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一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
1.1整数与整除的意义
基础题
1、 和 统称为自然数.
2、 、 和 统称为整数.
3、3412=÷，我们可以说 能被 整除；也可以说 能整除 .
4、如果一个正整数除以7，商是3，余数是4，那么这个正整数是 .
5、三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 .
6、已知23能被正整数a 整除，则a 可能是 .（写出所有的可能）
7、判断：
（1）没有最小的自然数. （ ）
（2）有最大的整数. （ ）
（3）所有的自然数都是整数. （ ）
（4）3=÷n m ，n 一定能整除m . （ ）
（5）0不能作除数. （ ）
8、从下列数中选择适当的数填入相应的圈内
6，-8，0，0.5，-17，6
5，98，-3.75 正整数 负整数 自然数 整数
9、根据要求把下列算式分别填入框内
25和5，18和1，7和21，4和0.5，3和51，14和6
第一个数能被第二个数整除 第一个数能整除第二个数
提高题
10、根据要求把下列算式分别填入框内： 213÷，714÷，1751÷，522÷，624÷，317÷
整除 除尽。
1 / 7第四讲 数的整除 整除、因数和倍数【知识点】一、整除的意义1、零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。
用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。
（区分两种表述）3. 整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
二、因数和倍数1. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数,b 叫a 的因数(也称为约数)2.注意：只有在整除的条件下，才有因数和倍数的概念。
倍数和因数是相互依存的，不能单独存在，这里包含两层意思：第一，讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数。
第二，两个整数存在倍数和因数关系是相互，如果a 是b 的倍数，那么b 一定是a 的因数。
一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3.求一个数的因数的方法（1）.列乘法运算：根据因数的意义，有序的写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。
（2）.列除法运算：用此数除以任意数，所得商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。
4.求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。
三、奇数和偶数1.整数中能被2整除的整数叫做偶数（2k），余下的整数都是奇数[（2k+1）或（2k-1）]2.奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数3. 能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除【典型例题】2 / 73 / 7 一、整除例1. 什么是整数？什么是自然数？在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中， 正整数有 ，自然数有 ，整数有例2.最小的自然数是思考：非负整数，如小于3的非负整数有例 3.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 __________________________，第二个数能整除第一个数的是12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7例4. 12÷3=4，那么 能被 整除； 能整除例5： 小明认为2.5能被5整除。
教 师学 生 上课时间 学 科数学 年 级 预初 课题名称 整数和整除的意义 教学目标1、从数的类型认识整数及整数的分类、自然数的意义。
2、从整数的运算结果看、领会、理解整除的意义和条件 重点难点 整除的意义和整除的条件一、授课内容：如，一片草地的一半是21，一半的一半就是41。
即：零和正整数统称为自然数（natural ：正整数、零、负整统称为整数（integer ）12、 -7、 0、 0.4、 -23、 54、 91、 -8.75、 2016 正整数 负整数 整数 自然数5、若一个自然数为a （a ＞0），则与它相邻的两个自然数可以表示为 ；已知三个连续的自然数之和是54，则这三个数是 。
4、 知识总结与拓展:1、自然数的单位任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。
由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。
自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。
2、整数整数； 正整数、零、负正整统称为整数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
3、零现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。
那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。
3）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0）4）任何数与0相加，值不变。
