用不动点法求数列通项

不动点法求数列通项公式 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的.首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点.下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项.【说明：这题是“相异不动点”的例子.】先求不动点∵a[n+1]=2/(a[n]+1)∴令 x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和 x=-2 【相异不动点】∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)∵a[1]=2∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法,令：x=2-1/x即：x^2-2x+1=0∴x=1 【重合不动点】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1∵a[1]=3∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通项.【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n将上面两式相减,得：a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n(n+2)a[n+1]=na[n]+2a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1 【重合不动点】设：a[n]-1=b[n],则：a[n]=b[n]+1 【使用不动点】代入【1】式,得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2) b[n+1]=b[n]n/(n+2)即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2).b[5]/b[4]=4/6b[4]/b[3]=3/5b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘,得：b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]∵a[1]=1/2∴b[1]=a[1]-1=-1/2∴b[n]=-1/[n(n+1)]∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3求不动点：x=(2x+1)/3,得：x=1 【重合不动点】∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1,公比为2/3的等比数列即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)【又】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3∴3a[n+1]=2a[n]+1这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：3a[n+1]-3=2a[n]-2∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)【下面同上】◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)y^2=2解得不动点是：y=±√2 【相异不动点为无理数】∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2) 【使用不动点】={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取对数】∵x[1]=2>√2∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2),公比为2的等比数列即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}◎例6：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便.】求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：x[1]=i,x[2]=-i 【相异不动点为虚数,i为虚数单位】∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不动点】={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}=i(a[n]-i)/(a[n]+i)∵a[1]=2∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1){2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]【下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.】∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])∴令a[n]=tanθ,则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tan θ]=tan(π/4+θ)∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])∴上面两式相减,得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4∵a[1]=2∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2,公差为π/4的等差数列即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]。

用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为 p 是)(x f 的不动点p b ap =+∴ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da c k +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pca k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2，则k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数xx x f 2)(+=，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n na a a a )21(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得nn n n n a )1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式解：作函数xa a x f 22)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是a a a a a a a a aa a a a a aa n n n nn n 11)(1211221+-=-=-=--=-+ 所以}1{a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a1的等差数列 所以a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以naa a n +=定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: Θk x 是)(x f 的两个不动点∴fex c bx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔22222112222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔22222112222221211222)()(x u x u x u x u abx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221122x aex b x aex b ⇔⎩⎨⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b Θ11 21x x0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.解:作函数为xx x f 22)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±2222211)22(22222222222222+-=++-+=++-+=+-++n n nn n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a再经过反复迭代,得1122211222211)2222()22()22()22(22--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n由此解得11112222)22()22()22()22(2------+-++⋅=n n n n n a其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 423423422422411)11(146414641)1(4161)1(41611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n。

用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1(a 2+c 2≠0)的通项 1．通项的求法 为了求出递推数列dt c b t a t n n n +⋅+⋅=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1d b t d a t n n +⋅=⇒+1, 记k d a =,c db =，则有c t k t n n +⋅=+1〔k ≠0〕, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,由kx+c=x ⇒x=k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{kc t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k kc t k c t . (2)当c ≠0时,数列{n t }的特征函数为：)(x f =dx c b x a +⋅+⋅ 由x dx c b x a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:0)(121=--+b x a d cx ,0)(222=--+b x a d cx ∴12)(1x a d cx b -+= (1)222)(x a d cx b -+=……(2) 又设212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++⇒2121x t x t k x dt c b t a x d t c b t a n n n n n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅ ⇒212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --⋅=--+--+……(3) 将(1)、〔2〕式代入(3)式得:2122221121x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --⋅=--+--+ ⇒212211))(())((x t x t k x t cx a x t cx a n n n n --⋅=----⇒21cx a cx a k --= ∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证021≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--n cx a cx a x t x t ⇒12121111212111211--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⋅-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .2．应用举例例1：已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。

高中数学常用方法—利用函数的不动点求数列的通项公式1． 函数的不动点：给出函数()y f x =，满足方程0()f x x =的解0x ，称为函数()y f x =的一个不动点。

例 求函数()24f x x =-的不动点。

解：令24x x -=，解出4x =，即4是函数()24f x x =-的一个不动点。

2． 用函数的不动点求数列的通项公式：如果给出的数列的递推式中不含有自变量n 的函数()f n ，那么就可以考虑用函数的不动点法：首先求出函数的不动点，然后把递推式的两边都减去不动点，最后把递推式的两边都化为相同的形式去求数列的通项公式。

