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不定积分一 原函数与不定积分的概念1 原函数的定义： 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x , 即对x I ∀∈, 都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx '=则函数()F x 称为()f x 在区间I 上的一个原函数。
注 如果函数()f x 有原函数()F x ，则有无数多个原函数，且其中任意两个原函数相差一个常数，因而()f x 全部原函数可表示为：()F x c + （其中c 为任意常数）2 原函数存在的充分条件：设()f x 是区间I 上连续函数，则()f x 在区间I 上存在原函数。
3 不定积分定义在区间I 上, 函数()f x 的原函数的全体称为()f x 在区间I 上的不定积分, 记作()f x dx ⎰，即有()()f x dx F x c =+⎰ （其中()()F x f x '=）注：1不定积分与原函数是两个不同概念．不定积分是全体原函数集合，原函数是一个函数。
2函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线。
3不定积分定义给出求不定积分基本方法：求出()f x 的一个原函数()F x ，则()()f x dx F x c =+⎰【例】 若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的一个原函数为 （A ）1+sin x （B ）1sin x - （C ）1+cos x （D ）1cos x -解: 方法1 已知()sin f x x '=，而sin cos xdx x C =-+⎰，所以()0cos f x x C =-+又()()0cos sin f x dx x C dx x C x C =-+=-++⎰⎰，取00C=，1C =。
方法2 对（A ）（B ）（C ）（D ）中每一个函数求二阶导。
3．不定积分的基本运算性质设函数()f x 及()g x 的原函数都存在，则()()()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，其中,αβ是实常数。
第四章不定积分'、不定积分的概念和性质1 •原函数：若F (x) = f (x)，则称F (x)为f (x)的一个原函数. 2.不定积分：若 F (x)二 f (x)，则 f (x)dx = F (x) • C • 3 .不定积分的基本性质：(1) [ f(x)dx]" = f(x)或 d f (x)dx = f (x)dx ；(2) F (x)dx=F(x) C 或 dF(x) =F(x) C . 例1 (1 )若xln x 是f (x)的一个原函数，求 f (x)；(2) 若F(x)是 叱 的一个原函数，求dF(x 2)；x(3)若e »是f (x)的一个原函数，求e xf (x)dx ；1 1(4)若 f (x) e xdx =e xC ，求 f (x);(5) 求■ f (x 3)dJ ；(6) 若 f(x)二 e*，求f (lnx)dx . x解(1)因为 f (x) =(xln x)" = ln x 1，所以f (x)J .xsin x(2)因为F (x)-——，所以x (3)因为 f(x) =(e»)〔则 f (x)= ，所以e xf (x)dx 二 e x e»dx 二 dx 二 x C .f (x)g x. 2 dF(x 2) =[F (x 2) 2x]d^Sin ^x - x 22xdx 二 2sin x 2dx . (4) 1因为 f(x)e x= 1e11 —e x，所以■ f(x 3)dJ = f (x 3).f (ln x) dx 二 f (In x)d(ln x)二 f (In x) C = e " xc =丄 C . x x(5) (6)、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法.例2 (1) (3) (5) (7) (9) 解(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) 计算下列不定积分：(x 1)2 .rr dx；2-^pdx;1 x24也pdx;1 x2cos2x ,dx ;sin x cosxsin4 x cos4 x 门2 2dx.sin xcos x2 3j—LdxW vxx x xa e dx = (ae) dx(2)(4)(6)a x e x dx ;2(12x2)dx；x (1 x )sin2 -dx ；2cos2x ,dx ；xsin212x21x"2)dx52 2 4x25-2 2-x2 2x2 C .3—- dx = 11 x2 1 x21 2x2.—厂dx 二x2(1 x2)4x2dx1 x2cIn (ae)1 px = x - arctanx +C .1 1 12 2 dx 二arctan x -x x1 3dx x x arcta nx C .3_1亠1x1 —cosx ’1 .dx(x - sin x) C .2 22. 2.cos x - sin x .dx dx = (cos x - sinx)dx' sin x + cosx二sin x cosx C .,「1 —2sin2 x , rdx 2 dx =si n2 x--cot x -2x C ..4 亠 4sin x cos xcos2xsin x cosxcos2x・2sin x-2 dxsin2 xcos2 x 血二・4sin x・2 2~sin xcos x4cos x2+・2 2 ' sinxcos x ydx=(ta n 2x cot 2x)dx= (sec x csc x -2)dx=tan x - cot x - 2x C .三、换元积分法1 •第一换元积分法(凑微分法)设 f (u)du = F(u) • C ，则u (x)f[ (x)] ： (x)dx 二 f [ ：(x)]d ：(x) f(u)du^F(u) C u一(x)F[「(x)] C .常用的凑微分公式:f (ax b)dx =1 f (ax b)d(ax b)；a • f(ax n b)x nJL dx 二丄 f(ax n b)d(ax nb); na Lf (lnx)2dx= f (ln x)d(ln x)； xr J 1十J f — pdx=-J f (7) f(e ")e "d ^-： f (e")d(e")；(8) f (sin x)cosxdx= f (sin x)d(sin x)；(9) f (cosx)sin xdx - - f (cosx)d (cos x)；2(10) f (tanx)sec xdx 二 f (tanx)d(tanx)； (11)f (cot x) csc 2xdx = - f (cot x) d (cot x)；(12) f (secx)secx tanxdx 二 f (secx)d(secx)； (13) f (cscx)cscxcotxdx 二-f (cscx)d(cscx)；(14)『f= f f (arcsin x)d (arcsinx)；W —x 2(1)(2)(3) (4) (5) (6) dx =2 f (. x)d(.. x)f (e x)e xdx 二 f(e x )d(e x);iL 2 (15) -1 -x dx - - f (arccosx)d (arccosx)； (16) f (arctanix)d^ f (arctanx)d(arctanx)； b1 +x2 ' (17) f (arcc(ot x)d^ _ f (arccot x)d (arccot x). 