定积分的求法

求取一元定积分和不定积分的6种方法声明：本文章为原创文章，首发于“湖心亭记”其实一元定积分的解法有几种，跳来跳去。

所以做题的时候如果想养成习惯，可以避开所有没有观察到的点。

========================================首先说明求解一元定积分的几种方法：1、奇函数和偶函数法要特别注意的是，奇函数在对称区间的定积分是0，根本不用找。

例1： \[\int_{ - 1}^1 x dx= 0\] 。

解析：显然x在[-1,1]区间内为奇函数，故不用算就知道积分为0。

2、定积分的几何意义法这类题目的特点是，一眼就能看出是圆方程；要么被积函数看似简单，但对原函数进行积分是非常困难的。

匹配后发现，被积函数其实就是我们学过的常见曲线方程(一般来说是圆方程)。

然后我们就可以利用定积分的几何意义，按照常用的方法求面积了。

例2： \[\int_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx =\frac{{9\pi }}{2}\]解析：很明显能直接看出被积函数就是一个半圆：x2+y2=9（y>=0），因此积分值为圆面积的一半，非常易求。

例3： \[\int_0^4 {\sqrt {4x - {x^2}} } dx = 2\pi \]解析：这道题如果按照换元法或者分部法是很难积出原函数的。

而且一眼也看不出来被积函数是圆的方程。

但是经过配凑，发现确实是圆的方程。

令 \[y = \sqrt {4x - {x^2}} \] 得到y2+x2-4x=0，进而配凑成y2+(x-2)2=4（y>0），很明显这就是一个以（2,0）为圆心，2为半径的圆。

积分值为圆的面积的一半，非常易求。

小结下：几何意义法下的题目的被积函数一般为一个根号式，式子下含有\[ - {x^2}\]项，因此碰到这样子的可以优先考虑几何意义法。

3、第一类换元法和第二类换元法第一类换元法或者可以称之为整体配凑法，如下：\[\int {f\left( {\varphi \left( x \right)} \right)dx} = k\int {f\left( {\varphi \left( x \right)}\right)d\varphi \left( x \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \]例4： \[\int {\sin 2xdx = \frac{1}{2}\int {\sin 2xd2x = - \frac{1}{2}\cos 2x} } \]第二类换元法，可以称之为直接换元，如下：\[\int {f\left( x \right)dx = \int {f\left( {\phi\left( t \right)} \right)d\phi \left( t \right) = \int {g\left( t \right)dt{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (x{\rm{ = }}\phi \left( {\rm{t}}\right))} } } \]也就是说将f(x)换成了比较容易积出来的g(t)，当然最后别忘记将t回代成x。

求定积分的四个步骤
求定积分是一种完成微积分运算的重要方法，它是积分学中最基本的概念。

求定积分包括四个步骤，分别为：确定积分区间、选择积分公式、求出积分值和最后验证结果。

首先，在求定积分时，我们要确定积分的区间，即被积函数的定义域以及它的上下限。

这一步很重要，因为积分的结果取决于被积函数的取值范围，只有确定了积分区间才能进行下一步。

其次，选择合适的积分公式。

这里，我们可以根据被积函数的形式，选择合适的积分公式。

比如，如果被积函数是多项式，我们可以采用多项式积分公式；如果被积函数是指数函数，我们可以采用指数积分公式。

然后，根据确定的积分区间和所选择的积分公式，我们可以求出积分值。

在这一步，我们要对被积函数进行替换，把它变换为积分公式，然后求出积分值。

最后，我们要验证结果。

在求定积分时，我们可以把原来的积分区间划分为多个小区间，然后分别求出这些小区间的积分值，最后再把它们相加，求出原来的积分值。

如果结果与我们所求的积分值相符，则说明我们的计算是正确的。

总之，求定积分包括确定积分区间、选择积分公式、求出积分值和最后验证结果。

这些步骤都很重要，只有按照正确的步骤完成求定积分，才能得出正确的结果。

求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

定积分求导方法(一)定积分求导在微积分中，定积分求导是一种重要的技巧，用于求解连续函数的导数。

本文将详细介绍定积分求导的各种方法。

方法一：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求导的一种常用方法。

它的公式如下：d dx (∫fxa(t)dt)=f(x)这个公式的意义是，对于函数f(x)的定积分，其导数等于f(x)。

这使得我们可以通过求函数的定积分来得到其导数。

方法二：基本定积分求导法则在广义的意义下，可以使用基本定积分求导法则来求解定积分的导数。

以下是一些常用的基本定积分求导法则：1.$ _{a}^{b} k , dx = 0 $，其中 $ k $ 是常数。

2.$ _{a}^{b} x , dx = b - a $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。

