数字滤波器的频率响应函数
- 格式:pptx
- 大小:800.94 KB
- 文档页数:40
实验四 IIR 数字滤波器的设计及网络结构一、实验目的1.了解IIR 数字滤波器的网络结构。
2.掌握模拟滤波器、IIR 数字滤波器的设计原理和步骤。
3.学习编写数字滤波器的设计程序的方法。
二、实验内容数字滤波器:是数字信号处理技术的重要内容。
它的主要功能是对数字信号进行处理,保留数字信号中的有用成分,去除信号中的无用成分。
1.数字滤波器的分类滤波器的种类很多,分类方法也不同。
(1)按处理的信号划分:模拟滤波器、数字滤波器 (2)按频域特性划分;低通、高通、带通、带阻。
(3)按时域特性划分:FIR 、IIR2.IIR 数字滤波器的传递函数及特点数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置。
它的输入和输出均为离散的数字信号,借助数字器件或一定的数值计算方法,对输入信号进行处理,改变输入信号的波形或频谱,达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的。
如果加上A/D 、D/A 转换,则可以用于处理模拟信号。
设IIR 滤波器的输入序列为x(n),则IIR 滤波器的输入序列x(n)与输出序列y(n)之间的关系可以用下面的方程式表示:1()()()M Ni j i j y n b x n i a y n j ===-+-∑∑(5-1)其中,j a 和i b 是滤波器的系数,其中j a 中至少有一个非零。
与之相对应的差分方程为:10111....()()()1....MM NN b b z b z Y z H Z X z a z a z ----++==++ (5-2)由传递函数可以发现无限长单位冲激响应滤波器有如下特点: (1) 单位冲激响应h(n)是无限长的。
(2) 系统传递函数H(z)在有限z 平面上有极点存在。
(3) 结构上存在着输出到输入的反馈,也就是结构上是递归型的。
3.IIR 滤波器的结构IIR 滤波器包括直接型、级联型和并联型三种结构:① 直接型:优点是简单、直观。
但由于系数bm 、a k 与零、极点对应关系不明显,一个bm 或a k 的改变会影响H(z)所有零点或极点的分布,所以一方面,bm 、a k 对滤波器性能的控制关系不直接,调整困难;另一方面,零、极点分布对系数变化的灵敏度高,对有限字长效应敏感,易引起不稳定现象和较大误差。
fir数字滤波器是的幅频
数字滤波器是一种用数字信号处理技术实现的滤波器,它可以对数字信号进行滤波处理,以实现信号的去噪、平滑、频率选择等功能。
数字滤波器的特性包括幅频响应、相频响应和群延迟等。
幅频响应(magnitude-frequency response)是指数字滤波器对不同频率信号的幅度响应特性。
在频域中,幅频响应描述了滤波器对不同频率成分的衰减或增益程度,从而揭示了滤波器在不同频率下的频率特性。
幅频响应可以帮助我们理解数字滤波器对信号的频率成分的处理方式,进而指导我们选择合适的滤波器类型和参数设置。
数字滤波器的幅频响应通常以图形的方式呈现,可以是幅度-频率曲线或者幅度-频率图。
通过分析幅频响应,我们可以了解数字滤波器在不同频率下的频率特性,包括通频带、阻频带、通带波纹、阻带衰减等参数,从而评估滤波器对信号的处理效果。
总之,幅频响应是数字滤波器的重要特性之一,它描述了滤波器对不同频率信号的幅度响应特性,对于理解和设计数字滤波器都具有重要意义。
南华大学电气工程学院《数字信号处理课程设计》任务书设计题目: Hilbert变换滤波器的实现专业:学生姓名: 学号:起迄日期: 2012年12月28日—2013年1月14日指导教师:南华大学课程设计《数字信号处理课程设计》任务书1.课程设计的内容和要求(包括原始数据、技术要求、工作要求等): 1.设计内容:根据自己在班里的学号0207(最后两位)查表一得到一个四位数1301,由该四位数索引表二确定待设计数字滤波器的类型:Hilbert变换滤波器;滤波器设计方法:等波纹FIR。
2. 滤波器的设计指标:δ≤ 0.05 ;(1)通带波纹1(2)阻带波纹2δ≤ 0.05 ;(3)过渡带宽度= 0.014π rad ;(4)滚降 =5.6 dB ;其中,错误!未找到引用源。
为学号的最后两位,故i=7d3. 滤波器的初始设计通过手工计算完成;4. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响(至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析);5. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响;6. 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表;7. 课程设计结束时提交设计说明书。
基于FPGA的新一代太阳能热水器水位水温智能测控仪设计2.对课程设计成果的要求〔包括图表(或实物)等硬件要求〕:滤波器的初始设计通过手工计算完成;在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响(至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析);在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响;以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表;课程设计结束时提交设计说明书。
