立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。

在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。

本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。

第一种方法是点到点距离的计算。

设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。

设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。

第三种方法是点到平面距离的计算。

设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。

需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。

综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。

这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。

高考数学中的空间立体几何问题解析在高考数学中，空间立体几何是考试中出现频率比较高的一类题型。

空间立体几何的基础是空间坐标系和三维图形的构造，主要包括点、线、面、体及其相互关系的研究，其中点之间的位置关系是空间立体几何的核心。

在考场上要想熟练地解决这些问题，需要掌握一定的思维方法和解题技巧。

一、空间立体几何的基础1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是立体坐标系的一种，它把三维空间分成了三个相互垂直的坐标轴：x轴、y轴和z轴。

在立体坐标系中，一个点的位置用三个有序实数来表示，这三个实数分别代表这个点到三条坐标轴的距离。

2. 点、线、面、体：点是空间最基本的要素，它是一个没有大小的点。

线是两个点间最短距离的轨迹，其长度可以用两点间的距离表示。

面是三个或三个以上不共线的点所决定的平面。

体是由若干个平面围成的空间几何图形，常见的体有球、立方体、棱锥等。

3. 空间几何图形的构造：空间几何图形的构造是解决空间立体几何问题的第一步，这需要我们根据题目所描述的条件，构造出相应的点、线、面、体。

二、重要的空间直线和平面1. 方向余弦：空间直线的方向可以用方向余弦来表示。

方向余弦是指由一条直线的方向向量在坐标轴上的投影所组成的数列。

如一条直线的方向向量为(a,b,c)，则它在x轴、y轴、z轴上的方向余弦分别为a、b、c。

2. 平面的解析式：平面方程的解析式就是由平面上的一点和该平面的法向量所组成的方程。

常见的平面方程包括一般式、点法式、两点式和截距式。

3. 空间直线的位置关系：空间直线有共面、平行和相交等三种位置关系。

两条直线共面的条件是它们的方向向量能够表示出一个平面。

三、空间几何图形的计算1. 空间几何图形的面积和体积：空间几何图形的面积和体积是解决空间立体几何问题的关键。

求一些固定图形的面积和体积可以用公式解决，如正方体的面积和体积、正三角形的面积、球体的表面积和体积等等。

2. 点到线段的距离：点到线段的距离是解决空间立体几何问题的常见问题，它可以用勾股定理和向量相乘来求解。

立体几何中的距离问题【要点精讲】 1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:①直接作面的垂线求解；②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。

空间中的各种距离1.点到平面的距离(1)定义 平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)常用方法 1）定义法①找到(或作出)表示距离的线段； ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离. 3)体积法4)转化法 将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 5）向量法 建立三维直角坐标系求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足， 例1 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ===∴=△，，，1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3．设点C 到平面1A BD 的距离为d ．ABC DABC DO F由11A BCD C A BD V V --=，得111333BCD A BD S S d =g g △△， 1322BCD A BD S d S ∴==△△． ∴点C 到平面1A BD 的距离为22．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC Q △为正三角形，AO BC ∴⊥．Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB uuu r ，1OO u u u u r ，OA uu u r的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，，1(123)AB ∴=-u u u r ，，，(210)BD =-u u u r ，，，1(123)BA =-u u u r ，，． 12200AB BD =-++=u u u r u u u r Q g ，111430AB BA =-+-=u u u r u u u rg ，1AB BD ∴u u u r u u u r ⊥，11AB BA u u u r u u u r⊥． 1AB ∴⊥平面1A BD ．2.直线和平面的距离(1)定义 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离例． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解析一 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又⊂11D B Θ平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,xz AB C DO FyBA CDOGH作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GBBD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 3.平行平面的距离(1)定义 与两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.4.异面直线的距离(1)定义 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.例1已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 解答过程：如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF ∴为BCD ∆的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD ∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又Θ线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S 在Rt SCE ∆中，3222=+=CE SC SE在Rt SCF ∆中，30224422=++=+=CF SC SF 又3,6=∴=∆SEF S EF Θ由于h S V V SEF CEF S SEF C ⋅⋅==∆--31，即332331=⋅⋅h ，解得332=h故CD 与SE 间的距离为332. 综合练习 点到平面的距离：1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a , AD =b , P A ⊥平面ABCD ，P A =2c , Q 是P A 的中点 求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c∴QE =22222ba b a c ++∴Q 到BD 距离为(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(bac b aabc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQh =22222)(ba cb a abcS AQ S BQD ABD ++==⋅∆∆Λ线和平面的距离：2． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 解析一 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥Θ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A , 又⊂11D B Θ平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD Θ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , BACDOGH,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 异面直线的距离：3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (3)三棱锥B 1—EAC 的体积解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ，∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a(2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=- 两条异面直线间的距离4．如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22.1A CA例1题图BACD5. 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.解：设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.点到平面的距离：6.如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；解答：过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-BO AB . ∴A 到平面BCD 的距离是36.7．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