5）任何数与0相乘，积等于0。
6）任何数减去0它的值不变。
7）相同的两个数相减，差等于0。
8）0不能作除数。
9）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。
10）0被非0的数除商等于0。
【知识点1】1、整数和整除的意义整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
2、自然数和整数零和正整数统称为自然数．正整数．零和负整数统称为整数.3.除尽没有余数4.整除与除尽相同点：都没有余数；除尽中包含整除不同点：整除中，被除数、除数和商都是整数，余数为0；除尽中，被除数、除数和商不一定是整数，余数为0.【典型例题1】试证明“三个连续的正整数之和能被3整除”。
【基本习题限时训练1】1、下列算式中表示整除的算式是（）（A）9÷18＝0.5 （B）6÷2＝3 （C）15÷4＝3……3 （D）0.9÷0.3＝32、下列各组数中，均为自然数的是（）（A）1.1，1.2，1.3 （B）-1，-2，-3 （C）23，34，45（D）2，4，63、下列说法正确的是……………………………………………（）（A）最小的整数是0 （B）最小的正整数是1（C）没有最大的负整数（D）最小的自然数是14、判断：（1）零是整数，但不是自然数；（2）-1是最大的负整数；（3）3248÷=，则4能被32整除；（4）整数中没有最大的数，也没有最小的数。
5、13、24、57、88四个数中能被2整除的数有哪几个？6、正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a。
【拓展题1】1、三个连续自然数的和是306，求这三个自然数。
2、试证明：能被3整除的三位数各数位上数的和能被3整除。
一、填空题1.统称为自然数。
2.统称为整数。
3.用“能”或者“不能”填空，注意主动句与被动句的不同，并熟读语句。
（1）2 整除4 （2）2 整除5（3）5 被2整除（4）6 被2整4.把下列各数填在指定的圈内：2,125，-7,0.4，101，0，-1.6，-97，43，-1自然数 负整数 整数二、选择题 1. 6÷5=1.2，表示（ ）A.6能被5整除B.6能被5除尽C.6不能被5除尽D.5能整除62.和11相邻的整数是（ ）A.9、10B.10、12C.12、13D.都是3.下列四句话中，正确的是（ ）A.最小的整数是1B.整数一定比小数大C.4能被0.8整除D.负整数、0、正整数都是整数4.把下列各算式填入相应的方框里。
课题1：数的整除1.整数和整除的意义●整数：正整数、零、负整数统称为整数。
●自然数：零和正整数统称为自然数。
[例1]是否有最小的自然数？是否有最大的整数？[解]最小的自然数是0，没有最大的整数。
●整除：整数a除以整数b（b≠0），如果除得的商是整数而余数为零，就说a能被b整除；或者说b能整除a。
注意整除的条件：(1)除数、被除数都是整数；(2)被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
●除尽与整除的区别：除尽是指除数、被除数不一定是整数、得到的商不是无限小数。
[例2]填空：已知a能整除19，且a是正整数，那么a是_________。
[解]a能整除19，那么a是1和19。
2.因数和倍数●整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(也称为约数)。
●一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
[例3]填空：3694÷=中，_________是________的因数，________是________的倍数。
[解]3694÷=中，9是36的因数，36是9的倍数。
3.能被2，3，5整除的数●能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
▲个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
[例4]下列一组数中，哪些是偶数？哪些是奇数？91，23，78，10，11，351，66，245，0。
[解]偶数有：78，10，66，0；奇数有：91，23，11，351，245。
●个位是0或5的整数都能被5整除。
[例5]在下列一组数中找出既能被2整除，又能被5整除的数，指出这些数有什么特点？12，20，35，50，72，90，112，120，105，270。
[解]既能被2整除又能被5整除的数有：20、50、90、120、270。
这些数的特点是个位上的数是零。
●一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。
4. 素数、合数与分解素因数● 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数；如果除了1和它本身以外，还有别的因数，这样的数叫做合数。
自然数1.1整数和整除的意义回顾与思考1. 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4 ....... ,叫做正整数。
2. 在正整数1、2、3、4……的前面添上“一”号，得到的数-1、-2、-3、-4……,叫 做负整数。
3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体2.0表示计算过程中某种量的基准数 例题：把下列各数填在适当的圈内:67、2005、-19. 6> 9 新课的讲解1.零和正整数统称为自然数。
2.正整数、零和负整数，统称为整数。
