关于20 0年天津中考数学二次函数考点解析

初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。

下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。

一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。

-当a>0时，抛物线开口向上。

-当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。

2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。

-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。

-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。

3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。

-当Δ<0时，方程没有实根。

4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。

-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。

三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。

2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。

3.当b=0时，抛物线经过原点。

4.当c=0时，抛物线经过x轴。

5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。

6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。

四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。

-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。

中考二次函数知识点汇总二次函数是一种常见的数学函数，它的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

在中考中，掌握二次函数的相关知识点及其应用是非常重要的。

下面是关于中考二次函数的知识点的详细汇总。

一、二次函数的图像特点1.开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2.对称轴：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a。

3.最值：当a>0时，二次函数的最小值为y=f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为y=f(-b/2a)。

4. 零点：二次函数的零点是使f(x) = 0的x值，可通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。

二、二次函数的性质1.单调性：当a>0时，二次函数是开口向上的，即可知函数在开区间(-∞,-b/2a)上是递增的，在开区间(-b/2a,+∞)上是递减的；当a<0时，二次函数是开口向下的，即可知函数在开区间(-∞,-b/2a)上是递减的，在开区间(-b/2a,+∞)上是递增的。

2. 零点：根据二次函数的定义，可求出二次函数的零点为x = (-b± √(b^2-4ac))/2a。

当判别式（即b^2-4ac）大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于零时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于零时，二次函数没有实根。

3.达到最值的条件：当a>0时，二次函数取得最小值的横坐标是x=-b/2a；当a<0时，二次函数取得最大值的横坐标是x=-b/2a。

三、二次函数与一次函数的关系1. 平移：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c可以通过平移来得到一次函数g(x) = mx + n。

二次函数f(x)与一次函数g(x)的图像关系为：将二次函数的图像向上平移c个单位，然后将平移后的图像沿y轴方向压缩或拉伸，直到到达一次函数g(x)的图像。

九年级二次函数知识点讲解二次函数是初中数学中的重要内容之一，也是数学学习的基础。

本文将对九年级二次函数的知识点进行详细讲解，希望对同学们的学习有所助益。

一、二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。

其中a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的纵坐标偏移量。

二次函数的图像为一条平滑的曲线，被称为抛物线。

抛物线的顶点对应了二次函数的最值点，也是二次函数的最高点或最低点。

二、二次函数的图像二次函数的图像是由抛物线组成的。

对于二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，我们可以通过以下步骤绘制出其图像：1.计算出抛物线的对称轴位置，即取-b/2a得到x = -b/2a；2.计算出抛物线的顶点，即在对称轴上取x = -b/2a进行代入得到y坐标值；3.根据对称性，将顶点的横坐标左右对称，得到抛物线的两侧；4.根据函数的性质，计算出抛物线与x轴的交点，即当f(x) =ax^2 + bx + c = 0时求解x的值；5.将顶点、交点等关键点连接起来，即完成了二次函数的图像。

通过这一过程，我们可以描绘出二次函数的几何形状，进一步理解二次函数的性质和特点。

三、二次函数的最值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的最值点即为其顶点。

顶点的横坐标为-x轴系数除以2倍的a值，即x = -b/2a；纵坐标则可通过将横坐标代入函数中得到。

根据最值点的位置，我们可以判断二次函数的开口方向和最值点的位置。

当a>0时，二次函数开口向上，最值点为最低点，也是函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，最值点为最高点，也是函数的最大值。

四、二次函数的平移和伸缩二次函数的平移指的是抛物线在坐标系中的位置变化，可以通过改变函数的常数项c来实现。

当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。

中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。

一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。

在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。

二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。

3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。

三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。

2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。

四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。

2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。

3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。

4.求单调性：根据图像特征可以判断。

5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。

中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理《二次函数》是中考数学中的重要知识点之一，也是考试中容易出错的部分。

为了帮助同学们复习和避免常见错误，下面将对《二次函数》的知识点进行梳理，详细介绍其中的易错点。

《二次函数》是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，并且a ≠。

它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

下面我们来逐个讲解常见易错点。

1.函数的定义域和值域：在解析式中，x可以取任意实数值，所以函数的定义域是全体实数集R。

而在图像上，如果a>，则函数的值域是[,+∞)；如果a<，则函数的值域是(-∞,]。

错误经常出在对值域的判断上，容易忽略函数的开口方向。

2.抛物线的开口和对称轴：当a>时，抛物线开口向上，对称轴是x=-b/2a；当a<时，抛物线开口向下，对称轴是x=-b/2a。

易错点在于判断抛物线的开口方向和对称轴的判断。

3.抛物线的顶点和轴对称性：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x) = ax² + bx + c。

