第六章 频响函数脉冲响应函数

一、问答题(每题8分，共40分)1．在系统特性测量中常用白噪声信号作为输入信号，然后测量系统的输出，并将输出信号的频谱作为系统频率特性。

请用卷积分定理解释这样做的道理。

答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。

在其频谱上是一条直线。

系统频率特性：传递函数的一种特殊情况，是定义在复平面虚轴上的传递函数。

时域卷积分定理：两个时间函数的卷积的频谱等于各个时间函数的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。

频域卷积分定理：两个时间函数的频谱的卷积等效于时域中两个时间函数的乘积。

y(t)=h(t)*x(t),对y(t)作付式变换，转到相应的频域下Y(f)=H(f)X(f)，由于x(t)是白噪声，付式变换转到频域下为一定值，假定X(f)=1，则有Y(f)=H(f)，此时就是传递函数。

2．用1000Hz的采样频率对200Hz的正弦信号和周期三角波信号进行采样，请问两个信号采样后是否产生混叠？为什么？3．什么是能量泄露和栅栏效应？能量泄漏与栅栏效应之间有何关系？能量泄漏：将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X（ω）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。

栅栏效应：对采样信号的频谱,为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算,设数据点数为N = T/dt = T.fs则计算得到的离散频率点为Xs(fi) , fi = i.fs/N , i = 0,1,2,…,N/2。

这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应。

频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。

例如，余弦信号的频谱为线谱。

脉冲响应函数
脉冲响应函数是指一种数学函数，可以用来描述系统如何响应一个脉冲输入，以及该输入如何影响系统的输出。

当任意一个脉冲输入被应用到一个系统时，脉冲响应函数可以用来表示该系统的输出。

脉冲响应函数有多种形式，其中最常见的形式是双曲正弦（hyperbolic sine）函数。

此外，还有一些其他的脉冲响应函数，包括幂函数、双指数函数和正弦函数。

脉冲响应函数在工程领域中有着广泛的应用，其中最常见的应用是滤波，即使用脉冲响应函数来消除信号中的噪声或者干扰。

与滤波相关的另一个应用是控制，即使用脉冲响应函数来控制信号的频率或者其他参数。

脉冲响应函数也可以用于信号检测，即使用脉冲响应函数来计算信号的频率、相位或者其他参数。

此外，脉冲响应函数还被广泛应用于信号处理，包括消除信号中的噪声和干扰，以及改变信号的频率或其他参数。

总之，脉冲响应函数是一种数学函数，可以用来描述系统如何响应一个脉冲输入，以及该输入如何影响系统的输出。

脉冲响应函数在工程领域中有着广泛的应用，包括滤波、控制、信号检测和信号处理等。

脉冲响应函数
脉冲响应函数是一种动态控制系统的重要工具，它对动态控制系统的响应性能有重要影响。

下面就脉冲响应函数进行详细介绍：
一、什么是脉冲响应函数
脉冲响应函数又称冲动响应函数，是指控制系统中给定脉冲输入后，控制系统的输出变化情况，以此来反映控制系统的动态性能。

二、脉冲响应函数对控制系统的重要影响
脉冲响应函数可以准确地反映控制系统的动态特性，可以清楚地表示出系统的调节能力、阻尼情况以及振荡频率等，反映了控制系统是否满足要求。

三、研究脉冲响应函数的方法
（1）模拟方法：模拟技术是研究脉冲响应函数最常用的方法，可以在发生器上给定某一脉冲信号，然后可以测量控制系统的输出信号在时间上的变化，从而形成脉冲响应函数。