例 已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+求数列的通项公式na 。

解：因为121n na a +=+，所以211x x x =+⇒=-，两边都减去不动点1-得11211n n a a ++=++，所以可以得到112(1)n n a a ++=+，设1n na b +=，所以12n n b b +=，数列{}n a 为等比数列，故1122n n n b b -=⋅=，所以121nn na b =-=-。

例 已知数列{}na 中，11a =，1112n n aa +=+求数列的通项公式na 。

解：因为1112n n aa +=+，所以1122x x x =+⇒=，两边都减去不动点2得12212n n aa +-=+-，所以可以得到112(2)2n n aa +-=-，设2nna b -=，所以112n nb b +=，故111122n nn b b --⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，所以1222nnn ab -=+=-。

3．定理1：若函数(),01f x ax b a a =+≠≠且，p 是函数()f x ax b=+的一个不动点，即()f p p =，如果数列{}nx 满足递推关系1(),1nn x f x n -=>，则1()nn x p a x p --=-。

不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{a[n]}存在极限,a[n]和a[n+1]是没有区别的.首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：a[n+1]=a[n]+1/a[n].其次,不动点有相异不动点和重合不动点.下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.◎例1：已知a[1]=2,a[n+1]=2/(a[n]+1),求通项.【说明：这题是“相异不动点”的例子.】先求不动点∵a[n+1]=2/(a[n]+1)∴令x=2/(x+1),解得不动点为：x=1 和x=-2 【相异不动点】∴(a[n+1]-1)/(a[n+1]+2) 【使用不动点】=(2/(a[n]+1)-1)/(2/(a[n]+1)+2)=(2-a[n]-1)/(2+2a[n]+2)=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)∵a[1]=2∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项. 【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法,令：x=2-1/x即：x^2-2x+1=0∴x=1 【重合不动点】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴a[n]-1=2-1/a[n-1]-1 【使用不动点】a[n]-1=(a[n-1]-1)/a[n-1]两边取倒数,得：1/(a[n]-1)=a[n-1]/(a[n-1]-1)即：1/(a[n]-1)-1/(a[n-1]-1)=1∵a[1]=3∴{1/(a[n]-1)}是首项为1/(a[1]-1)=1/2,公差为1的等差数列即：1/(a[n]-1)=1/2+(n-1)=(2n-1)/2∴a[n]=2/(2n-1)+1=(2n+1)/(2n-1)例3：已知数列{a[n]}满足a[1]=1/2,S[n]=a[n]n^2-n(n-1),求通项.【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n将上面两式相减,得：a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1)(n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n(n+2)a[n+1]=na[n]+2a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2) 【1】采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1 【重合不动点】设：a[n]-1=b[n],则：a[n]=b[n]+1 【使用不动点】代入【1】式,得：b[n+1]+1=(b[n]+1)n/(n+2)+2/(n+2)b[n+1]=b[n]n/(n+2)即：b[n+1]/b[n]=n/(n+2)于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】b[n]/b[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】b[n-1]/b[n-2]=(n-2)/n 【这里保留分母】b[n-2]/b[n-3]=(n-3)/(n-1)b[n-3]/b[n-4]=(n-4)/(n-2).b[5]/b[4]=4/6b[4]/b[3]=3/5b[3]/b[2]=2/4 【这里保留分子】b[2]/b[1]=1/3 【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘,得：b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]∵a[1]=1/2∴b[1]=a[1]-1=-1/2∴b[n]=-1/[n(n+1)]∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项. 【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3求不动点：x=(2x+1)/3,得：x=1 【重合不动点】∴a[n+1]-1=(2a[n]+1)/3-1 【使用不动点】即：a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)∴{a[n]-1}是首项为a[1]-1=1,公比为2/3的等比数列即：a[n]-1=(2/3)^(n-1)∴a[n]=1+(2/3)^(n-1)【又】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3∴3a[n+1]=2a[n]+1这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：3a[n+1]-3=2a[n]-2∴a[n+1]-1=(2/3)(a[n]-1)【下面同上】◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)y^2=2解得不动点是：y=±√2 【相异不动点为无理数】∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2) 【使用不动点】={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2∴ln{(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)}=2ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)} 【取对数】∵x[1]=2>√2∴(x[1]-√2)/(x[1]+√2)=3-2√2∴{ln((x[n]-√2)/(x[n]+√2))}是首项为ln(3-2√2),公比为2的等比数列即：ln{(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}=2^(n-1)ln(3-2√2)(x[n]-√2)/(x[n]+√2)=(3-2√2)^[2^(n-1)]x[n]-√2=(3-2√2)^[2^(n-1)](x[n]+√2)x[n]-x[n](3-2√2)^[2^(n-1)]=√2(3-2√2)^[2^(n-1)]+√2∴x[n]=√2{1+(3-2√2)^[2^(n-1)]}/{1-(3-2√2)^[2^(n-1)]}◎例6：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便.】求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：x[1]=i,x[2]=-i 【相异不动点为虚数,i为虚数单位】∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i) 【使用不动点】={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}=i(a[n]-i)/(a[n]+i)∵a[1]=2∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)2a[n]-2i+ia[n]+1=(2a[n]+2i-ia[n]+1)i^(n-1){2+i-(2-i)(i)^(n-1)}a[n]=2i-1+(2i+1)i^(n-1)a[n]=[2i-1+(2i+1)i^(n-1)]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]∴a[n]=[2i-1+(2-i)i^n]/[2+i-(2-i)i^(n-1)]【下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.】∵a[n+1]=(1+a[n])/(1-a[n])∴令a[n]=tanθ,则a[n+1]=[tan(π/4)+tanθ]/[1-tan(π/4)tan θ]=tan(π/4+θ)∵θ=arctan(a[n]),π/4+θ=arctan(a[n+1])∴上面两式相减,得：arctan(a[n+1])-arctan(a[n])=π/4∵a[1]=2∴{arctan(a[n])}是首项为arctan(a[1])=arctan2,公差为π/4的等差数列即：arctan(a[n])=arctan2+(n-1)π/4∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]。

