二重积分

0
f (r cosθ , r sinθ )r d r.
2) 如果坐标原点不在积分域 D 内部， ) 内部， 则从原点作 两条射线 θ = α 和 θ = β (α ≤ β) (如图)夹紧域 D . α, β 如图) 积分(外积分)的下限和上限， 分别是对 θ 积分(外积分)的下限和上限， 在 α 与 β 之 的边界交两点， 间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极 径分别为 r = r1(θ)，r = r2(θ)， ， ， 假定 r1(θ ) ≤r2(θ )， 那么 ， r1(θ ) 与 r2(θ ) 分别是对 r 积分(内积分)下限与上限， 积分(内积分)下限与上限，
(2) 在D′上 雅可比行列式
y
∂(x, y) xu xv = ≠ 0; J (u, v) = 定积分换元法 , v) ∂(u yu yv
b
D
(3) 变换 f (x) d x = ∫ Df是一一对应的 ,( x = ϕ(t) ) ∫a T : D′ →α [ϕ(t)]ϕ′(t) d t
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sinθ
∴∫∫ f (x, y) d x d y = ∫∫
D
D′
− r cosθ f (r cosθ, r sinθ ) r d r dθ
其中 0 ≤ r < +∞,0 ≤ θ < 2π (或 − π ≤ θ ≤ π ).
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四、极系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后， 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 二重积分仍然需要化为二次积分来计算
1
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积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用

？
o
x
z z R2 x 2 y 2
R
y
例1. 设由锥面 解: 所求体积可以看成 是两个曲顶柱体的 体积之差.
和球面
所围成 , 请用二重积分表示的体积.
z 2
V 4 x y d
2 2 D

D
x y d
2 2
D
o x
y
直角坐标系下的面积元素 如果 f ( x , y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 记作： d xd y 则面积元素为： d 二重积分记作：
的点集是平ห้องสมุดไป่ตู้上的有界点集,即存在一矩形R ，使得P R .
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
y
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
所以也有 S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零.
定理21.3 若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数
f ( x ) 的图象, 则曲线 K 的面积为零.
推论1 参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的.
曲顶柱体的体积
( i ,i )
i
f ( i , i ) i . V lim 0
i 1
为各小闭区域的直径的最大者.
２．求平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . (常数) 设D 的面积为 , 则M 若 非常数 , 仍可用 “大化小,常代变,近似和, o 求极限” 解决.

二重积分计算
二重积分是二元函数在空间上的积分，是某种特定形式的和的极限。

本质是求曲顶柱体体积。

二重积分计算公式：f=ko*op。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。

本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

同定积分类似。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。

平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

成n个子域，并以表示第个子域的面积。

在上任取一点作和。

如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。

这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。

同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。

此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。