济南大学高数下1习题课

习 题 课 二 十 七1．设⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω是由4222≤++z y x 和z y x 322≤+围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。

解：（1）在直角坐标系下，两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++ 3422222z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒ 1322z y xxoy 在Ω面上的投影区域为}3),{(22≤+=y x y x D xy 。

⎰⎰⎰--+----=224322232333),,(y x yx x x dz z y x f dy dx I 。

（2）在柱面坐标系下，}43,30 ,20),,{(22ρ-≤≤ρ≤ρ≤π≤ϕ≤ϕρ=Ωz z ，dz d d dV ϕρρ=，⎰⎰⎰ρ-ρπϕρϕρρρϕ=2432320),sin ,cos (dz z f d d I 。

（3）在球面坐标系下，21ΩΩ=Ω ，}20 ,30 ,20),,{(1≤≤π≤θ≤π≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ，}sin cos 30 ,23 ,20),,{(22θθ≤≤π≤θ≤ππ≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ， ϕθθ=d drd r dV sin 2。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+==21),,(),,(),,(dV z y x f dV z y x f dV z y x f Idr r r r r fd d ⎰⎰⎰θϕθϕθθθϕ=ππ202020)cos ,sin sin ,cos sin (sin 3drr r r r f d d ⎰⎰⎰θθπππθϕθϕθθθϕ+2sin cos 3022320)cos ,sin sin ,cos sin (sin2．将直角坐标系下的三次积分⎰⎰⎰---+++=10)(302222222)(y y y y y x dz z y x f dx dyI ，分别化为柱面坐标系和球面坐标系下的三次积分。

解：对应的三重积分区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤--+≤≤Ω .10,,)(30:2222z y y x y y y x z上顶为锥面)(322y x z +=， 下底为平面0=z 上的圆，侧面为圆柱22y y x -=即222)21()21(=-+y x 。

一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。

济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。

2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。

3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。

4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。

2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。

3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。

4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。

5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。

答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。

授课计划2016— 2017学年第一学期学院：信息学院机械学院经济学院课程名称：高等数学（一）W课程编码：09A00020课程类别：专业基础课计划学时：64（理论：64 实验：0 ）学分： 4授课时间：授课地点：教学班：授课教师：填报日期：2016 年9 月15 日高等数学（一）W课程授课计划一、课程内容简介与教学目的（一）主要内容：函数的概念、函数的极限、函数的连续性；一元函数微分学，主要是一元函数导数和微分的计算及其应用；一元函数积分学，包括不定积分的计算、定积分的计算及其应用；常微分方程，主要是一阶微分方程的解法及其应用。

（二）通过本课程的学习，能使学生获得微积分和常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。

同时强调分析问题和解决问题的实际能力。

使学生在得到思维训练和数学素养提高的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。

二、课程要求及教学活动项目（一）课程要求该课程以理论教学为主，要明确每一堂课的教学重点与难点，围绕重点内容配以一定数量的例题进行由浅入深的讲解。

每一章上一次习题课，每一次课都要布置与当堂课所学知识相关的课后作业，要求教师进行批改并给出成绩，通过该教学环节以期让学生进一步深入理解、巩固每一章的知识体系、重点内容和解题方法。

该课程组教师轮流值班在答疑室进行答疑，每位教师每周至少到答疑室给学生答疑或质疑一次。

（二）教学活动项目及学时分配本课程的任课教师要按期参加教研活动，讨论教材处理和教学进度；使学生参与教学活动，并在课堂上踊跃发言，课下课上积极探讨；学生作业要按时独立完成，可以探讨但不可以抄袭。

每次课后要指出下次课要求学生预习的内容，并布置与课程内容相对应的书后习题。

各章学时分配如下：高等数学预备知识教程理论教学4学时。

第一章函数与极限理论教学12学时，习题课2学时。

第二章导数与微分理论教学8学时，习题课2学时。

济南大学06-07（二）本科高等数学一（下）（A 卷）参考答案与评分标准闫召祥、于朝霞、（孙鹏举、刘春艳）一、 填空题1. 0,22222≠++≤y x y x z 且.2. ⎰⎰yydxy x f dy222),(. 3. 6.4.11,)1(11202<<--=+∑∞=x xxnn n. 5. 622=++z y x .评分标准说明： 每空4分，第1小题没去掉坐标原点扣2分，第2小题第2层积分限颠倒扣2分， 第4小题没写收敛区间扣1分；其余小题错则扣全分。