用“不动点法”求数列的通项公式用“不动点法”求数列的通项公式对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式．例(1)在数列{an}中，a1＝1,an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式．解设f(x)＝x＋1，令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2，∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点，∴an＋1－2＝(an－2)，∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列，∴an－2＝－1×n－1，∴an＝2－n－1，n∈N.(2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式．解由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2，＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1，解得an＝＋2＝，n∈N.(1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p 是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列．(2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·.1．已知数列{an}满足an＋1＝－an－2，a1＝4，求数列{an}的通项公式．解设f(x)＝－x －2，由f(x)＝x，得x＝－.∴an＋1＋＝－，又a1＝4，∴是以为首项，以－为公比的等比数列，∴an＋＝×n－1，∴an＝－＋·n－1，n∈N.2．已知数列{an}满足a1＝2，an＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解解方程x＝，化简得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，令＝c·，由a1＝2，得a2＝，可得c＝－，∴数列是以＝为首项，以－为公比的等比数列，∴＝·n－1，∴an＝.3．设数列{an}满足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N)，且a1＝1，记bn＝(n≥1)．求数列{bn}的通项公式．解由已知得an＋1＝，由方程x＝，得不动点x1＝，x2＝.所以＝＝·，所以数列是首项为－2，公比为的等比数列，所以＝－2×n－1＝－，解得an＝.故bn＝＝，n∈N.。

数列不动点法求通项
以《数列不动点法求通项》为标题，写一篇3000字的中文文章什么叫数列不动点法？它是一种求解数学数列中特定元素的解法，又称作不动点迭代。

其中的一种典型的应用场景就是通过它来求解数列的通项。

一、数列不动点法的基本原理与概念
数列不动点法是一种基于极限理论的迭代解法，其核心思想就是能够将一组数字反复迭代，最终能够收敛到一个不变的、固定的数字，这个数字就叫做不动点，也叫稳定点或者可靠的结果。

在数列的研究中，数列的不动点可以帮助我们了解其数列的总体规律，并且可以推导出满足条件的通项。

二、数列不动点法求解数列的通项的过程
1、将每一项的值进行相应的迭代，得到迭代后的值。

2、将迭代后的值进行比较，如果出现不动点，则表明数列收敛到某一个点，那么就可以利用该点作为数列的通项，即可将数列中任意一个元素进行表达。

3、进一步利用已求得的不动点，寻找数列的特征值，并结合相应的条件，寻找出满足条件的通项。

三、数列不动点法的优势
数列不动点法比较简单，只需要根据数学原理，采用简单的迭代方式，就能够推导数列中任意一个元素，从而大大节约了解决数列问题所需要的时间和精力。

此外，数列不动点法在求解数列的通项时，
和其他方法相比，更加精准，可以得到更为准确的结果。

四、数列不动点法应用的实例
1、数列 4、9、14、19、24……的第n项是多少？
利用数列不动点法，可以得出第n项的值为5n+4，即第n项的值等于第一项的值（4）加上公差（5）乘以（n-1）次。