3.主要参考文献:[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安:西安电子科技大学出版社,2008.8[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京:电子工业出版社,2004.12[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京:电子工业出版社,2010.6[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京:电子工业出版社,2005.3[5]胡广书.《数字信号处理—理论、算法与实现》北京:清华大学出版社,2006 4.课程设计工作进度计划:序号起迄日期工作内容接到题目,搜集资料1 2012.12.28-2013.12.31整理资料,构思设计方案2 2013.1.1-2013.1.2手工计算进行滤波器的初步设计3 2013.1.3-2013.1.5完善初步设计,学习Matlab软件操作4 2013.1.6-2013.1.7通过Matlab软件分析设计内容,逐步落实课题目标5 2013.1.8-2013.1.10上交课程设计,并做细节修改并完成设计6 2013.1.11-2013.1.14主指导教师日期:年月日南华大学课程设计摘要本设计介绍了FIR滤波器的设计思想与步骤,通过建立滤波器模型利用MATLAB软件进行仿真,在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构和参数的字长对其性能指标的影响。
物理与电子信息工程学院实验报告实验课程名称:数字信号处理实验名称:FIR数字滤波器设计与软件实现班级:1012341姓名:严娅学号:101234153成绩:_______实验时间:2012年12月20 日一、实验目的(1)掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。
(2)掌握用等波纹最佳逼近法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。
(3)掌握FIR 滤波器的快速卷积实现原理。
(4)学会调用MATLAB 函数设计与实现FIR 滤波器。
二、实验原理1、用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。
如果所希望的滤波器的理想频率响应函数为 )(ωj d e H ,则其对应的单位脉冲响应为)(n h d =π21ωωωππd e e H j j d )(⎰- (2-1)窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列)(n h 逼近)(n h d 。
由于)(n h d 往往是无限长序列,且是非因果的,所以用窗函数)(n ω将)(n h d 截断,并进行加权处理,得到:)(n h =)(n h d )(n ω (2-2))(n h 就作为实际设计的FIR 数字滤波器的单位脉冲响应序列,其频率响应函数)(ωj d e H 为:)(ωj d e H =∑-=-1)(N n j e n h ω (2-3) 式中,N 为所选窗函数)(n ω的长度。
由第七章可知,用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数)(n ω的类型及窗口长度N 的取值。
设计过程中,要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N 。
各种类型的窗函数可达到的阻带最小衰减和过渡带宽度见第七章。
这样选定窗函数类型和长度N 后,求出单位脉冲响应)(n h =)(n h d ·)(n ω,并按式(2-3)求出)(ωj e H 。
)(ωj e H 是否满足要求,要进行验算。
一般在)(n h 尾部加零使长度满足于2的整数次幂,以便用FFT 计算)(ωj e H 。
《数字信号处理Ⅰ》作业姓名:学号:学院:2012 年春季学期第一章 时域离散信号和时域离散系统月 日一 、判断:1、数字信号处理和模拟信号处理在方法上是一样的。
( )2、如果信号的取值和自变量都离散,则称其为模拟信号。
( )3、如果信号的取值和自变量都离散,则称其为数字信号。
( )4、时域离散信号就是数字信号。
( )5、正弦序列都是周期的。
( )6、序列)n (h )n (x 和的长度分别为N 和M 时,则)n (h )n (x *的长度为N+M 。
( )7、如果离散系统的单位取样响应绝对可和,则该系统稳定。
( )8、若满足采样定理,则理想采样信号的频谱是原模拟信号频谱以s Ω(采样频率)为周期进行周期延拓的结果。
( )9、序列)n (h )n (x 和的元素个数分别为21n n 和,则)n (h )n (x *有(1n n 21-+)个元素。
( )二、选择1、R N (n)和u(n)的关系为( ):A. R N (n)=u(n)-u(n-N)B. R N (n)=u(n)+u(n-N)C. R N (n)=u(n)-u(n-N-1)D. R N (n)=u(n)-u(n-N+1)2、若f(n)和h(n)的长度为别为N 、M ,则f(n)*h(n)的长度为 ( ): A.N+M B.N+M-1 C.N-M D.N-M+13、若模拟信号的频率范围为[0,1kHz],对其采样,则奈奎斯特速率为( ): A.4kHz B. 3kHz C.2kHz D.1kHz4、LTIS 的零状态响应等于激励信号和单位序列响应的( ): A.相乘 B. 相加 C.相减 D.卷积5、线性系统需满足的条件是( ):A.因果性B.稳定性C.齐次性和叠加性D.时不变性 6、系统y(n)=f(n)+2f(n-1)(初始状态为0)是( ): A. 线性时不变系统 B. 非线性时不变系统 C. 线性时变系统 D. 非线性时变系统7、、若模拟信号的频率范围为[0,Fs],对其采样,则奈奎斯特间隔为( ):A.1/4FsB. 1/3FsC.1/2FsD.1/Fs 三、填空题1、连续信号的( )和( )都取连续变量。