整数的分类思考，想一•想：有多少个整数呢？ 无数个 又有多少个自然数呢？ 是否存在最小的自然数？ 是否有最大的自然数呢？无数个 0 没有是否有最小的整数？没有是否存在最大的整数？ 没有是否存在最小的正整数？ 1三、建立整除的概念.200512、-6、0、1.观察与思考(1)1899=2 169^13=13 144912=12(2)176^5=35-1 17^10=1.7 6：5 二 1.2请你试着说说看，什么是整除？2.整除的定义整数&除以整数b,如果除得的商是整数而余数为0,我们就说&能被b整除，或者说b能整除a。
a：b二c (a. b. c都是整数且b不等于0 )64-3=2 6能被3整除，3能整除664-5=1. 2 6不能被5整除，5不能整除6做一做课堂练习：判断：4能被2整除？ J 2能被4整除？ X想一想：4能被哪些数整除？4能被1.2.4整除 1.2.4能整除4区别整除与除尽整除：被除数和除数一一都是整数，除数不等于0, 商一一商是整数，余数为0除尽：被除数和除数一一不一定是整数，除数不等于0,商一一商是整数或有限小数, 没有余数其实，整数是除尽的一种特殊形式例题讲解：例题 1 ：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？10^3 4898 694例题2 : 2.64-1.3=2,能不能说2. 6能被1.3整除?答：因为被除数和除数都不是整数，所以不能说2. 6能被1.3整除注意整除的条件：除数、被除数都是整数被除数除以除数，商是整数而且余数是0.学与练-：判断自然数的个数是有限的X2.5能被5整除 X0既不是正整数也不是负整数a^-b=l 1则b ―定能整除a最小的整数是1填空算式34-5=0.6表示3能被5 ?三有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【典型例题】【例1】统称为自然数；统称为整数；最小的自然数是；最小的正整数是。
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
整数和整除的意义、倍数和因数（一）、整数和整除的意义1、 数的产生你们知道自然数是怎样产生的吗？自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。
人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。
在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。
例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。
于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。
以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。
例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。
如，一片草地的一半是21，一半的一半就是41。
自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。
相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。
2、 自然数的单位任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。
任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。
由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。
自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。
3、 整数整数； 正整数、零、负正整统称为整数。
正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。
负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。
4、 零现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。
那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？ 零的性质：1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。
2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。
3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。
沪教版数学六年级上册1.1《整数和整除的意义》教学设计一. 教材分析整数和整除的意义是小学数学的重要内容，沪教版数学六年级上册1.1节主要让学生理解整数的概念，以及整除的意义和性质。
教材通过实例和问题，引导学生掌握整数的分类，了解整除的概念，并能运用整除的性质解决实际问题。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了整数的基本概念，具备一定的逻辑思维能力，能够理解和运用整数的性质。
但学生在理解整除的概念上可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要通过实例和问题，让学生深入理解整除的意义和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握整数的分类，理解整除的概念，并能运用整除的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生逻辑思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：整数的分类，整除的概念和性质。