2、数列 8、7、6、5、4……的第n项是多少？
利用数列不动点法，可以得出第n项的值为n+7，即第n项的值为第一项的值（8）减去公差（1）乘以（n-1）。

不动点法求数列通项详细推导过程不动点法求数列通项详细推导过程：不动点法是一种用于求解数列的方法，它要求找出一个函数，使得该函数的图像在某一区间上是“不动的”（不随x的变化而变化）。

也就是说，函数的图像在这个区间上以某一点作为中心，不断地向外扩张或收缩，但其形状不会变化。

首先，我们来看看如何使用不动点法求数列通项。

首先，我们需要找出一个函数f(x)，使得它的图像在某一区间上是“不动的”。

然后，我们将该函数的图像画出来，以确定该函数在某一特定点的不动点（即该函数的图像在这个点上不再发生变化）。

根据不动点的定义，当函数的图像在某一点上不再变化时，以该点为中心，函数的图像会以相同的形状、大小和位置无限重复。

接下来，我们可以利用这种“不动”的性质，来证明f(x)是数列的通项公式。

首先，我们需要利用微积分原理，求出f(x)的导数。

具体而言，我们假设，f(x)的导数是g(x)，并且我们最终可以得出g(x)=0，这意味着f(x)在某一点上是“不动的”。

接着，我们可以使用定积分法，将g(x)带入原函数f(x)，从而求出f(x)的极限。

此时，我们可以发现，f(x)的极限正好是数列的通项公式。

最后，我们进一步证明，f(x)的极限就是数列的通项公式。

为了这样做，我们需要将f(x)的极限代入数列的前n项，并对其进行求和，以确定求和的结果是否与数列的通项公式相等。

如果求和结果与数列的通项公式相等，则说明f(x)就是数列的通项公式。

总之，不动点法求数列通项详细推导过程便是：首先，找出一个函数f(x)，使得它的图像在某一区间上是“不动的”；然后，利用微积分原理求出f(x)的导数，并用定积分法将g(x)带入原函数f(x)，从而求出f(x)的极限；最后，将f(x)的极限代入数列的前n项，并对其进行求和，以确定求和的结果是否与数列的通项公式相等。

如果求和结果与数列的通项公式相等，则说明f(x)就是数列的通项公式。

用不动点法求数列的通项定义：方程= X的根称为函数/（X）的不动点.利用递推数列/（X）的不动点，可将某些递推关系0” ==/（"“」）所确左的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若f（x） = ax + b（a^O,a^\\ p是/（劝的不动点，©满足递推关系a n = f（%）,（“ > 1）,则a n-p = - /?）,即｛a n - p］是公比为a 的等比数列.证明：因为"是/（x）的不动点ap + b = p••• b-p = -ap由a n= a • a n_｝ + b得a n - p = a-a n_x +b-p =“（"心-p）所以｛a n-p｝是公比为d的等比数列.定理2：设f（x） = ""+（c 丰 0,ad 一H 0）, ｛a”｝满足递推关系a… = f （a n_｝）, n > 1,cx + d初值条件q工_/（山）（1）：若/（x）有两个相异的不动点p、q,则乞二£ = &・竺丄工（这里《=丄二2竺）〜一q Si -q "一qc1 1 2c（2）：若/（兀）只有唯一不动点〃，则--- = -------- + k（这里k = U）a n一P 一P。