绪论单元测试1.数字系统具有很多优点,比如精度高、抗干扰能力强、分辨率高、功能强等A:错B:对答案:B2.离散时域信号英文简称DTSA:错B:对答案:B3.DSP其中的P可代表processor,也可代表processingA:错B:对答案:B4.人口普查信号是:A:CTSB:DSC:DTSD:AS答案:C5.系统按照输入信号的类型可分为:A:CTSB:DTSC:ASD:DS答案:ABCD第一章测试1.离散时间信号可以用序列来表示。
A:对B:错答案:A2.N点的矩形序列可用单位阶跃信号u(n)表示为RN(n)=u(n)-u(n-N)。
A:错B:对答案:B3.线性时不变系统可用它的单位冲激响应来表征。
A:对B:错答案:A4.如果满足抽样定理,则抽样后不会产生频谱混叠,可以重建原信号。
A:对B:错答案:A5.只知道输入的情况下,是不能根据差分方程求解系统输出的。
A:错B:对答案:B6.线性卷积运算反映了LTI系统的输入输出关系,可用于求解LTI系统的输出。
A:对B:错答案:A7.从定义上看,线性卷积运算可分解为换元、反转、移位、乘加四个步骤。
A:错B:对答案:B8.某线性时不变系统当输入x[n]=δ[n]时输出y[n]=δ[n-2],当输入信号为为u[n]时,输出信号为:A:δ[n]B:u[n-2]C:δ[n-2]D:u[n]δ[n-2]答案:B9.要从抽样信号不失真恢复原连续信号,应满足下列条件的哪几条:Ⅰ.原信号为带限;Ⅱ.抽样频率大于两倍信号谱的最高频率;Ⅲ.抽样信号通过理想低通滤波器。
A:Ⅰ、ⅡB:Ⅰ、ⅢC:Ⅱ、ⅢD:Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ答案:D10.单位阶跃序列u(n)的能量为:A:0B:1C:∞D:N答案:C第二章测试1.10点的矩形序列,其DTFT为X(e jw),则X(e j0)为:A:1B:2C:5D:10答案:D2.序列的频谱函数X(e^jw)是w的离散函数,且以2π为周期。
A:对B:错答案:B3.下面哪个序列的傅里叶变换周期是2Π:A:单位采样序列B:矩形序列C:收敛的指数序列D:单位阶跃序列答案:ABCD4.序列的频谱可分为实部谱和虚部谱。
数字信号处理复习总结如果系统函数的分母中除a0外,还有其它的ak不为零,则相应的h(n)将是无限长序列,称这种系统为无限长单位脉冲响应(IIR,InfiniteImpulseResponse)系统。
(2)低通、高通、带通、带阻滤波器注意:数字滤波器(DF)与模拟滤波器(AF)的区别数字滤波器的频率响应都是以2π为周期的,滤波器的低通频带处于2π的整数倍处,而高频频带处于π的奇数倍附近。
2.设计指标描述滤波器的指标通常在频域给出。
数字滤波器的频率响应一般为复函数,通常表示为其中,称为幅频响应,称为相频响应。
对IIR数字滤波器,通常用幅频响应来描述设计指标,而对于线性相位特性的滤波器,一般用FIR滤波器设计实现。
IIR低通滤波器指标描述:——通带截止频率,——阻带截止频率,——通带最大衰减,——阻带最小衰减,——3dB通带截止频率3.设计方法(重点)三步:(1)按照实际需要确定滤波器的性能要求。
(2)用一个因果稳定的系统函数去逼近这个性能要求。
(3)用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。
IIR滤波器常借助模拟滤波器理论来设计数字滤波器,(重点)设计步骤为:先根据所给的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器传递函数Ha(s)( butterworth滤波器设计法等,有封闭公式利用),然后由Ha(s)经变换(脉冲响应不变法或者双线性变换法等)得到所需的数字滤波器的系统函数H(z)。
在变换中,一般要求所得到的数字滤波器频率响应应保留原模拟滤波器频率响应的主要特性。
为此要求:(重点)(1)因果稳定的模拟滤波器必须变成因果稳定的数字滤波器;(2)数字滤波器的频响应模仿模拟滤波器的频响。
6.2 脉冲响应不变法、双线性不变法设计IIR数字低通滤波器设计数字滤波器可以按照技术要求先设计一个模拟低通滤波器,得到模拟低通滤波器的传输函数,再按一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数。
其设计流程如图所示6.1所示。
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列,并分别说明它们z 变换的收敛域。
答:因果序列定义为(n )=0,n<0,例如(n )=,其z 变换收x x )(n u a n ⋅敛域:。
逆因果序列的定义为(n)=0,n>0。
例如(n )=∞≤<-z R x x x ,其z 变换收敛域:()1--n u a n +<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器,它们各有什么特性? 答:1)冲激响应h (n )无限长的系统称为IIR 数字滤波器,例如。