二、单项选择题A B D D B评分标准说明： 每题4分，错则扣全分王耘、陈勇、王玉丽（孙鹏举）三 、计算题一（本题共两小题，满分15分） 1. 解：yx yyyx yx xz 2csc21seccot2=⋅⋅=∂∂， ------------ 4分)(22xzy yx z xy z ∂∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂ ------------- 1分=]12cot 2[2csc 222csc2cot22csc 2222-=-⋅⋅--y xy x y x yy x y x yx yyx y； --------------- 2分评分标准说明： 该题两个偏导数的最后结果形式不唯一。

2. 解：方程两边同时求微分可得：⎩⎨⎧=++=++02220zdz ydy xdx dz dy dx ， --------------- 4分由此可解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=dx y z xy dz dx yz z x dy ---------- 2分故得yz z x dxdy yz x y dxdz --=--=;. ------------ 2分评分标准说明：该题还可以用直接求导法、公式法等；李凡军、宋文青、胡京亭、刘坚、何燕玲 四、计算题二（本题共两小题，满分15分）1. 解：区域D 如图 ， 利用极坐标计算可有 --------- 1分rdrr d dxdy y x b aD⋅=+⎰⎰⎰⎰2022πθ. --------- 3分)(633a b -=π--------- 3分2. 解：区域Ω如图， ------- 1分⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=yx xdz dy x xd dxdydz x 10101Ω-------- 3分dx x x dyy x dx x x⎰⎰⎰-=--=-121010)1(21)1( -------- 2分241=. -------- 2分评分标准说明：以上重积分计算题，如果画的区域图形不正确则扣1分，没画区域图但计算完全正确不扣分；五、计算题二（本题共两小题，满分15分）1. 解：记y e Q y e P x x cos ,sin ==，由于xQ y e yP x∂∂≡=∂∂cos ， 所以线积分与路径无关； --------- 2分选择特殊路径如图，可得 --------- 1分ydx e ydy e ydx e ydy e xxMAAOLxx sin cos ][sin cos ++=+⎰⎰⎰--------- 1分=ydy e dx cos 0111⎰⎰+ --------- 2分=1sin e --------- 1分2. 解：将∑分为六部分：);10,10(,0:);10,10(,0:);10,10(,0:321≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤=y z x z x y y x z ∑∑∑ );10,10(,1:);10,10(,1:);10,10(,1:654≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤=y z x z x y y x z ∑∑∑-------- 1分 而 0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS xyz dS xyz dS xyz ∑∑∑ --------- 2分再根据对称性可有d S xyz dSxyz ⎰⎰⎰⎰=43∑∑--------- 2分=dxdyz z xyy x y x ⎰⎰≤≤≤≤++10102213---------- 1分431311==⎰⎰dy xy dx . -------- 2分评分标准说明： 第1小题要求画图，第2小题不要求画图；第2小题也可以不利用对称性；李尚友、韩雪、邱保健、王金梅、单伟（刘春艳） 六、（本题满分10分）解：11lim||lim ,11=+===∞→+∞→nn a a R na n n n n n 收敛半径， -------- 2分而在1=x 处，级数为∑∞=11n n，显然发散，在1-=x 处，级数为∑∞=-1)1(n nn，显然收敛； ------- 1分故幂级数的收敛区间为 )1,1[-. -------- 1分记∑∞==11)(n nxnx S ，则 )1|(|,11)(11<-=='∑∞=-x xxx S n n -------- 2分)1l n (11)(,0)0(0x dxx x S S x--=-==⎰所以积分可得--------- 1分所以11),1ln(11<≤---=∑∞=x x xnn n-------- 1分而 2ln )21(211==∑∞=S nn n-------- 2分评分标准说明： 和函数没有注明在x = -1点有意义的扣1分；七、（本题满分5分）证：因为∑∞=02n n u 和∑∞=02n n v 都收敛，而)(21||22n n n n v u v u +≤， -------- 2分所以 级数∑∞=0n n n v u 绝对收敛， -------- 1分所以 级数 ∑∑∞=∞=++=+0222)2()(n n n n n n n n v v u uv u 也收敛。