（2）数学模型方法：建立控制系统模型，然后用数学方法研究脉冲传
播率，推导出脉冲响应函数。

（3）曲线拟合方法：此方法是以正弦或者多项式拟合的形式表示脉冲响应函数，通过曲线拟合可以得到脉冲响应函数的表示式。

四、研究中的关键要点
（1）建立正确的模型。

（2）优化脉冲响应函数特性。

（3）正确掌握脉冲响应函数在控制系统中的影响。

（4）选择合理的收敛算法来进行脉冲响应函数的计算。

五、总结
脉冲响应函数是控制系统中一种重要的性能指标，能够有助于我们了解一个控制系统的动态行为特点，为控制系统的改进及调试提供有用的参考。

研究脉冲响应函数的主要方法有模拟方法、数学模型方法和曲线拟合方法。

此外，研究脉冲响应函数时，还需要重点关注正确建立模型、优化脉冲响应函数特性、正确掌握脉冲响应函数在控制系统中的影响以及使用合理的收敛算法。

第6章 脉冲响应函数的辨识6.1辨识问题的提法下图所示，、将作用在系统上的一切随机干扰和噪声，用一个作用于系统输出的等效随机干扰源)t (v 来代替。

其中，输入信号)(u t 是过程的运行操作信号，是可以直接观测的确定性变量；)(y u t 是过程的实际输出，是不能被观测到的；y(t)是过程的观测输出，混有随机噪声)t (v 。

由此可以提出辨识问题：在已知输入、输出的观测量)(u t 、y(t)以及f t （f t 可以根据脉冲响应过渡历程时间的先验知识作粗略估计）的情况下，要求估计出脉冲响应函数)(g t 。

下面介绍两种辨识脉冲响应函数的常用方法：相关分析法和最小二乘法。

6.2用相关分析法辨识脉冲响应函数相关函数是基于一种统计的描述，是由输出信号)(y t 同其余变量之间的关系确定脉冲响应函数。

假定噪声)t (v 是一个零均值平稳随机过程，并与)(u t 不相关，且过程是线性时不变的、因果性的系统，过程的未知脉冲响应函数为)(g t ，则过程的输入、输出和脉冲响应函数之间的基本关系如下：⎰∞-=0)()()(y λλλd u t g t u （6.1）⎰+-=ft t v d u t g t 0)()()()(y λλλ (6.2)把变量t 用τ+t 代换，得⎰++-+=+ft t v d t u g t 0)()()()(y τλλτλτ (6.3)由于已经假设)t (v 与输入信号)(u t 不相关，因此对应的相关系数0)(uv =τR ，是可得维纳-霍夫方程。

λλλτd t R g R ft uu )()()(0uy -=⎰ (6.4)若将（6.4）离散化，得到离散型Wiener-Holf 方程：过程g(t))(u t y(t))(y u t )t (v ＋＋∑-=∆-=1)()()(N i uu uy t i k R i g k R (6.5)式中t ∆为)(g t 的采样周期，f t t N =∆；∑-+=-=100)()(1)(M i i i uu i u k i u Mk R (6.6)∑-+=-=100)()(1)(M i i i uy i y k i u Mk R (6.7)M 为足够大的整数，0i 为计算起点。

脉冲响应函数Cholesky1. 概述在信号处理和系统建模中，脉冲响应函数是一个重要的概念。

它描述了系统对突然输入的响应，是系统的重要特征之一。

在实际应用中，我们常常需要利用脉冲响应函数来分析系统的性能和特性。

Cholesky分解则是一种用来求解线性方程组和矩阵求逆的数值方法。

本文将介绍脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。

2. 脉冲响应函数的基本概念脉冲响应函数是描述系统对突然输入的响应的函数。

在信号处理中，我们经常用脉冲响应函数来描述系统对瞬变输入的响应。

在时域中，脉冲响应函数可以用冲激响应来描述，通常用h(t)表示。

在频域中，脉冲响应函数可以用系统的频率响应来表示，通常用H(ω)表示。

3. Cholesky分解的基本原理Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为下三角阵的方法。

对于一个对称正定矩阵A，可以将其分解为A=LL^T，其中L为下三角矩阵。

Cholesky分解的求解过程很简单，可以通过矩阵的迭代求解来实现。

4. 脉冲响应函数与Cholesky分解的关系在实际系统中，我们经常需要利用脉冲响应函数描述系统的响应。

而系统的响应可以通过系统的传递函数来描述。

对于一个线性时不变系统，其传递函数与脉冲响应函数存在一定的关系。

而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。

5. Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用在实际应用中，我们经常需要根据系统的脉冲响应函数来计算系统的传递函数。