()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y IIR DF 的主要特性:①冲激响应h (n )无限长;②具有反馈支路,存在稳定性问题;③系统函数是一个有理分式,具有极点和零点;④一般为非线性相位。
(2)冲激响应有限长的系统称为FIRDF 。
例如。
()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 其主要特性:①冲激响应有限长;②无反馈支路,不存在稳定性问题;③系统函数为一个多项式,只存在零点;④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列(n )的z 变换X (z )与其傅里叶变换X x 的关系,其DFT 系数X (k )与X (z )的关系。
)(ωj e 答: (1)(n )的z 变与傅里叶变换的关系为x ()()ωωj e Z e X z X j == (2)(n )的DFT 与其z 变换的关系为x ()()K X z X k Nj K New Z ===- 2 π4.设(n )为有限长实序列,其DFT 系数X (k )的模和幅角arg[X (k )]各x )(k X 有什么特点?答:有限长实序列(n )的DFT 之模和幅角具有如下的性质:x ()k x [])(arg k X (1)在0-2之间具有偶对称性质,即)(k X π)()(k N X k X -=(2)具有奇对称性质,即[])(arg k x []()[]k N X k X --=arg )(arg 5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位,其单位取样响应应具有什么特)(n h 性?具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点?答: 要使用FIR 具有线性相位,其h (n )应具有偶对称或奇对称性质,即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列,并分别说明它们z 变换的收敛域。
答:因果序列定义为x (n )=0,n <0,例如x (n )=)(n u a n ⋅,其z 变换收敛域:∞≤<-z R x 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x (n )=()1--n u a n ,其z 变换收敛域:+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器,它们各有什么特性?答: 1)冲激响应h (n )无限长的系统称为IIR 数字滤波器,例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。
IIR DF 的主要特性:①冲激响应h (n )无限长;②具有反馈支路,存在稳定性问题;③系统函数是一个有理分式,具有极点和零点;④一般为非线性相位。
(2)冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。
例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。
其主要特性:①冲激响应有限长;②无反馈支路,不存在稳定性问题;③系统函数为一个多项式,只存在零点;④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列x (n )的z 变换X (z )与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系,其DFT 系数X (k )与X (z )的关系。
答: (1)x (n )的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j == (2)x (n )的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x (n )为有限长实序列,其DFT 系数X (k )的模)(k X 和幅角arg[X (k )]各有什么特点?答:有限长实序列x (n )的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质:(1))(k X 在0-2π之间具有偶对称性质,即)()(k N X k X -=(2)[])(arg k x 具有奇对称性质,即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位,其单位取样响应)(n h 应具有什么特性?具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点?答:要使用FIR具有线性相位,其h(n)应具有偶对称或奇对称性质,即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