3.$ {a}^{b} f(x) + g(x) , dx = {a}^{b} f(x) , dx + _{a}^{b}g(x) , dx $，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是函数。

4.$ {a}^{b} f(x) g(x) , dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) +{a}^{b} f’(x) g(x) , dx$，其中 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 是可导函数。

这些法则可以根据具体问题进行灵活运用，简化定积分求导的过程。

方法三：换元法换元法是一种常用的定积分求导的方法，通过引入新变量来简化计算过程。

其一般步骤如下：1.对于积分∫f(g(x))⋅g′(x) dx，选取适当的换元变量u=g(x)。

2.计算出du=g′(x) dx。

3.将原表达式中的g(x)和dx替换为u和du。

4.将对x的积分转换为对u的积分。

5.计算出∫f(u) du，得到最终结果。

使用换元法，可以将原本复杂的函数转化为更简单的形式，从而更容易进行积分和求导。

方法四：分部积分法分部积分法是定积分求导中的另一种常见方法，通过应用求导的乘积法则来简化计算过程。

定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。

定积分的计算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题，计算方法有很多，常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。

以及其他特殊方法和技巧。

本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法，并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目录目录 (2)1绪论 (3)1.1定积分的定义 (3)1.2定积分的性质 (4)2 常用计算方法 (5)2.1定义法 (5)2.2牛顿-莱布尼茨公式 (6)2.3定积分的分部积分法 (7)2.4定积分的换元积分法 (7)3 简化计算方法................................................................................................ 错误!未定义书签。

定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。

可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。

将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。

假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词:定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2定计算的计算方法2.1分项积分法 (1)2.2分段积分法 (2)2.3换元积分法 (3)2.4分部积分法 (5)2.5欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6留数在定积分计算上的应用 (10)2.7巧用二重积分求解定积分 (10)2.8反函数法求解定积分 (10)2.9带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x =()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()bbbaaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dx x x π+⎰.解利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x xdx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解记J=21⎰=21⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+例2-4计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰=2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x -+.解2401x dx x -+=2022111x dx x x-+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-=0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-+⎣=15.2.3.2第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ①三角替换例2-7[4]计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰ =arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2tdt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换 例2-8计算定积分22sin sin cos xdx x xπ+⎰.解作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+3441sin dx xππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-+. ③倒替换例2-9计算定积分1.解11令1t x=得1=11-=1-=6π. 2.4分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得2220sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解因为20sin xe xdx π⎰=20sin xxde π⎰=20sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰所以20sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )x e x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos xe xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220sin xx e xdx π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰ =221(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+.例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

§8.4 定积分的计算一、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求积分和的极限：∑⎰=→∆=nk kk T l bax f dx x f 10)()()(lim ξ但在定义中，分法T 是任意的，ξk 的取法也是任意的，这给我们的计算带来了困难。

因此，一般我们都是对已知是可积的函数才用定义求它的定积分。

这时，我们可以选用特殊的分割T （比如用等分）和特殊的点ξk （比如取每个小区间的右端点、或左端点、或中点等等）来计算。

例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。

解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰102dx x .显然，这个定积分是存在的。

取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =。

则所求面积为：n n k dx x S nk n 1)1(lim2112⋅-==∑⎰=∞→=∑=∞→-nk n k n123)1(1lim=316)12()1(lim3=--∞→nn n n n 。

二、积分上限函数从上面的例子看到，用定积分的定义计算定积分是相当麻烦的。

下面我们探讨计算定积分的简便方法。

为此，先引入积分上限函数的概念。

设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，],[b a x ∈∀，函数)(x f 在区间],[x a 上可积。

于是，由⎰=Φxadt t f x )()(， ],[b a x ∈定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数。

定理1（原函数存在定理） 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上处处可导，且)()()(x f dt t f dxd x xa==Φ'⎰，],[b a x ∈。

此定理沟通了导数与定积分之间的关系，也就沟通了不定积分（原函数）与定积分的关系。

同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数⎰=Φxadt t f x )()(。

定积分的求法陕西省西乡县第二中学:王仕林 邮编:723500定积分是新课标北师大版选修教材系列2-2中的内容之一,它是新课标新增加的内容.它与导数有密切的关系,在物理学中,物体作变速运动的位移,是运用定积分求值的主要方法.;因此,定积分计算是定积分这一章的重要环节.如何对定积分进行运算？下面笔者与大家共同探讨求定积分的常用方法。