〃证明：由 /(%) = x得 /(牙)="入+ ” =小所以ex2 + (d - a)x - b = 0 cx + dP ==><q =J 一P j-q 叫T +h所以（1）因为pg是不动点，所以a _ pc qd b叫t +b eg + d(a - pc)g + b _ pd(a — gc)% 十b _ qdpd bqd _b a_qc g _ qa_qc(2)因为”是方程ex 2 +(d-a)x-b = 0的唯一解，所以cp2+(d-a)p-b = 0所以b _ pd = c]F 一 ap , p = -_ 所以2c_ aa n ^ +b _ (a — cp )5-i +b_pd _(u-cp)a fJ _｛ +cp 2 - ap _ (a 一 cp^a^ 一 p)a ” 一 p = ---------- — p = -------------------------- = ------------------------------ = -----------------------+ d eg + d fl + 〃所以1 _ 1 5一]+〃_ 1 c(% - ”)+ 〃+ 3 _ c d + cp 1 _ 1 2c------ = ------ . --------- = ------ • ----------------- = ------- + ------- • ------- = --------— -----5 _ P u _ cp g - P u _ cp n a _ cp u — cp a n ^ - p a n ^ - p a + d2c 1 1令k=^—9 则一-一 =一-一 + k〃 _ P例1：设｛给｝满足绚=1卫叶=也匸三MW NS 求数列｛心｝的通项公式2例2：数列｛〜｝满足下列关系：⑷=2么色利=2d — ”4H0,求数列｛心｝的通项公式//y- 4- bx + C定理3：设函数f(x) = — ------------ ——(G HO,0HO)有两个不同的不动点且由ex + J知利=/（绻）确定着数列｛心），那么当且仅当h = 0,e = 2a 时,⑺一"=（匕二I ），% 一勺 知一勺证明:・・・Xk 是f （x ）的两个不动点耳田一州==叫^+少一如冷+ —町=叫：+ @_M )给 + (f __ 1小 冷+i 一吃 + bi* +c-x 2(eu n + /) cm ； + (b — %)冷+c-x 2f an ； + (Z? — ex 2)u tt +(e-一娅•> 2auj + (Z? - ex x )u n +(£_□)叮- byan/ + (Z? - ex 2 )u n +(e-a)x 2^ -bx 2ax^ +bx k +cM /-2X A +X 22即 c-x k f =(e —a)x k 2于是,H 2 [ “ | 2_心「W" a " aj b 一 ex. (e 一 一 bx 、 叮+——心+ ----------------------- =---- "a a・・・'HO ・・・方程组有唯一解b = 0上=2a1 x 22 -例3：已知数列｛©｝中宀=2如=——求数列｛心｝的通项.2®其实不动点法除了解决上而所考虑的求数列通项的几种情形，还可以解决如下问题:42 t例4：已知q >0,®工1且匕+i[ *，求数列｛心｝的通项.仇(勺「+1).4 x 2]解：作函数为/« =「二匸 懈方程f(x) = /得f(x)的不动点为4x( J T +1)X] =—1,勺=1，勺=-^-/,x 4 = $/•.取/? = l,q =—1,作如下代换：勺,+6%2+]r' *43分勺田+1 = 4。

不动点方法求数列通项定义：对函数()y f x =，若存在0x 满足()00f x x =，那么称0x 为函数的不动点。

下面介绍不同几类的数列的通项求法。

1． 1n n a pa q +=+，()0,1p p ≠≠设()f x px q =+，将1n n a pa q +=+看做()1n n a f a +=。

计算()f x x =可得不动点01q x p =-，构造1n n q b a p=--。

将n b 代入n a 的表达式中可得1n n b pb +=是一个等比数列。

由此可得：11n n b p b -=，故1111n n q qa p a p p -⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭2． 1n n n aa ba ca d++=+，()0c ≠且1a b c d =。

若0a b c d ≠可以通过上下同除一个常数使得行列式为1。

设()ax b f x cx d +=+，计算不动点可得方程ax bx cx d+=+，对于方程()20cx d a x b +--=。

因此，对于不动点的结构而言，有三种不同情况。

情况一： 方程有两个不同的实数根，记作12,λλ。

那么构造12n n n a b a λλ-=-，可得1n n b b λ+=。

这里λ=或者λ=，到底取哪个值与n b 的构造方法有关。

由此可得11n n b b λ-=，所以1111212n n n a a a a λλλλλ-⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，所以()()()11111211211n n n a a a a λλλλλλλλ--⎛⎫-=+- ⎪ ⎪---⎝⎭情况二：方程有两个相同实数根，记作122a d c λλ-==，此时2a d +=。

故11a cλ-=那么构造11n n b a λ=-。

可得1n n b b c +=+。

所以()11n b b n c =+-。

()111111n n c a a λλ=+---，所以()111111n a n c a λλ-=+--情况三：方程有两个共轭虚根。

不动点求数列通项原理
不动点是指在某个函数定义域上存在一个实数x，使得f(x)=x
成立。

求不动点的过程称为不动点求数列通项原理，主要有以下几种方法：
1. 不动点迭代法：假设函数f(x)满足Lipschitz条件，即存在常数L满足|f(x)-f(y)|≤L|x-y|，选择一个初值x0，通过迭代逼近函数的不动点。

