左矩形求积公式

定积分的近似计算方法定积分近似计算方法指的是利用数值计算方法来估算给定函数在一定区间上的积分值。

这些方法常常用于当函数在该区间内无法求得解析式时，或者解析式难以求得的情况下。

下面将介绍常用的数值积分近似计算方法。

一、矩形法矩形法即将积分区间等分为若干小区间，然后在每个小区间中选择一个代表点，将函数在该点的函数值作为近似积分的值。

具体可以分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。

1.左矩形法左矩形法即取每个小区间的左端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a) +f(a+Δx) + … + f(a+(n-1)Δx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

2.右矩形法右矩形法即取每个小区间的右端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx) + f(a+2Δx) + … +f(a+nΔx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

3.中矩形法中矩形法即取每个小区间的中点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx/2) + f(a+3Δx/2) + … +f(a+(2n-1)Δx/2)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

二、梯形法梯形法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个梯形来近似计算定积分的方法。

将积分区间[a,b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上用两个端点处的函数值拟合成一个梯形，然后将这些梯形的面积加起来即可得到近似的定积分的值。

具体计算公式为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(a+Δx) + 2f(a+2Δx)+ … + 2f(a+(n-1)Δx) + f(b)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。

三、辛普森法辛普森法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个二次多项式的方法。

将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每两个相邻区间拟合成一个二次多项式。

求积的近似值简介在数学中，我们经常需要求解各种复杂函数的积分问题。

然而，很多函数的积分并不能直接求得解析解，而需要借助数值计算方法来获得近似值。

本文将介绍几种常用的数值计算方法，以及它们在求积的近似值问题上的应用。

数值积分方法矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。

它将函数曲线划分成若干个等宽的矩形，计算每个矩形的面积，并将这些面积相加以获得近似的积分值。

常见的矩形法有矩形左端点法、矩形右端点法和矩形中点法。

以矩形左端点法为例，算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。

2.对于每个小区间，计算函数在左端点的函数值，并用矩形面积公式 S = h *f(a) 进行近似计算。

3.将所有小区间的矩形面积相加，得到最终的近似积分值。

矩形法的优点是简单易懂，容易实现，但精度较低，对于曲线弯曲较大的函数不够准确。

梯形法梯形法是一种改进的数值积分方法，它在矩形法的基础上增加了两个端点的高度值，从而得到更精确的近似积分值。

算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。

2.对于每个小区间，计算左右两个端点的函数值，并用梯形面积公式 S = h *(f(a) + f(b)) / 2 进行近似计算。

3.将所有小区间的梯形面积相加，得到最终的近似积分值。

梯形法相较于矩形法具有更高的精度，适用于各种类型的函数。

然而，对于复杂函数的积分，仍然需要更高级的方法来获得准确的近似值。

辛普森法则辛普森法则是一种使用二次多项式来逼近被积函数曲线的方法，它提供了更高级的数值积分精度。

算法如下：1.将积分区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。

2.对于奇数编号的小区间，使用辛普森公式 S = h * (f(a) + 4f(a + h) + f(a + 2h)) / 3 进行近似计算；对于偶数编号的小区间，使用梯形法进行近似计算。