2.难点：整除的性质的应用，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等多种教学方法，引导学生主动探究，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，内容包括整数的分类、整除的定义和性质等。
2.实例和问题：准备一些相关的实例和问题，用于引导学生理解和运用整除的性质。
3.学习材料：为学生准备一些学习材料，以便他们在课堂上进行自主学习和探究。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一些实际问题，引发学生对整数的分类和整除的意义的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现整数的分类、整除的定义和性质等内容，为学生提供丰富的感性材料，引导学生理解整除的概念。
3.操练（10分钟）教师提出一些问题，让学生运用整除的性质进行解答。
学生在解答问题的过程中，进一步理解和掌握整除的概念。
4.巩固（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享自己在解决问题过程中的心得体会，互相学习和交流。
沪教版数学六年级上册1.1《整数和整除的意义》教学设计一. 教材分析《整数和整除的意义》是沪教版数学六年级上册的第一课时内容，这部分内容是在学生已经掌握了整数的基本知识的基础上进行讲解的，主要让学生了解整除的概念，以及整除与除尽的区别。
教材通过具体的例子，让学生理解整除的意义，并能够运用整除的概念解决实际问题。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整数的概念已经有了初步的了解。
但是在学习整除的概念时，可能会对整除与除尽的区别产生混淆。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、交流等方式，深刻理解整除的意义。
三. 教学目标1.让学生理解整除的概念，能够识别整除的算式。
2.让学生掌握整除与除尽的区别。
3.培养学生运用整除的概念解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.整除的概念。
2.整除与除尽的区别。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，理解整除的概念，掌握整除与除尽的区别。
六. 教学准备1.教材、教案。
2.课件、教学辅助材料。
3.计时器、黑板、粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的问题，如“36除以6等于多少？”引发学生对整除的思考，进而引入整除的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示整除的定义，让学生理解整除的意义。
同时，通过对比除尽和整除，让学生掌握两者的区别。
3.操练（10分钟）教师给出一些整除的算式，让学生判断哪些是整除，哪些不是整除。
同时，让学生尝试运用整除的概念解决实际问题。
4.巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生进一步巩固整除的概念，以及整除与除尽的区别。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：除了整除，还有哪些除法运算？让学生了解除法运算的多样性。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确整除的概念，以及整除与除尽的区别。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关整除的家庭作业，让学生进一步巩固所学知识。
第一讲整除和整除、因数和倍数、能被2、3、5整除的数以及分解素因数第一部分：整除和整除的意义1、六（1）班同学分成四个小组制作世博会中国馆模型，每组做的一样多，小沈统计后说：全班共做了42个模型，他的统计正确吗？2、在1到180之间找出所有36的倍数，并求出36的所有因数。
3、96名同学报名参加世博志愿者活动，需平均分成若干组，每组不少于4人，也不多于6人，应怎样分组？4、鲁迅纪念馆的小纪念册每本5元，大纪念册每本7元，王刚买了这两种纪念册共花142元，求两种纪念册最少买了多少本？5、2010年教师节正好是星期五，师生们可以利用下午的班会课好好庆祝一下节日，有同学问了，那明年呢？你能不能不翻日历就能知道明年的教师节是星期几？6、用1,2,3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数是多少？第二部分：因数和倍数1、李海区世博会参观，可以在同一个车站乘坐世博21路和869路，世博21路每4分钟发车一次，869路每6分钟发车一次，现在这两路车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？2、为庆祝国庆，六年级同学买来336支红花，252枝黄花，210枝粉花，用这些花可以扎成每束最多多少枝同样的花？在每束花中，红、黄、粉共有多少枝？3、小明想把一张长36厘米，宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形，最后没有多余，请问这些正方形的边长为多少？一共可以折出多少个正方形？4、五年级一班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班级的人数吗？5、今天是9月19号，正好是星期天，这是小明最高兴的一天，因为他和爸爸妈妈一起去公园玩了一天，小明想：下次什么时候才能和爸爸妈妈一起去玩呢？小明知道爸爸妈妈工作很忙，只有在休息的时候才能和他一起玩，爸爸工作4天休息1天；妈妈工作3天，休息1天；小明学习5天，休息2天（周一至周五学习，星期六、日休息），你能帮他算出来吗？（要说出是几月几号？