迭代公式为：xn+1=f(xn)。

当迭代序列{xn}收敛
到不动点时，即x=lim(n→∞)xn，可得到不动点的近似值。

2. 转化为方程求根：将函数f(x)=x转化为方程f(x)-x=0，然后
使用数值方法求解这个方程的根。

常用的求根方法有二分法、不动点迭代法、牛顿法等。

通过求解得到的根即为函数的不动点。

3. 直接求解：对于某些特殊的函数，可以通过直接求解方程
f(x)=x来得到不动点。

例如，对于线性函数f(x)=ax+b，不动
点为x=(b/(1-a))。

这些方法都是通过迭代、逼近或求解方程的方式来求解不动点，从而得到不动点求数列的通项原理。

这些方法的选择取决于函数的性质和问题的要求。

用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为p 是)(x f 的不动点pb ap =+∴ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11（这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k pa p a n n +-=--111（这里da ck +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx （1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qca pca k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d a c k +=2，则k pa p a n n +-=--111例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a f ex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: k x 是)(x f 的两个不动点∴f ex c bx ax x k k kk +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k ∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,2212111(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔22222112222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+⇔22222112222221211222)()(x u x u x u x u abx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221122x aex b x a ex b ⇔⎩⎨⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b 1121x x 0≠∴方程组有唯一解ae b 2,0==例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解:作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换:42342342242241111(146414641)1(4161)1(41611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521nn nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式；（3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ．已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-=' ，，．（1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>；（3）记ln(12)n n n a b n a βα-==- ，，，求数列{}n b 的前n 项和nS 13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足，*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝.()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。

不动点法求数列通项的原理不动点法（Fixed Point Method）是一种数值分析方法，用于求解函数的根或方程的解。

它的基本原理是通过构造一个迭代序列，使得序列中的点逐渐趋向于方程的解或函数的根。

通过不断迭代，序列中的点趋近于不动点，即一个函数值等于自变量的点。

为了说明不动点法的原理，我们假设要求解一个数列的通项,通项的迭代公式为x[n]=f(x[n-1])，其中x[n]表示第n个迭代点，f(x)是一个函数，表示迭代公式。

我们希望通过不断迭代求得一个稳定的解x*，使得x*=f(x*)，也就是找到一个不动点。

不动点法的主要思路分为以下几步：1.选择初始值：选择一个初始值x[0]作为迭代的起点。

2.迭代计算：根据迭代公式x[n]=f(x[n-1])，不断计算迭代点，直到达到停止准则（如迭代次数达到预设值或前后两次迭代点的差小于指定的误差）。

3.根据停止准则确定迭代结果：当满足停止准则时，我们认为当前的迭代点x[n]是通项的近似解。

不动点法的有效性和收敛性要求函数f(x)满足一定的条件：1.存在性：函数f(x)在定义域内存在不动点x*，即x*=f(x*)。

2.唯一性：不动点x*是唯一的，即函数f(x)只有一个不动点。

3.迭代公式的收敛性：迭代公式应该具有收敛性，即随着迭代次数增加，迭代序列应该趋近于不动点。

对于不动点法而言，有一个重要的收敛性定理：若函数f(x)在一些闭区间内连续可微，并且满足，f'(x)，<1，则迭代序列将收敛到不动点。

这个定理应用了几何级数的收敛性质，确保了函数值的收敛。

例如，假设要求解一个数列的通项a[n]=a[n-1]/2+3，我们可以设定迭代公式为x[n]=x[n-1]/2+3、选择一个合适的初始值x[0]，如x[0]=0，运用迭代计算，我们可以得到迭代序列如下：x[0]=0x[1]=x[0]/2+3=1.5x[2]=x[1]/2+3=2.75x[3]=x[2]/2+3=3.375...通过不断迭代，我们可以观察到迭代序列趋近于一个稳定的值，即不动点。

不动点法求数列通项例题不动点法是一种用于求解数列通项的方法。

它基于数列中存在一个特殊的元素，当这个元素与数列的通项相等时，就称之为不动点。

利用不动点法可以通过迭代的方式逼近这个不动点，从而得到数列的通项。

下面是一个例题，我们通过不动点法来求解数列的通项。

例题：考虑一个数列，前两项分别为1和2，后续项满足递推关系an = an-1 + an-2，其中n ≥ 3。

求这个数列的通项。

解答：首先，我们可以列出数列的前几项如下：a1 = 1a2 = 2a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8...我们观察数列的递推关系，发现当n趋近于无穷大时，数列中的相邻项之间的比值趋近于一个固定的值。

我们设这个值为x，即 lim(n→∞) an/an-1 = x。

根据递推关系，我们可以得到下面的等式：lim(n→∞) an/an-1 = lim(n→∞) (an-1 + an-2) / an-1 = 1 + (1 / x)由于数列的前两项已知，我们可以利用不动点法来逼近这个不动点x。