1 +x 注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现 的较复杂凑微分公式； ② 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； ③ 分部积分法中也会用到凑微分公式.例3(1) (3) 计算下列不定积分:sin xdx ; sin 4 xdx ; (2) (4) (5)(6) (7)tan 5 xsec 3xdx(8)sin 3 xdx ; sin 5 xdx ; arcta n 、、x ,ExT ；. cos2x (9)(x -1)e x2^xdx (10) dx ；1 sin xcosx ” dx(11) sin x cosx ..44 dx； sin x cos x(12) (13) sin 4x cos2xdx ;(14)sin 2 x 2 cos 2 x ' sin x , dx ;1 si nx. dxI 2~x 2x 5(15)dx解(1)x2x \e (1 e )r■ 2 . J —cos2x .sin xdxdx 1sin2x C . 4(2)1x -2 2sin 3 xdx - - sin 2 xd(cosx)二(cos 2x —1)d(cosx)」cos 3x - cosx C .3(3) (4)2 [ 2 dx (1 -2cos2x cos 2x)dx / 4 L1 1 cos4x(1-2cos2x )dx 4 2 3 1 c 1 ，小x sin 2x sin4x C . 8 4 32 sin 5 xdx - - sin 4 xd(cosx) - - (1 - cos 2 x)2d(cosx)sin 4xdx=匚吨 I 2=_(1 _2cos 2 x cos 4x)d(cosx) 注注意区分以上积分中cosx ，解法相同. In In x , dx =xln x J —arctan . x . J肩丙取切sin x 换为 (5) (6) (7)(8)(9) (10)(11) (12) 2 3 1 5 - --cosx — cos x - - cos X 亠 C . 3 5 sinx 的幕指数为奇数或偶数时的解法•若将 tan 5 xseC 3cos2x x 1 2 d(ln x) = In In xd(ln In x) In ln x C .In x 2 严呦匕x dgG) =2 [arctan 仮d(arctan^'G) 1 (x)2=(arctan . x) C .xdx = tan 4 xsec xd(secx)2 2 2二(sec x -1) sec xd (secx)二(sec 6 x 「2sec 4 x sec x) d (secx)In In 1 sin xcosx 1 7 sec 7 1 dx 二2 1 5 13x sec x sec x C . 5 3 1 d(sin 2x) sin 2x 1d(2 sin 2x)二 ln(2 sin 2x)C . 2 sin 2x 1 2 dx 二一 e x /x d(x 2-2x) 2 • 被积函数的分子、分母同除以 cos 2x 2f sec xdxdx'2 +tan 2x1 丄 tan x arctan C . sin 2x 6 -cos2x f *2宀(x -1)e x “ sin 2x 2cos 2sin xcosxs^x cos 4x dx1 2 x e 2d (ta n x) 2 tan 2x dx1 cos2xsin 2x 」12 dx 21 cos 2x2 1 cos 2x--arctancos2x C .2 d(cos2x)sin x(1 - sin x) 1^d_(rx)(1g 2, 心n x —sin x , dx 2 dx cos x2 2=secx tanxdx - tan xdx =secx - (sec x -1)dx =secx - tan x x C .「1「(13) sin 4xcos2xdx (si n6x si n2x)dx‘ 2 '1 1cos6x cos2x C . 12 4注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幕指数，简称降幕法.是常用的积分方法., . 1 , 1 X+1dx 2 dx arctan C .'(X +1)2+4 2 2 .2xJ 2x、d(e x)二e (1 e ).x+ C . xln x1，所以 x(x 1)dx 二一 [ln(1 x) - ln x] —dxx x 1二-[ln(1 x) —In x]d[ln(1 x) — In x]1 2[ln(1 x) - Inx]2 C .11X\評一R d(e)*例4 计算下列不定积分：(1) 1 I n x * 2 dx ； (xl nx)2(2) (3)2x3x2 3 -dx ； 9x -4x(4)(5) f cos2x . dx ;1 sin xcosx (6)(7)In(x 、1 x 2) 5dx .dx；因为(xln x) =1 In x ，所以1y d(xln x)二丄卫4dx =(xlnx) (xlnx) 因为[In(1 x) -In x] 1 + x x(2) ln(1 x) -Inx(14)(15) e x (1 e 2x ) dX=—e J x解(1) 4X In tan x , dx ; sinxcosx x 21 -arctane x C .ln(1x)T nxdx ； x(x 1)2dx =—lnIn(x 、1 x 2) 5‘ 岚 dx=In(x .1 x 2) 5d [In(x .1 x 2) 5]2-------- 3[In(x J x 2) 5]2 C .32 •第二换元积分法设.f[ (t)p ：(t)dt = F(t) C ，则.f(x)dx x _ (t) f[ :(t)]「(t)dt =F(t) (t_(x)F( :*(x)) C .