1.1整数与整除的意义+序言

问题：（1）是否有最小的自然数?是什么？（有，0） （2）比5小的所有自然数有?(0,1,2,3,4)（3）共有多少个自然数呢?（4）最小的正整数是几？（1）分析： 带学生参加夏令营，既然要求分组，肯定不能15人作为一大组，这叫不分组，也叫不听从老师的安排；当然也不能分15组，一个人一组，各自为政，这不叫旅游，这叫冒险。

分组的目的，大家彼此合作，便于旅游活动，增进友谊，旅游愉快。

如果平均分成5组，3515=÷,每组3人；如果平均分成3组，15÷3=5,每组5人为什么不能平均分成2组或者4组呢？学生说明理由。

请学生观察： 24 ÷2=12 6÷5=1.221÷3=7 17÷10=1.784÷21=4 35÷6=5 (5)首先提问学生上面六个算式的第一个数叫做？除号后面的叫做？等号后面的叫做？帮助学生复习与熟悉已经学过的被除数与除数的概念。

请学生一起读出上面六个式子的被除数与除数。

请学生将自己认为有共同特征的算式放入不同的圈内。

可以进行以下的提示：注意观察两组算式中的被除数和除数都是整数，他们的运算结果有什么不同？第（1）组算式中的商都是整数，余数为0。

第（2）组算式中的商都是小数，或除不尽。

问题：（1）第一组算式的条件和运算结果各是什么？条件是被除数和除数都是整数，运算结果商都是整数，余数为0。

（2）上面算式中都是用具体的，特殊的数表示，如何把第一组算式用一般的式子表示？（c b a =÷，字母下面对应着被除数，除数，商）。

c b a =÷ 用字母表示数的思想被除数 除数 商总结：整数a 除以整数b ,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能够被b 整除；或者说b 能整除a 。

请学生一起读一下第一组式子。

用两种方法。

（24能被2整除，21能被3整除，84能被21整除，2能整除24，3能整除21，21能整除84，其中在式子1中24是除数，2是被除数。

整数和整除的意义教学目标：1.理解整除和自然数的意义；2.知道整除的要素，掌握整除的两种表达方式；3.了解分类、集合思想。

教学重点与难点:重点：理解和掌握整除的概念。

难点：运用整数和整除的知识解决实际问题。

教学过程：一、整数1.回顾整数首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。

教师在黑板上随机画几何图形，学生说出其个数。

这些数称之为正整数。

教师归纳，我们用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，···叫做正整数。

生活中，我们都会用到正整数。

如日历表中的日期都是用正整数表示的，请同学们再举几个例子。

有正整数就有负整数，那么什么是负整数请同学回答。

负整数：在正整数1,2,3,4,5，···的前面添上符号“-”，得到的数-1，-2，-3,-4，-5， 叫做负整数。

仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含0。

说明零既不是正整数，也不是负整数。

那么零究竟是什么含义请同学们思考作答。

零的意义：1.表示没有物体；2.表示计量过程中某种量的基准数。

（这层含义教师可做引导）因此，正整数，零，负整数统称为整数。

零和正整数统称为自然数。

（为什么将它们称为自然数因为这些数是我们在数数时自然产生的）（提示记笔记）我们从0开始逐次加1，得到了一列以0为首的自然数，如果一直加下去，能得到的自然数没有尽头，即没有最大的自然数。

同样，从0开始逐次减1，得到负整数，如果一直减下去，能得到的负整数也没有尽头，即（学生回答）没有最小的负整数。

思考：1.是否有最小的自然数2.是否有最大的正整数和最小的正整数最大的负整数和最小的负整数呢3.有多少个自然数正整数负整数练习1.完成书后练习1。

学生回答。

练习2.判断对错：1) 自然数的个数是有限的。

（ ）2) 0既不是正整数，也不是负整数。

（ ）3) 最小的整数是1。

（ ）二、 整除思考：某班35名同学去秋游，若想分成人数相等的几个小组进行活动，可以怎样分组 下列算式的被除数和除数都是整数，算一算它们的运算结果有什么不同321224÷÷ 2556÷÷ 332725÷÷ 通过计算我们可以发现，第一组算式所得的商是整数，余数为0，第二组算式所得的商是小数，第三组算式除不尽。

§1.1 整数和整除的意义姓名__________ 班级__________ 学号___________一、 学习目标：1、理解自然数和整数的意义；2、理解和掌握整除的概念二、 学习重点、难点：理解和掌握整除的概念第一部分 课前预习一、知识回顾：人类通过长期的生活实践归纳得到：1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做 。

