2017华二高一下数学期末试卷(含答案)

2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第象限．2．（3分）=．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=．5．（3分）在△ABC中，，，则=．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）弧度数为3的角的终边落在第二象限．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2．（3分）=﹣．【解答】解：=cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．（3分）若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a=±4．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．（3分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8=8．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．（3分）在△ABC中，，，则=．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得：=，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．（3分）函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（3分）方程3sinx=1+cos2x的解集为．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或sinx=，∴x∈，故答案为：．8．（3分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．9．（3分）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．【解答】解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．10．（3分）在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．（3分）已知，，，则β=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．13．（3分）“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．（3分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．﹣b n=1．∴b n+1∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x ﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．[﹣+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，]，[+kπ，+kπ]∩[﹣，]=[﹣，﹣]，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间[5，15]上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时，=arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x +≥2或4﹣x +≤﹣2，∴0＜tana ≤或≤tana＜0，综上，≤tana ≤，∴a ∈．（3）由（2）知=tana在[5，15]上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在[5，15]有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得＜tana ＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜1，方程在[5，15]上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana ＜﹣，又，解得tana ≤﹣，综上，＜tana ≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．第11页（共11页）。

华二附中高一期末数学试卷2017.6一. 填空题1. 方程组2132x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是2. 已知数列{}n a 是以15-为首项，2为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，则数列{}n S 的最小项为第 项3.函数1arcsin (2y x x =≤≤的值域为 4. 数列{}n a 通项公式1()(1)n a n n n *=∈+N ，{}n a 前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=5. 在ABC ∆中，,,a b c 是角,,A B C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =6. 无穷等比数列{}n a 的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如：1m的分数，m 为 正整数），若该数列的各项和为3，则12a a +=7. 不等式21200210321x x +≥-的解集为 8. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是9. 数列{}n a 满足：1a a =（a ∈R 且为常数），13(3)()4(3)n n n n n a a a n a a *+->⎧=∈⎨-≤⎩N ，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为 10. 如果12()n S n n *=+++∈N ，3223(2,)111nn n S S S T n n S S S *=⨯⨯⨯≥∈---N ， 则2017T 的值为 （用分数形式表示）二. 选择题11. 方程tan 2x =的解集为（ ）A. {|2arctan 2,}x x k k π=+∈ZB. {|2arctan 2,}x x k k π=±∈ZC. {|arctan 2,}x x k k π=+∈ZD. {|(1)arctan 2,}kx x k k π=+-∈Z12. 以n S 、n T 分别表示等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，若73n n S n T n =+，则55a b =（ ） A. 7 B.214 C. 378 D. 2313. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（ ） A. 若30a >，则20160a > B. 若40a >，则20170a > C. 若30a >，则20170S > D. 若40a >，则 20160S >14. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S =→∞，下列条件中，使得2()n S S n *<∈N 恒成立的是（ ）A. 10a >，0.60.7q <<B. 10a <，0.70.6q -<<-C. 10a >，0.70.8q <<D. 10a <，0.80.7q -<<-三. 简答题 15. 关于x 的不等式201x m x+<的解集为(1,2)-.（1）求实数m 的值；（2）若cos 2sin 0m αα+=，求tan(2)4πα-的值.16.已知函数2()cos ())cos()(0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π. （1）求ω的值和函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间及其图像的对称轴方程.17. 设数列{}n a ，{}n b 满足：1254,2a a ==，12n n n a b a ++=，12n n n n n a b b a b +=+，n *∈N .（1）写出数列{}n b 的前三项；（2）证明：数列{}n n a b ⋅为常数列，并用n a 表示1n a +； （3）证明：数列2{ln }2n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式.18. 定义：对于任意n *∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列.