2020年中考数学二轮专项冲刺——二次函数(真题汇编)学生版

2020年中考数学试题分类汇编之13二次函数一、选择题1．（2020安徽）（4分）如图，ABC ∆和DEF ∆都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合．现将ABC ∆在直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动．在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．2.（2020福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（ ）A. 若12|1||1|->-x x ，则12y y >B. 若12|1||1|->-x x ，则12y y <C. 若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D. 若12y y =，则12x x =3．（2020陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2020哈尔滨）（3分）将抛物线2y x =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( ) A ．2(3)5y x =++ B ．2(3)5y x =-+ C ．2(5)3y x =++ D ．2(5)3y x =-+5．(2020杭州)（3分）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0C ．若h ＝6，则a ＜0D ．若h ＝7，则a ＞06．(2020杭州)（3分）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝x 2+ax +1，y 2＝x 2+bx +2，y 3＝x 2+cx +4，其中a ，b ，c 是正实数，且满足b 2＝ac ．设函数y 1，y 2，y 3的图象与x 轴的交点个数分别为M 1，M 2，M 3，（ ） A ．若M 1＝2，M 2＝2，则M 3＝0 B ．若M 1＝1，M 2＝0，则M 3＝0 C ．若M 1＝0，M 2＝2，则M 3＝0D ．若M 1＝0，M 2＝0，则M 3＝07．(2020天津)已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点()2,0，其对称轴是直线12x =．有下列结论： ①0abc >①关于x 的方程2ax bx c a ++=有两个不等的实数根； ①12a <-． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38.（2020河北）如图，现要在抛物线(4)y x x =-上找点(,)P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下， 甲：若5b =，则点P 的个数为0； 乙：若4b =，则点P 的个数为1； 丙：若3b =，则点P 的个数为1． 下列判断正确的是（ ）A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对9.（2020江西）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+D ．2y x =+ 10.（2020四川绵阳）三孔桥横截面的三个孔都是呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同。

2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，∵B（﹣2，3），∴﹣2k＝3，∴k＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，∴x1＝﹣2，x2＝，∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，∴﹣2＜t＜，∵MN∥x轴，∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），∴s＝﹣t+2＝﹣，∵﹣2＜t＜，∴当t＝﹣时，MN的最大值为；（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，＝，＝，＝1﹣t+t+3，＝4．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，∴B（4，0），C（0，2），∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，∴∠PMC≠90°，当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，∴P点的横坐标为：2，此时P（2，2）；当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），由PC2+CM2＝PM2得，＝，解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，此时P（﹣6，﹣10）；综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，∵y＝﹣+2，∴抛物线的对称轴为x＝1，∴Q（1，0），∴BQ＝4﹣1＝3，∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，∴△BQN∽△BCO，∴，即，∴QN＝，∴QK＝2QN＝，∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，∴△BQN∽△KQL，∴，即，∴QL＝，∴OL＝1+，∴M（，），设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线QM的解析式为：y＝，联立方程组，解得，，或，∴E（，），F（，），∴EF＝．3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴C（0，﹣2），B（4，0），将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，解得，，∴y＝x﹣2；（2）∵∴，＝，，若以C为顶点，则CE2＝CF2，∴，解得：m1＝2，m2＝4（舍去），若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），综合以上得m＝2或m＝4﹣．（3）①∵AC＝，BC＝2，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，∴∠BMR＝∠MPH，∴△PHM∽△MRB，∴又∵AB∥HR，∴∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，令BR＝a，MR＝2a，又∵∠ABC＝∠BMR，∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，∴，∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，∴HR＝4a，∴P（4﹣4a，3a），又∵点P在抛物线上，将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：（4﹣4a）﹣2＝3a，∴a（8a﹣13）＝0，a 1＝0（舍），a2＝．