(3) dxIn 2 -In 312x31- 2x3In 3x - 2x x2(1 n2—I n3) 3x —2(4)1因为(In tan x) ，所以sin xcosx (5)(6) ln tan x dx = In tan xd (In tan x) =1In 2 tan xC . sin xcosx 2 因为(1 • sin xcosx) = cos2x ，所以 1dx d(1 sin xcosx) 1 sin xcosx二In(1 sinxcosx) C .x 2，得cos2x 1 sin xcosx 被积函数的分子、分母同除以1+2xdx 二 丄 x 2x 2tdx 1x 4x 2「1辛d x_x(7) 因为 1x -— ___ x + C 石C _ 1【2 [ln(x .1 x 2) 5]"二^1一，所以arctan〜1 arctan x _1 C . 2 2x 1 x 2C1 ln 2注(1 )当被积函数中含有根式时， 一般要通过适当换元， 去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用•常见的代换有：① 含有形如nax b 的根式时，作代换nax b = t ；② 含有形如.a 2-x 2、- a 2x 2、. x 2-a 2( a 0 )的根式时，分 别作三角代换： x=asi nt , x =ata nt , x=ased ；(2)当被积函数中分母关于 x 的次数比分子关于 x 的次数至少大1时,=2ln( 1 -1) -x C •(3)设、1 ln x =t ，则 ln x 二 t 2-1, x lnx_ dx =2 (t 2 -1)dt =?t 3 -2t C x .1 In x 3(1 ln x)仪 1 In x - 2 1 In x C 3(In x -2) 1 In x C . 3(4)设 x =atant ，贝U dx =asec 2tdt ，于是(21 2、2dx V .coftdt 二 1 (x a ) a1可考虑倒代换：x =-；当被积函数为a x 所构成的代数式时，可考虑指数代换: 计算下列不定积分：arctan 、x . dx ;.x(1 x) (3) 例5 (1) (2) (3)(5)dx;x . 1 ln x ：~2 2.a ■ ■ xdx (a 0)(4) f ———dx; e x1 r 1 」 J l2 , _2、2 dx ( aA 0)； (x a )「Jx 2_9 ddx • x(1) 曰疋设 ardan x = t ,贝 V x =tan t , 2 2x 二 ta n t , dx 二 2ta nt(2)arctan x 2dx 二 2tdt =t C x(1 x)________ QX设、e x 1 二 t ，则 x =1 n(t 2「1), dx2——2二(arctan 、x) C •dt ，于是.e x1dx =2 J dt =ln't 2 —12 2=e , dx 二 2te t 'dt ，于 3t -sin2t C • 2a 3C =C由 x =atant 得x 2ta nt 2axt 二 arctan — , sin 2t 2 22，a 1 ta n t x a 所以 2 12 2 dx 厶 arctan 「2" 2 C - '(x 2+a 22 2a‘I a x 2+a 2 丿 (5)设 x =asint ，贝U dx 二 acostdt ，于是(6)设 x =3sect ，则 dx =3secttantdt ，于是=In I sect tant I -sint C 1 .由 x =3sect 得x 叫X -9 Jx 2-9 sect tan t = -- ——，sin t = -----3 3 x十… —9 x Jx 2 -9 < x 2 —9 所以］ ------ 2—dx =ln + ------- +C 1x 3 3 x=lnx + Jx 2 - 9— Jx 2、.x例6计算下列不定积分:由于 2 2 -X~4 x cott=cost sin t dx a 2 j a 2. cos t ~47 sin t cot 21 csc 2tdtcot 2td(cott)二 3acot 31 C .「si n 2t sint所以x 4dx(a 2 x 2)、. a 23a 2x(1)dxx 2 ” x 2 a 2(2) 『 dxx(x 7 2) (3)x 1 dx ； x 2 .. x 2 -1(5) 2x dx 1 2x 4x解(1)令x 彳， 则dx(4)p dx」 x 〃丄 2x\e (1 e )-gdt于是x 2 -9 dx tan 21sectdt = (sect -cost)dtdx x 2 . x 2 a 2dt1 a 2t 2(2) dx x(x 72)(3)(4) 2a 2…1 a 2t 2d(1 a 2t 2)1 a 2t 2C2 ax =1 t t 6 1 2t 7 dt1 1一汕1M C r ln|令e xdxx2x.e (1 e )(5)令 2x2xdx dx —a 2x17d(1 2t 7)14 1 2t 71 x7 21 2ln___ dt 1 -t 21j-t 2dt 2 j_t.X 2-1 1 "-arcs in — x xd(1 -t 2) --arcsint ,1 -t 2C1t ，则 dx dtt 2(1 t 2) t 2 亠dt1 t 21arcta nt C = t-xx—e -arctane则dx — ln2 1dtt 1 2x 4x ln21 t t2 dtIn 2 1 arcta n例7计算下列不定积分:1(1) -------- dx ；x(1 +J x)(3)dx；In 2t4——dt 3 4 (2)(4)arcta n2x1 1C .x 1 2 dx； x — X,x(x 1) dx . • x x 1二x -x 2- arcsin(2x -1) C .2[ dx = ((x 2+x 唧x 2—1)dx = [x 2dx 十[x 寸x 2—1dxx —、x 2—11= gx3 1(X 2 -1)2d(x 2-1)32Jx 3」(x 2 —1)。
第四章 不定积分内容：不定积分的概念和性质、换元积分法、分部积分法、几种特殊类型函数的积分、简单无理函数的积分、积分表的使用。
要求：理解不定积分的概念和性质，掌握不定积分的基本公式、换积分法和分部积分法，理解有理函数的积分，了解简单无理函数的积分重点：不定积分的概念和性质；不定积分的基本公式；换元积分法、分部积分法、 难点：凑微分、三角代换法、分部积分法到目前为止，我们已经学会了对函数作如下运算：四则、复合、求导. 在四则运算中, 加减法互为逆运算, 积商也互为逆运算; 我们能将简单函数复合, 也能将复合函数分解. 于是, 我们自然会想到这点: 既然我们能求得任一函数的导数, 我们当然也想知道谁的导数是一个任意给定的函数呢? 即研究求导的逆运算.例: 对于变速直线运动, 若已知位移函数)(t s s =, 则即时速度)(t s v '=, 反之, 若已知)(t v v =, 能否求得位移函数?§1. 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1. 原函数定义: 设)(),(x F x f 在区间I 上有定义, 若∀x ∈I, 有)()(x f x F =' (或dx x f x dF )()(=)则称)(x F 为)(x f 在I 上的原函数.