连续信源的信息熵

连续信源高斯分布微分熵介绍连续信源高斯分布微分熵是信息论中的一个重要概念，用于描述连续信源的不确定性。

本文将深入探讨连续信源、高斯分布以及微分熵的概念和性质。

连续信源连续信源是指信源输出的符号集是连续的。

与离散信源不同，连续信源的输出可以是无限个可能值中的任意一个。

连续信源常用于描述实际世界中的连续变量，如温度、压力等。

高斯分布高斯分布，也被称为正态分布，是一种在统计学中常用的概率分布。

它的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x)=1√2πσ2−(x−μ)22σ2其中，x是随机变量的取值，μ是均值，σ是标准差。

高斯分布的图像呈钟形曲线，均值处为峰值，随着离均值的距离增加，概率密度逐渐减小。

微分熵微分熵是对连续信源的不确定性进行度量的指标。

它可以用概率密度函数的负对数积分来计算，表示为：H(X)=−∫f+∞−∞(x)log2(f(x))dx其中，f(x)是连续信源的概率密度函数。

微分熵的单位是比特，表示信源输出的平均信息量。

微分熵的性质微分熵具有以下性质：1. 非负性微分熵始终大于等于零，即H(X)≥0。

当且仅当连续信源的概率密度函数为高斯分布时，微分熵达到最大值。

2. 不变性微分熵对信源的均匀线性变换具有不变性。

即对于连续信源X和线性变换Y=aX+b，有H(Y)=H(X)，其中a和b是常数。

3. 可加性对于相互独立的连续信源X和Y，它们的联合微分熵等于它们各自微分熵的和，即H(X,Y)=H(X)+H(Y)。

4. 连锁规则对于连续信源X、Y和Z，有H(X,Y,Z)=H(X)+H(Y|X)+H(Z|X,Y)。

连锁规则可以推广到更多的连续信源。

应用场景连续信源高斯分布微分熵在许多领域都有重要的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 通信系统设计在通信系统中，了解信源的不确定性非常重要。

通过计算连续信源的微分熵，可以为系统设计提供指导，例如确定合适的编码方式和信道容量。

2. 数据压缩微分熵可以用于数据压缩算法中的信息量度量。

2.6连续信源的熵所谓连续信源就是指其输出在时间上和取值上都是连续的信源。

见图2.6.1。

各采样值的概率可用其概率分布密度函数来确定。

图2.6.2表示一个连续信源输出的幅度和其概率分布密度的关系。

设各种采样值之间无相关性，信源熵可写成：])(log[)(dx x p dx x p i ii ∑[例2.6.1]一连续信源，其输出信号的概率分布密度如图2.6.3所示，试计算其熵。

连续信源的熵不再具有非负性，这与离散信源显然不同。

同样可以定义两个连续变量的联合熵：⎰⎰-=dxdy xy lbp xy p XY H )()()(以及定义两个连续变量的条件熵；⎰⎰-=dxdy y x lbp xy p Y X H )/()()/( ⎰⎰-=dxdy x y lbp xy p X Y H )/()()/(连续信源的共熵、条件熵、单独熵之间也存在如下关系：)()()(Y H X H XY H +≤2.6.1三种特定连续信源的最大熵与离散信源不同，求连续信源的最大熵需要附加条件，常见的有三种。

1．输出幅度范围受限（或瞬时功率受限）的信源2．输出平均功率受限的信源 3．输出幅度平均值受限的信源 (1)限峰值功率的最大熵定理若代表信源的N 维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。

设N 维随机变量∏=∈Ni iib a X 1),( iia b>其均匀分布的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∉-∈-=∏∏∏===Ni i i Ni i i Ni i i a b x a b x a b x p 111)(0)()(1)(除均匀分布以外的其他任意概率密度函数记为)(x q ，并用[]X x p H c),(和[]X x q H c),(分别表示均匀分布和任意非均匀分布连续信源的熵。

在1)()(11112121==⎰⎰⎰⎰N b a b a N b a b a dx dx dxx q dx dx dxx p N NN N的条件下有[]⎰⎰-=1112)(log)(),(b a Nb ac dx dx x q x q X x q H NN⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=111111121212)()(log)()(log)()()()(1log )(b a Nb a b a N b a b a Nb a dx dx x q x p x q dx dx x p x q dx dx x p x p x q x q NNNNN N令0,)()(≥=z x q x p z显然运用著名不等式1ln -≤z z 0>z 则]),([11)(log1)()()()(1log)(]),([1211121111X x p H a bdx dx x q x p x q dx dx a bx q X x q H c Ni i ib a Nb a b a N Ni i ib ac N N NN=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--≤∏⎰⎰⎰∏⎰==则证明了，在定义域有限的条件下，以均匀分布的熵为最大。

根据Charles H. Bennett对Maxwell's Demon的解释，对信息的销毁是一个不可逆过程所以销毁信息是符合热力学第二定律的。

而产生信息，则是为系统引入负（热力学）熵的过程。

所以信息熵的符号与热力学熵应该是相反的。

一般而言，当一种信息出现概率更高的时候，表明它被传播得更广泛，或者说，被引用的程度更高。

我们可以认为，从信息传播的角度来看，信息熵可以表示信息的价值。

这样我们就有一个衡量信息价值高低的标准，可以做出关于知识流通问题的更多推论。

信源的平均不定度。

在信息论中信源输出是随机量，因而其不定度可以用概率分布来度量。

记H(X)＝H(P1，P2，…，Pn)＝P(xi)logP(xi)，这里P(xi)，i＝1，2，…，n为信源取第i个符号的概率。

P(xi)=1，H(X)称为信源的信息熵。

熵的概念来源于热力学。

在热力学中熵的定义是系统可能状态数的对数值，称为热熵。

它是用来表达分子状态杂乱程度的一个物理量。

热力学指出，对任何已知孤立的物理系统的演化，热熵只能增加，不能减少。

然而这里的信息熵则相反，它只能减少，不能增加。

所以热熵和信息熵互为负量。

且已证明，任何系统要获得信息必须要增加热熵来补偿，即两者在数量上是有联系的。

可以从数学上加以证明，只要H(X)满足下列三个条件：①连续性：H(P，1－P)是P的连续函数(0≤P≤1)；②对称性：H(P1，…，Pn)与P1，…，Pn的排列次序无关；③可加性：若Pn＝Q1+Q2＞0，且Q1，Q2≥0，则有H(P1，…，Pn-1，Q1，Q2)＝H(P1，…，Pn-1)+PnH；则一定有下列唯一表达形式：H(P1，…，Pn)＝-CP(xi)logP(xi)其中C为正整数，一般取C＝1，它是信息熵的最基本表达式。

信息熵的单位与公式中对数的底有关。

最常用的是以2为底，单位为比特(bit)；在理论推导中常采用以e为底，单位为奈特(Nat)；还可以采用其他的底和单位，并可进行互换。

青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。

2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。

3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。

2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。

3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。

4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。

发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。

青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。

2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。

3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。

2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。

3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。

4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。

发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。

关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。