第1讲 立体几何中4大距离问题的解决方法知识与方法空间的距离有六类:点与点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与线的距离、线与面的距离以及面与面的距离(后三个距离分别特指在线线平行或异面、线面平行、面面平行的前提下).这六类距离概念中,点与点的距离、点与线的距离以及平行线之间的距离事实上为平面几何的问题,在此我们不再详述;而后四个概念(除平行线间的距离外)的核心是点面距离,因为其他三个距离都可以转化为点面距离的问题来求解.距离是立体几何中最重要的几何量之一,我们有必要对它进行充分的研究.本专题我们来介绍立体几何中距离问题的解决方法. 典型例题【例1】如图○1,在单位正方体1111ABCD A B C D 中,E 为AB 的中点,则点1B 到平面11EA C 的距离为 .【例2】如图○1，已知四面体ABCD 中，BCD ∆是边长为2的正三角形，60,1ABC ABD AB ∠∠===.求:(1)点A 到平面BCD 的距离;(2)点C 到平面ABD 的距离.【例】3 如图○1，已知E,F 分别是正方形ABCD 边AB ，AD 的中点，EF 交AC 于点,M GC ⊥平面ABCD .若4,2AB GC ==,求点B 到平面EFG 的距离.【例4】 在单位正方体1111ABCD A B C D -中,求异面直线11B D 与1A C 的距离.【例】5 在四面体ABCD 中AB=CD ，BC=DA ，AC=BD ，E ，F 分别为AB,CD 的中点，且,,6,10,EF AB EF CD EF AC BC ⊥⊥===则异面直线AC 与BD 间的距离是 .强化训练1.如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14,2,AA AB BAD ∠==60,E =是BC 的中点.求点C 到平面1C DE 的距离.2. 在四面体ABCD 中,已知2,,60,,AB AC BC DBA AC BC AD ∠===⊥⊥BD ,且平面ABD ⊥平面ABC ,则点A 到平面BCD 的距离为 .3.如图,在单位正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1111,B C A D 的中点,求平面1CED 与平面1FB D 之间的距离.4.在三棱雉P ABC -中,侧面PAC ⊥底面ABC ,底面ABC 是边长为1的正三角形,,90,PA PC APC M ∠==是棱BC 的中点.则异面直线AB 与PM 间的距离为（）B.12 5.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 是线段1BC 上的点.过点1A 的平面α与直线PD 垂直.当点P 在线段1BC 上运动时,平面α截正方体ABCD -1111A B C D 所得截面的面积的最小值为。

高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.例1题图例2题图（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD的距离是36. 【例4】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin55,AD =3a ,∴AF =53a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,∴PB =2a ,∴AH =a 22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，例3题图B ACD1A1B 1C1A .62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x n n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos ||||CC n CC n α⋅==⋅ ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d【例6】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

