8.7 二重积分

M1
D2
M2
D1
O
4
x
其次用直线 x 4 将 D 分成两个区域 D1 和 D2 , 1 x y 2x 其中 D1 : 0 x 4 , 2 1 D2 : 4 x 8 , x y 12 x 2
y
它们都是 x 型区域 .
M1
D2
M2
xdxdy dx 1 xdy
性质7.7 设 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上可积 , 且 D D1 D2 , 则
f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy f ( x , y ) dxdy D D D
1 2
性质7.8 设 f ( x , y ) , g ( x , y ) 在有界闭区域 D 上可积 ,
计算二重积分关键是积分区域的界定
步骤：
1. 先画出积分区域D的图形,求出界点;
2. 先把一个变量界定在两常数之间(区间);
3. 用有向线(与坐标轴一致)穿过上述区间,得 入口线、出口线,则另一变量的下限上限分
别是入口线和出口线；
4. 二重积分即可写成累次积分.
例1
计算二重积分 f ( x , y )dxdy , 其中 D 是正方
D
2 2
0
dx
1 x 2
x
f ( x, y)dy
当 D 采用 y 型区域表示
2 D ( x , y ) 0 y ,0 x 2 2 y 1,0 x ( x , y ) 2 y 1 y
2
y
2 2
y x
O
2 2
Vi f ( xi , yi ) i , i 1, 2,, n
O
i
z
x
Vi o
y i
( x i , yi )
x
( 3) 曲顶柱体体积的近似值为 V Vi f ( xi , yi ) i Vn
i 1 n
z
n
i 1
o
(4) 曲顶柱体体积为
V limVn lim
且 f ( x , y ) g( x , y ) , ( x , y ) D 则 f ( x , y ) dxdy g ( x , y ) dxdy D D
推论7.1 设 f ( x , y ), 在有界闭区域 D 上可积 ,
且 f ( x, y) 0 ( f ( x, y) 0 ) , ( x, y) D 则 f ( x , y )dxdy 0 f ( x , y ) d x d y 0 D D 推论7.2 若 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上可积 , 则
二、二重积分的计算
1. 直角坐标系下二重积分的计算
设 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续, 若区域 D { ( x , y ) a x b, 1 ( x ) y 2 ( x ) }
f ( x , y )dxdy D [
a
b a
y
y 2 ( x)
(1) 若 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上可积 , 则 f ( x , y ) 在 D 上有界 ; ( 2) 若函数 z f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续, 则它 在 D 上可积 .
在直角坐标系中面积元素 d dxdy , y
此时二重积分为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
D
域 D 和被积函数有关, 而与积分变量用字母表示无关, 即 f ( x, y )d f (u, v )d
( 3) 当 f ( x , y ) 连续, 且 f ( x , y ) 0 时 , f ( x , y )d
D
D
D
表示曲顶柱体的体积.（二重积分的几何意义）
关于二元函数 f ( x , y ) 的可积性, 有以下结论成立:
b
2 ( x )
D
y 1 ( x )
1 ( x )
f ( x , y )dy ]dx
f ( x , y )dy (7 21) O a
dx
2 ( x )
1 ( x )
b x x 型区域
若区域 D { ( x , y ) c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ) }
设 f ( x , y ) 0 , f ( x , y )d 的值等于以 D 为底 ,
D
以曲面 z f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积． z z 应用计算“平行截 面面积求已知的立体 体积”的方法 y D
S( x)
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y)
f ( x , y )dy
b
O
b
a
2 ( x )
1
x
b
x
f ( x , y )dxdy S ( x )dx [ a a ( x) D
f ( x , y ) dy ]dx
y
y
Ⅱ
d
D
Ⅰ Ⅲ
c
O a
b x
O
D 既不是 x 型区域 又不是 y 型区域
x
D 既是 x 型区域 又是 y 型区域
f ( x , y ) 在 D 上可积且
f ( x , y )dxdy D D
f ( x , y )dxdy
性质7.9 ( 二重积分中值定理)
设 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续, 则存在一点 ( , ) D , 使得 f ( x , y )dxdy D 其中 为区域 D 的面积 . f ( , )
该区域的边界曲线为 y 0 , y 1 , y x 和 x 1 1 y2 ,
由 x 1 1 y
2
y
y x
( x 1)2 y 2 1
可得 ( x 1)2 y 2 1 .
O
1
x
它的另一种表示为
D { ( x, y) 0 x 1, 0 y x } { ( x, y) 1 x 2 , 0 y 2 x x 2 }
d 0 i 1 n
存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在区域 D 上的二重 积分 , 记为 f ( x , y )d
D
即
f ( x , y )d lim f ( xi , yi ) i d 0 i 1 D
n
其中 D 为积分区域 , 并称 f ( x , y ) 在区域 D 上可积 .
D
1 由直线 y 2 x , y x 和 y 12 x 所围成的区域. 2
解
积分区域 D 不是 x 型或 y 型区域 .
y
首先求得直线 y 2 x 与 y 12 x 的交点 M1 (4 , 8) ,
1 以及直线 y x 和直线 2 y 12 x 的交点 M 2 (8 , 4) .
D
的区域 , 将二重积分 f ( x , y )dxdy 按两种积分次
y
序化为累次积分.
解 当 D 采用 x 型区域表示
2 2 2 2
y x
2 2 O D ( x , y ) 0 x , x y 1 x 2
x
f ( x, y)dxdy
x
f ( x, y)dxdy
DLeabharlann 2 20dy f ( x, y )dx
0
1 1 y 2 0
y
2 dy
2
f ( x, y )dx
例3 交换积分次序 解
dy
0
1
1 1- y 2
y
f(x, y)dx
题设累次积分中D 的表示为
D { ( x, y) 0 y 1, y x 1 1 y 2 }
§8.7 二重积分
一、二重积分的概念和性质 二、 二重积分的计算
三、 无界区域上的反常二重积分
一、二重积分的概念和性质
曲顶柱体的定义
设有一立体 , 它的底是 xOy 面 上的闭区域 D , 它的侧面是以 D 的 边界曲线为准线而母线平行于 Oz 轴的柱面, 它的顶是曲面z f ( x , y ) , 这里 f ( x , y ) 0 且在 D 上连续. 这 样的立体叫做曲顶柱体．
D
O
x
性质7.5 若区域 D 的面积为 , 则
dxdy D
性质7.6 设 f ( x , y ) , g( x , y ) 在有界闭区域 D 上可积 , 则
对任何常数 , , f ( x , y ) g( x , y ) 在 D 上可积且
f ( x , y ) g( x , y )dxdy f ( x , y )dxdy g( x , y )dxdy D D D
平顶柱体的体积公式 体积 = 底面积×高
x
z
z f ( x, y)
o
D
y
(1) 将区域 D 任意划分成 n 个小区域： y , ,, ( i 1, 2,, n ) .
1 2 i
i ( i 1, 2,, n ) 表示第 i 个小 区域的面积. ( 2) 第 i 个小曲顶柱体的体积 Vi 可以近似地表示为
y
y x
( x 1)2 y 2 1
因此
dy
0 1 0
1
1 1 y 2
y x
f ( x, y )dx
2 1
O
2 x x2
1
x
dx f ( x, y )dy dx