最短路径问题归纳总结
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八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）
中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】
【问题1】 作法 图形 原理
在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．
连AB ，与l 交点即为P ．
两点之间线段最短． P A +PB 最小值为AB ． 【问题2】“将军饮马” 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．
作B 关于l 的对称点B ＇
连A B ＇，与l 交点即为
P ．
两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇
． 【问题3】 作法
图形
原理
在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．
分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇
P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．
两点之间线段最短．
PM +MN +PN 的最小值为
线段P ＇P ＇＇的长．
【问题4】 作法
图形
原理
在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．
分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．
两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．
【问题5】“造桥选址” 作法 图形 原理
l
A l
l A l
l 2
l 2
l
2
l 2
直线m ∥n ，在m 、n ，上分别求点M 、N ，使MN
⊥
m
，且
AM +MN +BN 的值最小．
将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．
两点之间线段最短．
AM +MN +BN 的最小值为 A ＇B +MN ．
【问题6】 作法
图形
原理
在直线l 上求两点M 、N （M 在左），使a MN =，并使AM +MN +NB 的值最小．
将点A 向右平移a 个长
度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇， 连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将
N 点向左平移a 个单位
得M ．
两点之间线段最短． AM +MN +BN 的最小值为 A ＇＇B +MN ．
【问题7】 作法
图形
原理
在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使P A +AB 值最小．
作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ．
点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段
P ＇B 的长．
【问题8】 作法
图形
原理
A 为1l 上一定点，
B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．
作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．
两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值
为线段A ＇B ＇的长．
【问题9】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使
PB PA -的值最小．
连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．
垂直平分上的点到线段
两端点的距离相等．
PB PA -＝0．
m n
l
a m
n
A
l
l
2l
2
l 2
l 2
l
A
l
【问题10】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作直线AB ，与直线l 的
交点即为P ．
三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤
AB ．
PB PA -的最大值＝
AB ．
【问题11】 作法
图形 原理
在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．
作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点
即为P ．
三角形任意两边之差小
于第三边．PB PA -≤
AB ＇．
PB PA -最大值＝AB ＇．
【问题12】“费马点” 作法
图形 原理
△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△
ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为
所求．
两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝
CD ．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角
线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A ．23
B ．6
C ．3
D 6
2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2
B ．32
C ．32+
D ．4
l
A
l
A
B
l A
l
P
A
B'
B
P
D
A
A
D
E
P
B C
3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）
A ．120°
B ．130°
C ．110°
D ．140°
4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．
5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），
且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．
6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）
7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．
OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．
D
E
A
B
C
D A
C
M
A
B
M
N
8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，
此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．
9．已知A （1，1）、B （4，2）．
（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；
（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；
（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；
10．点C 为∠AOB 内一点．
（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．
图①
12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