而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。

Cholesky分解可以帮助我们快速且准确地求解系统的传递函数，从而进一步分析系统的性能和特性。

6. 结论本文介绍了脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。

在实际系统建模和信号处理中，这两个概念是非常重要的。

通过深入理解脉冲响应函数和Cholesky分解的原理及应用，可以帮助我们更好地分析和优化系统性能，为实际工程应用提供帮助。

阐述脉冲响应函数h(t)与频率响应函数H(jω),与传递函数H(s)的关系。

在信号与系统领域中，脉冲响应函数h(t)、频率响应函数H(jω)和传递函数H(s)都是常见的概念。

它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。

一、脉冲响应函数h(t)的定义和作用脉冲响应函数h(t)是指系统对一个单位脉冲信号的响应。

一般情况下，系统的输出信号可以看作是输入信号与系统脉冲响应函数的卷积积分。

因此，脉冲响应函数是描述线性时不变系统动态特性的一个重要参数。

二、频率响应函数H(jω)的定义和作用频率响应函数H(jω)是指在复平面上，系统传输函数H(s)在s=jω处的取值，其中j表示虚数单位。

频率响应函数描述了系统对不同频率的输入信号的变化，可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。

三、传递函数H(s)的定义和作用传递函数H(s)是指输入信号与响应信号的相对传递函数。

它是描述线性时不变系统动态行为的函数。

系统的传递函数可以通过脉冲响应函数h(t)与拉普拉斯变换相结合得到。

四、脉冲响应函数、频率响应函数与传递函数的关系1. 脉冲响应函数与传递函数的关系在时域中，我们有：h(t) = L^{-1} {H(s)}其中，L^{-1}表示拉普拉斯反变换的运算。

这个式子告诉我们，脉冲响应函数h(t)是由传递函数H(s)与拉普拉斯反变换组合而成。

2. 频率响应函数与传递函数的关系在频域中，我们有：H(jω) = H(s) |_{s=jω}这个式子告诉我们，频率响应函数H(jω)是由传递函数H(s)在s=jω处的取值所组成。

因此，我们可以通过对传递函数H(s)的计算，得到频率响应函数H(jω)的信息。

3. 脉冲响应函数与频率响应函数的关系根据傅里叶变换的性质，可得到：H(jω) = \int_{-\infty}^{+\infty} {h(t) e^{-jωt} dt}这个式子告诉我们，频率响应函数H(jω)可以通过脉冲响应函数h(t)的傅里叶变换来得到。

声学基础：频率响应函数频率响应函数的概念实验模态分析中的频率响应函数 (Frequency Response Function，下称FRF) 是：•基于频率的测量过程；•用于测量结构的共振频率，阻尼和模态振型；•有时称为输入和输出之间的“传递函数”；•表示线性时不变系统的输入 (x) 和输出 (y) 之间的关系。

频率响应函数（FRF）在频率响应函数测量中，可以观察到以下情况：•共振：峰值表示被测结构的固有频率；•阻尼：阻尼与峰的宽度成比例。

峰值越宽，阻尼越大；•模式振型：获取到结构上的公共参考的多个FRF的幅度和相位用于确定模式振型。

实验模态分析中频率响应函数许多类型的输入激励和响应输出可用于计算实验FRF，下面举一些例子：•声学系统：Q（体积加速度）输入和声压输出 (Pa)；•机械系统：输入为力，输出为加速度，速度或者位移；•上述两者的混合系统。