第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。

（3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

矩形面积和体积公式
一、矩形（长方形）面积公式。

1. 公式内容。

- 对于矩形，设长为a，宽为b，其面积S = a× b。

2. 公式推导（简单理解）
- 我们可以将矩形看作是由若干个边长为1的小正方形组成的图形。

长a表示沿着一个方向小正方形的个数，宽b表示沿着另一个方向小正方形的个数。

那么总的小正方形个数（也就是矩形的面积）就是a× b。

3. 示例。

- 已知一个矩形的长为5厘米，宽为3厘米，求其面积。

- 解：根据面积公式S = a× b，这里a = 5厘米，b = 3厘米，所以S=5×3 = 15平方厘米。

二、长方体体积公式（矩形是平面图形，没有体积，长方体是对应的立体图形）
1. 公式内容。

- 设长方体的长为a，宽为b，高为h，其体积V=a× b× h。

2. 公式推导（简单理解）
- 我们可以把长方体看作是由若干个单位小正方体堆积而成的。

长a表示沿着一个方向小正方体的排数，宽b表示每一排小正方体的个数，高h表示小正方体堆积的层数。

那么总的小正方体个数（也就是长方体的体积）就是a× b× h。

3. 示例。

- 有一个长方体，长为4厘米，宽为3厘米，高为2厘米，求其体积。

- 解：根据体积公式V = a× b× h，这里a = 4厘米，b = 3厘米，h = 2厘米，所以V = 4×3×2=24立方厘米。

高三数学矩形知识点总结矩形是我们数学学科中的一个重要图形，在高三数学中也是一个常见的考点。

熟练掌握矩形的相关知识点对于解题和应对考试都非常有帮助。

本文将总结高三数学中与矩形相关的知识点，帮助同学们更好地理解和记忆。

一、基本概念1. 矩形的定义：矩形是四边形的其中一种，具有两对相等且平行的边。

2. 矩形的性质：具有四个直角和两对对边相等。

3. 矩形的元素：矩形的元素有边长、周长和面积。

二、周长和面积的计算1. 周长计算公式：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即P=2(长+宽)。

2. 面积计算公式：矩形的面积等于长乘以宽，即S=长×宽。

三、特殊情况1. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等。

正方形的周长公式为P=4a，面积公式为S=a²，其中a为边长。

2. 长方形：长方形是一种边长不等的矩形。

长方形的周长公式为P=2(长+宽)，面积公式为S=长×宽。

四、对角线1. 对角线的定义：矩形中连接两个非相邻顶点的线段称为对角线。

矩形有两条对角线，且相等。

2. 对角线的性质：对角线相等，且互相平分。

3. 对角线的求解：对角线的长度可以使用勾股定理来求解。

五、性质和定理1. 矩形的内角和为360度。

2. 矩形是平行四边形的一种特殊情况，具有平行四边形的性质和定理。

3. 矩形的主对角线与副对角线相等。

六、相关例题1. 若一个矩形的周长为20cm，且其中一边长为4cm，求其面积。

解析：设矩形的长为x cm，宽为y cm。

由周长公式可得2(x+y)=20，即x+y=10。

又已知一边长为4cm，设为x，即x=4。

将x=4代入x+y=10中可得4+y=10，解得y=6。

故矩形的长为4cm，宽为6cm，面积为4×6=24 cm²。

2. 一个正方形的对角线长度为10cm，求其面积。

解析：设正方形的边长为a cm。

由对角线性质可知，对角线长度等于边长乘以√2，即a√2=10。

矩形面积的公式好的，以下是为您生成的关于“矩形面积的公式”的文章：咱今天就来好好聊聊矩形面积的公式这事儿。

说起矩形，那在咱们生活中可是随处可见。

就拿我家的客厅来说吧，那地面差不多就是个矩形。

前段时间我打算给客厅换个新地毯，这就不得不考虑矩形面积的问题啦。

咱先来说说矩形面积的公式到底是啥。

其实特简单，就是长乘以宽。

用数学符号表示就是 S = a × b ，这里的 S 表示面积，a 表示矩形的长，b 表示矩形的宽。

比如说，有一个矩形，长是 5 米，宽是 3 米，那它的面积就是 5×3= 15 平方米。

这就好比是你去买一块地，人家告诉你这块地是个矩形的，长多少宽多少，你就能很快算出它有多大面积。

再举个例子，教室里的黑板一般也是矩形的。

假如黑板的长是2 米，宽是 1.5 米，那它的面积就是 2×1.5 = 3 平方米。

老师在上面写字画图，占的地方大小就可以用这个公式算出来。

那为啥矩形的面积就是长乘以宽呢？咱们来想想啊，假如把这个矩形沿着宽的方向切成很多很多小长条，然后把这些小长条一个一个接起来，是不是就变成了一个和原来矩形的长一样长，宽和原来矩形的宽一样宽的长方形啦？这时候这个长方形的面积就是长乘以宽，所以原来的矩形面积也是长乘以宽。