（1）若28()n a n n n *=-+∈N ，证明：数列{}n a 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为350()2n n b n =-，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列|1|(,12)n pc n p n*=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 211132-⎛⎫⎪⎝⎭2. 83.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 15.6.837. (,0]-∞ 8. (2,)+∞ 9. 1849 10. (1)(1)12(1)1(2)(1)2112n n n n S n n n n n n S n n n n +++===⋅+-+-+-- 201724T =35⨯4⨯62015⨯⨯20172016⨯20172018⨯32019⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭41⨯52⨯32016⨯⨯201420172015⨯20182016⨯23201720182017=2018201912673⎛⎫⎪⎝⎭⨯⨯=⨯⨯⨯二. 选择题11. C 12. B 13. C 14. B三. 解答题15. （1）1m =-；（2）17. 16. （1）1ω=，113()sin 2,6222f x x π⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，对称轴方程为()26k x k ππ=+∈Z . 17. （1）11b =，285b =，38041b =； （2）证明：11111222n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a bb a b a b a b a a +++++===⇒=+，∴{}n n a b ⋅为常数列4，即4n n a b ⋅=，∴2144222n n nnn n na ab a a a a ++++===； （3）222212221422244(2)24244(2)222n n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a a ++++⎛⎫+++++==== ⎪+-+---⎝⎭-21111222ln ln 2ln222n n n n n n a a a a a a ++++⎛⎫+++⇒== ⎪---⎝⎭， ∴2ln2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以ln 3为首项，2为公比的等比数列， ∴111212222232ln =2ln 3=32231n n n n n n n n n a a a a a ----++⋅+⇒⇒=---. 18.（1）略；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤.。

华二附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数arcsin y x =（1[]2x ∈-）的值域是 2. 数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为n a =3. ()cos f x x x =+的值域是4. “1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的 条件 （填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）5. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1010S =，2030S =，则30S =6. △ABC 三条边的长度是a 、b 、c ，面积是2224a b c +-，则C = 7. 已知数列{}n a ，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a = 8. 等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，1720n n m a a a +++⋅⋅⋅+=（,n m *∈N ，n m <）， 则n m +=9. 在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+=++ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为22lg(1)3n a n n=++，1,2,3n =⋅⋅⋅，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=二. 选择题11. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为413. 将函数sin(2)5y x π=+向右平移10π个单位长度，那么新函数（ ） A. 在53[,]42ππ上单调递增 B. 在区间3[,]4ππ上单调递减 C. 在35[,]44ππ上单调递增 D. 在区间3[,2]2ππ上单调递减 14. 已知函数215cos()36k y x ππ+=-（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[,3]a a + 上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（ ） A. 2或3 B. 4或3 C. 5或6 D. 8或7三. 解答题15. 在△ABC 中，7a =，8b =，1cos 7B =-. （1）求A ；（2）求AC 边上的高.16. 已知1221n n n n n n u a a b a b ab b ---=+++⋅⋅⋅++（n *∈N ，,0a b >）.（1）当a b =时，求数列{}n u 的前n 项和n S （用a 和n 表示）；（2）求1lim n n n u u →∞-.17. 已知方程arctanarctan(2)2x x a +-=. （1）若4a π=，求arccos 2x 的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：3cos(3)4cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得cos()(cos )n nx f x =对所有实数 x 均成立，其中1111()2n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时， 0n a =，当n 为偶数时，2(1)n n a =-；（3）利用（2）的结论判断cos7m π（16m ≤≤，m *∈N ）是否为有理数？参考答案一. 填空题 1. [,]36ππ-- 2. 3122n n n =⎧⎨≥⎩ 3. [2,2]- 4. 必要非充分 5. 60 6. 4π 7. 1 8. 9 9. 2201710. lg3二. 选择题11. D 12. B 13. C 14. A三. 解答题15.（1）3A π=；（2）2.16.（1）12(1)12(1)01(1)1n n n n n a S a a naa a a a++⎧=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且；（2）1lim n n n aa b u ba b u →∞-≥⎧=⎨<⎩. 17.（1）0或23π；（2）33[arctan ]22+；（3）19.18.（1）证明略；（2）证明略；（3）不是有理数.。

2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有种．9．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）直径为2的球的表面积与此球的体积之比是．【解答】解：∵直径为2，∴半径为1，∴＝3，故答案为：3：1．2．（3分）直线P A与平面ABC所成角为，则直线P A与平面ABC内的任意一条直线所成角的取值范国是[]【解答】解：∵一条直线P A与平面ABC成角为，∴根据“最小角定理”，可得这条直线与平面内的直线所成角中最小值为，再根据线线夹角的定义，得到这条直线与平面内的直线所成角中最大值为，这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是[]．故答案为：[]．3．（3分）已知正整数n，二项式（x3+）n的展开式中含有x7的项，则n的最小值是4【解答】解：二项式（x3+）n的展开式的通项为＝．令3n﹣5r＝7，可得n＝，当r＝1时，n有最小值为4．故答案为：4．4．（3分）若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则a，n 的可能值是（a，n）＝（2，5）或（﹣2，5）【解答】解：若（1+ax）n（n∉N+）展开式中，所有各项的系数的绝对値之和是243，则（1+|a|）n＝243，∴a＝±2，n＝5，故a，n的可能值是（a，n）＝（2，5），或（﹣2，5），故答案为：（2，5）或（﹣2，5）．