∴．∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b＝2，c＝3；（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∵CM∥OB，∴∠MCH＝∠OBC＝45°，∴∠PCH＝90°，∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），即x＝（﹣x2+3x），解得：x1＝0（舍去），x2＝1，∴P（1，4）；②如图2，当PC＝PH时，∵PH∥OC，∴∠PHC＝∠OCB＝45°，∴∠CPH＝90°，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+2x+3＝3，解得：x＝2或x＝0（舍去），∴P（2，3）；③当CH＝PH时，如图3，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝＝3．∵HF∥OC，∴，∴，解得：x＝3﹣，∴P（3﹣，4﹣2）．综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2，∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，即：△EMN 恒为直角三角形．5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM的最小周长．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，∴，解得：，故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AC＝5．①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，∴△APQ∽△CAO，∴，即，解得：t＝．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ +S△APQ＝S△ACD，且S△ACD＝×8×3＝12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽△CAO可得：，解得：h＝（5﹣t），∴S△APQ＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APQ 达到最大值，此时S四边形PDCQ＝12﹣＝，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，又∵CO＝3AO，∴OC＝3，∴C（0，3），把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），C（0，3）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．（3）存在．∵，点P在第一象限，∴∠BCP＝45°，∵B（3，0），C（0，3），∴OC＝OB，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠BCP＝∠OCB＝45°，∴CP∥OB，∴P（2，3），设BQ与y轴交于点G，在△CPB和△CGB中：2，∴△CPB≌△CGB（ASA），∴CG＝CP＝2，∴OG＝1，∴点G（0，1），设直线BQ：y＝kx+1，将点B（3，0）代入y＝kx+1，∴，∴直线BQ：，联立直线BQ和二次函数解析式，解得：或（舍去），∴Q（，）．8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，∴点D的坐标为（2，8）．又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴＝＝2，．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴，即，∴AQ＝20，∴点Q的坐标为（18，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．（1）用a表示k及点M的坐标；（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：①求点N的坐标；②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，∴k＝﹣4a．又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点M（1，﹣4a）．（2）是定值．根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，又QL的对称轴为x＝1，故PF＝1，∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，∵a＞0，∴x2﹣3x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，∴A（﹣2，5），B（4，5）．（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．∴设N（1，c），由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，即32+（5﹣c）2＝22+c2，解得c＝3．∴N（1，3）．②或b．如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．∴EC＝＝．∵点C是DE的中点，∴．解得：m＝2，m＝4（舍去）．∴ED＝OB＝4，∴四边形ODEB为矩形．（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，∴OD′2＝OM′•OB，∴，∵∠BOD′＝∠M′OD′，∴△M′OD′∽△D′OB，∴．∴．∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，解得a＝．∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；∴D（2，8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），则FG＝|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，∴△FBG∽△BDE，∴．∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，∴BG＝6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x＝﹣1或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，），当点F在x轴下方时，有，解得x＝﹣3或x＝6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，），综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4）．∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴A点坐标为（﹣2，0），∴，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，①作FH⊥x轴，如图，∵B（4，0），C（0，﹣4）．∴OB＝OC＝4，∴，∵FH∥BC，∴△BHF∽△BOC，∴，∴．解得：HF＝．∴＝．当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，若∠BEF＝90°，则cos∠EBF＝，解得：t＝．若∠EFB＝90°，则cos∠EFB＝．解得：t＝．综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断的值是否为定值，说明理由．解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，∴ax 2+4 ax +3a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A （1，0），B （3，0），当x ＝0，y ＝3a ，∴OC ＝﹣3a ，∵S △ABC ＝， ∴， 解得a ＝﹣，∴抛物线的解析式为y ＝﹣；（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∵∠BCP＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，∴M（3，6a），又∵C（0，3a），设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，∴m＝4a，∴y＝4ax﹣12a，∴，解得：x1＝3，x2＝5，∴P（5，8a），∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，∴；（3）∵A（1，0），∴设PA的解析式y＝k1x﹣k1，∴∴ax2﹣（4a+k1）x+3a+k1＝0，∴（ax﹣3a﹣k1）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，∴x p＝3+，∵B（3，0），∴设PB的解析式y＝k2x﹣3k2，∴，∴ax2﹣（4a+k2）x+3a+3k2＝0，∴（ax﹣a﹣k2）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．又∵EC＝﹣k1﹣3 a，DE＝﹣3k2﹣3 a，∴＝＝．14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得， 解得，∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），∵点A （0，1），点B （9，10），∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），∴E （m ，m +1），∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．∵AC ⊥PE ，AC ＝6，∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+，∵0＜m ＜6，∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，∴P （3，﹣2）．∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°，同理可得∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，，即，解得t＝4，∴Q（4，1）；②当△CQP∽△ABC时，，即，解得t＝﹣3，∴Q（﹣3，1）．综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，∴令x＝0，y＝3，∴C（0，3）．∴OC+OB＝3+1＝4，∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∵抛物线的对称轴为x＝＝2，∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，∴P（2，1）．（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），又∵C（0，3），∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，∵A（3，0），∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，∴AC＝3，∴．∵∠ABC＝90°+∠OCB，∴∠ABC为钝角，若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，设M（a，﹣2a+3），∴a＝﹣2a+3，解得a＝1，∴M（1，1）．此时OM＝，OA＝3，∴，∴．则△ABC∽△OMA．②若点M在x轴下方，如图3，∵M在线段CD上，∴∠AOM≠45°，∴∠OAM＝∠BAC＝45°，∴M（2，﹣1），此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，∴．则△ABC∽△AMO．综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S．△OBE解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；①当PE在AP下方时，如图1，由点A（0，2）、P（2，3）知，AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，设：MA＝x，则MH＝2x，tan∠APH＝＝＝tanα＝，解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），设直线PH的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线PH的解析式为y＝x+，联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，∴点E（﹣，﹣），∴＝＝．②当PE在AP上方时，如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，∴∠APM＝∠ABO，∵PE∥x轴，∴E点的纵坐标为3，将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，∴E（1，3），∴＝6．综上可得△OBE的面积为或6．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得b＝2，c＝3．∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．∴PE⊥CD，PE＝PA．由y＝﹣x2+2x+3，得对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，∴DF＝CF，∴△DCF为等腰直角三角形．∴∠CDF＝45°，∴∠EDP＝∠EPD＝45°，∴DE＝EP，∴△DEP为等腰三角形．设P（1，m），∴EP2＝（4﹣m）2．在△APQ中，∠PQA＝90°，∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．整理，得m2+8m﹣8＝0解得，m＝﹣4±2．∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．如图2，连结CQ、CB、CM，∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，∴△COB为等腰直角三角形，∴∠CBQ＝45°，BC＝3．由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，∴∠CBQ＝∠CDM．∴△DCM与△BQC相似有两种情况．当时，∴，解得DM＝．∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．∴M（1，）．1当时，∴，解得DM＝3，∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．∴M（1，1）．2综上，点M的坐标为或（1，1）．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝90°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S＝3，请求出点P的坐标．△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x＝，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PA＝a，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．。

《二次函数综合》压轴题专题训练1．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：．（2）求抛物线y＝﹣x2+x+1的“同轴对称抛物线”．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B′、C′，连接BC、CC′、B′C′、BB′，设四边形BB′C′C的面积为S（S＞0）．①当四边形BB′C′C为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛1物线C：y＝x2．2（1）直接写出抛物线C的解析式；1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）（2）如图1，已知抛物线C1在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点Q．求点Q的坐标；1上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛（3）已知点E，M在抛物线C2物线C只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段2NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．3．如图1，抛物线y＝x2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，﹣），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0）且与y轴交于点C，OA＝OC．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由；（3）已知点P时直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；＝3，请求出点P的坐标．（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．7．已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE＝3PE，求P点坐标；（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．：y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B．抛物线8．如图，已知抛物线l1l：y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，直线y＝﹣x+b经过A，B，D三点，两抛物2线交于点C．（1）求b的值和点B的坐标；（2）设点C的横坐标为m，探究m与h之间的数量关系；（3）当△ABC是直角三角形时，求h的值．9．综合与探究．如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求A，B，C三点的坐标及直线BE的解析式．（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连接PA，PD，求OAPD面积的最大值．（3）若（2）中的点P为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线顶点，求△ACD的面积；（3）如图2，射线AE交抛物线于点E，交y轴的负半轴于点F（点F在线段AE上），点P是直线AE下方抛物线上的一点，S＝，求△APE面积的最大值和此动点P的坐标．△ABE12．图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．13．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°．求证：CO＝；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连结AC，已知B（1﹣，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且S△ACE ＝S△ABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求出抛物线表达式，并求出点A坐标．（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为3，求出△BCD的面积；（3）点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q．