星期几）第三部分：能被2、5、3整除的数1、某个七位数1993 能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是多少？2、在1—199中，有多少个奇数？多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？3、（！）不算出结果，判断数（524+42-429）是偶数还是奇数？（2）数（42 +30-147）能被2整除，那么，应该填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？1×3×5×7×9×11×13×14×154、1＋2＋3＋4＋…＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？5、□△○□▽○…，则第2001个图形是什么形状？第四部分：素数、合数与分解素因数1、两个素数的和是40，求这两个素数的乘积最大值是多少2、自然数123 456 789是素数还是合数？3、把5、6、7、14、15这5个数分成两组，使每组数的乘积相等。
渗透数学思想方法，践行民族精神教育——《整数和整除的意义》课例分析二中（集团）初级中学王艳今年接手预初年级数学教学任务，是二起课改教材在全市全面铺开第二年，过去是使用老教材，渗透新理念。
现在真正运用新教材，一定要把二起课改理念贯彻在课堂教学中。
况且松江区已在每一个教室里安装了多媒体设备，合理有效地利用多媒体辅助设备更好地为教学服务，给自已地教学提出了更新更高的要求。
兴趣是最好的老师，如何让学生喜欢数学、喜欢你，第一次课很重要，第一炮一定要打响。
首先我认真备课，搞清楚本节课的知识点：正整数、负整数、自然数、整数，整除的概念，整除的条件。
重点是整除的概念，难点是整除的概念的理解。
在知识点的引入时，注重知识点中的内在联系。
其次在分析教材知识点中，合理地在教学中渗透数学思想和方法，数学思想方法是数学学科的灵魂，它在数学教学中有着广泛的应用，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
同时在教材上挖掘德育教育契机，在学科教学中实施民族精神教育，是弘扬和培育民族精神的主要途径。
教师要按照各学科所提示的民族精神教育内容，在课堂教学中主动地、创造性地加以落实，挖掘并丰富民族精神的内涵，并适时地进行德育教育[1]。
由于二期课改突出了学生的课堂主体地位，要求教师做好课堂的组织者、引导者[2]；是学生学习的合作者和参与者，而不是教材的代言人，知识的权威，让课堂变的灵活多变。
精心设计制作多媒体课件，把自己的教学内容充分设计进去，发挥多媒体动画功能，更好地为教学服务，为有效利用课堂40分钟做好充足的准备。
一. 分析教材,找准德育契机新的课程标准把德育放在十分重要的地位，作为基础学科的数学必须重视德育。
正如苏霍姆林斯基所说：“智育的目标不仅在于发展和充实智能，而且也在于形成高尚的道德和优美的品质。
”作为数学教师在向学生传授数学知识的同时，必须根据初中数学学科的特点，对学生进行渗透民族精神教育和生命教育[1]。
整数与整除的意义C
整除是数学的一个基本概念，它指的是一个数字被另一个数字除以另一个数字所得的结果是一个整数，而不是一个小数。
例如，十被二除，结果就是五，这就是整除，因为结果是一个整数。
整除和不整除在数学中的应用非常广泛。
其中一个最常见的数学应用是在解决分数除法问题时使用它，用整除可以帮助我们更容易地求解分数除法问题，例如，除以三分之一，在不使用整除时，很难解决这个问题，因为无论如何，最终结果都是一个分数。
但是，使用整除，我们只需要将分子和分母都除以三，就会得到一个整数，因此可以更容易地解决分数除法问题。
另外，在现代数学研究中，例如密码学，整除运算也有所应用。
在密码学中，整除运算可以用来检查一个数字是否可以被另一个数字整除。
另外，整除运算可以用来计算出模运算的结果，例如，一个数字与另一个数字相乘，然后再用第二个数字去除，结果就是模运算的结果。
此外，在日常生活的许多领域，整除也得到了广泛的应用。
例如，当两个人要分摊一笔费用时，可以用整除来更容易地计算出每个人需要付多少钱；或者，在公司中，若要分配一定的费用，可以用整除来确定每个部门应得的分配多少。
整数和整除
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1．理解并掌握整数、整除的概念；
2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系；
3．知道一个数的因数和倍数的求法。
1.整数
（1）零和正整数统称为自然数；
（2）正整数、零、负整数，统称为整数。
正整数自然数
整数零
负整数
思考题：(1)是否有最小的自然数？
(2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？
(3)有多少个自然数？正整数？负整数？
2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24.
注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0.
3.除尽与整除
（1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除；
（2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零.
4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）
注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在,
5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身.
6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.