5．（3分）已知空间向量＝（﹣，，1），＝（﹣，，0），若空间単位向量满足：＝0，则＝±【解答】解：设＝＝（x，y，z），∵＝0，则＝•＝0，∴x+y+z＝0，x+y＝0，令x＝1，则y＝﹣，z＝0．∴＝（1，，0）．∴＝±＝±．故答案为：．±．6．（3分）某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是a＜b＜c．【解答】解：计算这组数据的平均数为a＝×（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）＝14.7，求出中位数为b＝15，众数为c＝17，则有a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．7．（3分）掷三个般子，出现的三个点数的乘积为偶数的概率是．【解答】解：掷三个般子，基本事件总数n＝63＝216，出现的三个点数的乘积为偶数，包含的基本事件个数＝m＝63﹣33＝189，∴出现的三个点数的乘积为偶数的概率是p＝＝＝．故答案为：．8．（3分）高三一班里七名身高不同的女生拍毕业照，摄影师要求她们排成一排，身高由矮到高，再由高到矮（最高的女生站在正中间）．这七位女生的排队姿态有20种．【解答】解：根据题意，最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有C63＝20种排法，第二步：将另外三人按从高到低的顺序排列，有1种情况，则不同的排法有20×1＝20种，故答案为：209．（3分）在正方体的12条面对角线和4条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于．【解答】解：由于4条体对角线都经过正方体的中心，所选的两条对角线必定包含一条画对角线①两条对角线都是面对角线：任取1条面对角线，剩余的11条面对角线中，有5条与之异面，考虑重复选取，∴＝30（种）；②一条面对角线一条体对角线：任取1条面对角线，有2条体对角线与之异面，∴12x2＝24 （种）∴这两条对角线所在的直线为异面直线的概率p＝＝．故答案为：．10．（3分）从集合{1！，2！，3！，…24！}中，删掉一个元素12！后，集合中余下的23个元素之积是一个完全平方数．【解答】解：1！×2！×3！…×23!×24!＝（1×1×2）（3×3×4）×…×（23×23×24）＝（1×2×...×23）2×（2×4×6 (24)＝（1×2×…×23）2×212×12＝（1×2×…×23×26）2×12，所以删除元素为12！．故答案为：12！．二.选择题11．（3分）给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：给定集合A，B，则“A∩B⊇A∪B”，则A＝B，反之A＝B，则A∩B⊇A∪B成立，即“A∩B⊇A∪B”是“A＝B”的充要条件，故选：C．12．（3分）下列说法中，正确的是（）A．数据3，3，4，5，4，6的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数D．数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半【解答】解：在A中，数据3，3，4，5，4，6的众数是3和4，故A错误；在B中，一组数据的标准差是这组数据的方差的开方，故B错误；在C中，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故C错误；在D中，数据1，2，3，4的平均数为：＝，方差为：[（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2+（4﹣）2]＝，标准差为，是数据2，4，6，8的平均数为：＝5，方差为：[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]＝5，标准差为：，∴数据1，2，3，4的标准差是数据2，4，6，8的标准差的一半，故D正确．故选：D．13．（3分）下列四个组合数公式：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）＝（0≤k≤n）（2）＝（0≤k≤n）（3）＝（1≤k≤n）（4）＝+（1≤k≤n）其中正确公式的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【解答】解：对n，k∈N，约定0!＝＝1，有（1）由排列与组合数的计算公式可知：＝（0≤k≤n），正确．（2）由组合数的性质可得：＝（0≤k≤n），正确．（3）左边＝＝＝（1≤k≤n）正确．（4）由组合数的性质可得：＝+（1≤k≤n），正确．因此正确公式的个数是4．故选：A．14．（3分）圆锥SO的底面圆O的半径为1，高为h．已知圆锥SO的内接圆柱O1O（圆柱O1O的下底面圆的圆心是O，上底面圆在圆锥的侧面上）的最大体积是π，则该圆锥的内接圆柱O1O且其体积为的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【解答】解：设SO1＝h1，内接圆柱O1O的半径为r，（0＜r＜1），由题意得h1＝rh，OO1＝h﹣rh，∴＝πr2（h﹣rh）＝πhr2（1﹣r），∵≤•[]3＝，∴＝πhr2（1﹣r）≤，解得h＝1．＝πr2（1﹣r）＝，∴8r3﹣8r2﹣1＝0，∵0＜r＜1，∴方程有两个解符合题意．故选：B．三、简答题15．解不等式（1）解关于实数x的不等式：（a2﹣1）x＞a3﹣1，其中a是实参数；（2）解关于正整数k≤2n的不等式：＞，其中n是给定的正整数．【解答】解：（1）①当a＝1时，不等式不成立当a＝﹣1时，解当﹣1＜a＜1时集为空集；②当a＝﹣1时，不等式恒成立，解集为R；③当﹣1＜a＜1时，x＜，不等式解集为（﹣∞，）；④当a＜﹣1或a＞1时，x＞，不等式的解集为（，+∞）（2）根据组合数公式得：＞，化简得：1≤k＜n+≤n，故不等式的解集为{k|1≤k≤n，n∈N*，k∈N*}16．SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0．（1）证明：棱锥的底面四边形ABCD是矩形；（2）求此棱锥的全面积S和棱锥的体积V．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结SO，∵SA＝SB＝SC＝SD＝AB＝CD＝2a四棱锥S﹣ABCD中，BC＝DA＝a，其中a＞0，四边形是平面四边形，∴四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，且O是BD的中点，∴SO⊥AC，SO⊥BD，∴SO⊥平面ABCD，∴AO＝CO＝BO＝DO，∴AC＝BD，∴棱锥的底面四边形ABCD是矩形．解：（2）此棱锥的全面积：S＝2S △SAB+2S△SBC+S＝+2×+2a×a＝a2，此棱锥的体积V＝＝×2a2＝a3．17．非空有限集合S是由若干个正实数组成，集合S的元素个数|S|≥2．对于任意a，b∈Sa ≠b，数a b或b a中至少有一个属于S，称集合S是“好集”：否则，称集合S是“坏集”．（1）判断A＝{1，3，9}和B＝{1，，，}是“好集”，还是“坏集”；（2）题设的有限集合S中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合S是“坏集”．【解答】解：（1）∵A＝{1，3，9}，39∉A，且93∉A，∴A是“坏集”，∵B＝{1，，，}，∈B，（）∈B，∴B是“好集”．证明：（2）∵a是S中小于1的元素中的最小元素，b是S中大于1的元素中的最小元素，则由指数函数的单调性得：a b＜a1＝a，1＜b a＜b1＝b，∴a b∉S，且b a∉S，∴集合S是“坏集”．18．小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p（0＜p＜1），考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1＝p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2＝p2，他发现p1＞p2，只做一道更容易及格．（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3及p4；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？【解答】解：（1）由题意得：，．（2）①p1＞p3且p1＞p4，∴0＜p ＜；②p3＞p1且p3＞p4，；③p4＞p1且p4＞p3，无解．综上，0＜p ＜时，恰做一道及格概率最大；p ＝时，p1＝p3；时，恰做三道及格概率最大．第11页（共11页）。