专题12立体几何中的距离问题知识点一 距离问题之点到点 空间的距离共分六类:点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面;后两类均为平行状态下的计算，可以统一为点到面的距离，本节不做赘述.空间中的距离问题不但能解决长度问题，也能解决体积、夹角问题.(1)墙角体顶点到底面的距离为h ，墙角的三侧棱长分别为a ，b ，c 则有22221111h a b c =++ (2)设墙角体底面ABC △内一点M 到各侧面的距离分别为1h ，2h ，3h ，则点M 到顶点P 的距离:d 【例1】在三棱锥P ABC -中，2APC CPB BPA π∠=∠=∠=，并且3PA PB ==，4PC =，又D 是底面ABC内一点，则D 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 ．【例2】(浦东新区校级开学)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（ ）A ．(1B ．11[)52，C ．1(52，D ．1[1)5，【例3】(浦东新区校级模拟)三棱锥P ABC -中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 内一点M 到三个侧面的距离分别是2、3、6，那么PM = ．知识点二 距离问题之点到线【例4】如图，AB 垂直于BCD △所在的平面，AC AD =，:3:4BC BD =.当BCD △的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 ．题型三 距离问题之点到面点到面的距离通常可以利用等体积法或建系法处理，在小题中也可借助面面垂直将点到面的距离转化为点到线的距离，当遇到特殊几何体如墙角体还可以利用公式：墙角体顶点到底面的距离为h ，墙角的三侧棱长分别为a ，b ，c 则有22221111h a b c =++ 【例5】点A ，B 到平面α距离分別为12，20，若斜线AB 与α成30︒的角，则AB 的长等于 ．【例6】如图1，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面11EAC 的距离为 ．【例7】如图1，在四面体A BCD -中，60DAB ∠=︒，45BAC ∠=︒，45CAD ∠=︒，4AB =，3AC =，4AD =. (1)求点C 到平面ABD 的距离; (2)求AB 与平面ACD 所成角.题型四 距离问题之折线段问题【例8】(浦东新区校级月考)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是面对角线1BC 上一动点，Q 是底面ABCD 上一动点，则1D P PQ +的最小值是 ．图1图2图1图2图3【例9】如图1，在棱长均为ABCD 中，M 为AC 的中点，E 为AB 的中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）A B C D ．【例10】(兴庆区校级三模)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1||||AA AD =||2AB =，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则||||PE PF +的最小值为 ．题型五 距离问题之异面直线距离 线到线之间的距离分为两类:当两直线平行时，两直线之间的距离等同于点到直线之间的距离(同题型二) 当两直线异面时，异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线之间的距离.法一:四面体体积1sin 6V abd θ=,a ,b 为四面体的一组对棱长，d 为对棱的公垂线段长，θ为异面直线夹角. 法二:转化为线到平行平面之间的距离，进一步转化为点到面的距离.注:(1)和两条异面直线都垂直且相交的的直线叫做两条直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段即为两条异面直线的公垂线段;(2)任意两条异面直线有且只有一条公垂线;证明:①存在性设m 、n 是两条异面直线，过m 上一点P 作直线a n ∥，则m 和a 确定一个平面α. 过P 作直线b α⊥，则b m ⊥，b a ⊥，b n ⊥，且b 和m 确定一个平面β.因为m 、n 异面，所以n 不在β内，且n 不会与β平行，这是因为如果n β∥，则a β∥或a β⊂. 因为P β∈，P a ∈，所以a 与β不平行，若a β⊂，因为b m ⊥，b a ⊥，m a P =，所以a 和m 重合，即m n ∥，矛盾， 所以n 与β不平行，即n 和β相交设这个交点为Q ，即Q β∈，过Q 作直线l m ⊥，则l b ∥所以l n ⊥，即l 同时垂直m 、n ，且l 和m 、n 交点分别为P 、Q ②唯一性由存在性的证明可知n 和β只有一个交点Q ，经过Q 点有且只有一条直线l m ⊥，因此异面直线的公垂线有且只有一条.(3)两条异面直线的公垂线段长是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.【例11】如图1，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ,N 分别在线段A D '，D C '上，且满足MN ∥平面A ACC ''，则线段MN 长度的取值范围为 ．【例12】已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M ,N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面 BCC B ''内，则||||MT NT +的最小值是（ ）A B C D ．1同步训练1.如图，与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB ，1CC ，11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A ．有且只有1个 B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个2.已知平面α∥平面β.直线m α⊂，直线n β⊂，点A m ∈，点B n ∈.记点A ，B 之间距离为a ，点A 到直线n 的距离为b .直线m 和n 的距离为c ，则（ ） A ．b c a ≤≤ B ．a c b ≤≤C ．c a b ≤≤D ．c b a ≤≤3.(义乌市校级期中)一条线段AB 的两端点A ，B 和平面α的距离分别是30cm 和50cm ，P 为线段AB 上一点，且:3:7PA PB =，则P 到平面α的距离为（ ）A ．36cmB ．6cmC ．36cm 或6cmD ．以上都不对4.(广陵区校级月考)在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为 ．5.如图，在单位正方体ABCD A B C D -''''中，E 为B C '中点，F 为棱D C ''上动点，P 为BD '上动点，求||||PE PF +的最小值.6.如图，在单位正方体ABCD A B C D -''''中，E ,F 为两动点，求C E EF '+的最小值 ．。

