撞到斜面AB 中的一点D 上，则小球的水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t ，则根据几何关系可得v 0t ＝10 m －12gt 2，代入数据解得t ＝1 s ，故选项C正确． 3.【答案】 A【解析】 P 点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝v 0v y ，解得：v y ＝v 0tan 37°＝334 m/s＝4 m/s ，小球击中斜面时的速度大小为：v ＝v 20＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，A 正确，B 错误；小球运动的时间：t ＝v y g ＝410 s ＝0.4 s ，可知水平位移：x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m ，竖直位移：y ＝12gt 2＝12×10×0.42 m ＝0.8 m ，C 、D 错误.4.【答案】 C【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt，解得θ＝30°，A 错误；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2＝15 m ，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m ，B 错误；若小球的初速度为v 0′＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P 、A 之间，C 正确，D 错误。

与斜面结合的平抛运动问题考点规律分析与斜面结合的平抛运动常见的两类情况(1)顺着斜面抛：如图甲所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。

结论有：①到达斜面的速度方向与斜面夹角恒定；②到达斜面的水平位移和竖直位移的关系：tanθ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0；③运动时间t＝2v0tanθg。

(2)对着斜面抛：如图乙所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。

结论有：①速度方向与斜面垂直；②水平分速度与竖直分速度的关系：tanθ＝v0v y＝v0gt；③运动时间t＝v0g tanθ。

例题讲解女子跳台滑雪如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动非常惊险。

设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面。

(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)运动员在空中飞行的时间t ； (2)A 、B 间的距离s 。

[规范解答] (1)运动员由A 点到B 点做平抛运动，水平方向的位移x ＝v 0t ，竖直方向的位移y ＝12gt 2，又yx ＝tan37°，联立以上三式得t ＝2v 0tan37°g ＝3 s 。

(2)由题意知sin37°＝y s ＝12gt 2s ， 得A 、B 间的距离s ＝gt 22sin37°＝75 m 。

[完美答案] (1)3 s (2)75 m物体从斜面平抛后又落到斜面上，则其位移大小为抛出点与落点之间的距离，位移的偏角为斜面的倾角α，且tan α＝\f(y,x )。

当速度平行于斜面时，物体离斜面最远。

举一反三作业1.如图所示，以9.8 m/s 的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的斜面上，这段飞行所用的时间为(g 取9.8 m/s 2，不计空气阻力)( )A.23s B.223sC. 3 s D．2 s答案C解析如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v0和竖直方向的分速度v y，则有tan30°＝v0vy ，又v y＝gt，解两式得t＝v yg＝3v0g＝ 3 s，故C正确。

第16讲 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型一.知识总结斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。

1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论） (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。

(2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。

(3)运动的时间与初速度成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝2v 0tan θg 。

(4)位移与初速度的二次方成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫s ＝2v 20tan θg cos θ。

(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。

2．常见的模型模型方法分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角基本 规律水平：v x ＝v 0竖直：v y ＝gt 合速度：v ＝v 2x ＋v 2y水平：v x ＝v 0 竖直：v y ＝gt 合速度：v ＝v 2x ＋v 2y水平：x ＝v 0t 竖直：y ＝12gt 2 合位移： s ＝x 2＋y 2方向：tanθ＝v xv y方向：tanθ＝v yv x方向：tanθ＝yx运动时间由tanθ＝v0v y＝v0gt得t＝v0g tanθ由tanθ＝v yv0＝gtv0得t＝v0tanθg由tanθ＝yx＝gt2v0得t＝2v0tanθg3.类平抛运动模型（1）模型特点：物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。

如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。

学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。

（2）.类平抛运动与平抛运动的区别做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝F合m。

斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。

平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tan α＝2tan β，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。

推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。

证明：如右图所示，由平抛运动规律得tan θ＝v y v x ＝gt v 0， tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0， 所以tan θ＝2tan φ。

推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

证明：如右图所示，tan φ＝y 0x 0tan θ＝2tan φ＝y 0x 0/2即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。

注意：(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。

(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。

【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上， 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ[解析]竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gt v 0，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝gt 22v 0t，故tan φ＝2tan θ， D 正确。

与斜面（曲面）结合的平抛运动题型一顺着斜面平抛宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度0v 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，球的体积公式是34π3V R 。

求：（1）该星球表面的重力加速度g ；（2）该星球的密度；（3）该星球的第一宇宙速度。

【解题技巧提炼】（1）落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下（如图）处理方法：分解位移．x ＝v 0ty ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg.（2）物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下（如图）处理方法：分解速度v x＝v0，v y＝gttanθ＝v yv0.t＝v0tanθg从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论）（1）位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。

（2）刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度（初速度）之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。

（3（4（5）当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。

题型二对着斜面平抛如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。

（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：（1）抛出点O离斜面底端的高度；（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。

