济南大学高数2014--2015答案
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济南大学2014~2015学年第一学期
课程考试试卷评分标准（含参考答案）
课程名称：高等数学（一） 任课教师：
一、选择题（每小题2分，共10分） (1) C ．(2) A . (3) D . (4) A ．(5) B ． 二、填空题（每小题2分，共10分）
(1) 02=-+y x ．(2) x x x x d )]1cos(2)1[sin(222+++.
(3) )2,1(. (4) 4
π
．(5) x x xe C e C y 21+=．
三、计算题（每小题6分，共18分）
(1) 解：3
2
12lim 4586lim 42
24=--=+-+-→→x x x x x x x x (2) 解：ππππ-==-=→→→1
)
cos(lim 1)sin(lim
)(lim 111x x x x f x x x 由于)(x f 在1=x 点连续，所以π-==→)(lim 1
x f a x
(3) 解：2
1211
122t t t t t x t y x y =++-==d d d d d d t t t t t x x y t x y 41
41221)(2
2+=+==d d d d d d d d 2
四、计算下列积分与微分方程（每小题8分，共32分）
(1) 解：C x x x x x x
+==⎰⎰sin 2)cos 2cos d(d
(2) 解：⎰⎰⎰-==x xe e x e x x e x x x x x d d d 2222
C e xe e x x e xe e x e x e x x x x x x x x x ++-=+-=-=⎰⎰22222222d d
(3) 解：令t x sin =，则：⎰⎰
⎰
==-60260
2210
2
2sin cos cos sin 1π
π
t t t t
t
t x x x d d d
8
312]2sin 412[)2cos 1(216
060-
=-=-=⎰ππ
πt t t t d (4) 解：由y y y x ln ='分离变量得：x
x
y y y d d =
ln ， 积分：⎰⎰=x
x
y y y d d ln ，得：1||ln |ln |ln C x y +=，
化简得：Cx y =ln 或Cx e y =. 五、综合题（每小题10分，共20分） (1) 解：微分方程x e xy y x sin 22
=-'的通解为
)cos (]sin [2222x C e C x xe e e y x x
x x x
x -=+⎰⎰
=⎰-d d d
有0)0(=y 得：1=C ，满足初始条件0)0(=y 的特解为 )cos 1(2
x e y x -=.
2
1)cos 1(lim )(lim 20202
=-=→→x x e x x y x x x (2) 解：⎰⎰⎰
---='-='2
2
2
2
22
1
1
1
2
2)()(x t x t x t t e x t te t e x
x f d d d
令0)(='x f 得：11-=x ，02=x ，13=x
当1-<x 时，0)(<'x f ；当01<<-x 时，0)(>'x f ；当 10<<x
时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f ；所以：)(x f 的单调增区间为)0,1(-和),1(∞+，单调减区间为)1,(--∞和)1,0(.
0)1()1(==-f f 为极小值，e
t e t f t 21
21)()0(012-=-=⎰-d 为极大值.
六、证明题（10分） 证：(Ⅰ) 设1
2)()(--=x e
x f x F ，则)(x F 在闭区间]1,0[上连续，且
0)0()0(1
1
<-=-=--e e f F ，0)2
1
()21(43>-=-e f F ,有介值定理，存
在一点)2
1
,0(∈ξ，使得0)(=ξF ,即12)(-=ξξe f 。
(Ⅱ) 设)()(2
x f e x G x -=，则)(x G 在闭区间]1,[ξ上连续，在开区间)1,(ξ内可导，且)(2)()(2
2
x f xe x f e x G x x ---'='，又)1()(1G e G ==-ξ；
所以：存在一点)1,0(∈η，使得0)(='ηG ，即)(2)(ηηηf f ='。