抛物线与对称轴关于顶点具有轴对称性，即对称轴上的点到顶点的距离与对称轴上的点到抛物线的距离相等。

4.求解方程和不等式：与二次函数相关的方程和不等式是中考数学考试中的常见题型。

对于二次方程ax² + bx + c = ，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法求解。

对于二次不等式ax² + bx + c > 或ax² + bx + c < ，可以通过画图法或求解方程法来确定解集。

5.函数的增减性和极值：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>时，函数递增；当a<时，函数递减。

相应地，函数的极值与抛物线的开口方向相反，开口向上时有最小值，开口向下时有最大值。

6.函数与坐标轴的交点：函数与x轴的交点称为零点，可以通过求解方程ax² + bx + c = 来求得。

中考考点二次函数知识点汇总全二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是中考考试的重点内容。

它是由一次项、常数项和二次项组成的一元二次方程的图像，其函数关系为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

下面将汇总全面介绍中考中二次函数的知识点。

1.二次函数的图像特点：-当a>0时，二次函数的开口向上，图像是一个U型，顶点在下方；-当a<0时，二次函数的开口向下，图像是一个倒U型，顶点在上方；-函数的图像关于顶点对称。

2.顶点坐标与轴对称：-二次函数的顶点坐标是(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数的定义域；-二次函数的轴对称是x=-b/2a。

3.判断二次函数的开口方向及平移：-当a>0时，二次函数的开口向上；-当a<0时，二次函数的开口向下；-平移后的二次函数的顶点坐标为(x-h,f(x-h))，其中h为平移的横坐标单位，f(x)为原二次函数。

4.与坐标轴的交点与函数值：- 与x轴的交点（零点）是二次方程ax²+bx+c=0的解；-与y轴的交点是二次函数的常数项c；-函数值f(x)是二次函数在x处的y值。

5.最值及取值范围：-当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标，没有最大值，取值范围是[最小值,+∞)；-当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标，没有最小值，取值范围是(-∞,最大值]。

6.对称轴的方程及关于顶点的对称点：-对称轴的方程是x=-b/2a；-对于点P(x,y)，在对称轴上的对称点是P'(-b/a-x,y)。

7.解析式与一般式转换：- 一般式：y=ax²+bx+c，解析式则为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标；- 解析式：y=a(x-p)(x-q)，则一般式为y=ax²-(ap+aq)x+apq，其中p、q是解析式的两个根。

8.方程与二次函数的关系：- 二次函数y=ax²+bx+c的解析式的自变量x和函数值y满足方程y=ax²+bx+c；- 方程y=ax²+bx+c=0的解是对应二次函数的图像在x轴上的交点。

初中数学二次函数最全知识点总结二次函数是初中数学的重点内容之一，掌握二次函数的知识对于解决实际问题和提高数学能力都具有重要意义。

以下是二次函数的最全知识点总结：一、基本概念1.函数：函数是一种特殊的关系，它可以用来描述自变量和因变量之间的对应关系。

2. 二次函数：二次函数是形如y = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

二、图像和性质1.基本图像：二次函数的基本图像是抛物线，开口方向由常数a的正负决定。

2. 零点：二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解，可以用求根公式或配方法求出。

3.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线，其方程为x=-b/(2a)。

4.最值：二次函数的最值可以通过对称轴得到，最值为抛物线的顶点。

5.单调性：当抛物线开口向上时，二次函数是增函数；开口向下时，二次函数是减函数。

6.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小来获得新图像。

三、二次函数的解析式1. 标准形式：当a = 1时，二次函数的标准形式是y = x² + px + q。

2.顶点式：二次函数的顶点式是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点的坐标。

3. 一般形式：二次函数的一般形式是y = ax² + bx + c，实际问题中常用。

四、二次函数的变形1. 增长量：二次函数y = ax² + bx + c中，增长量即为b。

2.曲线方向：二次函数的曲线方向由a的正负决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

3.平移：二次函数的图像可以通过上下平移、左右平移和扩大缩小进行变形。

4.翻折：二次函数的图像可以进行关于x轴或y轴的翻折，得到新的图像。

五、二次函数的性质1.零点性质：二次函数的零点个数最多为2个。

2.对称性质：二次函数关于对称轴具有对称性。

3.成立范围：二次函数在全体实数范围内都成立。

九年级二次函数相关知识点二次函数是中学数学中一个重要的内容，也是九年级数学学习的一个重点。

在这篇文章中，我将为大家介绍九年级二次函数相关的知识点。

一、二次函数的定义和性质二次函数是数学中常见的函数之一，其定义形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常呈现抛物线的形状，开口的方向取决于a的正负。