例: -sinx 是cosx 的原函数, x ln 是x1的原函数. 我们自然会提出三个问题:(1) 是不是任一函数都有有原函数. (2) 一个函数的原函数是否唯一.(3) 若不唯一, 不同的原函数间的关系. 逐一回答:(1) 定理: 若)(x f 在I 上连续, 则存在)(x F , 使得)()(x f x F ='. (2) 常数的导数为0. 若)()(x f x F =', 则())()(x f C x F ='+. (3) 若)()()(x G x f x F '==', 则()0)()(='-x F x G . 回忆中值定理得到的重要结果, 可得:Cx F x G Cx F x G +==-)()()()(综合(2), (3), 得出结论: 若)(x F 是)(x f 的一个原函数, 则 1°所有的)(x F +C 也是)(x f 的原函数. 2°)(x f 的任一原函数也写成)(x F +C.即})({C x F +(C 为任意常数)是)(x f 的所有原函数的集合. 命名之. 2. 不定积分定义: 函数)(x f 的全体原函数称为)(x f 的不定积分, 记作⎰dx x f )(.若)()(x f x F =', 则⎰dx x f )(=)(x F +C.⎰: 积分符号; )(x f 被积函数; dx x f )(被积表达式;x : 积分变量; C: 积分常量. 例1.C x xdx C x dx x +=+=⎰⎰sin cos ,4143例2. 证明:C x dx x +=⎰ln 1.证一: ⎩⎨⎧<->=0)ln(0ln ln x x x xx()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0101ln x xx x x证二: 2ln ln x x =为简便, 记C x dx +=⎰ln 1.(曲线族中任意一条曲线都可由另一条曲线经过上下平移而得到, 表现在图形上, 即: 所有平行于y 轴的虚线被相同的两条积分曲线所截得的长度都相同.)3. 不定积分与导数、微分的关系()()Cx F x dF C x F dx x F dxx f dx x f dx f dx x f +=+='=='⎰⎰⎰⎰)()(,)()()2()()(),()()1(不定积分与导数、微分互为逆运算. 注2: 导数是一个函数, 不定积分是一族函数.二、基本积分公式由导数公式，可直接得出积分公式Caa dx a C e dx e C x xdx x C x xdx x C x xdx dx x C x xdx dx x Cx xdx C x xdx Cx dx x Cx dx x Cx dx x C x dx x C kx kdx xxx x +=+=+-=⋅+=⋅+-==+==+-=+=+=-+=++=-≠++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln )13()12(csc cot csc )11(sec tan sec )10(cot csc sin 1)9(tan sec cos 1)8(cos sin )7(sin cos )6(arcsin 11)5(arctan 11)4(ln 1)3()1(11)2()1(2222221μμμμ三、不定积分的运算法则[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰±±±=±±±=dxx f dx x f dx x f dx x f x f x f dxx f k dx x kf n n )()()()()()()2()()()1(2121.例1.⎰⎰+--+dxx x xdxx e x )213114()2()cos 52()1(2 例2.()⎰⎰-=dx x xdx 1sec tan22例3. ⎰⎰+-+=+dt t t dt t t 22221111例4. ⎰⎰+=dt xx x x dt x x 222222cos sin cos sin cos sin 1§2. 换元积分法积分的许多方法都是来源于求导（微分）公式，凑微分法来源于复合函数求导公式，或者说是一阶微分形式不变性.一、第一类换元法（凑微分法）(){}()⎰⎰⎰=='=='⇒'=⋅'=+='⇒'⋅='⋅='⋅'='duu f dx x x f du u F dx x F x F d C x F dx x x f x x f u u f u u F x F x u x x u f u F xx u x)()()]([)()]([)]([)]([()()]([)()]([)()()]([)()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ定理 设)(u f 有原函数，)(x u ϕ=可导，则)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='此定理的实质是将对变量x 的积分转化为对x 的函数)(x ϕ的积分.1. b ax x +=)(ϕ例1.⎰xdx 2sin 2不能对⎰xdx 2sin 直接积分, 但若令u=2x, 则可对⎰udu sin 直接积分, 只需将原积分中的“dx ”转化为“du ”即“d(2x)”.Cx C u udu x xd xdx xu +-=+-===⎰⎰⎰=2cos cos sin )2(2sin 2sin 22 熟练后可省略例2. []⎰⎰⋅++=+21)12()12sin()12sin(x d x dx x 例3. ⎰-dx x 100)45(, ⎰-dx x 23)45(若是二或三次方, 或许可以考虑二项展开, 但对于100次或是非正整数次方显然不适用.例4.⎰⎰+→+dx x dx x a 222111例5.⎰⎰-→-dx xdx xa 222111一般地, ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f . 2.b ax x +=2)(ϕ例6. ⎰dx xe x 22 例7.⎰-dx x a x2一般地,⎰⎰++=+)()(21)(222b ax d b ax f adx b ax xf . 利用1111+++=μμμμdx x dx x , 我们常用的凑微分法有: ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅xd f dx x fxd f dx x f dx f dx f x 2131232例8.⎰dx x x 1tan 122例9.⎰dx xe x33. 其它类型例10. ⎰⎰=dx xxxdx cos sin tan , ⎰xdx cot 例11.⎰+dx x x 21arctan把对x 积分转化为对)(x ϕ积分，即)()(x d f dx f x ϕϕ⋅→⋅'，这实际上也是一个积分过程，只是这个积分较为直接明了，因此，所有积分公式都可以被考虑用于凑微分.如:⎰⎰⋅=⋅x d f dx f x ln 14. 