是否存在点P，使得以点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵“同轴对称抛物线”的顶点重合，∴顶点关于x轴对称且重合，∴顶点在x轴上，故答案为：顶点在x轴上；（2）∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，∴“同轴对称抛物线”的顶点坐标为（1，﹣），∴y＝（x﹣1）2﹣；（3）①由题可知，B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为x＝2，∴B'（3，1﹣3a），C'（3，3a﹣1），∴BB'＝CC'＝2，∴BC＝2﹣6a或BC＝6a﹣2，∴2﹣6a＝2或6a﹣2＝2，∴a＝0（舍去）或a＝；②函数的对称轴为x＝2，函数L的顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”是关于x轴对称的，所以整数点也是对称的出现，∵抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x轴上的整数点可以是3个或5个，∴L与x轴围城的区域的整数点为4个或3个；当a＞0时，当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，∴＜a≤1，当x＝2时，1﹣4a＜﹣2，∴a＞，∴＜a≤1；当a＜0时，当x＝2时，1﹣4a≤2，∴a≥﹣，当x＝﹣1时，5a+1＜0，∴a＜﹣，∴﹣≤a＜﹣；综上所述：＜a≤1或﹣≤a＜﹣．2．解：（1）由已知可知，抛物线C：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位2：y＝ax2+bx+c，长度得到抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线C1故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），上，∵点P（，t）在抛物线C1∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．3．解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，﹣）代入抛物线y＝x2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣，∴M点的坐标为（1，﹣4）；（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝x﹣；当x＝1时，y＝﹣3，∴N（1，﹣3），∴MN＝1；①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2﹣t﹣），则D（t，t﹣），∴CD＝t﹣﹣（t2﹣t﹣）＝1，∴t＝3或t＝1（舍去），∴D（3，﹣）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t﹣），则C（2﹣t，﹣t﹣），将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2﹣（2﹣t）﹣＝﹣t﹣，∴t＝﹣1或t＝1（舍去），∴D（﹣1，﹣）；综上所述：符合条件的D点坐标为（3，﹣）或（﹣1，﹣）；（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，∴∠AQM＝∠APM＝45°，作PE⊥y轴交于点E，∴PE＝1，∵PQ＝3，∴EQ＝＝2，∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．4．解：（1）∵点A （﹣1，0）∴OA ＝1，∵OA ＝OC ＝1，且点C 在y 轴负半轴，∴点C （0，﹣1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A （﹣1，0），B （2，0）且与y 轴交于点C ， ∴ 解得：∴抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ﹣1；（2）∵点C 关于x 轴的对称点为C 1，∴C 1（0，1），∵点B （2，0），点C 1（0，1），∴直线BC 1的解析式为：y ＝﹣x +1，∴设点M 坐标为（m ，﹣m +1）∴MF ＝m ，ME ＝﹣m +1，∴矩形MFOE 的面积＝MF ×ME ＝m ×（﹣m +1）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣1）2+， ∴当m ＝1时，矩形MFOE 的最大面积为，此时点M 的坐标为（1，），即点M 为线段C 1B 中点时，S 矩形MFOE 最大；（3）由题意，C （0，﹣1），C 1（0，1），以C 、C 1、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C 1C 为边，则C 1C ∥PQ ，C 1C ＝PQ ，设P （m ，m +1），Q （m ，m 2﹣m ﹣1），∴|（m 2﹣m ﹣1）﹣（m +1）|＝2，解得：m 1＝4，m 2＝﹣2，m 3＝2，m 4＝0（舍），P 1（4，3），Q 1（4，5）；P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）；P 3（2，2），Q 3（2，0） ②C 1C 为对角线，∵C 1C 与PQ 互相平分，C 1C 的中点为（0，0），∴PQ 的中点为（0，0），设P （m ，m 2﹣m +1），则Q （﹣m ，m 2+m ﹣1） ∴（m +1）+（m 2+m ﹣1）＝0，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，∴P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）；综上所述，点P 和点Q 的坐标为：P 1（4，3），Q 1（4，5）或P 2（﹣2，0），Q 2（﹣2，2）或P 3（2，2），Q 3（2，0）或P 4（﹣2，0），Q 4（2，0）．5．解：（1）∵直线x ＝1是抛物线的对称轴，且点C 的坐标为（0，3），∴c ＝3，﹣＝1，∴b ＝2，∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴点M （1，4），∵抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧）， ∴0＝﹣x 2+2x +3∴x 1＝3，x 2＝﹣1，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），∵点M （1，4），点B （3，0）∴直线BM 解析式为y ＝﹣2x +6，∵点P 在直线BM 上，且PD ⊥x 轴于点D ，PD ＝m ，∴点P （3﹣，m ），∴S △PCD ＝×PD ×OD ＝m ×（3﹣）＝﹣m 2+m ，∵点P 在线段BM 上，且点M （1，4），点B （3，0），∴0＜m ≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3∴D（0，3）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∵S△PBD ＝S△PQD+S△PQB，∴S△PBD＝（3﹣m）＝PQ＝﹣m，∵S△PBD＝3，∴﹣m＝3．