2、在正整数1、2、3、4…的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4…，叫做 。

3、零是正整数还是负整数呢？4、零和正整数统称为 。

★正整数、零和负整数，统称为 。

5、思考：（1）是否有最小的自然数？最小的正整数？最小的负整数？（2）是否有最大的整数？最大的负整数？二、新知探究：1、问题：21名学生参加夏令营，他们想分成人数相等的几个小组进行活动，可以怎样分组？ 方案1：平均分成3组，每组 个人，用除法算式表示为7321=÷。

方案2：平均分成7组，每组 个人，用除法算式表示为 .思考：可以平均分成4组么？答： 。

为什么？2、观察： 下面两组算式卡片中的被除数和除数都是 ，（1）12224=÷，7321=÷，42184=÷；（2）5.146=÷，7.11017=÷，55535 =÷。

思考：他们的运算结果有什么不同？答：第（1）组算式中的商是 ，余数为 ；第（2）组算式中的商是 ，或者 。

归纳：整除的意义：整数a 除以整数b ，如果除得的商是 而且 ，我们就说 ，或者说 。

如在算式12224=÷中，我们可以说24能被2 ，或者 能整除 。

三、预习自测：1、把下列各数填在适当的圈内：12， -7， 0，0.4，－23 ，43， 91、－8.75. 正整数 负整数 整数2、判断（1）所有的自然数都是整数（ ）（2）一个整数不是正整数就是负整数（ ）（3）非负整数是自然数（ ）3、3、下列各组数中第一个数能被第二个数整除的是（ ）A 、1.5和3B 、3和1.5C 、6和2D 、2和64、思考：:整除与除尽的区别第二部分 课中学习1、例：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？（1）36÷4 （2）48÷8 （3）3÷6 （4）6÷4 （5）2.4÷1.2 （6）-16÷(-1)2、归纳整除的条件：（1）（2）3、已知正整数a 能整除17，那么 a 是 。

初中数学备课组教师班级预初学生日期上课时间学生状况：主课题： 1.1 整数和整除的意义 &1.2 因数和倍数教课目的：1.掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等观点2.掌握整除的条件，会划分整除和除尽3.在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数4.掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数5.掌握求一个整数在必定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数教课要点：1.自然数、整数、整除、因数、倍数；整除、整除的条件2.掌握求一个整数的所有因数的方法，掌握整数的最小和最大的因数3.掌握求一个整数在必定范围内的倍数，掌握整数的最小的倍数教课难点：1.掌握整数最小和最大的因数2.掌握整数最小的倍数考点及考试要求：1.自然数、整数、正整数、负整数的分类2.给出算式判断能否为整除3.会在必定范围内求一个正整数的因数、倍数知识精要知识点1：整数的意义和分类自然数：零和正整数统称为自然数（ natural number）；整数：正整数、零、负整数，统称为整数（ integer ）。

正整数整数零自然数负整数知识点 2：整除（1）整数a除以整数b，假如除得的商是整数而余数为零，我们就说 a 能被 b 整除；或许说 b 能整除 a.（ 2）整除的条件（两个一定同时知足）：①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数并且余数为零。

知识点 3：除尽与整除的异同点同样点：除尽与整除，都没有余数，即余数都为0；除尽中包含整除不一样点：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零；除尽中被除数、除数和商不必定为整数，余数为零。

知识点 4：因数和倍数整数 a 能被整数b整除， a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的因数（也称为约数）。

注：（ 1）在整除的条件下才有因数和倍数的观点；（ 2）说法：比如， 6 3=2 ，只好说 6 是 3 的倍数， 3 是 6 的因数，不可以独自说 6 是倍数， 3 是因数（ 3）假如 a 是 b 的倍数，那么 b 必定是 a 的因数；反之，假如 b 是 a 的因数，那么 a 必定是 b 的倍数知识点 5：求一个数的因数的方法（1）列乘法算式：依据因数的意义，有序地写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数例： 6=1× 6， 6=2× 3，因此 1、 2、 3、6 都是 6 的因数（2）列除法算式：用此数除以随意整数，所得商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数例： 8 1=8， 8 2=4，因此 1， 2， 4，8 都是 8 的因数规律总结：一个数的因数个数是有限的。

2019-2020年六年级上册1.1《整数和整除的意义》word教案教学目标1. 知识目标：在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义。

2. 能力目标：在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念。

3. 情感目标：通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力。

并从而树立学好数学的自信心。

重点、难点理解和掌握整除的概念。

教学设计整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。

对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。

在理解概念的基础上，通过一些辨析题起到巩固知识的目的。

教学流程提出问题分类讨论组间交流总结归纳教学过程一、建立整数和自然数的概念：1. 请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。