二次函数的性质有以下几个要点：1. 抛物线的对称轴：对称轴是二次函数图像的一个重要性质，其公式为x = -b / (2a)。

2. 抛物线的顶点：顶点是二次函数图像的最低点或最高点，其坐标为(-b / (2a)，f(-b / (2a)))。

3. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的图像特点了解二次函数的图像特点对于解题和分析函数性质非常重要。

下面是几个常见的图像特点：1. 对称性：二次函数关于对称轴对称。

对称轴是垂直于x轴且通过抛物线顶点的直线。

2. 最值：当a > 0时，二次函数的最值为最小值；当a < 0时，二次函数的最值为最大值。

3. 零点：二次函数与x轴交点的横坐标即为函数的零点，也就是方程ax² + bx + c = 0的根。

4. 单调性：当a > 0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a < 0时，二次函数在对称轴两侧递减。

三、二次函数的解题方法解二次函数题目常涉及到求零点、最值等计算，下面介绍几种常见的解题方法：1. 因式分解法：对于给定的二次函数，如果可以进行因式分解，则可以通过求解函数的零点来得到解。

2. 完全平方式：通过加减平方完成平方项，将二次函数转化为完全平方式，从而求解零点和最值。

3. 配方法：对于一些不能直接因式分解的二次函数，可以通过配方法将其转化为完全平方方式，再进行计算。

四、二次函数与实际问题的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，例如抛物线的轨迹问题、计算物体的运动轨迹等。

中考数学复习考点知识归类讲解 专题20 二次函数的图象与系数的关系问题知识对接考点一、二次函数图象与系数的关系问题 1.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 考点二、用待定系数法求二次函数解析式的步骤 （1）设:巧设二次函数的解析式;（2）代:根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);（3）解:解方程(组),求出待定系数的值,从而得到函数的解析式.专项训练 一、单选题1．已知抛物线2y ax bx =+，当0a <，0b >时，它的图象经过（） A ．第一，二，三象限 B ．第一，二，四象限 C ．第一，三，四象限D ．第一，二，三，四象限2．函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）经过点（﹣1，0）、（m ，0），且1＜m＜2，当x ＜﹣1时，y 随x 增大而减小，下列结论：①abc ＞0；②a +b ＜0；③若点A （﹣3，y 1），B （3，y 2）在抛物线上，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c -2=0必有两个不相等实数根；⑤c ≤﹣1时，则b 2﹣4ac ≤4a ．其中结论正确的有（ ）个 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，二次函数()2y ax bx ca 0=++≠的图象与x 轴正半轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >； ②930a b c ++<； ③1c >-；④关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1a-． 其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，图象过(1,0)点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①0abc >；②240b ac ->；③930a b c -+=；④若点()()122.5,,0.5,y y --均在抛物线上，则12y y >；⑤520a b c -+<． A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象的顶点为点D ，其图象与轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面四个结论中，其中正确的结论是（）A ．2a ﹣b ＝0B ．a ＋b ＋c ＞0C ．c ＜﹣3aD ．当ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有实数解时，则a ≥0.56．已知点()13,P y -，()25,Q y ，()3,M m y 均在抛物线2y ax bx c =++上，其中20am b +=．若321y y y >，则m 的取值范围是（）A ．3m <-B ．1mC ．31m -<<D ．15m <<7．已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0a b c -+>，则一定有（） A ．240b ac -≥B ．240b ac ->C ．240b ac -≤D ．240b ac -<8．如图，已知二次函数()20y axbx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc >；②930a b c ++=；③20a b -=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数）；⑤c-a <-1，其中正确的是（ ）A ．①②⑤B ．②③C ．①②③⑤D ．②③④9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴的正半轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b +c ＞0；③2a ﹣b ＞0；④3a +c ＜0，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a )，点A (4，y 1)是该抛物线上一点，若点D (x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②若y 2＞y 1，则x 2＞4；③若0≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a ；④若方程a (x +1)(x ﹣3)＝﹣1有两个实数根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣1＜x 1＜x 2＜3．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(2,0)-，()1,0x ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在()0,2的下方，下列结论：①0abc >；②420a b c -+=；③0a b c -+<；④20a c +>．其中正确的有_______．（填序号）12．如图，二次函数2() 0y ax bx c a =++≠的图像过点(-1，0)，对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c <3b ；③8a +7b +2c >0；④若点A (-3，1y )、点B (21,2y -)、点C (37,2y )在该函数图像上，则132y y y <<：⑤若方程()()153a x x +-=-的两根为12,x x ，且12x x <，则12-15. x x <<<其中正确的结论有__________． (只填序号)13．抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则a ＋b ＋c ______0．（填“＜”“＝”“＞”）14．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为12x =且经过点（2，0）．下列说法：①若（﹣3，y 1），（π，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；②c ＝2b ；③关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1＝0（a ≠0）一定有两个不同的解；④()4bm am b ≥+（其中m 为实数）．其中说法正确的是_______．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc ＜0；②a +c ＜b ；③2a +b ＝1；④a +b ≥m （am +b ），其中全部正确的是______三、解答题16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）过点C （0，2）、点A （2，0）． （1）求证：b ＝﹣2a ﹣1；（2）若平行于x 轴的直线y ＝2﹣a 与抛物线有交点，求a 的取值范围．（3）若a 为整数，n 为正整数，当n ＜x ＜n ＋2时，对应函数值有且只有9个整数，求a 、n 的值．17．在平面直角坐标系中，二次函数221y x mx =-+图像与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ． （1）直接写出点A 与点B 的坐标；（2）若函数221y x mx =-+的图像与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围． 18．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为222422y x mx m =-+-+，直线l ：y =－x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）如图1，当抛物线经过点A 且与x 轴的两个交点都在y 轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P 为直线l 上方的抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥l 于Q ，求PQ 的最大值．（3）如图2，点C （－2，0），若抛物线与线段AC 只有一个公共点，求m 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax ax c =-+与直线3y =-有且只有一个公共点．（1）直接写出抛物线的顶点D 的坐标，并求出c 与a 的关系式；（2）若点(),P x y 为抛物线上一点，当1t x t ≤≤+时，y 均满足233y at -≤≤-，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点(),M x y （其中3x ≥）作x 轴的垂线l ，设l 与直线23y ax a =-+-交于点N ，若M 、N 两点间的距离恒大于等于1，求a 的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=x 2﹣4x+2m ﹣1与x 轴交于点A ，B ．（点A 在点B 的左侧） （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大整数时，求点A 、点B 的坐标．21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，试判断P ，Q 的大小关系．22．设二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0，c ＞1），当x ＝c 时，y ＝0；当0＜x ＜c 时，y ＞0． （1）请比较ac 和1的大小，并说明理由； （2）当x ＞0时，求证：021a b cx x x++>++． 23．己知抛物线()()22113y m x m x =-+++（m 为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m +7），求m 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m ； （3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P （5-，1y ），Q （7，2y ）（其中12y y <）两点，当53x -≤≤时，点P 是该部分函数图象的最低点，求m 的取值范围．。