2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高一第二学期期末数学试卷（A 卷）一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合A ＝{﹣1，3，2m ﹣1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝ ． 2．“sin α=√32”是“α=2π3”的 条件．3．设指数函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ． 4．设函数f （x ）=1x 2+2x ，g （x ）=√x +2+1x 2，则f （x ）﹣g （x ）＝ ． 5．函数y ＝4x +9x−5（x ＞5）的最小值是 ．6．若2cos （π﹣x ）＝sin （3π+x ），则sin(2π−x)−5cos(5π+x)sin(π+x)+7cos(−x−3π)= ．7．已知下列三组函数：①y ＝ln （x 2）与y ＝2lnx ；②y =x 2|x|与y ={t ，t ＞0−t ，t ＜0；③f （x ）＝x ，D ＝{0，1}与g （x ）＝x 2，D ＝{0，1}表示同一函数的是 （写出所有符合要求的函数组的序号）8．函数f （x ）＝x −√2x −5的值域为 ．9．已知函数y ＝f （x ），x ∈R ，对函数y ＝g （x ），x ∈I ，定义g （x ）关于f （x ）的“对称函数”为函数y ＝h （x ），x ∈I ，y ＝h （x ）满足：对任意x ∈I ，两个点（x ，h （x ）），（x ，g （x ）关于点（x ，f （x ））对称，若y ＝h （x ）是g （x ）=√9−x 2关于f （x ）＝2x +b 的“对称函数”，且h （x ）＞g （x ）恒成立，则实数b 的取值范围10．已知函数f(x)=|x +1x|−|x −1x|，关于x 的方程f 2（x ）+a |f （x ）|+b ＝0（a ，b ∈R ）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 二、选择题11．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪（∁R B ）＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞212．如果α是第二象限的角，那么α3必然不是下列哪个象限的角（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．若log m 2＜log n 2＜0，则实数m 、n 的关系是（ ）A ．1＜n ＜mB ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜nD ．0＜m ＜n ＜114．下列四个图象，只有一个符合y ＝|k 1x +b 1|+|k 2x +b 2|﹣|k 3x +b 3|（k 1，k 2k 3∈R +，b 1b 2b 3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k 1、k 2、k 3之间一定满足的关系是（ ）A ．k 1+k 2＝k 3B ．k 1＝k 2＝k 3C ．k 1+k 2＞k 3D ．k 1+k 2＜k 3三、解答题15．判断并证明函数f （x ）=1x 2−1在区间（﹣1，0）上的单调性． 16．解关于x 的不等式：x 2﹣（a +a 2）x +a 3＞0．17．如图是国际田联的标准400米跑道，它的最内侧跑道的边线是由两根84.39米的平行直线和两段半径36.80米的半园组成，每根跑道宽1.22米（道与道间的划线宽度忽略不计）．比赛时运动员从下方标有数字处出发，为了比赛公平．外道的运动员的起跑点较内道的会有一定的提前量，使得所有运动员跑过的路程完全一致．假设每位运动员都会沿着自己道次的最内侧跑．（1）试给出400米比赛各道次提前量y 关于道次n 之间的函数关系，并完成下表（精确到0.01米）（2）800米比赛的规则是从出发处按道次跑完第一个弯道后可以开始并道赛跑，请你设计第8道选手的最优跑步路线并给出他起跑的提前量应该是多少． 道次 2 3 4 5 6 7 8 提前量（米）7.6715.3323.0030.6638.3346.0053.6618．已知函数f （x ）的定义域是{x|x ∈R ，x ≠k 2，k ∈Z }且f （x ）+f （2﹣x ）＝0，f （x +1）=−1f(x)，当0＜x ＜12时，f （x ）＝2019x ．（1）求证：f （x ）是奇函数；（2）求f （x ）在区间 （12，1）上的解析式；（3）是否存在正整数k ，使得当x ∈（2k +12，2k +1）时，不等式log 2019f(x)＞x 2−kx −2k有解？证明你的结论．2016-2017学年上海市浦东新区华师大二附中高一第二学期期末数学试卷（A 卷）参考答案一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合A ＝{﹣1，3，2m ﹣1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝ 1 ． 【分析】根据题意，若B ⊆A ，必有m 2＝2m ﹣1，而m 2＝﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证． 解：由B ⊆A ，m 2≠﹣1， ∴m 2＝2m ﹣1．解得m ＝1． 验证可得符合集合元素的互异性，此时B ＝{3，1}，A ＝{﹣1，3，1}，B ⊆A 满足题意． 故答案为：12．“sin α=√32”是“α=2π3”的 必要非充分 条件．【分析】根据充分必要条件的定义，从而得到结论．解：“sin α=√32”则α=2π3+2k π或α=π3+2k π，∴“sin α=√32”是“α=2π3”的必要非充分条件，故答案为：必要非充分3．设指数函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是 1＜a ＜2 ． 【分析】欲使得指数函数f （x ）＝（a ﹣1）x 是R 上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a 的取值范围． 解：根据指数函数的性质得： 0＜a ﹣1＜1， ∴1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2． 4．设函数f （x ）=1x 2+2x ，g （x ）=√x +2+1x2，则f （x ）﹣g （x ）＝ 2x −√x +2，x ∈[﹣2.0）∪（0，+∞） ．【分析】作差后，求x 的范围时，要注意x ≠0．解：f （x ）﹣g （x ）=1x 2+2x −√x +2−1x 2=2x −√x +2，x ∈[﹣2，0）∪（0，+∞） 故答案为：2x −√x +2，x ∈[﹣2，0）∪（0，+∞） 5．函数y ＝4x +9x−5（x ＞5）的最小值是 32 ． 【分析】先进行换元t ＝x ﹣5，则t ＞0，可得y ＝4x +9x−5=4t +9t+20，然后利用基本不等式即可求解．解：由x ＞5可得x ﹣5＞0， 令t ＝x ﹣5，则t ＞0， 则y ＝4x +9x−5=4t +9t +20≥20+2√4t ⋅9t=32， 当且仅当4t =9t即t =32时取得最小值32，此时x =132． 故答案为：326．若2cos （π﹣x ）＝sin （3π+x ），则sin(2π−x)−5cos(5π+x)sin(π+x)+7cos(−x−3π)= −13 ．【分析】由条件利用诱导公式求得tan x ＝2，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．解：∵2cos （π﹣x ）＝sin （3π+x ），∴﹣2cos x ＝﹣sin x ，∴tan x ＝2， 则sin(2π−x)−5cos(5π+x)sin(π+x)+7cos(−x−3π)=−sinx+5cosx −sinx−7cosx=sinx−5cosx sinx+7cosx=tanx−5tanx+7=−13，7．已知下列三组函数：①y ＝ln （x 2）与y ＝2lnx ；②y =x 2|x|与y ={t ，t ＞0−t ，t ＜0；③f （x ）＝x ，D ＝{0，1}与g （x ）＝x 2，D ＝{0，1}表示同一函数的是 ②③ （写出所有符合要求的函数组的序号）【分析】通过看定义域可判断①的两函数不是同一函数，对于②可得出y =x 2|x|=|x|={xx ＞0−xx ＜0，显然与y ={tt ＞0−tt ＜0是同一函数，对于③的两函数都表示两个点（0，0），（1，1），从而是同一函数，从而得出是同一函数的为②③．解：①y ＝ln （x 2）的定义域为{x |x ≠0}，y ＝2lnx 的定义域为{x |x ＞0}，定义域不同，不是同一函数； ②y =x 2|x|=|x|={x x ＞0−x x ＜0，与y ={tt ＞0−t t ＜0是同一函数；③f（x）＝x，D＝{0，1}表示两个点（0，0），（1，1），g（x）＝x2，D＝{0，1}表示两个点（0，0），（1，1），是同一函数；∴表示同一函数的是②③．故答案为：②③．8．函数f（x）＝x−√2x−5的值域为[2，+∞）．【分析】设√2x−5=t，则t≥0，利用换元法，结合二次函数的性质即可求出．解：设√2x−5=t，则t≥0，则2x﹣5＝t2，即x=12（t2+5），∴y=12（t2+5）﹣t=12t2﹣t+52=12（t﹣1）2+2≥2，故函数f（x）的值域为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）9．