回到我家客厅换地毯那事儿。

我拿尺子仔细量了量，客厅长4.5 米，宽 3.8 米。

按照矩形面积的公式，一算，面积就是 4.5×3.8 = 17.1 平方米。

然后我就去市场挑地毯，可不能买小了，不然铺不满客厅，买大了又浪费钱。

在做数学题的时候，矩形面积的公式那也是经常用到。

比如有道题，说一个矩形花园，长 12 米，宽 8 米，要在里面种满花，得先知道花园面积有多大才能算需要多少花籽。

用矩形面积公式一算，12×8 = 96 平方米，心里就有数啦。

还有啊，盖房子的时候也得算矩形的面积。

像房间的地面、墙面，都可能是矩形的，算好面积才能知道需要多少地砖、多少涂料。

数值分析的矩形公式
虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加．而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的？
实际计算中常常采用变步长的方案,即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止。

1左矩形公式的递推公式及误差
2中矩形公式的递推公式及误差。

矩形的计算公式矩形，这可是咱们数学世界里的常客呀！咱先来说说矩形到底是个啥。

其实呀，矩形就是那种四个角都是直角的四边形。

它看起来方方正正，规规矩矩的。

那矩形的计算公式都有啥呢？这可得好好说道说道。

矩形的面积计算公式就是长乘以宽，用字母表示就是 S = a × b （S 表示面积，a 表示长，b 表示宽）。

比如说，有一个矩形，长是 5 厘米，宽是 3 厘米，那它的面积就是 5×3 = 15 平方厘米。

周长的计算公式呢，就是 2×（长 + 宽），用字母表示就是 C = 2×(a + b) （C 表示周长）。

举个例子，还是刚才那个矩形，长 5 厘米，宽 3 厘米，那周长就是 2×(5 + 3) = 16 厘米。

我记得之前给学生们讲矩形计算公式的时候，发生过一件特别有意思的事儿。

那天上课，我在黑板上画了一个大大的矩形，然后问同学们：“谁能告诉我这个矩形的面积怎么算呀？”结果有个小调皮鬼站起来说：“老师，这还不简单，拿尺子量呗！”全班同学哄堂大笑。