立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离 1．（一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段， 再计算这个垂线段的长度； 2．还可以用等积法求距离； 3．向量法求点到平面的距离.在PAO Rt ∆中，θθsin ||||sin AP d AP =⇒=又|||||sin n AP n AP =θ||n d =∴（其中AP 为斜向量，n 为法向量）二、直线到平面的距离 转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为斜向量，n 为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：||n d =AP 为斜向量，n 为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：||n d =（其中AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量，n 是与b a ,都垂直的向量） 例1．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题： （1） 求1B 到面BE A 1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则•αOP),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x n =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴n选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d （2）求C D 1到面BE A 1的距离；)2,2,1()1(:1=n BE A 的法向量知平面由解)0,0,1(11=A D 斜向量 311111==∴nn A D d BE A D 的距离为到面点 (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；)1,1,1(:11-==AC n BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量 311111==∴nn A D d BD A D 的距离为到面点 33111的距离为与即面CB D BD A (4) 求异面直线B D 1与E A 1的距离.xyz D -系如图建立空间直角坐标解:)1,1,1(),0,21,1(11-=-=∴B D E Axxxx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2D B AE 则B D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n n A D d 练习1：1．如图在直三棱柱111C B A ABC -中，1==BC AC ,∠ACB 面BC A 1的距离.2．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求平面11C DA 和平面C AB 1间的距离3．已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -，求直线1DA 和AC 间的距离。

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。

在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。

本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。

一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。

空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。

2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。

设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。

接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。

2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。

比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。

在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。

在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。

数学立体几何解题技巧数学立体几何解题技巧我们把不同于一般解法的巧妙解题方法称为解题技巧,它来源于对数学问题中矛盾特殊性的认识。

下面是店铺精心整理的数学立体几何解题技巧，欢迎阅读与收藏。

数学立体几何解题技巧篇11平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。

②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。

在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。

求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。

高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。

直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。

注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。

平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。

二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。

一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

PCABD高三立体几何重点专题复习教案空间向量的坐标运算专题一：求角1. 求异面直线所成的角1，已知：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AA 1，BB 1的中点，求CM 和D 1N 所成角的余弦值。

2，已知长方体1111,A B C DA B C D -12,1,A B A A ==直线B D 与平面 11A A B B 所成的角为30︒，A E 垂直B D 于E ，F 为11A B 的中点.（Ⅰ）求异面直线A E 与B F 所成的角； （II ）求平面BDF 与平面1A A B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离.二、求直线与平面所成的角3，如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，二面角P-BC-A 等于45°。

（Ⅰ）求P AA B的值 （Ⅱ）求PD 与截面PAC 所成的角大小EF ADCD 1A 1C 1B 1BNB1AADBCC1D1 M2. 求二面角的大小4，如图，在正三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E 分别是棱BC 、1C C 的中点，12,A B A A == （Ⅰ）证明：1BE AB ⊥；（Ⅱ）求二面角1B A B D --的大小； （Ⅲ）求异面直线1A B 与BE 的距离。

5，在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=23，M 、N 分别为AB 、SB 的中点。

（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；（Ⅱ）求二面角N-CM-B 的大小； （Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。

专题二：求距离1、求点到平面的距离（推广到线面、面面之间的距离）6，如图，在三棱椎P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，90,B A C ∠=D ，E ，F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB=AC=1，PA=2，（Ⅰ）求直线PA 与平面DEF 所成角的大小； （Ⅱ）求点P 到平面DEF 的距离。

立体几何知识点一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。

⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑿垂直于同一平面的两直线平行。

（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。

（6）面面垂直的判断： ⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线； （2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ； 平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。

AB CD α βl知识点整理(一)平行与垂直的判断(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 线线平行l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=；线面平行l ∥α⇔a u ⊥0a u ⇔⋅=； 面面平行α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=；线面垂直l ⊥α⇔a ∥u a ku ⇔=； 面面垂直α⊥β⇔⊥.0=⋅⇔(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线l ,m 所成的角为θ(02πθ≤≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=(2)空间距离点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, ① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n 是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，其中A α∈则点P 到平面α的距离 ② h =||||AP n n ⋅(实质是AP 在法向量n 方向上的投影的绝对值)③ 异面直线12,l l 间的距离d :||||CD n d AB n ⋅==(12,l l 的公垂向量为n ,C D 、分别是12,l l 上任一点).题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.解：设,,,===则,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===（1）2||===∴，∴ A 、B 两点间的距离为2.（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为z y x ++=，由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)()z y x (=++⇒=++⋅++①； 由CD ⊥得0y 0b )c z b y a x (=⇒=⋅++②，令x=1，则由①、②可得z=-1，∴-=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为21|n |||n ||d ===⋅=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将有基底表示，， 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。

高考立体几何专题复习一．考试要求：〔1〕掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

〔2〕了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念〔对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离〕。