你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。

（小组讨论）（小组讨论、归纳、交流）归纳：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。

在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。

零和正整数统称为自然数。

正整数、零和负整数，统称为整数。

2. 把下列各数填在适当的圈内：12、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9正整数 自然数 整数二、建立整除的概念：1. 你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。

）2. 你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。

（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写）1. ____________________________________________________________2. ____________________________________________________________3. ____________________________________________________________ 分类的理由：1. ____________________________________________________________2. ____________________________________________________________3. ____________________________________________________________3. 请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？归纳：整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

沪教版数学六年级上册1.1《整数和整除的意义》教学设计一. 教材分析《整数和整除的意义》是沪教版数学六年级上册的第一课时内容，这部分内容是在学生已经掌握了整数的基本知识的基础上进行讲解的，主要让学生了解整除的概念，以及整除与除尽的区别。

教材通过具体的例子，让学生理解整除的意义，并能够运用整除的概念解决实际问题。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于整数的概念已经有了初步的了解。

但是在学习整除的概念时，可能会对整除与除尽的区别产生混淆。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、交流等方式，深刻理解整除的意义。

三. 教学目标1.让学生理解整除的概念，能够识别整除的算式。

2.让学生掌握整除与除尽的区别。

3.培养学生运用整除的概念解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.整除的概念。

2.整除与除尽的区别。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、交流等方式，理解整除的概念，掌握整除与除尽的区别。

六. 教学准备1.教材、教案。

2.课件、教学辅助材料。

3.计时器、黑板、粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的问题，如“36除以6等于多少？”引发学生对整除的思考，进而引入整除的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示整除的定义，让学生理解整除的意义。

同时，通过对比除尽和整除，让学生掌握两者的区别。

3.操练（10分钟）教师给出一些整除的算式，让学生判断哪些是整除，哪些不是整除。

同时，让学生尝试运用整除的概念解决实际问题。

4.巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生进一步巩固整除的概念，以及整除与除尽的区别。

5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：除了整除，还有哪些除法运算？让学生了解除法运算的多样性。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确整除的概念，以及整除与除尽的区别。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些有关整除的家庭作业，让学生进一步巩固所学知识。

整数与整除的意义 知识精要： 一、整数和自然数的概念：在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数(五年级学过负数).表示没有的时候可以记作0.自然数：零和正整数统称为自然数（natural number ）；（自然产生的数）.整数:正整数、零、负正整统称为整数.正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，……负整数：小于0的整数叫负整数。

负整数的表示方法是在整数前面加上“-”读作负号. 想一想： 1.有没有最大的正整数？如果存在，分别是几？2.有没有最小的正整数？如果存在，分别是几？3.有没有最大的负整数？如果存在，分别是几？4.有没有最小的负整数？ 如果存在，分别是几？5.是否有最小的自然数? 如果存在，分别是几？6.是否有最大的整数? 如果存在，分别是几？例1、把下列各数填在适当的圈内：12、 -6、 0、 2.23、 76、 2011、 -19.6、 9 正整数 负整数 整数 自然数二、整除的概念整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a .确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零.除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽.思考：整除、除尽和除不尽三者之间有什么关系？整除与除尽的区别整除概念如前，它一般只在整数范围内讨论，并且被除数和除数要求是整数，商必须是“整数而没有余数”；而除尽的情况，并未限制在这一数域范围内，也未规定商必须是“整数而没有余数”.它的被除数、除数（不等于0）和商，既可以是整数，也可以是有限小数，只要除完后没有余数就可以了.例如 174 4.25÷=，2446÷=，0.120.043÷=，这三个算式的被除数都能被除数除尽.但是能说被除数被除数整除的，却只有一个——24能被4整除.例2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除103÷ ② 488÷ ③ 64÷ ④ 3.6 1.8÷整除 除尽例3、思考题：（1）是否有最大的自然数？是否有最小自然数？如果有，是几？（2）正整数36能被正整数a整除，写出所有符合条件的正整数a.（3）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个，小马虎统计错了？为什么？课堂练习一、判断题1、负整数中有最大的数.（）2、0是整数，所以它也是正整数.（）3、1001能被11整除.（）4、能整除6的自然数一共有4个.（）5、整数a除以b的商为整数，余数为零，那么a能被b整除.（）二、解答1、请将“自然数”、“整数”、“负整数”、“正整数”、“零”，分别填入框中.2、下列各组数中，哪个数能整除另一个数？①8和36 ②26和52 ③17和3④35和0.5 ⑤50和25 ⑥1.9和383、小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？精解名题例1、三个连续自然数，已知中间数是a，那么其余两个数分别是和。

1.1整数和整除的意义 季路芳教学设计：整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。

对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。

教学目标1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义．2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念,掌握两种表述方法．3、在对整数概念的梳理中渗透分类思想，集合思想。