综合性凑微分(先变形, 再凑) ① 代数变形例12. ⎰-dx x x2例13. C ax ax a dx x a C a x ax a dx a x +-+=-++-=-⎰⎰ln 211,ln 2112222例14.⎰⎰++=++dx x dx x x 2)3(1116122例15.⎰⎰-+=--dx x x dx x x )1)(3(12312总之: ⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctanln12不可分解因式可分解因式dx c bx ax 例16.⎰⎰+-=--dx x dx xx 22)1(21211例17．⎰⎰+=dx x xdx 212cos cos 2例18. C x x x dx x xdx +++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰832sin 414sin 321212cos cos 24例19. ⎰⎰--=x d x xdx cos )cos 1(sin 23例20. ⎰⎰--=x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin2223例21.⎰⎰+=dx xx xdx x 22sin 8sin 3cos 5sin总结之:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222例22.⎰xdx csc()Cx x xx C x x C x x C x x x d x dx xx dx x xdx ++-=+-=+-+-=+-+-=++-=--===⎰⎰⎰⎰)cot ln(csc sin cos 1ln cos 1cos 1ln 21cos 1cos 1ln 211cos 1cos ln 21cos cos 11sin sin sin 1csc 2222 Cx x xdx C x x xdx ++-=++=⎰⎰)cot ln(csc csc )tan ln(sec sec 总结: 三角函数微分、积分公式记忆： (1) 弦函数↔ 弦函数; 切函数↔ 割函数 (2) 正函数→ 正号; 余函数→ 负号例23.⎰⎰⎰-=--=+dx x xdx x x dx x 22cos sin 1sin 1sin 1sin 11在积分过程中, 分母中的正减号是积分的障碍.二、第二类换元法（变量置换法）定理 设)(t x ψ=是单调且可导的函数，0)(≠'t ψ. 又设)()]([)(t t f t g ψψ'=有原函数, 则[]⎰⎰-='=)(1)()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ.事实上:[]C t G dt t g dt t t f t d t f dxx f x t t x +=='=⋅=⎰⎰⎰⎰-==)()(1)()()()]([)]([)]([)(ψψψψψψ第二类换元的实质是将f (x )复杂式变简单或将明显不可积变为可积. 1. 三角代换例1.⎰+dx x 112Ct t tdt t t d t dxx t x ++=⋅==+⎰⎰⎰=)tan ln(sec sec sec 1)(tan sec 1112tan 2不定积分是被积变量的函数, 故需写成x 的函数. 而用反函数代入的方法显然很繁琐.1tan tan x t t x =⇒=, 即在直角三角形中, t 是一个锐角, x 是其对边, 1是其邻边.⎰⎰+++=++++=++==C x a x dx a x C x x dx x x t t )ln(1)1ln(1111cos 1sec 2222222例2.⎰-dx ax 221xCa x x C aa x a x C t t tdtt t t a d t a dxax xa t ta x +-+=+-+=++=⋅==-==⎰⎰⎰)ln()ln()tan ln(sec tan sec tan 1)sec (tan 12222cos sec 22积分公式:⎰++±=±C x a x dx a x )ln(12222例3．⎰-dx x a 2C ax a a x a x a C t t t a dt t a tdtat td adx x a ax t t a x +-⋅+=++=+===-⎰⎰⎰⎰==)(arcsin 2)cos sin (2)2cos 1(2cossin cos 22222222sin sin 2三角代换的实质：用六角形公式消去根式(或分母)中平方和、平方差.2. 根式代换例4.⎰++dx x 1211Cx x C t t dt t t t d t dxx t x t x +++-+=++-=+-+=-+=++⎰⎰⎰=+-=)121ln(12)1ln(11121111211212212例5.⎰+xx dx)1(322a x -xCt t dt t t dt t t xx t x tx +-=+-+=+=+⎰⎰⎰==arctan 661116)1(1)1(22632366例3.dx xx⎰-+11 （选讲、习题课） 法一：()dt t t t td t xxt t x ⎰⎰+=+-==-++-=2222111114)121(22 法二：()⎰⎰⎰⎰⎰+=--=-=--=--==dt t dt tt dt t t dx x x dx x x t x )sin 1(sin 1sin 1sin 1cos 111122sin 222法三：()()⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+=2222221121111111x d x dx xdx xx dx x x§3.分部积分法由导数的乘法公式:())()()()()()(x g x f x g x f x g x f '+'=',可知)()(x g x f 是)()()()(x g x f x g x f '+'的一个原函数,即[])()()()()()()()()()()()()()()()()()(x df x g x g x f x dg x f dx x g x f x g x f dx x g x f C x g x f dx x g x f x g x f ⎰⎰⎰⎰⎰-=⇔'-='⇒+='+' 其实质是将被积函数看作两个函数的乘积,将其中一个函数先凑到d 的后面(做一部分积分),从而变形为求另一个函数的积分.简言之,将被积表达式写成d 前面一部分,d 后面一部分,再交换前后两部分的位置.分部积分公式:⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u 例1.⎰xdx x sinx,sinx 都可以放到d 的后面去,但是,变形后的结果截然不同:前者变形为求⎰xdx xsin 2,后者变形为求⎰xdx cos ,显然选择后者.注: 选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则: (1)v 明显可求(2)简单比v u u v ''(即新得到的积分比原积分简单) 例2.