〔3〕了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。

〔4〕了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。

掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

〔5〕会用反证法证明简单的问题。

〔6〕了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。

〔7〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

〔8〕了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

〔9〕了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。

〔10〕了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。

二．复习目标：1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的根底上，掌握它们的求法(其根本方法是分别作出这些角，并将它们置于*个三角形通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步稳固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握根本的立体几何解题方法和常用解题技巧，开掘不同问题之间的在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和"说话要有根据〞的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．三．教学过程：〔Ⅰ〕根底知识详析高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考察的知识点在20个以. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算〞的开展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探常考常新的热门话题.1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直〞的有关问题着手，通过较为根本问题，熟悉公理、定理的容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．2．判定两个平面平行的方法：〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点；〔2〕判定定理——证明一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面；〔3〕证明两平面同垂直于一条直线。

高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这个点到这个平面的距离E、32 2 1 * 1 2 222例 2 题3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离题型二：两条异面直线间的距离【例 3】 如图（1）,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求： A 到平面 BCD 的距离； 过 A 作AO ⊥平面 BCD 于 O ，连 BO 并延长与 CD 相交于 E ，连 AE.∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴ O 是△ BCD 的中心，∴ BO=2BE=2 3 3.33 2 3CQ解法 2：（ I ）又 AB ＝ 1，且∠ AOB =90° ,∴AO= AB 2 BO 2.∴A 到平面 例 3 题6图 BCD 的距离是 .3【例 4】 在梯形 ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC= ,AB=a,AD=3a 且 sin ∠ ADC = ,又 PA ⊥平面ABCD ,PA=a,25求： (1)二面角 P — CD —A 的大小 ; (2)点 A 到平面 PBC 的距离 . 【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F,连结 PF, ∵ AP ⊥平面 ABCD,AF ⊥DC,∴ PF ⊥DC, 在△ ADF 中,∠AFD =90,∠ADF=arcsin 5 3a,AD =3a,∴ AF= ,在 Rt △PAF 中 tan ∠PFA= PA a 55 ,∴∠ PFA=arc tan 5 .AF 3a 3 3(2)∵PA ⊥平面 ABCD ,∴PA ⊥ BC,又 BC ⊥ AB, ∴ BC ⊥平面 PAB,作 AH ⊥PB,则 BC ⊥AH,∴ AH ⊥平面 PBC,∵PA ⊥AB,PA=AB=a, ∴PB= 2 a,∴ AH = 2 a .2【例 5】 如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4 ， BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求 BF 的长；（Ⅱ）求点 C 到平面 AEC 1F 的距离 .解法 1：（Ⅰ）过 E 作EH//BC 交 CC 1于H ，则 CH=BE=1 ，EH//AD ，且 EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴ DF=C 1H=2. BF BD 2 DF 2 2 6.（Ⅱ）延长 C 1E 与 CB 交于 G ，连 AG ， 则平面 AEC 1F 与平面 ABCD 相交于 AG.过 C 作CM ⊥AG ，垂足为 M ，连 C 1M ， 由三垂线定理可知 AG ⊥C 1M.由于 AG ⊥面 C 1MC ， 且 AG 面 AEC 1F ，所以平面 AEC 1F ⊥面 C 1MC.在 Rt △C 1CM 中，作 CQ ⊥MC 1，垂足为 Q ，则 CQ 的长即为 C 到面 AEC 1F 的距离 .由 EB BG 可得,BG 1,从而 AGAB 2 BG 2 17.CC 1 CG 由 GABMCG 知, CM 3cosMCG D （0，0，0），B （2，4，0），633cosGAB1217CM CC 1 MC 14 33 11建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设 F（0，0，∵AEC1F 为平行四边形，z）由AEC 1F 为平行四边形由AF EC 1得,( 2,0, z) ( 2,0,2), z 2. F (0,0,2). EF ( 2, 4,2).于是 |BF | 2 6,即BF 的长为 2 6.（II ）设 n 1 为面 AEC 1F 的法向量，由 n 1 AE 0, 0 x 4 y 1 0 得 4y 1 即 4y 1 0, x n 1 AF 0, 2 x 0 y 2 0 2x 2 0, yuuuur u ur 又CC （0,0,3）,设CC 1与n 1 的夹则 cos CC 1 uuu nu 1u r|CC 1 | |n 1 | 1,1.4.4 33 33 ∴C 到平面 AEC 1F 的距离为 d |CC 1 |cos4 33 33 4 3311例 6】 正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的底面边长为 8，对角线 B 1C 10，D 是AC 的中点。