已知函数y＝f（x），x∈R，对函数y＝g（x），x∈I，定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y＝h（x），x∈I，y＝h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x）关于点（x，f（x））对称，若y＝h（x）是g（x）=√9−x2关于f（x）＝2x+b 的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围（3√5，+∞）【分析】根据两个函数关于y＝f（x）的对称定义，写出函数y＝h（x）的解析式，再利用h（x）＞g（x）恒成立列出不等式，在同一坐标系内画出两个函数的图象，由数形结合求出b的取值范围．解：根据两个函数h（x）与g（x）关于y＝f（x）的对称定义知，函数g（x）=√9−x2，f（x）＝2x+b，∴函数y＝h（x）＝4x+2b−√9−x2；h（x）＞g（x）恒成立，即4x+2b−√9−x2＞√9−x2恒成立，化简为2x+b＞√9−x2恒成立；在同一坐标系内画出y＝2x+b和y=√9−x2的图象，如图所示；由图形知，圆心O（0，0）到直线2x﹣y+b＝0的距离d＞r，3，即22解得b＞3√5或b＜﹣3√5（不合题意，舍去）；综上所述，实数b的取值范围是b＞3√5．故答案为：（3√5，+∞）．|−|x−1x|，关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰10．已知函数f(x)=|x+1x有6个不同实数解，则a的取值范围是（﹣4，﹣2）．【分析】题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0恰有6个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）＝2时，它有二个根，且当f（x）＝k（0＜k＜2），关于x的方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，据此即可求得实数a的取值范围．解：先根据题意作出f（x）的简图：得f（x）＞0．∵题中原方程f2（x）+a|f（x）|+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，即方程f2（x）+af （x）+b＝0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，∴故由图可知，只有当f（x）＝2时，它有二个根．故关于x的方程f2（x）+af（x）+b＝0中，有：4+2a+b＝0，b＝﹣4﹣2a，且当f（x）＝k，0＜k＜2时，关于x的方程f2（x）+af（x）+b＝0有4个不同实数解，∴k2+ak﹣4﹣2a＝0，a＝﹣2﹣k，∵0＜k＜2，∴a∈（﹣4，﹣2）．故答案为：（﹣4，﹣2）．二、选择题11．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪（∁R B ）＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2【分析】先求出∁R B ，从而根据集合A 及A ∪（∁R B ）＝R 即可求出a 的取值范围． 解：∵∁R B ＝{x |x ≤1，或x ≥2}， ∴若A ∪（∁R B ）＝R ； ∴a ≥2． 故选：C ．12．如果α是第二象限的角，那么α3必然不是下列哪个象限的角（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】由α的范围判断α的13的范围，先写出角的范围，再除以3，求出角的13的范围，看出角的范围． 解：∵α是第二象限角， ∴α∈（2k π+π2，2k π+π），k ∈Z ， ∴α3∈（23k π+π6，23k π+π3），k ∈Z ．∴是第一或二，四象限角． 故选：C ．13．若log m 2＜log n 2＜0，则实数m 、n 的关系是（ ） A ．1＜n ＜mB ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜nD ．0＜m ＜n ＜1【分析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出． 解：∵log m 2＜log n 2＜0，∴lg2lgm ＜lg2lgn＜0，∴lgn＜lgm＜0，可得0＜n＜m＜1．故选：B．14．下列四个图象，只有一个符合y＝|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（k1，k2k3∈R+，b1b2b3≠0）的图象，则根据你所判断的图象，k1、k2、k3之间一定满足的关系是（）A．k1+k2＝k3B．k1＝k2＝k3C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k3【分析】由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．解：y＝|k1x+b1|﹣|k2x+b2|+|k3x+b3|（其中k1＞0，k2＞0，k3＜0，b1，b2，b3为非零实数），当x足够小时，y＝﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3），当x足够大时，y＝（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3），可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有第2个图象符合条件．此时k1+k2﹣k3＝0，即k1+k2＝k3，故选：A．三、解答题15．判断并证明函数f（x）=1x2−1在区间（﹣1，0）上的单调性．【分析】根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜0，作差分析可得f（x1）﹣f（x2）=(x2−x1)(x2+x1) (x12−1)(x22−1)，结合﹣1＜x1＜x2＜0，分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由函数单调性的定义，分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）=1x2−1在区间（﹣1，0）上单调递增，证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=1x12−1−1x22−1=(x2−x1)(x2+x1)(x12−1)(x22−1)，又由﹣1＜x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x2+x1＜0，x12﹣1＜0，x22﹣1＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）=1x2−1在区间（﹣1，0）上单调递增．16．解关于x的不等式：x2﹣（a+a2）x+a3＞0．【分析】把不等式坐标利用十字相乘法分解因式，然后分a大于a2、a小于a2及a等于a2三种情况即a小于0，a等于0，a大于0小于1，a等于1，a大于1五种情况，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可．解：（x﹣a）（x﹣a2）＞0①当a＜0时，x＞a2或x＜a；②当a＝0时，x≠0；③当0＜a＜1时，x＞a或x＜a2；④当a＝1时，x≠1；⑤当a＞1时，x＞a2或x＜a；综上，当a＜0或a＞1时，不等式解集为{x|x＞a2或x＜a}；当a＝0时，不等式解集为{x|x≠0}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞a或x＜a2}；当a＝1时，不等式解集为{x|x≠1}．17．如图是国际田联的标准400米跑道，它的最内侧跑道的边线是由两根84.39米的平行直线和两段半径36.80米的半园组成，每根跑道宽1.22米（道与道间的划线宽度忽略不计）．比赛时运动员从下方标有数字处出发，为了比赛公平．外道的运动员的起跑点较内道的会有一定的提前量，使得所有运动员跑过的路程完全一致．假设每位运动员都会沿着自己道次的最内侧跑．（1）试给出400米比赛各道次提前量y关于道次n之间的函数关系，并完成下表（精确到0.01米）（2）800米比赛的规则是从出发处按道次跑完第一个弯道后可以开始并道赛跑，请你设计第8道选手的最优跑步路线并给出他起跑的提前量应该是多少．道次2345678提前量（米）7.6715.3323.0030.6638.3346.0053.66【分析】（1）7.67π≈2.44．根据一次函数的关系即可得出．（2）经过第一个弯道后并道，恰好在第二个弯道入口处到达最里内道，再沿着最内道完成比赛，提前量为27.26米．解：（1）7.67π≈2.44．y ＝2.44π（n ﹣1），n ∈[1，8]，n ∈N *．（2）经过第一个弯道后并道，恰好在第二个弯道入口处到达最里内道，再沿着最内道完成比赛，提前量为27.26米．18．