⎰dx xe x例3. ⎰dx e x x 2例4.⎰xdx x ln 2例5. ⎰xdx ln , ⎰xdx 2ln例6. ⎰xdx arcsin例7. ⎰xdx e xsin例8. ⎰=xdx x I sec tan 2(选讲)⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==⋅==xdxI x x xdx x x x xdx x x x xd x x xxd xdx x x xdxx I sec sec tan sec )1(tan sec tan sec sec tan tan sec sec tan sec tan sec tan tan sec tan 232 注2.分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx x ax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e ax ax ax ax cos sin sin cos cos sin cos sin )3(\例9.⎰dx ex例10. dx xexdx e xx⎰⎰-=22cos 1sin 2例11. dx xe dx x e xx ⎰⎰=22sin cos sin 例12. ()dx x x xdx x ⎰⎰-=1sec tan 22 例13. ⎰=dx x I )sin(ln例14.⎰+++dx xx x 221)11ln(不定积分小结一积分公式(分类分组) 1．幂函数类⎪⎩⎪⎨⎧-≠⎰⎰dx xdx x 11(μμ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+⎰⎰dx ax dx ax 222211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-⎰⎰dx a x dx x a 222211 2．指数函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰dx a dxe xx3．三角函数类⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx cos sin⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x s e c t a n⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x d x c s c c o t⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰xdx xdx 22csc sec⎪⎩⎪⎨⎧⎰⎰x d x x x d x x c s c c o t s e c t a n 二、凑微分法)()()()]([)()]([x u duu f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='常用的凑微分法有:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+⋅=⋅xd f dx x fx d f dx x f dx f dx f x dx f dx xf b ax d f a dx f 213121)(12322⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅=⋅xxdef dx f e x d f dx f x x d f dx xfcos sin ln 二、变量置换法[])()(1)()]([)]([)]([)(x t t x dt t t f t d t f dx x f -==⎰⎰⎰'=⋅=ψψψψψψ 常用代换:1. 三角代换⎰⎰⎰⎰⎰⎰====-=+=-tdtt t a f a dx a x f tdtt a f a dx x a f tdtt a f a dx x a f ta x ta x ta x tan sec )tan ()(sec )sec ()(cos )cos ()(22sec 22222tan 2222sin 222. 根式代换⎰⎰--=+=⋅=++dt t t t f anmdxb ax b ax f nm n m ab tx b ax t mn nmnm 1),(),( 三、分部积分法⎰⎰⎰⎰'-=-=='dx u v uv vdu uv udv dx v u分部积分法主要类型:dxe ax ax x e ax ax d x dxe ax ax x ax n ax n ax n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎰⎰⎰-sin cos sin cos cos sin )1(1\函数类型不变求导后积分后降次求导dx xax ax x n ⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅ 类型趋同求导后类型不变积分后ln arctan arcsin )2(dx x d x ax ax n ⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→+幂函数1ln arctan arcsin方程二次分部积分函数类型不变求导后积分→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⎰⎰⎰⎰dx bx bx e dx bx bx e e d bx bx dxbx bx e axax ax axcos sin sin cos cos sin cos sin )3(\ 注2:有些函数经过变形、代换后成为上述类型.注3:选择u,v(d 前函数,d 后函数)的原则:留在d 前的函数求导后变易, 进入d 的函数积分后不变难.四、特殊函数积分归类 归类1:⎰⎪⎩⎪⎨⎧→→→++arctan ln 12平方和平方差dx c bx ax 归类2:⎰⎩⎨⎧→<→>→++arcsin 0012a a dx c bx ax 三角代换 归类3:⎰⎰⎰→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++积分化和差公式平方和公式并换元倍角公式降次dx Bx Ax Bx Ax Bx Ax dx x x dx x x n n n ncos cos sin sin cos sin )3(cos sin )2(cos sin )1(121222 归类4：有理函数.。
第四章 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定积分的性质。
2．熟记基本不定积分公式。
3．掌握不定积分的第一类换元法(“凑”微分法)，第二类换元法(限于三角换元与一些简单的根式换元)。
4．掌握不定积分的分部积分法。