初中数学二次函数知识点整理二次函数是初中数学中的重要知识点之一。

本文将从定义、图像、性质和应用等几个方面来整理和讲解初中数学的二次函数知识点。

一、定义二次函数是形如y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数。

其中，a、b、c 均为实数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项，x 为自变量，y 为因变量。

二、图像1. 平移：二次函数的图像沿着 y 轴或 x 轴平移。

2. 对称轴：二次函数的图像关于某条直线对称，这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴的方程可以通过求出顶点的横坐标得到。

3. 开口方向：二次函数开口向上或向下。

开口向上的二次函数对应的二次项系数 a 大于 0，开口向下的二次函数对应的二次项系数 a 小于 0。

4. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。

顶点的纵坐标即为函数的最值。

三、性质1. 轴对称性：二次函数关于对称轴有轴对称性。

2. 最值性：开口向上的二次函数的顶点是最小值，开口向下的二次函数的顶点是最大值。

3. 零点性：二次函数的零点即为方程 y = 0 的解，可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 得到。

如果判别式（b² - 4ac）大于 0，则有两个不相等的实数根；如果判别式等于 0，则有两个相等的实数根；如果判别式小于 0，则无实数根。

4. 单调性：开口向上的二次函数在顶点左侧是单调递减的，右侧是单调递增的；开口向下的二次函数在顶点左侧是单调递增的，右侧是单调递减的。

四、应用二次函数的应用非常广泛，涉及到物理、经济、工程等各个领域。

以下是一些常见的应用案例：1. 抛物线轨迹：当抛出物体的运动轨迹为抛物线时，可以使用二次函数描述。

例如，炮弹飞行轨迹、跳水运动员的动作等等。

2. 弹性系数：弹性系数是描述弹簧变形程度的物理量，可以使用二次函数来描述。

3. 优惠券面值：商家发放的优惠券面值有时候会采用二次函数的形式，通过调整参数来达到不同的优惠程度。

二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的一个重要内容，下面是关于二次函数的最全的中考知识点总结：1. 定义：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中a、b、c是实数，并且a不等于0。