已知函数f （x ）的定义域是{x|x ∈R ，x ≠k 2，k ∈Z }且f （x ）+f （2﹣x ）＝0，f （x +1）=−1f(x)，当0＜x ＜12时，f （x ）＝2019x ． （1）求证：f （x ）是奇函数；（2）求f （x ）在区间 （12，1）上的解析式； （3）是否存在正整数k ，使得当x ∈（2k +12，2k +1）时，不等式log 2019f(x)＞x 2−kx −2k 有解？证明你的结论．【分析】（1）由已知f （x +1）=−1f(x)，得f （x +2）=−1f(x+1)=f （x ），进而结合f （x ）+f （2﹣x ）＝0，可得f （x ）+f （﹣x ）＝0，结合奇函数的定义，即可得证；（2）由x ∈（12，1）时，1﹣x ∈（0，12），结合已知f （x ）＝2019x ．结合（1）中结论可得所求解析式；（3）由（2）的结论及指数的运算性质，可将不等式log 2019f （x ）＞x 2﹣kx ﹣2k 转化为二次不等式的形式，进而分析出对应函数在区间（2k +12，2k +1）上的单调性，即可得到结论． 解：（1）证明：由f （x +1）=−1f(x)，得f （x +2）=−1f(x+1)=f （x ），由f （x ）+f （2﹣x ）＝0得f （x ）+f （﹣x ）＝0，故f （x ）是奇函数；（2）当x ∈（12，1）时，1﹣x ∈（0，12）， ∴f （1﹣x ）＝20191﹣x ，而f （1﹣x ）=−1f(−x)，∴f （x ）＝2019x ﹣1； （3）当x ∈（2k +12，2k +1），k ∈Z 时，x ﹣2k ∈（12，1）， ∴f （x ﹣2k ）＝2019x ﹣2k ﹣1， 因此f （x ）＝f （x ﹣2k ）＝2019x ﹣2k ﹣1，不等式log 2019f （x ）＞x 2﹣kx ﹣2k 即为x ﹣2k ﹣1＞x 2﹣kx ﹣2k ， 即x 2﹣（k +1）x +1＜0．令g （x ）＝x 2﹣（k +1）x +1，对称轴为x =k+12， 因此函数g （x ）在（2k +12，2k +1）上单调递增，因为g （2k +12）＝（2k +12）2﹣（k +1）（2k +12）+1＝（2k +12）（k −12）+1，又k 为正整数，所以g （2k +12）＞0，因此x 2﹣（k +1）x +1＞0在（2k +12，2k +1）上恒成立， 因此不存在正整数k 使不等式x 2﹣（k +1）x +1＜0有解．。

长春2016-2017学年第二学期期末考试高一年级数学试卷（理科）出题人 ：马双 审题人：王先师本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知2||||==b a ,向量a 与b 的夹角为60，则b a ⋅等于（ ）A ．12 B C ．2 D ．42.有一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体应是一个( )A. 棱台B. 棱锥C. 棱柱D. 都不对3.如图， ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )． A ．BD ∥平面CB1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°俯视图4．如果一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（）A. 3cmB. 3cmC.833cm D. 3343cm5．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么C cos 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-46．各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，则27211log log a a +的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 7. 已知直线1l 、2l , 平面α,α//,//121l l l ，那么2l 与平面α的关系是（ ）.A. α//1lB.α⊂2lC.αα⊂22//l l 或D. 2l 与α相交8．原点和点(1,1)在直线a y x =+两侧，则a 的取值范围是( )A ．20><a a 或B ．20<<aC ．20==a a 或D ．20≤≤a 9．已知A ，B ，C 三点在球O 的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的，则球O 的表面积为 （）A.π36B. π4C.π427 D. π22710． 以下列函数中，最小值为2的是（ ）A ．33x xy -=+ B ．1y x x=+C ．()1lg 01lg y x x x=+<< D ．1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ 11.设1a 0=+<<b a b 且，则下列选项中最大的是（ ） A ．12B ．bC ．ab 2D ．22b a + 12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝12(a 2＋a 4＋…＋a 2n )，a 1a 3a 5＝8，则a 8＝ ( )A ．－116B ．－132C ．－64D ．－128第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

2018-01-23高中数学必修二期末考试考试时间2小时满分150分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.、是椭圆的两焦点，Q是椭圆上任一点，过一焦点引的外角平分线的垂线，则垂足M的轨迹为A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线2.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是A. B. C. D.3.已知直线a与直线b垂直，a平行于平面，则b与的位置关系是A. B. b C. b与相交 D. 以上都有可能4.体积为的球有一个内接正三棱锥是球的直径，，则三棱锥的体积为A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是A. 4B.C.D. 26.一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为A.B.C.D.7.过原点作直线与圆相交于两点，若所得劣弧长为，则直线AB的方程为A. B. C. D.8.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是A. B. 或C. D.9.若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：，则；，则；，则，则其中正确的命题有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若直线与圆相切，则点的位置是A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 以上皆有可能11.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.B.C.D.12.已知点是：内一点，则以点M为中点的圆O的弦长为A.B. C. D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一个三棱锥的俯视图与侧左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为1的直角三角形，则该三棱锥的表面积为______ ．14.一个棱长为的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则此剩余部分的体积为______．15.表面红色的正方体木块，棱长为5个长度单位，现将其分割为若干个棱长一个长度单位的正方体小木块，其中两面红色的个数为；16.下列条件中，能判断两个平面平行的是一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在直三棱柱中，M为的中点，为等边三角形．Ⅰ证明：平面；Ⅱ若，求点到平面的距离．18.已知圆O：和点．若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；若，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程并求此时的．19.本小题满分14分如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，点E是CD边的中点，点分别在线段上，且．证明：求二面角的正切值求直线PA与直线FG所成角的余弦值．20.本题满分10分在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：求点到直线的距离；求边的高所在直线的方程．21.如图，直三棱柱，，点分别为和的中点。