5．会求一些简单的有理函数的不定积分。
【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数． 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线． 4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()kf x dx k f x dx =⎰⎰．5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x dx F x C '=+⎰ 或 ()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-） 3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰ 9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．x x e dx e C =+⎰ 13．ln xxa a dx C a =+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰ *16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰ *18．2211arctan x dx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x a dx C x a a x a-=+-+⎰ *20．arcsin x C a =+ *21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++ 说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠） （2）11()1a a x dx d xb a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-） 2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()x x x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xx x a dx d a d a b a a ==+ （6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+（7）cos (sin )(sin )xdxd x d x b ==+ （8）2sec (tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc (cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+ （11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则 1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰ ．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1sin x a t =；（2tan x a t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得 ()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得 uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ． 2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）．（3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ， 由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分．1．2x xe dx ⎰． 解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰． 2．21x dx x +⎰． 解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰． 3．221(1)x x dx x x +++⎰． 解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x+++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰ arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰． 解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰． 5．1ln dx x x ⎰． 解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )sec sec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰tan sec x x C =-+． 7．2sin xdx ⎰．解： 21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰ 11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解： 21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰ 11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰．10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰． 11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰ 1(1)ln(1)1x x x dx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰． 解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰． 13．25sin cos x xdx ⎰． 解： 原式2242sin cos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰ 246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰． 