我们设 xn = 1 + (1 / xn-1)，其中x0为一个初始值。

通过迭代计算，我们可以逐渐逼近这个不动点。

假设我们选择初始值x0 = 2，那么通过迭代计算，我们可以得到：x1 = 1 + (1 / 2) = 1.5x2 = 1 + (1 / 1.5) = 1.6667x3 = 1 + (1 / 1.6667) = 1.6...经过多次迭代计算，我们可以得到不动点的近似值，即x ≈ 1.618。

最终，通过不动点法的逼近，我们可以得到数列的通项为 an = (1.618)^n。

总结起来，不动点法是一种通过迭代逼近不动点来求解数列通项的方法。

通过选择合适的初始值，我们可以得到一个接近不动点的近似值，从而确定数列的通项。

这种方法在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列an+1=can+d/ean+fc、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{an}满足an+1=fan,我们就称x=fx为函数fx的不动点方程,其根称为函数fx的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解可以这样认为,当n趋于无穷时,如果数列{an}存在极限,an和an+1是没有区别的.首先,要注意,并不是所有的递推数列都有对应的不动点方程,比如：an+1=an+1/an.其次,不动点有相异不动点和重合不动点.下面结合不动点法求通项的各种方法看几个具体的例子吧.◎例1：已知a1=2,an+1=2/an+1,求通项.说明：这题是“相异不动点”的例子.先求不动点∵an+1=2/an+1∴令 x=2/x+1,解得不动点为：x=1 和 x=-2 相异不动点∴an+1-1/an+1+2 使用不动点=2/an+1-1/2/an+1+2=2-an-1/2+2an+2=-an+1/2an+4=-1/2an-1/an+2∵a1=2∴a1-1/a1+2=1/4∴{an-1/an+2}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴an-1/an+2=1/4-1/2^n-1解得：an=3/1--1/2^n+1-2◎例2：已知数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1,求通项.说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.∵an=2-1/an-1∴采用不动点法,令：x=2-1/x即：x^2-2x+1=0∴x=1 重合不动点∵an=2-1/an-1∴an-1=2-1/an-1-1 使用不动点an-1=an-1-1/an-1两边取倒数,得：1/an-1=an-1/an-1-1即：1/an-1-1/an-1-1=1∵a1=3∴{1/an-1}是首项为1/a1-1=1/2,公差为1的等差数列即：1/an-1=1/2+n-1=2n-1/2∴an=2/2n-1+1=2n+1/2n-1例3：已知数列{an}满足a1=1/2,Sn=ann^2-nn-1,求通项.说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.∵Sn=ann^2-nn-1∴Sn+1=an+1n+1^2-n+1n将上面两式相减,得：an+1=an+1n+1^2-ann^2-n+1n+nn-1n^2+2nan+1=ann^2+2nn+2an+1=nan+2an+1=ann/n+2+2/n+2 1采用不动点法,令：x=xn/n+2+2/n+2解得：x=1 重合不动点设：an-1=bn,则：an=bn+1 使用不动点代入1式,得：bn+1+1=bn+1n/n+2+2/n+2bn+1=bnn/n+2即：bn+1/bn=n/n+2于是：由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点bn/bn-1=n-1/n+1 这里保留分母bn-1/bn-2=n-2/n 这里保留分母bn-2/bn-3=n-3/n-1bn-3/bn-4=n-4/n-2.b5/b4=4/6b4/b3=3/5b3/b2=2/4 这里保留分子b2/b1=1/3 这里保留分子将上述各项左右各自累乘,得：bn/b1=12/nn+1∵a1=1/2∴b1=a1-1=-1/2∴bn=-1/nn+1∴通项an=bn+1=1-1/nn+1◎例4：已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+1/3,求通项.说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法. ∵an+1=2an+1/3求不动点：x=2x+1/3,得：x=1 重合不动点∴an+1-1=2an+1/3-1 使用不动点即：an+1-1=2/3an-1∴{an-1}是首项为a1-1=1,公比为2/3的等比数列即：an-1=2/3^n-1∴an=1+2/3^n-1又∵an+1=2an+1/3∴3an+1=2an+1这时也可以用待定系数法,甚至直接用观察法,即可得到：3an+1-3=2an-2∴an+1-1=2/3an-1下面同上◎例5：已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=xn^2+2/2xn,求通项.说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.∵xn+1=xn^2+2/2xn∴采用不动点法,设：y=y^2+2/2yy^2=2解得不动点是：y=±√2 相异不动点为无理数∴xn+1-√2/xn+1+√2 使用不动点={xn^2+2/2xn-√2}/{xn^2+2/2xn+√2}=xn^2-2√2xn+2/xn^2+2√2xn+2={xn-√2/xn+√2}^2∵xn+1=xn^2+2/2xn=xn/2+1/xn≥2/√2=√2∴ln{xn+1-√2/xn+1+√2}=2ln{xn-√2/xn+√2} 取对数∵x1=2>√2∴x1-√2/x1+√2=3-2√2∴{lnxn-√2/xn+√2}是首项为ln3-2√2,公比为2的等比数列即：ln{xn-√2/xn+√2}=2^n-1ln3-2√2xn-√2/xn+√2=3-2√2^2^n-1xn-√2=3-2√2^2^n-1xn+√2xn-xn3-2√2^2^n-1=√23-2√2^2^n-1+√2∴xn=√2{1+3-2√2^2^n-1}/{1-3-2√2^2^n-1}◎例6：已知数列{an}满足a1=2,an+1=1+an/1-an,求通项.说明：现在举个不动点是虚数的例子,说明有些题目可以采用不动点法,但采用其他解法可能更方便.求不动点：x=1+x/1-x,即：x^2=-1,得：x1=i,x2=-i 相异不动点为虚数,i为虚数单位∴an+1-i/an+1+i 使用不动点={1+an/1-an-i}/{1+an/1-an+i}=1+an-i+ani/1+an+i-ani={1+i/1-i}{an-i/an+i}=ian-i/an+i∵a1=2∴{an-i/an+i}是首项为a1-i/a1+i=2-i/2+i,公比为i的等比数列即：an-i/an+i=2-i/2+ii^n-1an-i2+i=an+i2-ii^n-12an-2i+ian+1=2an+2i-ian+1i^n-1{2+i-2-ii^n-1}an=2i-1+2i+1i^n-1an=2i-1+2i+1i^n-1/2+i-2-ii^n-1∴an=2i-1+2-ii^n/2+i-2-ii^n-1下面用“三角代换”,看看是否更巧妙一些.∵an+1=1+an/1-an∴令an=tanθ,则an+1=tanπ/4+tanθ/1-tanπ/4tanθ=tanπ/4+θ∵θ=arctanan,π/4+θ=arctanan+1∴上面两式相减,得：arctanan+1-arctanan=π/4∵a1=2∴{arctanan}是首项为arctana1=arctan2,公差为π/4的等差数列即：arctanan=arctan2+n-1π/4∴an=tann-1π/4+arctan2。