2.图像特征：a)抛物线的开口方向与a的正负有关，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

b)顶点是抛物线的最高点或最低点，横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

c)轴对称性：抛物线关于顶点对称。

d)零点是使f(x)=0的x值，可以通过解一元二次方程来求得。

3. 判别式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 D =b^2 - 4ac 是一个重要的指标，它可以告诉我们方程的解的情况。

a)当D>0时，方程有两个不相等的实数解。

b)当D=0时，方程有两个相等的实数解。

c)当D<0时，方程无实数解。

4.数轴上的二次函数图像和解的关系：a)当a>0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。

b)当a<0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。

c)当抛物线与x轴相切时，对应方程有一个重根。

d)当抛物线与x轴没有交点时，对应方程无实数解。

5.平移：a) 左移和右移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将x的值替换成 x-h 时（h>0），抛物线将向右移动h个单位；当将x的值替换成 x+h 时，抛物线将向左移动h个单位。

b) 上移和下移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将f(x)的值替换成 f(x)+k 时（k>0），抛物线将向上移动k个单位；当将f(x)的值替换成 f(x)-k 时，抛物线将向下移动k个单位。

6.直线与抛物线的交点：a)当直线与抛物线相交时，方程的解就是交点的横坐标。

b)如果直线与抛物线有两个交点，则方程有两个实数解。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。

其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就不是二次函数了。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。

抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a ，（4ac b²) ／ 4a）。

例如，对于二次函数 y ＝ 2x² 4x ＋ 1，其中 a ＝ 2 ＞ 0，抛物线开口向上，对称轴为 x ＝（－4) ／（2×2) ＝ 1，顶点坐标为（1，－1）。

三、二次函数的平移二次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。

“上加下减”指的是在函数表达式后面直接加上或减去一个常数，影响抛物线的上下移动。

比如，将 y ＝ x²向上平移 2 个单位，得到 y ＝ x²＋ 2；向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 。

“左加右减”指的是在自变量 x 上加上或减去一个常数，影响抛物线的左右移动。

例如，将 y ＝（x 1)²向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x 1 ＋ 2)²＝（x ＋ 1)²；向右平移 3 个单位，得到 y ＝（x 1 3)²＝（x 4)²。

四、二次函数的最值当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值，在顶点处取得，即y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。

当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值，同样在顶点处取得，即 y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。

例如，对于二次函数 y ＝ x²＋ 2x 3，因为 a ＝－1 ＜ 0，所以函数有最大值。

二次函数的基本性质与公式解析与归纳二次函数是高中数学中一个重要且常见的函数形式。

它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不为零。

在本文中，我们将探讨二次函数的基本性质、公式解析以及归纳。

一、基本性质1. 零点二次函数的零点是函数的x轴交点，即f(x) = 0时的x值。

求二次函数的零点可以使用解一元二次方程的方法，即将函数设置为0，解出x的值。

2. 定点二次函数的定点是函数的顶点，也称为抛物线的顶点。

定点的横坐标可以通过求解方程f'(x) = 0来得到，其中f'(x)表示函数的导数，对一般二次函数而言横坐标为-x轴系数的1/2倍。

3. 对称轴二次函数的对称轴是函数的对称中心线。

对称轴的方程可以通过将二次函数的横坐标的系数化简得到，即x = -b/(2a)。

4. 开口方向二次函数的开口方向取决于二次项系数a的正负性。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

二、公式解析1. 顶点形式二次函数的顶点形式是f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为抛物线的定点坐标。

该形式使得顶点坐标和开口方向可以直接读取。

2. 标准形式二次函数的标准形式是f(x) = ax^2 + bx + c，通过该形式可以方便地求解二次函数的零点和对称轴，并进行其他常见的分析。

三、归纳总结在研究了二次函数的基本性质和公式解析后，我们可以得出以下结论和归纳总结：1. 二次函数的开口方向由二次项系数a的正负性决定，正负性分别对应抛物线的开口向上和开口向下。

2. 二次函数的顶点坐标可以直接读取顶点形式表达式中的数值。

3. 二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得，解方程的方法有因式分解、配方法和求根公式等。

4. 二次函数的对称轴方程为x = -b/(2a)，可以帮助我们确定抛物线的对称中心线。

5. 二次函数的图像通常是一个抛物线，除非系数a或b为零导致图像退化为一条直线。

二次函数知识点整理1.二次函数的定义：形如(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数.2、二次函数的解析式三种形式2 +bx+c(a≠0)2()y a x h k =-+224()24b ac b y a xa a-=-+12()()y a x x x x=--3、二次函数的性质：对称轴：2bxa=-顶点坐标：24(,)24b ac ba a--与y轴交点坐标（0，c）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小(1)二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；(2)二次函数当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞-，y随x的增大而增大，x＜-，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点；和a＞0时恰好相反(3)当a＞0时，当时，函数有最小值；当a＜0时，当时，函数有最大值.4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响(口诀：左同右异中为0)(3) c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点.5.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。

抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=024->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；b ac24-=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；b ac24-<0时，一元二次方程没有实根，二次函数图像与x轴没有交点b ac6、图象的平移口诀：上加下减常数项、左加右减自变量7、二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点8、符号判断（1）特值法a+b+c 看x=1时y的值a+b-c 看x=-1时y的值（2）比轴法2a+b 对称轴与1作比较2a-b 对称轴与-1作比较。

2201二次函数的定义〖案例分析〗二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣〖课后巩固〗【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．〖课堂练习〗若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．2或1【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．〖课后巩固〗若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．9【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣〖课后巩固〗故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．〖考前再练〗若y＝（a+3）x|a|﹣1﹣3x+2是二次函数，则a的值为3．【分析】根据二次函数的定义，令|a|﹣1＝2且a+3≠0即可解答．【解答】解：当|a|﹣1＝2且a+3≠0时，为二次函数，∴a＝﹣3（舍去），a＝3故答案为3【点评】本题考查了二次函数的定义，令最高次项为2，最高次项系数不为0即可．2202二次函数与一次函数图像综合信息〖案例分析〗在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x2+kx与y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】分两种情况进行讨论：k＞0与k＜0进行讨论即可．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+k的图象经过一、二、三象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的左侧；当k＜0时，函数y＝kx+k的图象经过二、三、四象限；函数y＝2x2+kx的开口向上，对称轴在y轴的右侧，故C正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系以及一次函数的图象，是基础知识要熟练掌握．〖课堂练习〗二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），即可排除A、B，然后根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象进行判断．【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．〖课后巩固〗已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx 与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题．【解答】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．〖考前再练〗在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象由交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a 大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【解答】解：由方程组得ax2＝﹣a，∵a≠0∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．【点评】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数图象得相关性质进行分析，本题中等难度偏上．2203二次函数与反比例函数图像综合信息处理〖案例分析〗函数y1＝ax2+b，y2＝（ab＜0）的图象在下列四个示意图中，可能正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、函数y2＝（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；B、函数y2＝（ab＜0）可知，ab＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，函数y1＝ax2+b，y2＝（ab＜0）的图象可知ab＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，则ab＞0，故本选项错误．故选：C．〖课堂练习〗二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x＝＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y＝bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选：D．〖课后巩固〗抛物线y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下，则a＜0．对此轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＞0，所以﹣b＜0．抛物线与x轴有2个不同的交点，则b2﹣4ac＞0，所以一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2经过第一、二、四象限．又当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以反比例函数y＝经过第二、四象限．综上所述，一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2经过第一、二、四象限．反比例函数y＝经过第二、四象限．故选：C．〖考前再练〗已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y ＝mx+n与反比例函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知，m＜﹣1，n＝1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y＝mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y＝的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．故选C．2204二次函数过原点的特点〖案例分析〗若二次函数y＝x2+3x+a﹣1的图象经过原点，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．1或﹣1【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a＝1【解答】解：把（0，0）代入y＝x2+3x+a﹣1得a﹣1＝0，解得a＝1，所以a的值为1故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．〖课堂练习〗已知二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，则a的值为（）A．0或2B．0C．2D．无法确定【分析】根据二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，可以求得a的值，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，∴0＝a×02+0+a（a﹣2）且a≠0，解得，a＝2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，那么该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，从而可以求得a的值，进而得到该抛物线在对称轴左侧的部分是上升还是下降，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣1）（a≠0）经过原点，∴0＝a×02+（a﹣1），得a＝1，∴y＝x2，∴该函数的顶点坐标为（0，0），函数图象的开口向上，∴该抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，故答案为：下降．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是﹣2．【分析】由抛物线开口向下及过原点，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，且开口向下，∴，解得：a＝﹣2故答案为：﹣2【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程是解题的关键．2205二次函数开口方向的确定〖案例分析〗抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．〖课堂练习〗对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．图象的对称轴是直线x＝﹣1D．