【例1】从下列数中选择适当的数填入相应的圈内：
—32，10， 2.15，—11.5，0，18，5.5，25
自然数正整数负整数整数
【例2】下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
【例3】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内。
25÷4
25÷
6.3÷8
25÷6
5
【例4】已知12÷4=3，根据此式，判断下列说法中，不正确的是（）A.12是4的倍数 B.12是倍数
C.4是12的因数
D.4是12的约数
【例5】分别写出16的所有因数，它有多少个，最大的和最小的是几？
【例6】写出2的倍数，你能写出多少个？
1.将下列各数进行归类。
12，－7，0，0.4，－23，91，－8.75
正整数：______________________________________________________；
负整数：______________________________________________________；
整数：______________________________________________________；
2.判断对错。
（1）自然数的个数是有限的。
（）
（2）0既不是正整数，也不是负整数。
（）
（3）最小的整数是1.（）
3.下列算式属于整除的是：
A. 2.6÷1.3=2
B. 26÷13=2
C. 23÷13=1…10
D. 26÷130=0.2
4.在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在后面打“√”，不能整除的打“×”。
（1）72和36 （2）17和34
（3）20和5 （4）0.5和5
（5）18和3 （6）19和38
（7）0.2和4 （8）17和3
5. 对下列各数进行分类。
2，3，4，5，6，12，15，18，20，24，30，60
60的因数：_______________________________________________；
6的倍数：________________________________________________；
6.分别写出下列四个数的所有因数，再分别写出这四个数的倍数（只需要从小到大写出3个即可。
）12，18，30，36
7.能整除18，又能整除30的整数有几个？最大是多少？
1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）0是最小的自然数。
（ ）
（2）正整数是自然数。
（ ）
（3）正整数和负整数统称为整数。
（ ）
（4）整数包括自然数和负整数。
（ ）
2. 在下列除法算式中，被除数能被除数整除的是（ ）
A. 9.037.2=÷
B. 5525=÷
C. 3.226.4=÷
D. 5.6213=÷
3. 在下列各组数中，第一个数不能被第二个数整除的是（ ）
A. 51和3
B. 21和7
C. 18和1
D. 4和0.5
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 小数一定比整数小
B. 1是最小的整数
C. a ÷b 的商是整数，那么a 能被b 整除
D. 负整数和自然数统称为整数
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；
B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身；
C. 12在100以内的倍数共有10个；
D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16；
6. 除式21÷5=4…1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加_______，这时候商为_________；
7. 一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的长方形共有多少种不同的形状？
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
1．下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在后面的括号内打“√”。
（1）50和25 （ ） （2）16和32 （ ）
（3）2.1和0.3 （ ） （4）15和4 （ ）
（5）13和3 （ ） （6）18和6 （ ）
2．填空
（1）一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是_________；
（2）一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是_________；
（3）一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，则这个自然数是________；
（4）如果a 的最大因数是17，b 的最小倍数是1，则a+b 的和的所有因数有______个；b a -的差的所有因数有______个；b a ⨯的积的所有因数有______个；
（5）比6小的自然数中，既是2的倍数，又是2的因数的数是_________；
3．选择题
（1）15的最大因数是（ ）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 15
（2）在14=2×7中，2和7都是14的（ ）
A. 因数
B. 倍数
C. 偶数
D. 奇数
（3）一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）
（4）36的因数共有：
A. 2个
B. 8个
C. 9个
D. 12个
4．从下列数中选择适当的数填入相应的横线上：
1 2- 0 25% 27 0.3 100- 56
自然数：__________________________________________________；
负整数：__________________________________________________；
整 数：__________________________________________________；
5．把下面的算式填入相应的横线上：
630÷ 5120÷ 675÷ 62÷ 168÷ 1248÷ 整除：________________________________________________________；
除尽：________________________________________________________；
6．老师问：“当a=3.6，b=0.9时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是4，是整数，所以a 能整除b 。
”你认为对吗？
7．整数a 能被整数b 整除，它的商是c ，那么整数2×a 能被整数b 整除吗？若能整除，商是多少？若不能整除，请说明理由。
8．一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少？。