一、定义法（*）求定积分的值： 例1：求 1231l i ms i n s i n s i n s i n n n n n n nn ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦分析：本题表面上看是一个求极限问题，实质上是求定积分的值。

原因是： 1231limsin sin sin sin n n n n n n n ππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦=1231sin sin sin sin n n n n n n n n n πππππππππ-⎡⎤+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ = 11sin ni i n n πππ=∑ 而1sin ni inn ππ=∑表示正弦曲线sin y x =在[]0,π上等分成n 个小区间；sin in n ππ表示每个小区间1,i i nn ππ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上矩形面积，当n →∞时，1s i n ni inn ππ=∑s i n 0x d x π→⎰，即11sin sin 0n i i xdx n n n πππ=→∑⎰ ∴ 123112l i ms i n s i n s i n s i n s i n 0n n x d x n n n nn πππππππ→∞-⎡⎤+++⋅⋅⋅+==⎢⎥⎣⎦⎰二、公式法求定积分的值：所谓公式即为微积分基本定理（()()()()bbf x dx F x dx F b F a a a '==-⎰⎰） （*）例2、求21()1x x e dx x+-⎰解：原式= /2221211ln ln |122x x x e x dx x e x ⎡⎤⎛⎫+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰ 2221112ln 21ln122e e ⎛⎫=⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭=23ln 22e e +-- 三、性质法求定积分的值：所谓性质法，即定积分的和差性质（*），即（1）[]()()()()b b bf xg x dx f x dx g x dx a a a ±=±⎰⎰⎰（2）()()b bkf x dx k f x dx a a=⎰⎰（3）()()()b c b f x dx f x dx f x dx a a c =+⎰⎰⎰（4）若()f x 在[],a a -上是奇函数，则()0af x dx a=-⎰；若()f x 在[],a a -上是偶函数，则()2()0a a f x dx f x dx a =-⎰⎰例3、（1）求()22312x dx +-⎰的值。

定积分求导法则定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解函数在某一区间上的面积或体积。

在定积分的计算中，我们经常需要用到求导法则，使得计算更加简便。

下面将分几个方面来介绍定积分的求导法则。

一、基本积分法求导法则基本积分法是指对于一些比较简单的函数，我们可以通过求反函数的导数来求得原函数的导数。

基本积分法求导法则包括：1. 常数倍法则：对于任意常数k，有$(k\int_a^bf(x)\mathrm{d}x)'=k\cdotf(x)\Big|_{a}^{b}$。

2. 同类项相加法则：对于两个函数$f(x),g(x)$，有$(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x)'=f(x)+g(x)\Big|_{a}^{b}$。

3. 反函数法则：对于任意单调可导的函数$f(x)$和反函数$f^{-1}(x)$，有$(\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\mathrm{d}x)'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}\Big|_{f(a)}^{f(b)}$。

这些基本积分法求导法则对普通函数均适用。

二、换元法求导法则换元法是指通过代换$x=\varphi(t)$，将原积分中的自变量变成函数$t$，从而更容易进行积分。

换元法求导法则包括：1. 第一类换元法：对于函数$f(\varphi(t))$，有$(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x)'=\int_a^bf'(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm{d}t$。

2. 第二类换元法：对于函数$\mathrm{e}^{f(x)}$，有$(\int_a^b\mathrm{e}^{f(x)}\mathrm{d}x)'=\int_a^bf'(x)\cdot\mathrm{e}^{f(x)}\mathrm{d}x$。

定义法求定积分
第一步：定积分的几何意义，就是求在区间[0,1]上函数f(x)=x与x轴围成的面积。

由上图可知，围成的图形为三角形，底为1，高为1，其面积为1/2。

第二步：定积分的定义：其实就是把区间[0,1]分为n等份(即n+1个点)，每份底宽1/n；过这些等分点作与y轴平行的线与y=x相交。

然后求以1/n为底，
以交点至x轴距离为高的矩形条，求矩形条的面积。

当n足够大时，将这n条的面积加起来就是定积分的值。

注意：可过小区间内任何一点作平行y轴的线与y=x相交，不局限于等分点；也不必局限于矩形条，可以作梯形条。