不动点法求数列通项结论在数学中，数列是由一系列数字按照一定的规律排列而成的序列。

而求解数列的通项公式，可以帮助我们计算任意项的数值，从而更好地理解和应用数列。

一般来说，数列的通项公式可以通过观察数列的规律和性质来推导出来。

但有些数列的规律比较复杂，不容易通过观察得出通项公式。

这时，我们可以借助不动点法来求解数列的通项结论。

不动点法是一种通过不断迭代逼近的方法，用于求解方程或方程组的解。

在数列中，我们可以将数列的通项公式看作是一个方程，而不动点法可以帮助我们找到这个方程的解。

具体来说，不动点法的思想是，我们假设数列的通项公式为F(n)，其中n表示数列的第n项。

然后我们通过迭代的方式，不断将F(n)带入到等式中，直到找到一个不动点，即F(n) = n。

这样，我们就得到了数列的通项结论。

举个例子来说明不动点法的应用。

假设我们有一个数列，第一项为1，后面的项满足规律：每一项都是前一项的平方加1，即a(n) = a(n-1)^2 + 1。

我们想要求解该数列的通项结论。

我们假设通项公式为F(n)，即F(n) = a(n)。

然后，我们将F(n)带入到等式中，得到F(n) = F(n-1)^2 + 1。

接着，我们开始迭代逼近。

我们从初始值开始，假设F(1) = 1。

然后，我们依次计算F(2)，F(3)，F(4)......直到找到一个不动点，即F(n) = n。

经过计算，我们可以得到F(2) = 2，F(3) = 5，F(4) = 26，F(5) = 677......可以发现，当n趋近于无穷大时，F(n)也趋近于无穷大。

通过不动点法，我们得到了该数列的通项结论：a(n) = F(n) = n。

也就是说，该数列的第n项等于n。

这个例子展示了不动点法在求解数列通项结论中的应用。

通过不断迭代逼近，我们可以找到数列的通项公式，并得到对应的通项结论。

不动点法在数学和计算机科学中有着广泛的应用。

除了求解数列的通项结论外，它还可以用于解方程、求解优化问题等。