MATLAB下的数字信号处理实现示例一信号、系统和系统响应1、理想采样信号序列(1)首先产生信号x(n),0<=n<=50n=0:50; %定义序列的长度是50A=444.128; %设置信号有关的参数a=50*sqrt(2.0)*pi;T=0.001; %采样率w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*n*T).*sin(w0*n*T); %pi是MATLAB定义的π,信号乘可采用“.*”close all %清除已经绘制的x(n)图形subplot(3,1,1);stem(x); %绘制x(n)的图形title(‘理想采样信号序列’);(2)绘制信号x(n)的幅度谱和相位谱k=-25:25;W=(pi/12.5)*k;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n’*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,1,2);stem(magX);title(‘理想采样信号序列的幅度谱’);angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,1,3);stem(angX) ; title (‘理想采样信号序列的相位谱’)(3)改变参数为:1,0734.2,4.0,10==Ω==TAαn=0:50; %定义序列的长度是50A=1; %设置信号有关的参数a=0.4;T=1; %采样率w0=2.0734;x=A*exp(-a*n*T).*sin(w0*n*T); %pi是MATLAB定义的π,信号乘可采用“.*”close all %清除已经绘制的x(n)图形subplot(3,1,1);stem(x); %绘制x(n)的图形title(‘理想采样信号序列’);k=-25:25;W=(pi/12.5)*k;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n’*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,1,2);stem(magX);title(‘理想采样信号序列的幅度谱’);angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,1,3);stem(angX) ; title (‘理想采样信号序列的相位谱’)2、单位脉冲序列在MatLab中,这一函数可以用zeros函数实现:n=1:50; %定义序列的长度是50x=zeros(1,50); %注意:MATLAB中数组下标从1开始x(1)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(x);title(‘单位冲击信号序列’);k=-25:25;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n’*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,1,2);stem(magX);title(‘单位冲击信号的幅度谱’);angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,1,3);stem(ang X) ; title (‘单位冲击信号的相位谱’)3、矩形序列n=1:50x=sign(sign(10-n)+1);close all;subplot(3,1,1);stem(x);title(‘单位冲击信号序列’);k=-25:25;X=x*(exp(-j*pi/25)).^(n’*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,1,2);stem(magX);title(‘单位冲击信号的幅度谱’);angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱su bplot(3,1,3);stem(angX) ; title (‘单位冲击信号的相位谱’)4、特定冲击串:)3()2(5.2)1(5.2)()(−+−+−+=nnnnnxδδδδn=1:50; %定义序列的长度是50x=zeros(1,50); %注意:MATLAB中数组下标从1开始x(1)=1;x(2)=2.5;x(3)=2.5;x(4)=1;close all;subplot(3,1,1);stem(x);title(‘单位冲击信号序列’);k=-25:25;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n’*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,1,2);stem(magX);title(‘单位冲击信号的幅度谱’);angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,1,3);stem(angX) ; title (‘单位冲击信号的相位谱’)5、卷积计算:Σ+∞−∞=−=∗=mmnhmxnhnxny)()()()()(在MATLAB中。
FIR 数字滤波器设计的WLS 方法一、理论推导设理想数字滤波器的频率响应函数为,()()()[)πωωωωϕ,0e ∈=-j H j H (1)其中()ωH 、()ωϕ分别是滤波器的幅频、相频特性。
设FIR 滤波器的单位冲激响应为()1,1,0),(FIR -=N n n h ,其频率响应可表示为,()()∑-=-=10FIR FIR e N n jn n h j H ωω (2)我们的任务是找到合适的)(IIR ⋅h ,使得()ωj H FIR 最大限度地逼近()ωj H 。
我们采用加权均方误差(WLS :Weighted Least-Squares )最小的方法来完成设计任务。