我笑着说：“量当然可以，但如果没有尺子，咱们就得靠公式啦！”然后我就开始详细地讲解公式的推导和应用。

为了让大家更好地理解，我还准备了一堆小卡片，卡片上画着各种不同大小的矩形，让同学们分组计算面积和周长。

有的小组算得又快又准，有的小组则有点手忙脚乱。

不过在大家的共同努力下，最后都掌握得不错。

在生活中，矩形的计算公式用处可大了。

比如说，咱们家里要铺地砖，就得先知道房间地面的面积，这时候矩形面积的计算公式就派上用场啦。

还有，给窗户做窗帘，也得知道窗户的周长，才能确定需要多长的窗帘布。

再比如，盖房子的时候，工人师傅要计算墙面的面积，以便确定需要多少涂料；制作相框，也得根据照片的大小，利用矩形的计算公式算出相框的尺寸。

总之，矩形的计算公式虽然简单，但却非常实用。

只要咱们掌握好了，就能解决好多生活中的实际问题。

所以呀，同学们可一定要把这两个公式牢牢记住，并且能够灵活运用哦！相信在今后的学习和生活中，它们会成为你们的好帮手！。

数值积分矩形公式的复化及误差分析张晓霞（西北师范大学 数学与信息科学学院 甘肃 兰州 730070）摘 要： 先推导得出中矩形公式、左矩形公式,然后对其进行复化，但由于结果不理想,再对两个公式进行递推,求出它们的递推化公式以及对其误差进行分析,最后举例说明几种逼近公式误差的变化情况;关键词：中矩形公式,左矩形公式,误差分析,复化公式,公式递推化1 引言以前我们在进行积分运算时,都是先对被积函数求出其原函数,然后代值进行计算,但不是每个被积函数都是能轻易找到其原函数的,有的甚至找不到它的原函数,这就要求我们找出另外一种方法来研究积分运算．首先我们来定义即将用到的左矩形公式和中矩形公式： 对于积分dx x f I ba⎰=)(,由积分中值定理知,∃一点ξ∈),(b a ,使得⎰bax d x f )()(=(b-a)f (ξ)A ． 若用区间左端点a 的函数值f (a)作为f (ξ)的近似值,则得到我们熟悉的左矩形公式：)()(a f a b J -=,其积分余项 2)(2)(a b f J I R J -'=-=η （1） B ． 若改用区间中点2b a c +=的函数值)2(ba f +作为)(ξf 的近似值,则得到中矩形公式： )2()(b a f a b R +-=,其积分余项 3)(24)(a b f J I R R-''=-=η （2） 由于我们导出的左矩形公式和中矩形公式对积分值的近似估计误差很大,所以我们采用复化求积公式来近似估计积分的准确值．2复化公式所谓复化[1]就是指将一个积分的积分区间[]b a ,划分为n 等分,在每一个小区间[]1,+k k x x 上应用左、中矩形公式求出积分值),,2,1(n k I k =,然后对k I 求和,近似估计出积分I 的积分值的算法．2．1复化左矩形公式将积分区间[]b a ,划分为n 等分,步长nab h -=,分点.,,1,0,n k kh a x k =+=对每一个小区间[]1,+k k x x 采用左矩形公式有J x x x x n n k k k n k k k n k baf h f dx x x x f dx x f I k k ==-≈==∑∑∑⎰⎰-=-=+-=+110110)()()()()(1（3）Jn称为复化左矩形求积公式,下标n 表示将区间[]b a ,划分为n 等分．2．2复化中矩形公式类似于复化左矩形公式,对每一个小区间[]1,+k k x x 采用中矩形公式,且令2121+++=k k k x x x ,则有 R x x x x n n k k k n k k k n k baf h f dx x x x f dx x f I k k ==-≈==∑∑∑⎰⎰-=++-=+-=+1212110110)()()()()(1（4）n R 称为复化中矩形求积公式,下标n 表示将区间[]b a ,划分为n 等分．[3]3复化公式的误差分析3．1 复化左矩形公式的误差估计公式由(1)式对每个小区间有误差估计式22112)()()(2)()()()(1h f x hf x x f x f x x dx x f I k k k k k k k k x x k k kηη'+=-'+-==++⎰+其中k η介于k x ,1+k x 之间,将上式代入(3)中则有∑∑∑⎰∑⎰-=+-=+-=-='-+-====+1211111)()(21)()()()(1n k k k k n k k k k n k x x n k k baf x x x f x x dx x f I dx x f I k kη∑∑-=-='+=1021)(2)(n k k n k k f h x f h η从而复化左矩形公式的误差估计式为∑∑-=-='⋅-==-=1012)(12)()(2)(n k k n k k n n f n a b h f h J I f R ηη 由于)(x f '在[]b a ,上连续,k η均为[]b a ,的内点,所以由中值定理知,存在一点[]b a ,∈η,使得)()(11ηηf f n n k k '='⋅∑-=,所以有 )(2)()(ηf a b h J I f R n n '-=-= ,[]b a ,∈η （5）)(f R n 称为复化左矩形公式的误差估计式,下标n 表示将区间[]b a ,划分为n 等分．3．2复化中矩形公式的误差估计公式类似于复化左矩形的误差公式,同样可得复化中矩形公式的误差估计公式∑∑-=-=''⋅-=''=-=12103)(124)()(24)(n k k n k k n n f n a b h f h R I f E ξξ其中),(1+∈k k k x x ξ,由于)(x f ''在[]b a ,上连续,k ξ均为[]b a ,的内点,所以由中值定理知,存在一点[]b a ,∈ξ,使得 )()(11ξξf f n n k k ''=''⋅∑-=,所以有)(24)()(2ξf a b h R I f E n n ''-=-=, []b a ,∈ξ （6）4矩形公式的递推化虽然复化求积方法对提高精度是行之有效的,但在使用求积公式之前必须给出合适的步长,步长太长,精度难以保证,步长太小,又会导致计算量的增加．而事先给出一个合适的步长往往是困难的,那到底怎样选取步长才是合适的呢？实际计算中常常采用变步长的方案,即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中,反复利用复化求积公式进行计算,直至所求得的积分值满足精度要求为止．