解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰． 【例4-2】计算下列不定积分．1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰． 2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰． 解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln x t =，则t x e =，t dx e dt =，故 原式2222111()222t t tt t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x x te e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+． 4．arctan x xdx ⎰． 解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x=-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++． 5．ln xdx ⎰． 解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x =-=-⋅=-+⎰⎰⎰． 6．arctan xdx ⎰． 解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰2221(1)1arctan arctan ln(1)212d x x x x x x C x +=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x x e d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰ sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xx e xdx e x x C =++⎰． 8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰． 说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰sin cos ()sin cos (sin )t t t t t e t td e e t e t e t dt =-=-+-⎰⎰，故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t te t e t C x x x x C =-+=-+．【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--， 其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++， 则 22(1)()(21)x A x x Bx C x +=+++++， 即22(2)(2)x A B x A B C x A C +=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．⎰．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln1C=-+++．【例4-4】设()arcsinxf x dx x C=+⎰，求1()dxf x⎰．解：对等式()arcsinxf x dx x C=+⎰两边对x求导，可得()xf x=，则()f x=，故211()(1)()2dx xf x==--⎰⎰332222121()(1)(1)233x C x C=-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x的一个原函数，求()xf x dx'⎰．解：因为sin xx是()f x的一个原函数，所以2sin cos sin()()x x x xf xx x-'==且sin()xf x dx Cx=+⎰，故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x x xf x dx xdf x xf x f x dx x Cx x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin2sincosx x x x xC x Cx x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（）（A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（ ） （A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '=变为()f t '=对x取不定积分得，()f t C ==+⎰，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx eC --=+⎰，则()f x =（ ）（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx eC--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x e e x --=⋅，故21()f x x=．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（ ）（A ）tan lnsin x x x c -+ （B ）tan lnsin x x x c ++（C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰ ．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰． 解：由题意，()xf x e-=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰． 三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x--=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分⎰．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan 222x x d dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan2xt=，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下． 因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。