对于机械结构的实验模态分析，通常输入是力，输出是加速度，速度或位移。

输入及测量可以通过：•力锤•激振器输出响应可以通过如下方式测量：•加速度计：测量振动；•激光测振仪：测量物体表面速度。

一般来说，输入力的频谱(X)应该是平坦的，即均匀激励所有频率。

当查看响应(Y)时，响应中的峰值表示被测结构的自然/共振频率。

如下图所示。

因为FRF响应被“归一化”到输入，所以得到的FRF函数中的峰值是测试对象的共振频率。

FRF中的数字信号处理术语在命名法中，FRF通常由单个大写字母H表示。

输入为X 且输出为Y。

H，X和Y都是函数与频率的关系。

FRF是输入(x)和输出(y)的互功率谱(Sxy)除以输入的自功率谱(Sxx)。

自功率谱Sxx 是输入频谱与其自身的复共轭，它成为一个全实数函数，不包含相位。

互功率谱Sxy是输出频谱和输入频谱的复共轭，包含幅度和相位。

评估RFR的质量01计算Coherence相干性是函数与频率的关系，表示输出多少是由FRF中的输入引起的。

它可以作为FRF质量的指标，它能够评估FRF从测量到重复相同测量的一致性。

3-2 脉冲响应函数对于线性定常系统，其传递函数)(s Φ为)()()(s R s C s =Φ式中)(s R 是输入量的拉氏变换式，)(s C 是输出量的拉氏变换式。

系统输出可以写成)(s Φ与)(s R 的乘积，即)()()(s R s s C Φ= （3-1） 下面讨论，当初始条件等于零时，系统对单位脉冲输入量的响应。

因为单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统输出量的拉氏变换恰恰是它的传递函数，即)()(s s C Φ= （3-2） 由方程(3-2)可见，输出量的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数，用)(t k 表示，即1()[()]k t s -=Φ脉冲响应函数)(t k ，是在初始条件等于零的情况下，线性系统对单位脉冲输入信号的响应。

可见，线性定常系统的传递函数与脉冲响应函数，就系统动态特性来说，二者所包含的信息是相同的。

所以，如果以脉冲函数作为系统的输入量，并测出系统的响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。

在具体实践中，与系统的时间常数相比，持续时间短得很多的脉动输入信号就可以看成是脉冲信号。

设脉冲输入信号的幅度为11t ，宽度为1t ，现研究一阶系统对这种脉动信号的响应。

如果输入脉动信号的持续时间t )0(1t t <<，与系统的时间常数T 相比足够小，那么系统的响应将近似于单位脉冲响应。

为了确定1t 是否足够小，可以用幅度为12t ，持续时间(宽度)为21t 的脉动输入信号来进行试验。

如果系统对幅度为11t ，宽度为1t 的脉动输入信号的响应，与系统对幅度为12t ，宽度为21t 的脉动输入信号的响应相比，两者基本上相同，那么1t 就可以认为是足够小了。

图3-3(a)表示一阶系统脉动输入信号的响应曲线；图3-3(c)表示一阶系统对脉冲输入信号的响应曲线。

应当指出，如果脉动输入信号T t 1.01<(图3-3(b)所示)，则系统的响应将非常接近于系统对单位脉冲信号的响应。

脉冲响应函数
脉冲响应函数（PRF）是一种用来表示系统的输入输出关系的函数，它可以表示系统的动态行为，当系统受到脉冲输入，脉冲响应函数就能够描述系统的输出，这也是它得名的由来。

脉冲响应函数是一种非线性函数，它可以用来描述系统的动态行为，其中包括系统的延迟，振荡和抑制等特性。

脉冲响应函数可以用来表示一个系统在受到脉冲输入时，输出的变化情况。

它可以帮助我们了解一个系统的动态行为，也可以用来检测系统是否存在漏洞。

脉冲响应函数主要分为几类：静态脉冲响应函数（SPRF），动态脉冲响应函数（DPRF）和复合脉冲响应函数（CPRF）。

静态脉冲响应函数用来描述系统在受到脉冲输入后，输出的静态变化情况；动态脉冲响应函数用来描述系统在受到脉冲输入后，输出的动态变化情况；复合脉冲响应函数用来描述系统在受到脉冲输入后，输出的复合变化情况。