当x＜1时，y随x的增大而减小【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再根据二次函数的性质进行解答．【解答】解：二次函数y＝2（x+1）（x﹣3）可化为y＝2（x﹣1）2﹣8的形式，∵此二次函数中a＝2＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．〖课后巩固〗若+2x﹣3是二次函数，且开口向下，则m的值为﹣3．【分析】根据二次函数定义可得m2﹣7＝2，计算出m＝±3，再根据二次函数的性质可得1+m＜0，再根据m的取值范围确定m的值．【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，解得：m＝±3，∵开口向下，∴1+m＜0，∴m＜﹣1，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．〖考前再练〗若函数y＝（m﹣1）x是二次函数，且开口向下，则m＝﹣2．【分析】根据二次函数的定义得到m2﹣2＝2，且m﹣1＜0．【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x是二次函数，其函数的开口向下，∴m2﹣2＝2，且m﹣1＜0．解得m＝﹣2故答案是：﹣2【点评】本题考查了二次函数的定义．注意：此题中的抛物线开口方向向下，所以m﹣1是负数．2206二次函数的最值〖案例分析〗抛物线y＝﹣（x+1）2+3有（）A．当x＝1，y有最大值3B．当x＝1，y有最小值3C．当x＝﹣1，y有最大值3D．当x＝﹣1，y有最小值3【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x取何值时，函数取得最大值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3，∴当x＝﹣1时，该抛物线有最大值，此时y＝3，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课堂练习〗对于函数y＝（x+2）2﹣9，下列结论错误的是（）A．图象顶点是（﹣2，﹣9）B．图象开口向上C．图象关于直线x＝﹣2对称D．函数最大值为﹣9【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝（x+2）2﹣9＝x2+4x﹣5，∴该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣9），故选项A正确；a＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B正确；该函数图象关于直线x＝﹣2对称，故选项C正确；当x＝﹣2时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1【分析】根据二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2﹣1，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最大值是2B．对称轴是直线x＝1，最小值是2C．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2D．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断．【解答】解：由抛物线的解析式：y＝﹣（x﹣1）2+2，可知：对称轴x＝1，开口方向向下，所以有最大值y＝2，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．2207二次函数顶点坐标〖案例分析〗抛物线y＝x2﹣6x+11的顶点为（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（6，﹣2）D．（3，12）【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+11＝（x﹣3）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（3，2），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课堂练习〗抛物线y＝﹣（x﹣）2﹣2的顶点坐标是（）A．（，2）B．（﹣，2）C．（﹣，﹣2）D．（，﹣2）【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：因为y＝﹣（x﹣）2﹣2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，﹣2）．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y＝a＝（x﹣h）2+k 的顶点坐标是（h，k）．〖课后巩固〗抛物线y＝1﹣3x2的顶点是（）A．（1，﹣3）B．（﹣3，1）C．（1，0）D．（0，1）【分析】根据题目中的抛物线解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝1﹣3x2＝﹣3x2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，1），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（）A．（3，1）B．（﹣3，1）C．（1，3）D．（1，﹣3）【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2+1的顶点坐标为（3，1）．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式解析式求顶点的方法是解题的关键．2208函数值〖案例分析〗二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（）A．﹣7＜y＜﹣4B．﹣7＜y≤﹣3C．﹣7≤y＜﹣3D．﹣4＜y≤﹣3【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，＝﹣（x2﹣2x+4）＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣3，x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣3故选：B．【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．〖课堂练习〗已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y＜6．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得﹣1＜x＜2时，y的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y＜6，故答案为：2≤y＜6．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗已知y＝﹣x2﹣3x+4（﹣10≤x≤0），则函数y的取值范围是4≤y≤13．【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和x的取值范围，可以求得函数值的取值范围．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+6）2+13，∴该函数的开口向下，对称轴是直线x＝﹣6，当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，当x ＞﹣6时，y随x的增大而减小，∵﹣10≤x≤0，当x＝0时，y＝4，∴函数y的取值范围是4≤y≤13，故答案为：4≤y≤1〖课后巩固〗【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗抛物线y＝2x2﹣4x﹣3，当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤13．【分析】首先利用配方法求出二次函数的最值，进而利用x的取值范围得出y的取值范围．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x2﹣2x）﹣3，＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣3，＝2（x﹣1）2﹣5，＝﹣5，∴当x＝1时，y最小值∵﹣1≤x≤4，且|4﹣1＞|﹣1﹣1|，∴x＝4时，y＝13，最大∴当﹣1≤x≤4时，y的取值范围是：﹣5≤y≤13故答案为﹣5≤y≤13【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及配方法的应用，根据已知得出顶点坐标是解题关键．2209对称轴〖案例分析〗二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是x＝．【分析】首先求得方程与x轴的两个交点坐标，然后根据交点坐标求得对称轴方程即可．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）∴对称轴为：x＝＝．故答案为：x＝．【点评】此题考查了二次函数点的对称性．解题的关键是注意审题，理解题意，根据函数的对称性解题．〖课堂练习〗二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．【分析】将函数解析式配方成顶点式后即可得出答案．【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标是（2，﹣1），对称轴是直线x＝2故答案为直线x＝2，（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，把解析式化成顶点式是解题的关键．〖课后巩固〗抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8的开口向下，对称轴直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，10）．