给定加权函数()0≥ωW ,根据(1) (2)式, 定义WLS 函数为,()()()()()()()⎰∑⎰---=-=-=πωϕωπωωωωωωω021FIR 02FIR 2FIR eed H n h W d j H j H We j jn N n (3)显然,2FIR e 的极小值所对应的)(IIR ⋅h 可作为设计结果,这个结果称为加权均方误差意义下的最优结果。
根据数学知识,求2FIR e 的极小值,可以通过使()()1,1,0,0FIR 2FIR -==∂∂N m m h e 而得到。
推到过程如下。
先将(3)用欧拉公式展开,()()()()()()()()()()()ωωϕωωωϕωωωπd H n n h H n n h We N n N n ⎪⎭⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑⎰∑-=-=210FIR 0210FIR 2FIRsin sin cos cos (4)那么,()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[]⎰∑∑∑⎰∑∑⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=⎭⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎪⎭⎪⎬⎫⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂=∂∂-=-=-=-=-=πππωωωϕωωωωωωϕωωωωϕωωωωωϕωωωϕωωω010FIR 10FIR 10FIR 0210FIR 210FIR 0FIR FIR 2FIR cos cos 2sin sin sin cos cos cos 2sin sin cos cos d m H m n n h W d m H n n h m H n n h W d H n n h H n n h W m h m h e N n N n N n N n N n (5)继而,()0FIR 2FIR=∂∂m h e 可写为,()()()()()[]0cos cos 010FIR =⎭⎬⎫⎩⎨⎧---⎰∑-=πωωωϕωωωd m H m n n h W N n (6) 即,()()()()()()[]⎰∑⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππωωωϕωωωωω0100FIR cos cos d m H W d m n W n h N n (7)我们令,()()()⎰-=πωωω0cos ,d n m W n m t (8)()()()()[]⎰-=πωωωϕωω0cos d m H W m s (9)那么(7)式就可以写为,()()()m s n h n m t N n =∑-=1FIR, (10)进一步地,对所有1,1,0-=N m 成立的()0FIR 2FIR =∂∂m h e 的表达式,则可以写成如下的线性方程组,()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---+-+-=--++=--++111,111,100,1111,111,100,1011,011,000,0FIR FIR FIR FIR FIR FIR FIR FIR FIR N s N h N N t h N t h N t s N h N t h t h t s N h N t h t h t(11) 写成矩阵形式,S TH FIR = (12)其中 ,()()()[]TN h h h 110FIR FIR FIR FIR -= H (13)()()()[]TN s s s 110-= S (14)()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1,11,10,11,11,10,11,01,00,0N N t N t N t N t t t N t t tT (15)由线性代数理论知,()()()[]TN h h h 110FIR FIR FIR FIR -= H 的结果应为,S T H -1FIR = (16)二、设计例子:第一类FIR 低通滤波器(N 为奇数)设理想的滤波器频率响应函数为,()[][)⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=--πωωωωωω,0,0e 21s pN j j H (17)定义加权函数为,()[][)⎩⎨⎧∈∈=πωωωωω,,0s spp W W W (18) 根据(8) (9),()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-----=-⋅+⋅=-+-=⎰⎰n m n m n m W n m n m W n m W W d n m W d n m W n m t ss p ps s p p s p sp当当ωωωπωωωωωπωωsin sin cos cos ,0(19) ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≠--⎪⎭⎫⎝⎛---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰212121sin 2121cos 0N m m N m N W N m W d m N W m s p p pp p p当当ωωωωωω (20)将(19)(20)代入(13-16),用MATLAB工具即可得到()1,1,0)(FIR-=Nnnh 。