解得：m1＝1，m2＝2．∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．（3）∵B（3，0），D（0，3），∴BD＝＝3，设M（a，0），∵MN∥BD，∴△AMN∽△AMD，∴，即．∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，∴，∴DM2＝BD•MN．∴9+a2＝3（1+a）．解得：a＝或a＝3（舍去）．∴点M的坐标为（，0）．7．解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），把c（0，3）代入，得3a＝3，∴a＝1，∴抛物线的解析式是y＝（x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣4x+3，即y＝x2﹣4x+3；（2）过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，∵A（3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠OAC＝45°，∵FG∥OA，∴∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE，∵PE⊥CA，∴∠PEG＝45°，∴PG＝EG＝PE，∵CE＝3PE，∴EF＝3FG，设EF＝3m，则PG＝EG＝m，FG＝4m，∴DG＝OF＝OC﹣CF＝3﹣3m，PD＝PG+DG＝3﹣2m，∴P（4m，3﹣2m），把P（4m，3﹣2m）代入y＝x2﹣4x+3中得，3﹣2m＝16m2﹣16m+3，∴m＝，或m＝0（舍去），∴P（，）；（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，∴H（2，0），由题意知，点H是新抛物线的顶点，∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，则MK＝（m﹣2）2，KH＝2﹣m，HL＝n﹣2，NL＝（n﹣2）2，∵MH⊥NH，∴∠MHK+∠HMK＝∠MHK+∠NHL＝90°，∴∠HMK＝∠NHL，∵∠MKH＝∠HLN＝90°，∴△KHM∽△LNH，∴，，∴，∴，设直线MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线MN的解析式为：，当x＝2时，y＝﹣（m2﹣4m+3）＝m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3＝1，∴MN恒过的定点（2，1）．8．解：（1）∵y＝（x﹣1）2+k（k＞0）经过y轴上的点A，顶点为B，∴A（0，1+k），B（1，k），∵y＝（x﹣h）2+2﹣h（h≥2）的顶点为D，∴D（h，2﹣h），∵直线y＝﹣x+b经过A，D，∴，∴，∴b的值为2，点B的坐标为（1，1）；：y＝（x﹣1）2+1，（2）由（1）知，抛物线l1∵点C的横坐标为m，两抛物线交于点C．∴（m﹣1）2+1＝（m﹣h）2﹣h+2，整理得2mh﹣2m＝h2﹣h∵h≥2∴m＝＝；（3）当AC⊥AB时，则直线AC解析式为：y＝x+2，∴∴（舍去），，∴点C坐标为（3，5），∴3＝∴h＝6；当BC⊥AB时，则直线BC解析式为：y＝x，∴∴（舍去），∴点C坐标为（2，2），∴2＝∴h＝4；9．解：（1）令y＝0，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BE的解析式为y＝kx+b，将B（4，0）、E（0，2）代入得，，解得：，∴y＝﹣x+2；（2）由题意可设AD的解析式为y＝﹣x+m，将A（﹣1，0）代入，得到m＝﹣，∴y＝﹣x﹣，联立，解得：，，∴D（3，﹣2），过点P作PF⊥x轴于点F，交AD于点N，过点D作DG⊥x轴于点G．∴S△APD ＝S△APN+S△DPN＝PN•AF+PN•FG＝PN（AF+FG）＝PN•AG＝×4PN＝2PN，设P（a，﹣a2﹣a﹣2），则N（a，﹣a﹣），∴PN＝﹣a2+a+，∴S△APD＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，∵﹣1＜0，﹣1＜a＜3，∴当a＝1时，△APD的面积最大，最大值为4；（3）存在；①当PD与AQ为平行四边形的对边时，∵AQ∥PD，AQ在x轴上，∴P（0，﹣2），∴PD＝3，∴AQ＝3，∵A（﹣1，0），∴Q（2，0）或Q（﹣4，0）；②当PD与AQ为平行四边形的对角线时，PD与AQ的中点在x轴上，∴P点的纵坐标为2，∴P（，2）或P（，2），∴PD的中点为（，0）或（，0），∵Q点与A点关于PD的中点对称，∴Q（，0）或Q（，0）；综上所述：点Q的坐标为（2，0）或（﹣4，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，又∵抛物线对称轴为直线x ＝﹣＝2，∴x ＝2时，y ＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M 的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB ＝OC ＝3，OB ⊥OC ，∴△BOC 是等腰直角三角形，∵EF ∥y 轴，直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3，∴△DEF 只要是直角三角形即可与△BOC 相似，∵D （2，1），A （1，0），B （3，0），∴点D 垂直平分AB 且到点AB 的距离等于AB ，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，联立， 解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．11．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，∴a +2a +c ＝0，点C 的坐标为（0，c ），∴点A 的坐标为（c ，0），∴ac 2+2ac +c ＝0， ∴， 解得，或，∵函数图象开口向上，∴a ＞0，∴a ＝1，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，抛物线与与y 轴交于点C ，顶点为D ，OA ＝OC ，抛物线y ＝ax 2+2ax +c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B （1，0）两点，∴点D 的坐标为（﹣1，﹣4），点C 的坐标为（0，﹣3），点A 的坐标为（﹣3，0）， 连接OD ，如右图1所示，由图可知：S △ACD ＝S △OAD +S △OCD ﹣S △OAC＝＝3；（3）∵A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB＝4，设点E的纵坐标为t，t＜0，∵S△ABE＝，∴＝，得t＝，把y＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得﹣＝x2+2x﹣3，解得，x1＝，x2＝，∵点E在y轴的右侧，∴点E（，﹣），设直线AE的解析式为y＝mx+n（m≠0），∴，得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣1，过点P作y轴的平行线交AC于点G，如图2所示，设点P的横坐标为x，则P（x，x2+2x﹣3），点G（x，﹣x﹣1），∴PG＝（﹣x﹣1）﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣x+2，又∵A（﹣3，0），E（，﹣），∴S△APE ＝S△APG+S△PEG＝（﹣x2﹣x+2）（x+3）+（﹣x2﹣x+2）（﹣x）＝（﹣x2﹣x+2）（3+）＝（x+）2+，∴当x＝﹣时，S取得最大值，最大值是，△APE把x＝﹣代入y＝x2+2x﹣3，得y＝（﹣）2+2×（﹣）﹣3＝﹣，∴此时点P的坐标为（﹣，﹣）．