2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在等差数列{a n}中，a2+a7+a12＝21，则{a n}的前13项之和等于2．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，则这个数列的通项公式a n＝3．（4分）函数f（x）＝cos x•cos[（x﹣1）]的最小正周期是．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2+kn+2（n∈N*），若数列{a n}为单调递增数列，则实数k的取值范围是．5．（4分）下列结论中正确的是．（1）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（2）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（3）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（4）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（5）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x6．（4分），则a＝，b＝．7．（4分）在公差为d的等差数列}中，有性质：a1+a2+…+a n＝a1n+d（n∈N*），根据上述性质，相应地在公比为q的等比数列{b n}中，有性质：8．（4分）1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1＝．9．（4分）已知θ∈（0，），则＝．10．（4分）已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，其前n项和为S n，下列命题中正确的是（写出全部正确命题的序号）（1）等比数列{a n}单调递增的充要条件是a1＞0且q＞1；（2）数列：S2n﹣S n，S3n﹣S2n，S4n﹣S3n，……，也是等比数列；（3）S n＝qS n﹣1+a1（n∈N*，n≥2）；（4）点（n，S n）在函数f（x）＝c﹣d x（c，d为常数，且d＞0，d≠1）的图象上．二、选择题（每小题4分，共16分）11．（4分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？（）A．5×210B．5×229C．230﹣1D．5×（230﹣1）12．（4分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了（A）中的一项，但又减少了另一项D．增加了（B）中的两项．但又减少了另一项13．（4分）已知函数的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为偶函数，则f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称14．（4分）已知{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5＝8a12＞0，则当S n取得最大值时，n的值为（）A．16B．15C．14D．13三、解答题（10+10+12+12＝44分）15．（10分）求下列方程和不等式的解集（1）2sin2x+3sin x﹣2＝0（2）arccos3x＞arccos（2﹣5x）．16．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）＝f（B）＝，求的值．17．（12分）已知数列{a n}中，，点（n，2a n+1﹣a n）在直线y＝x上，其中n＝1，2，3…．（Ⅰ）令b n＝a n+1﹣a n﹣1，求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项；（Ⅲ）设S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．18．（12分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1＝﹣3，a2＝，a3＝4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n＝a n，c n＝，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．2017-2018学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共40分）1．（4分）在等差数列{a n}中，a2+a7+a12＝21，则{a n}的前13项之和等于91【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a2+a7+a12＝21＝3a7，解得a7＝7．则S13＝＝13a7＝91．故答案为：912．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，则这个数列的通项公式a n＝【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣1，可得a1＝S1＝0；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，则数列的通项公式a n＝．故答案为：．3．（4分）函数f（x）＝cos x•cos[（x﹣1）]的最小正周期是2．【解答】解：∵y＝cos x•cos（x﹣1）＝cos x•cos（x﹣）＝cos x•sin x＝sinπx，∴其最小正周期T＝＝2，故答案为：2．4．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2+kn+2（n∈N*），若数列{a n}为单调递增数列，则实数k的取值范围是k＞﹣3．【解答】解：∵a n＝n2+kn+2①∴a n+1＝（n+1）2+k（n+1）+2 ②②﹣①得a n+1﹣a n＝2n+1+k．若数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+k＞0．移向得k＞﹣（2n+1），k只需大于﹣（2n+1）的最大值即可，而易知当n＝1时，﹣（2n+1）的最大值为﹣3，所以k＞﹣3故答案为：k＞﹣3．5．（4分）下列结论中正确的是（1）、（3）．（1）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（2）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（3）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（4）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x（5）y＝sin（2x+）得到y＝﹣sin x【解答】解：（1）y＝sin（2x+）得到y＝sin（x+π）＝﹣sin x的图象，故（1）正确；（2）y＝sin（2x+）得到y＝sin（x++）＝sin（x+）的图象，故（2）错误；（3）y＝sin（2x+）得到y＝sin（x++）＝﹣sin x的图象，故（3）正确；（4）y＝sin（2x+）得到y＝sin（4x+4•+）＝sin（4x﹣）的图象，故（4）错误；（5）y＝sin（2x+）得到y＝sin（4x++）＝﹣sin4x的图象，故（5）错误，故答案为：（1）、（3）．6．（4分），则a＝1，b＝﹣1．【解答】解：∵＝，∴1﹣a＝0，a+b＝0∴a＝1，b＝﹣1故答案为1；﹣17．（4分）在公差为d的等差数列}中，有性质：a1+a2+…+a n＝a1n+d（n∈N*），根据上述性质，相应地在公比为q的等比数列{b n}中，有性质：a1×a2×…×a n＝（n∈N*）【解答】解：根据等差数列与等比数列定义的类比，等差数列{a n}中，a1+a2+…+a n＝a1n+d（n∈N*），类比上述性质：相应地在等比数列{b n}中，a1×a2×…×a n＝（n∈N*）．故答案为：a1×a2×…×a n＝（n∈N*）．8．（4分）1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1＝（12n﹣8）×2n+10．【解答】解：设T n＝1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1，①则2T n＝1×22+4×23+7×24+…+（3n+1）×2n+2，②①﹣②，得：﹣T n＝2+3×（22+23+24+…+2n+1）﹣（3n+1）×2n+2＝2+3×﹣（3n+1）×2n+2＝2+3×（2n+2﹣4）﹣（3n+1）×2n+2＝﹣10﹣（12n﹣8）×2n，∴T n＝（12n﹣8）×2n+10．故答案为：（12n﹣8）×2n+10．9．（4分）已知θ∈（0，），则＝﹣．【解答】解：θ∈（0，），∴0＜tanθ＜1，则＝＝＝﹣，故答案为：﹣．10．