重点、难点理解和掌握整除的概念一． 回顾与思考1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。

2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。

3. 0既不是正整数，也不是负整数那么0究竟是什么含义呢？1. 0表示没有物体2. 0表示计量过程中某种量的基准数，比如温度计。

二．新课讲解1.零和正整数统称为自然数。

2.正整数、零和负整数，统称为整数。

整数的分类例1：把下列各数填在适当的圈内：100、-6、0、1.23、76、2005、-19.6、9正整数 自然数 整数思考有多少个整数呢？无数个又有多少个自然数呢？无数个是否存在最小的自然数？ 0是否有最大的自然数呢？没有是否有最小的整数？没有是否存在最大的整数？没有是否存在最小的正整数？ 1三、建立整除的概念1.观察与思考（1）18÷9=2 169÷13=13 144÷12=12（2）176÷5=35…1 17÷10=1.7 6÷5=1.2请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？2.整除的定义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

a÷b=c (a.b.c都是整数且b不等于0 )6÷3=2 6能被3整除，3能整除66÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6做一做课堂练习：判断：4能被2整除？√ 2能被4整除？×想一想：4能被哪些数整除？4能被 1.2.4 整除 1.2.4 能整除 4互动游戏：一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？例题2：2.6÷1.3=2，能不能说2.6能被1.3整除？答：因为被除数和除数都不是整数，所以不能说2.6能被1.3整除区别：整除与除尽整除：被除数和除数----都是整数，除数不等于0，商----商是整数，余数为0除尽：被除数和除数----不一定是整数，除数不等于0，商----商是整数或有限小数，没有余数其实，整数是除尽的一种特殊形式注意整除的条件：除数、被除数都是整数被除数除以除数，商是整数而且余数是0.学与练一：判断自然数的个数是有限的×2.5能被5整除×0既不是正整数也不是负整数a÷b=11 则b一定能整除a最小的整数是1二、下列哪一个算式的被除数能被除数整除？10÷3 48÷8 6÷4三、有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？知识小结布置作业。

第一节 1.1 整数与整除的意义一．知识点总结1.零和正整数统称为自然数。

正整数、零、负整数统称为整数。

2.整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a。

注意整除的条件：a.除数、被除数都是整数b.被除数除以除数，商是整数而余数为零。

3.注意点：a.零既不是正整数，也不是负整数；b.零是最小的自然数；c.没有最大的整数；d.整除约定在正整数范围内考虑；二 .例题解析例题1：把下列各数填在适当的圈内：3、－8.75、-23、9112、－7、0、0.4、4正整数自然数整数例题2:下列哪一个算式的除数能整除被除数？4÷8；42÷6；11÷3；0.25÷0.05=5三．课堂练习一、填空题和统称为自然数.、和统称为整数.3．最小的自然数是，小于3的自然数是 .4．最小的正整数是，小于4的正整数是 .5．能被2整除的最大的负整数是 .6．能被5整除的最小的正整数是 .7．20以内能被3整除的数有 .8．与27相邻的两个自然数是 .二、选择题9．下列算式中表示整除的算式是………………………（）（A）0.8÷0.4＝2；（B）16÷3＝5……1；（C）2÷1＝2；（D）8÷16＝0.5.三、简答题10．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内.3-200、17、-6、0、1.23、、2006、-19.6、9、8负整数自然数整数11.下面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在（）内打“√”.①27和3（）②3.6和1.2（）12．不超过100的正整数中，能被25整除的数有；不超过1000的正整数中，能被125整除的数有 .四．课后练习一、填空题和统称为自然数．、和统称为整数．3．最小的自然数是；最小的正整数是4．20以内能被35．写出所有能整除18二、选择题：6．下列算式中表示整除的算式是（）A．0.8÷0.4＝2；B．16÷3＝5……1；C．2÷1＝2；D．8÷16＝0.57．下列说法中正确的是（）A．负数、正数和零都是整数；B．零不是自然数；C．因为3÷2＝1.5，所以3能被2整除；D．因为4÷2＝2，所以4能被2整除三、简答题8．从下列数中选择适当的数填入相应的圈内.－210、 19、 －7、 0、 3.33、 、 2016、 －9.6、 9、负整数 自然数 整数9．把下列各题按“除尽”、“整除”、“除不尽”填入相应的横线上.；2.16.3÷；340÷；5.035÷；86.1÷，1352÷；730÷；6817÷；除尽： ；除不尽： ；整除： ．提高题：1．能整除18，又能整除30的整数有几个？最大是多少？2．已知三个不同的数a 、b 、m 之间满足m b a =÷，且m 是整数，是否能说a 一定能被b 整除？简要说明你的理由。