4．1左矩形公式的递推公式及误差变步长过程中左矩形的计算规律：将求积区间[]b a ,分成n 等份,则一共有1+n 个分点,按左矩形公式计算n J ,需要提供n 个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至12+n 个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间[]1,+k k x x 经过二分只增加了一个分点2121+++=k k k x x x ,利用复化的左矩形公式求得该子区间上的积分值为[])()(221++k k x f x f h ,其中代na b h -=表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加得[]n n n k k n k k n k k k nR J x f h x f h x f x f h J 2121)(2)(2)()(210101022121+=+=+=∑∑∑-=+-=-=+ （7）从而根据左矩形公式的误差公式[])()(2)(2a f b f hdx x f h J I b a n -='≈-⎰得,积分值的截断误差大致与h 成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的2/1,即有212≈--n n J I J I ,移项整理得n n n J J J I -≈-22,由此可见只要二分前后的两个积分值n J 与n J 2相当接近,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值n J 2的误差大致等于n n J J -2,因此,如果用这个误差值作为n J 2的一种补偿,可以期望得到的n n n n n J J J J J J -≈-+='2222可能是更好的结果．4．2中矩形公式的递推公式及误差同理对中矩形公式也一样,将求积区间[]b a ,分成n 等份,则一共有1+n 个分点,按中矩形公式计算n R ,需要提供1+n 个函数值,如果将积分区间再分一次,则分点增至2n +1个,将二分前后两个积分值联系起来加以考虑,注意到每个子区间[]1,+k k x x 经过二分只增加了一个分点2121+++=k k k x x x ,在上述二分后的子区间上利用复化的中矩形公式求得该子区间上的积分值为[])()(24341+++k k x f x f h ,同样na b h -=代表二分前的步长,将每个子区间上的积分值相加,得[]∑-=+++=12)()(24341n k k k n x f x f h R （8）根据中矩形公式的误差公式[])()(2)(222b f a f h dx x f h R I ban '-'=''≈-⎰得,积分值的截断误差大致与2h 成正比,因此当步长二分后,误差将减至原有误差的4/1,即有412≈--n n R I R I ,移项整理得)(3122n n n R R R I -≈-,同样,当二分前后的两个积分值n R 与n R 2相差很近时,就可以保证计算结果误差很小,积分近似值n R 2的误差大致等于)(312n n R R -,因此,如果用这个()k f x 误差值作为n R 2的一种补偿,则可以得到n n n n n R R R R R R 3134)(31222-=-+='可能结果比较理想．5矩圆公式由右图可见,这样分割后,形成一些小网格,以上一些工作我们就是通过计算这些小的矩形条的面积之和进而估计出曲线)(x f 在[]b a ,上所围 的面积．那么除此之外还有无别的近似计算方法呢？首先,我们试想,如右图所示,把网格顶端的一些剩下的不全的网格 近似为底为h ,高为)()(1k k x f x f -+的三角形,那么前面我们按照左矩形公式 算得的矩形条的面积就为[])()(2)(1k k k x f x f hx hf -++,整理后为)(2)(21++k k x f h x f h ,那么 ∑∑⎰⎰-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≈==+101110))()((2)()()()(1n k k k k k k n k bax f x f h f dx x x x f dx x f I x x x k k[]I x f f h n k k k x '=+=∑-=+11)()(2 (9) 这就是我们所熟知的梯形公式,而梯形公式对准确值的逼近程度要优于左矩形公式和右矩形公式,所以这样的假设与估计是成立的,同理我们对上面算得的中矩形公式也可以加上这个小三角形的面积而得到与准确值更为近的值．∑∑⎰⎰-=+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≈==+10121110))()((2)()()()(1n k k k k k k n k bax f x f h f dx x x x f dx x f I x x x k kI x f f x f h n k k k k x ''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∑-=++10211)()(2)(2 (10) 下面我们来讨论另一种情形:即把上述所描写的三角形换成半径为h (或[])()(1k k x f x f -+),为了计算方便,可以直接看成半径为h )的圆,那么按照前面我们推导得到的左矩形公式,计算得到小矩形条的面积为241)(h x hf k π+,用它来近似积分的准确值可得到 ∑∑⎰⎰-=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈==+10211041)()()()(1n k k k k n k b ah f dx x x x f dx x f I x x x k k πP h f h n k k x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=1041)(π （11）这就是我们所得到的左矩圆公式．