（4分）已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，其前n项和为S n，下列命题中正确的是（2），（3）（写出全部正确命题的序号）（1）等比数列{a n}单调递增的充要条件是a1＞0且q＞1；（2）数列：S2n﹣S n，S3n﹣S2n，S4n﹣S3n，……，也是等比数列；（3）S n＝qS n﹣1+a1（n∈N*，n≥2）；（4）点（n，S n）在函数f（x）＝c﹣d x（c，d为常数，且d＞0，d≠1）的图象上．【解答】解：对于（1），等比数列满足a1＜0，0＜q＜1时，数列为单调递增数列，故（1）错误；对于（2），等比数列的首项为a1，等比为q，则S n＝，S2n﹣S n＝＝，同理S3n﹣S2n＝，S4n﹣S3n＝，（S3n﹣S2n）2＝（S2n﹣S n）（S4n﹣S3n），得到此数列为等比数列，故（2）正确；对于（3），S n＝，qS n﹣1+a1＝，∴S n＝qS n﹣1+a1（n∈N*，n≥2），故（3）正确；对于（4），S n＝＝，若点（n，S n）在函数f（x）＝c﹣d x（c，d 为常数，且d＞0，d≠1）的图象上，则，当公比q＜0时不成立，故（4）错误．∴正确命题的序号是（2），（3）．故答案为：（2），（3）．二、选择题（每小题4分，共16分）11．（4分）《趣味数学•屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠其讫．问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？（）A．5×210B．5×229C．230﹣1D．5×（230﹣1）【解答】解：根据题意，分析可得该人每天所屠的肉成等比数列，且首项a1＝5，公比为2，则该人共屠了30天，则一共屠肉S30＝＝5×（230﹣1）；故选：D．12．（4分）用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了（A）中的一项，但又减少了另一项D．增加了（B）中的两项．但又减少了另一项【解答】解：当n＝k时，左端＝++…+，那么当n＝k+1时左端＝++…+++，，故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了+项，同时减少了这一项，故选：D．13．（4分）已知函数的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为偶函数，则f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【解答】解：∵函数的最小正周期为＝π，∴ω＝2，故f（x）＝sin（2x+φ）．将该函数的图象向左平移个单位后，得到y＝sin（2x++φ）的图象，根据所得图象对应的函数为偶函数，可得+φ＝，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝sin＝，则f（x）的图象不关于点对称，也不关于直线对称，故排除A，D；令x＝，求得f（x）＝sinπ＝0，故f（x）的图象关于点对称，不关于直线对称，故排除D，故选：C．14．（4分）已知{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5＝8a12＞0，则当S n取得最大值时，n的值为（）A．16B．15C．14D．13【解答】解：设数列{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，数列{a n}满足3a5＝8a12＞0，则：3a5＝8（a5+7d），即：．所以：d＜0．又a16＝a5+11d，＝，，所以：a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，则：b1＞b2＞b3＞…＞b16＞0＞b17＞b18，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，，a18＝a5+13d＝，所以：a15＞a18，则：b15＞﹣b16，b15+b16＞0，所以：S16＞S14，当n＝16时，S n取得最大值为S16．故选：A．三、解答题（10+10+12+12＝44分）15．（10分）求下列方程和不等式的解集（1）2sin2x+3sin x﹣2＝0（2）arccos3x＞arccos（2﹣5x）．【解答】解：（1）方程2sin2x+3sin x﹣2＝0化为（sin x+2）（2sin x﹣1）＝0，解得sin x＝或sin x＝﹣2（不合题意，舍去），∴x＝2kπ+或x＝2kπ+，k∈Z；∴方程的解为{x|x＝2kπ+或x＝2kπ+，k∈Z}（2）由反余弦函数的定义与性质知，arccos3x＞arccos（2﹣5x）等价于，解得0≤x＜，∴不等式的解集为{x|0≤x＜}．16．（10分）已知函数f（x）＝sin2x+cos2（﹣x）﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值；（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）＝f（B）＝，求的值．【解答】（本题满分14分）第（1）小题满分（6分），第（2）小题满分（8分）．解：f（x）＝sin2x+cos2（﹣x）﹣＝•+﹣＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）（1）由于0≤x≤，因此﹣≤2x﹣≤，所以当2x﹣＝即x＝时，f （x）取得最大值，最大值为1；（2）由已知，A、B是△ABC的内角，A＜B，且f（A）＝f（B）＝，可得：2A﹣＝，2B﹣＝，解得A＝，B＝，所以C＝π﹣A﹣B＝，得＝＝．17．（12分）已知数列{a n}中，，点（n，2a n+1﹣a n）在直线y＝x上，其中n＝1，2，3…．（Ⅰ）令b n＝a n+1﹣a n﹣1，求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项；（Ⅲ）设S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，试求出λ．若不存在，则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，∵，又b n＝a n+1﹣a n﹣1，b n+1＝a n+2﹣a n+1﹣1，∴＝＝＝，∴{b n}是以为首项，以为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，，…∴，将以上各式相加得：∴，∴．∴．（Ⅲ）存在λ＝2，使数列是等差数列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a n+2b n＝n﹣2∴＝又∴当且仅当λ＝2时，数列是等差数列．18．（12分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{a n}为“H型数列”，且a1＝﹣3，a2＝，a3＝4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{a n}为“H型数列”，且其前n项和S n满足S n＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{a n}的每一项均为正整数，且{a n}为“H型数列”，b n＝a n，c n＝，当数列{b n}不是“H型数列”时，试判断数列{c n}是否为“H型数列”，并说明理由．【解答】解：（1）由题意得，a2﹣a1＝3＞2，a3﹣a2＝4﹣＞2，即2﹣＝＞0，解得m或m＜0．∴实数m的取值范围时（﹣∞，0）∪．（2）假设存在等差数列{a n}为“H型数列”，设公差为d，则d＞2，由a1＝1，可得：S n＝n+，由题意可得：n+＜n2+n对n∈N*都成立，即d都成立．∵＝2+＞2，且＝2，∴d≤2，与d＞2矛盾，因此不存在等差数列{a n}为“H型数列”．（3）设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝，且每一项均为正整数，且a n+1﹣a n＝a n （q﹣1）＞2＞0，∴a1＞0，q＞1．∵a n+1﹣a n＝a n（q﹣1）＞a n﹣a n﹣1，即在数列{a n﹣a n﹣1}（n≥2）中，“a2﹣a1”为最小项．同理在数列{b n﹣b n﹣1}（n≥2）中，“b2﹣b1”为最小项．由{a n}为“H型数列”，可知只需a2﹣a1＞2，即a1（q﹣1）＞2，又因为{b n}不是“H型数列”，且“b2﹣b1”为最小项，∴b2﹣b1≤2，即a1（q﹣1）≤3，由数列{a n}的每一项均为正整数，可得a1（q﹣1）＝3，∴a1＝1，q＝4或a1＝3，q＝2，①当a1＝1，q＝4时，，则，令，则，令，则＝，∴{d n}为递增数列，即d n＞d n﹣1＞d n﹣2＞…＞d1，即c n+1﹣c n＞c n﹣c n﹣1＞c n﹣1﹣c n﹣2＞…＞c2﹣c1，∵，所以，对任意的n∈N*都有c n+1﹣c n＞2，即数列{c n}为“H型数列”．②当a1＝3，q＝2时，，则，显然，{c n}为递减数列，c2﹣c1＜0≤2，故数列{c n}不是“H型数列”；综上：当时，数列{c n}为“H型数列”，当时，数列{c n}不是“H型数列”．。