平面直角坐标系中的距离公式(一)两点间的距离公式[1]

坐标上两点之间的距离公式在数学的广袤世界里，坐标上两点之间的距离公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开许多谜题。

咱们先来说说这距离公式到底是啥。

假设在平面直角坐标系中有两个点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，那么这两点之间的距离 d 就可以通过公式d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] 来计算。

我给大家举个小例子哈。

比如说有两个点，A 点的坐标是(1, 2)，B点的坐标是(4, 6)。

那咱们就把数字往公式里带，x₁ = 1，y₁ = 2，x₂= 4，y₂ = 6。

先算括号里的 (4 - 1)² = 3² = 9，(6 - 2)² = 4² = 16，然后把这俩加起来 9 + 16 = 25，最后再开个根号，距离 d 就等于 5。

有一次，我在课堂上讲这个知识点的时候，发现有个同学一脸迷茫。

我就走到他身边问：“咋啦，没听懂？”他不好意思地点点头。

我就耐心地又给他讲了一遍，从最基础的坐标轴概念开始，一步一步引导他理解这个公式。

最后，当他终于算出正确答案，脸上露出那种恍然大悟又带着点小得意的笑容时，我心里那叫一个满足。

这距离公式可不只是在数学题里有用哦。

比如说，你要规划从家到学校的最短路线，就可以把家和学校看作两个点，通过坐标和距离公式来算算怎么走最近。

再比如，建筑师在设计大楼的时候，也得用这个公式来确定不同部分之间的距离和位置，保证大楼稳稳当当的。

还有啊，在电脑游戏里，像那种需要计算角色移动距离或者攻击范围的，其实也都用到了这个公式呢。

咱们回到学习上来，要想真正掌握这个公式，得多做练习题。

别一看到题就头疼，其实每做一道题，都是在给自己积累经验值，就像游戏里升级打怪一样，等经验值够了，这个公式就能被你运用得炉火纯青。

而且，大家要学会举一反三。

比如说，如果给的不是平面直角坐标系，而是空间直角坐标系，那这公式又该怎么变呢？这就需要大家开动脑筋去思考啦。

张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。

平面直角坐标系中两点间的距离在数学学科中，平面直角坐标系是一个非常重要的概念。

它以x轴和y轴为基准，通过坐标点的表示方式，使得我们可以方便地描述和计算平面上的各种几何关系。

在平面直角坐标系中，我们经常需要计算两点之间的距离，这是一个基础而且实用的概念。

首先，让我们来看一个简单的例子。

假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们想要计算出它们之间的距离。

根据勾股定理，两点之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，(x1, y1)和(x2, y2)分别是点A和点B的坐标。

将A(2, 3)和B(5, 7)代入公式中，我们可以得到：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

接下来，让我们来看一个稍微复杂一点的例子。

假设有两个点C(-1, 2)和D(3, -4)，我们同样想要计算它们之间的距离。

按照上述公式计算，我们可以得到：d = √((3 - (-1))² + (-4 - 2)²)= √((3 + 1)² + (-4 - 2)²)= √(4² + (-6)²)= √(16 + 36)= √52这个结果看起来有些复杂，但我们可以进一步化简。

52可以分解为2² × 13，因此：d = √(4 × 13)= √52= 2√13所以，点C和点D之间的距离可以表示为2√13个单位。

通过上述例子，我们可以看出计算两点之间的距离并不难，只需要将坐标代入公式中进行计算即可。

但需要注意的是，在计算过程中我们要仔细处理负号和平方根，以确保结果的准确性。

在实际生活中，平面直角坐标系中两点之间的距离有着广泛的应用。

距离公式及中点公式距离公式和中点公式是数学中经常用到的公式，它们在解决空间几何问题和平面几何问题时非常有用。

本文将介绍距离公式和中点公式的概念、推导及应用。

一、距离公式距离公式用于计算平面上两点之间的距离。

假设平面上有点A(x1,y1)和点B(x2, y2)，我们可以使用以下距离公式来计算它们之间的距离：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中d表示点A和点B之间的距离。

这个公式的推导可以从勾股定理开始。

以点A和点B为两条直角边，连接点A和点B的线段为斜边，根据勾股定理可得到上述距离公式。

这个公式可以应用于多种问题，比如计算两个坐标点之间的直线距离或者判断某个点到直线的距离等。

通过计算平面上两点之间的距离，我们可以更好地理解它们之间的几何关系。

二、中点公式中点公式用于计算平面上线段的中点坐标。

假设平面上有一条线段AB，其中点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，我们可以使用以下中点公式来计算该线段的中点坐标：M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中M表示线段AB的中点坐标。

这个公式的推导非常简单，我们只需要计算线段的横坐标和纵坐标的平均值即可得到中点的坐标。

中点公式常用于平面几何和坐标系的计算中。

通过求解线段的中点坐标，我们可以更准确地确定线段的位置、长度和方向，并能够在计算中起到简化问题的作用。

三、应用示例接下来我们通过两个应用示例来演示距离公式和中点公式的具体应用。

应用示例一：平面直角坐标系中两点距离计算假设平面直角坐标系中有两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离。

根据距离公式，代入坐标值进行计算得：d = √[(5 - 2)² + (7 - 3)²] = √[3² + 4²] = √(9 + 16) = √25 = 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，即在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两个点的坐标来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，点A和点B之间的距离d可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，x2 - x1表示两点在x轴上的距离，y2 - y1表示两点在y轴上的距离。

将这两个距离的平方相加，再开根号即可得到两点之间的距离。

举个例子来说明这个公式的使用。

假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。

这个距离公式的推导过程并不复杂，但它在实际应用中非常重要。

在几何学和物理学中，我们经常需要计算两点之间的距离。

例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物的尺寸和距离；在导航系统中，我们需要计算车辆之间的距离；在物理学中，我们需要计算物体之间的距离和位移等。

此外，这个距离公式还可以推广到三维空间中。

在三维空间中，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。

只需要将平面直角坐标系中的距离公式扩展到三个坐标轴上即可。

总之，在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，可以帮助我们计算任意两个点之间的距离。

无论是在几何学、物理学还是其他领域，这个公式都具有广泛的应用价值。