同理按照中矩形公式得到的小矩形条的面积为241)(21h x hf k π++,用它来近似积分的准 )(k x f)(1+k x f确值可得到∑∑⎰⎰-=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≈==+1022111041)()()()(1n k k k k n k bah f dx x x x f dx x f I x x x k k πQ h f h n k k x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑-=+102141)(π （12） 这就是我们所得到的中矩圆公式．例 应用复化矩形公式（3）和（4）计算以及递推公式（7）与（8）和矩圆公式（11）与（12）计算积分dx e I x ⎰=21的近似值,并与其准确值作相应的比较．解： 设x e x f =)(,2/1,0==b a ,分点个数8,,2,1 =n ; ∑-==10)(n k k n x f hJ ∑-=+=1)(21n k k n x f h R )()(a f a b J -= )2()(ba f ab R +-= n n nR J J 21212+= []∑-=+++=12)()(24341n k k k n x f x f h R∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=1041)(n k k h f h P x π ∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=102141)(n k k h f h Q x πnn a b h 21=-=),2,1,0(,n k kh x k == 当h 取不同值时各种算法对积分的估计值与近似解的比较J 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 0.500000 R0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 0.642012 n J 0.500000 0.596162 0.560453 0.609021 0.616826 0.622067 0.625828 0.628660 n R 0.642012 0.647034 0.647971 0.648299 0.648451 0.648534 0.648583 0.648616 n J 2 0.571006 0.60902 0.604212 0.62866 0.632639 0.635301 0.637206 0.638638 n R 20.647035 0.648299 0.648534 0.648616 0.648654 0.648674 0.648687 0.648695 P0.6963500.6200930.6179790.6212930.6246800.6275210.6298350.631728Q0.838362 0.696121 0.669788 0.660571 0.656305 0.653988 0.652590 0.651684精确解I0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721 0.648721通过上表容易看出，当步长h 逐渐变小时，不论是复化公式还是递推公式，它们对准确值的逼近效果都显著提高，即h 越小，逼近效果越好；另一方面容易看出，中矩形公式比左矩形对准确值的近似程度更高，当然其复化公式的近似程度也比左矩形复化公式的精确度高；还有我们最后推出的(7)式与(8)式，它比起各自的复化公式来，逼近效果也相对较好，同样地中矩形公式的复化公式比(7)式的逼近效果要好．由(11)的结果可知在除1 n 之外，它的计算结果是比较理想的；明显的问题是(12)式的计算结果与准确值的差距特别大，因为对于复化的中矩形公式而言，精确度已经是比较好的了，那么，如果我们再去作(12)式那样的逼近，势必导致出现大的波动．这样的公式是不完美的，所以对这样的公式完全可以舍去．只要我们选取合适的步长，分别利用它们各自的递推公式算出的近似值比它们自己的复化公式精确度要高很多．6结论：通过本文的论述，得出复化求积公式比原近似公式的精确度高；同样地，复化中矩形公式的逼近效果比复化左矩形公式对准确值的逼近效果好;另外，通过公式的递推化之后，我们得出递推化的公式比复化求积公式的精确度高;理所当然，随着n 的不断增大，误差逐渐减小，当n 到一定程度大时，会无限接近准确值．参考文献：[1]李庆杨，王能超，易大义.数值分析[M].4版.武汉:华中科技大学出版社，2006. [2]王仁宏.数值逼近[M].北京:高等教育出版社，1999.[3]李岳生，黄友谦.数值逼近[M]. 北京:人民教育出版社，1978.[4]李晓红，堵秀风，张永胜，王延臣.计算方法[M]. 北京:北京航空航天大学出版社，2006. [5]马东升，雷永军.数值计算方法[M].2版. 武汉:机械工业出版社，2001.[6]张韵华，奚梅成，陈效群.数值计算方法与算法[M].2版.北京:科学出版社，2000.Numerical integration of rectangular complex formula and error analysisZhang Xiaoxia(College of Mathematics and Information Sciences Northwest Normal University LanzhouGansu 730070)Abstract: Firstly, we deduced in the rectangle formula, the left rectangle formula, and then carry out restoration of them. Because the result is not satisfied with our expectations, so we try to find their recursive formulas and analyze their errors. Finally, we give an example of the some appropriate formulas for the change of error;Keywords:the rectangle formula;the left rectangle formula; error analysis; complex formula; the formula of recurrence。