【解题技巧提炼】垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如图）处理方法：分解速度．v x ＝v 0v y ＝gttan θ＝v x v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ.题型三与圆弧面有关的平抛运动（多选）如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M 、N 与圆心等高且在同一竖直面内。

核心素养提升微课堂(一)科学思维系列——落点在斜面上的平抛运动1．顺着斜面抛：如右图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角．结论有：(1)速度方向与斜面夹角恒定；(2)水平位移和竖直位移的关系：tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0；(3)运动时间t＝2v0tan θg.2．对着斜面抛：如右图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角．结论有：(1)速度方向与斜面垂直；(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝v0v y＝v0gt；(3)运动时间t＝v0g tan θ.3．平抛运动的关键词转化：【典例1】如图所示，滑雪运动员以20 m/s的水平速度从一山坡飞出，问经过多长时间又落到斜坡上？已知斜坡与水平面成45°角，取g＝10 m/s2.【解析】将位移分解，x＝v0t，y＝12gt2.故tan 45°＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0.将v0＝20 m/s代入上式得t＝4 s【答案】 4 s[拓展]滑雪运动员落到斜坡上时，求滑雪运动员运动的位移，落到斜坡上时速度的大小和方向与v0夹角的正切值．解析：水平方向上由x＝v0t得x＝80 m．竖直方向上由y＝12gt2得y＝80 m．故滑雪运动员沿斜坡运动的合位移为80 2 m，约等于113 m.竖直方向上由v y＝gt得v y＝40 m/s.落到斜坡上时，以水平速度和竖直速度为邻边作平行四边形如图所示，解得v合＝v2x＋v2y＝202＋402m/s＝20 5 m/s.设合速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v x＝4020＝2，答案：20 5 m/s 2【典例2】 [2019·四川成都九校高一下期中联考]如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一枚炸弹，并垂直击中山坡上的目标A .已知A 点高度为h ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则轰炸机的飞行速度为( )A.12ghB.2gh 2C.ghD.2gh 【解析】设炸弹离开轰炸机后在空中运动的时间为t ，山坡倾角为θ，击中目标时速度为v ′，由平抛运动规律有v ′sin θ＝v ，v ′cos θ＝gt .因为炸弹垂直击中山坡上的目标A ，可得htan θ＝v t ，联立解得v ＝gh ，故C 正确．【答案】 C【易错分析】 本题炸弹离开轰炸机后做初速度为v 的平抛运动，最终垂直击中山坡上的目标，则hv t ＝tan θ，本题学生可能由于不能从题给条件“垂直击中山坡上的目标A ”提取有效信息，造成错解．变式训练1[2019·郑州检测](多选)从同一点沿水平方向抛出的A 、B 两个小球能落在同一个斜面上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则小球初速度 v A 、v B 的关系和运动时间t A 、t B 的关系分别是( )A ．v A >vB B ．v A <v BC ．t A >t BD ．t A <t B解析：A 小球下落的高度小于B 小球下落的高度，所以根据y ＝12gt 2知t ＝2yg ，故t A <t B ，C 错误，D 正确；根据x ＝v t 知，B 的水平位移较小，时间较长，则水平初速度较小，故v A >v B ，A 正确、B 错误．答案：AD变式训练2 [2018·全国卷Ⅲ]在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和v2的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )A ．2倍B ．4倍C ．6倍D ．8倍解析：如图所示，可知：x ＝v t ，x ·tan θ＝12gt 2则x ＝2tan θg ·v 2，即x ∝v 2甲、乙两球抛出速度为v 和v2，则相应水平位移之比为4：1， 由相似三角形知，下落高度之比也为4：1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2：1，则可得落至斜面时速率之比为2：1.答案：A变式训练3[2019·浙江温州九校联考]如图所示，倾角θ＝30°的斜面AB，在斜面顶端B向左水平抛出小球1，同时在底端A正上方与B点等高度处C水平向右抛出小球2，小球1、2同时落在P点，P 点为斜边AB的中点，则()A．小球2一定垂直撞在斜面上B．小球1、2的初速度可以不相等C．小球1落在P点时速度方向与斜面的夹角为30°D．改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都平行解析：两个小球同时做平抛运动，又同时落在P点，说明运动时间相同，水平位移大小相等，由x＝v0t，知初速度相等，小球1落在斜面上时，有tan θ＝12gt2v0t＝gt2v0，小球2落在斜面上的速度与竖直方向的夹角的正切值tan α＝v0gt＝12tan θ，故α≠θ，所以小球2没有垂直撞在斜面上，故A、B错误；小球1落在P点时速度与水平方向的夹角正切值tan β＝gt v＝2tan θ＝233<3，则有β<60°，则小球1落在P点时速度方向与斜面的夹角为β－θ<60°－30°＝30°，所以小球1落在P点时与斜面的夹角小于30°，故C错误；根据tan β＝2tan θ知，改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角相同，相互平行，故D正确．答案：D。