【分析】根据抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8，可将函数解析式化为顶点式，即可解答本题．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2﹣4x+8＝﹣2（x+1）2+10，∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，10），故答案为：向下，直线x＝﹣1，（﹣1，10）．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗抛物线y＝﹣x2的开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标（0，0）．【分析】根据二次函数的性质和函数的解析式得出答案即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2中a＝﹣＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0），故答案为：下，直线x＝0，（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．2210二次函数的增减性〖案例分析〗如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a 的取值范围是a≤1．【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大，∴a≤1，故答案为：a≤1【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．〖课堂练习〗已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为25．【分析】因为当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x＝﹣2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x＝1，可求出y的值．【解答】解：∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣2，解得m＝﹣16，∴y＝4x2+16x+5，那么当x＝1时，函数y的值为25．故答案为25．【点评】本题考查了函数的性质，利用二次函数的增减性得出对称轴，从对称轴入手进行求解是关键．〖课后巩固〗抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出x的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖考前再练〗已知抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是y2＜y3＜y1（用“＜”连接）．【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），苏一该函数开口向上，对称轴是直线x＝﹣，当x＞﹣时，y随x的增大而增大，当x＜﹣时，y随x的增大而减小，∵|﹣4﹣（﹣）|＝3.5，|﹣2﹣（﹣）|＝1.5，|2﹣（﹣）|＝2.5，点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，∴y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2211二次函数对称性的运用〖案例分析〗抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过（﹣1，2）和（7，2）两点，其对称轴是直线x＝3．【分析】由点（﹣1，2）和（7，2）的纵坐标相等可得出点（﹣1，2）和（7，2）关于抛物线的对称轴对称，再由点（﹣1，2）和（7，2）的横坐标即可求出抛物线的对称轴，此题得解．【解答】解：∵点（﹣1，2）和（7，2）的纵坐标相等，∴点（﹣1，2）和（7，2）关于抛物线对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝3故答案为：x＝3【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解题的关键．〖课堂练习〗某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为直线x＝2．【分析】根据二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），可以求得该函数的对称轴，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．〖课后巩固〗抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（m，n），且对称轴为直线l，则点C关于直线l的对称点C′的坐标为（2﹣m，n）（用含m，n的代数式表示）【分析】首先根据A和B点的坐标确定对称轴，然后确定点C到直线l的距离，从而确定点C关于直线l的对称的点的坐标即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），∴对称轴l为：x＝＝1，∴点C（m，n）到x＝1的距离为m﹣1，∴点C关于直线l的对称点C′的坐标为（2﹣m，n），故答案为：（2﹣m，n）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够确定二次函数的对称轴，难度不大．〖考前再练〗如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），对称轴为直线x ＝1，则点B的坐标是（﹣1，0）．【分析】利用点B与点A关于直线x＝1对称确定B点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0）．故答案为（﹣1，0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2212双根式的运用〖案例分析〗二次函数y＝a（x+1）（x﹣4）的对称轴是x＝．【分析】首先求得方程与x轴的两个交点坐标，然后根据交点坐标求得对称轴方程即可．【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣4）＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴y＝a（x+1）（x﹣4）与x轴交与点（﹣1，0），（4，0）∴对称轴为：x＝＝．故答案为：x＝．【点评】此题考查了二次函数点的对称性．解题的关键是注意审题，理解题意，根据函数的对称性解题．〖课堂练习〗抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．【分析】已知抛物线与x轴的两个交点，可以设该解析式为交点式．【解答】解：∵抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），∴设该抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．故答案是：y＝a（x﹣1）（x+3）（a≠0）．【点评】本题考查了抛物线的三种形式．交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a是常数，a ≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．〖课后巩固〗已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【分析】（1）直接利用抛物线对称轴方程求得对称轴即可；（2）化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；【解答】解：（1）抛物线的对称轴方程为x＝﹣＝；（2）y＝ax2﹣3ax﹣4a＝a（x+1）（x﹣4），当（x+1）（x﹣4）＝0，即x＝﹣1或4时y＝0，∴抛物线一定经过（﹣1，0），（4，0）；【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键时了解抛物线的对称轴方程，难度不大．〖考前再练〗已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），根据与x轴的交点坐标可知其对称轴为直线x＝．；（2）求出二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0），画出二次函数的大致图象即可判断顶点的位置．（3）分析可知当a＝0时，明显不符合题意；然后讨论a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）当a＝0时，明显不符合题意；∴a≠0；由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．【点评】本题主要考查二次函数性质、与x轴的交点的坐标，解题关键是要熟练掌握二次函数的图象和性质，能快速画出简图分析问题，同时也要多方面考虑问题，避免漏解．2213二次函数图像与系数的信息处理〖案例分析〗如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断，正确的个数是（）①abc＜0；②4a+c＜b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣1时，y＝0得到b＝a+c，由a＜0得到2a+c＜a+c，即2a+c＜b，即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x 轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，。

一、二次函数解析式（1）求二次函数解析式的四种基本方法二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。

例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。