矩形面积和周长的公式在我们的数学世界里，矩形可是个常见的“大主角”。

一提到矩形，那就不得不说说它的面积和周长的公式啦。

矩形的面积公式很简单，就是长乘以宽，用字母表示就是 S = a × b （其中 S 表示面积，a 表示长，b 表示宽）。

这就好比我们家里的长方形地板砖，要知道它能占多大地方，就得用长乘宽来算算。

记得有一次，我去朋友家帮忙装修。

他家的客厅要铺上一种长方形的地毯，我们需要先知道地毯的面积，才能确定买多大的合适。

朋友拿出尺子量了量，告诉我长是 5 米，宽是 3 米。

我立刻就想到了矩形的面积公式，5×3=15 平方米，一下子就清楚了需要购买 15 平方米的地毯。

这时候我就深深感觉到，这个简单的公式在生活中可太实用啦！再说矩形的周长公式，那就是 2×（长 + 宽），用字母表示就是 C = 2×（a + b）。

这个公式能帮我们算出矩形边框的长度。

有一回我去学校的操场跑步，操场的形状接近一个大矩形。

我好奇地想知道围绕这个操场跑一圈是多长，就去问了体育老师。

老师告诉我操场的长是 100 米，宽是 50 米。

我马上在心里用周长公式算了起来，2×（100 + 50）= 300 米。

哇，原来跑一圈要 300 米呢！学会了矩形面积和周长的公式，我们就能解决好多实际问题。

比如，要给一个矩形的花园围上栅栏，知道了长和宽，用周长公式就能算出需要多长的栅栏；要给房间铺上木地板，用面积公式就能知道需要买多少平方米的木地板。

在数学的学习中，这些公式就像是我们的好帮手，只要我们能熟练运用，就能轻松应对各种和矩形相关的难题。

而且呀，随着我们学习的深入，会发现这些基础的公式在更复杂的数学问题中也发挥着重要的作用。

所以，同学们可别小看这两个简单的公式，它们可是打开数学大门的一把重要钥匙呢！我们要把它们牢牢地记在心里，在需要的时候拿出来，解决一个又一个有趣的数学问题。