脉冲响应函数在工程中有着广泛的应用，它可以帮助我们更好地理解系统的动态行为，也可以帮助我们检测系统是否存在漏洞，从而更好地控制系统的行为。

此外，脉冲响应函数还可以用来提高系统的性能，提高系统的稳定性。

总之，脉冲响应函数是一种非常有用的函数，它可以帮助我们更好
地理解系统的动态行为以及系统的性能，这一点非常重要。

因此，脉冲响应函数在工程中也有着广泛的应用，为工程的发展做出了不可磨灭的贡献。

[转载]传递函数、频响函数、脉冲响应函数
原⽂地址：传递函数、频响函数、脉冲响应函数作者：moneybolight
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传递函数：零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变化（或z变换）与激励（即输⼊）量的拉普拉斯变换之⽐。

记作G（s）＝Y（s）／U（s），其中Y（s）、U（s)分别为输出量和输⼊量的拉普拉斯变换。

频响函数：(1)简谐激励时，稳态输出相量与输⼊相量之⽐。

(2)瞬态激励时，输出的傅⾥叶变换与输⼊的傅⾥叶变换之⽐。

(3)平稳随机激励时，输出和输⼊的互谱与输⼊的⾃谱之⽐。

脉冲响应函数(或叫脉冲响应)⼀般是指系统在输⼊为单位脉冲函数时的输出（响应）。

对于连续时间系统来说，冲激响应⼀般⽤函数h(t)来表⽰。

对于⽆随机噪声的确定性线性系统，当输⼊信号为⼀脉冲函数δ（t）时，系统的输出响应 h（t）称为脉冲响应函数。

传递函数，频率响应函数均是描述线性系统动态特性的基本数学⼯具之⼀，都是建⽴在传递函数的基础之上。

但传递函数是系统的物理参数，也就是它受硬件决定，不会随着输⼊变化⽽变化，是分析系统的⼀个数学公式，⽽频率响应函数是输出函数，也就是说系统的传递函数乘上输⼊的信号，⽽得到的频率响应函数（当然是在频域中分析）。

脉冲响应函数分析,请高手解答脉冲响应函数分析,请高手解答对两个时间序列A和B进行脉冲响应函数分析，在内生变量框里输入的次序不同，通过得出的脉冲响应图的结果怎么会完全不一样？输入A B 时得出的是A对B的一次冲击有很大响应，B对A的一次冲击没有什么响应；输入B A 时得出的是A对B的一次冲击没什么响应，B对A的一次冲击有很大响应。

哪位高手能解释一下这是什么原因？乔分解将所有影响的公共因素强加到你的V AR模型中的第一个变量中去，也就是说结果与你V AR模型中指定的变量秩序有关，你改变了秩序很正常的解决办法：定义脉冲时在IMPUSE DEFINITION项目中分解方法选择广义脉冲结果就不会因为模型中变量指定秩序改变而改变了，也就是说结果与变量秩序无关。

高人，能否详细解释一下geralized Impulses和adjusted这两种脉冲响应的应用有什么不同？在哪种情况下应该使用geralized Impulses，在哪种情况下又应该使用adjusted?不胜感激。

adjusted 实际上是运用乔分解时，当是小样本时，在估计残差的协方差估计时进行了修正也就是说它实际上是修正过的乔分解，它进行脉冲时同样存在乔分解的问题：脉冲与秩序有关而广义脉冲分解法其结果与秩序无关，它是为了避免乔分解结果与秩序有关而采用的另外一种分解方法，对样本无什么要求，只要你建立的V AR/SV AR模型稳定即可！请问只有对平稳序列才能建立V AR模型吗？看了一些教材，好像说法不一。

如果有序列LnY和LnX，它们是非平稳序列，但是一阶差分后平稳，此时能否对原序列进行V AR分析以及脉冲响应和方差分解分析？如果只有平稳序列才能进行V AR预测的话，对于取了差分之后的序列，应该如何解释经济含义呢？如GDP/、能源消费量等。

1、只有平稳才能建V AR模型，但有特例，就是涉及到一些变量是如增长率，于种种原因，如数据太少，或其他原因，ADF检验没通过，但也可以算作平稳，视情况而定。