12．解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，得，∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝﹣2，即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E（0，m），E′（x，y），则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90°，∴BC＝＝3，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴，即，解得，CF＝，又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，∴△NCF∽△OCB，∴，即，解得，FN＝，∴点F的横坐标为，把x＝代入直线BC的解析式，得y＝，∴点F的坐标为（，），∵EE′关于直线BC对称，∴点F为EE′的中点，∴，解得，∴E′（，），∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，∴点E的坐标为（0，6）或（0，）．13．证明：（1）设A（b，ab2），B（c，ac2），∵∠AOB＝90°，∴AB2＝AO2+BO2，∴（b﹣c）2+（ab2﹣ac2）2＝b2+a2b4+c2+a2c4，﹣2bc﹣2a2b2c2＝0，1+a2bc＝0，∴bc＝﹣，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线AB的解析式为：y＝a（b+c）x﹣abc，当x＝0时，y＝OC＝﹣abc＝﹣a•（﹣）＝；（2）如图2，过A作AD⊥y轴于D，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，当y＝0时，kx+b＝0，∴x＝﹣，∴OC＝﹣，∵过点A的直线AB恰好与此抛物线仅有一个交点，∴ax2＝kx+b，∴ax2﹣kx﹣b＝0，△＝k2+4ab＝0，∴b ＝﹣，OC ＝﹣＝，∴x ＝，∵a ＞0，k ＞0，∴AD ＝，∵AD ∥OC ， ∴＝＝，∴AB ＝2BC ，∴AC ＝BC ．14．解：（1）把B （﹣1，0），D （2，﹣2）代入y ＝ax 2﹣x +c 得， 解得：．故抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x ﹣2；（2）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （3，0），∴AB ＝4，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，∴S △ABC ＝×4×2＝4，设AC 的解析式为y ＝kx +b ，把A （3，0），C （0，﹣2）代入y ＝kx +b 得， 解得．∴y ＝x ﹣2，如图1，过点E 作x 轴的垂线交直线AC 于点F ，设点F （a ，a ﹣2），点E （a ，a 2﹣a ﹣2），其中﹣1＜a ＜3，∴S △ACE ＝EF |x A ﹣x C |＝|a 2﹣a |＝，∵S △ACE ＝S △ABC ，∴a 2﹣3a ＝2或﹣a 2+3a ＝2，解得a 1＝（舍去），a 2＝，a 3＝1，a 4＝2， ∴E 1（，），E 2（1，﹣），E 3（2，﹣2）；（3）在y ＝ax 2+bx ﹣2中，当x ＝0时，y ＝﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC ＝2，如图2，设P （0，m ），则PC ＝m +2，OA ＝3，AC ＝＝，①当PA ＝CA 时，则OP 1＝OC ＝2，∴P 1（0，2）；②当PC ＝CA ＝时，即m +2＝，∴m ＝﹣2， ∴P 2（0，﹣2）； ③当PC ＝PA 时，点P 在AC 的垂直平分线上，则△AOC ∽△P 3EC ， ∴＝，∴P 3C ＝，∴m ＝，∴P 3（0，），④当PC ＝CA ＝时，m ＝﹣2﹣，∴P 4（0，﹣2﹣）．综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，﹣2）或（0，）或（0，﹣2﹣）．15．解：（1）由已知可求B（6，0），C（0，4），将点B（6，0），C（0，4）代入y＝﹣+bx+c，则有，解得，∴y＝﹣x2+x+4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0）；（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为3，∴D（3，8），过点D作y轴的垂线交于点E，过点B作BF⊥DE交ED的延长线于点F；∴E（0，8），F（6，8），∴S△BCD ＝S梯形ECBF﹣S△CDE﹣S△BFD＝（EC+BF）×OB﹣×EC×ED﹣×DF×BF＝×（4+8）×6﹣×4×3﹣×3×8＝36﹣6﹣12＝18；（3）设P（m，﹣m2+m+4），∵PQ垂直于x轴，∴Q（m，0），且∠PQO＝90°，∵∠COB＝90°，∴点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似有两种情况：①△PAQ∽△CBO时，＝＝，∴＝，解得m＝5或m＝﹣1，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝5，∴P（5，4）；②△PAQ∽△BCO时，＝＝，∴＝，解得m＝﹣1或m＝，∵点P是直线BC上方的抛物线上，∴0≤m≤6，∴m＝，∴P（，）；综上所述：P（5，4）或P（，）时，点A、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似．。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由； （3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标 （3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标； （2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。

2020 年中考数学二轮复习压轴专题：《二次函数》1．如图，平面直角坐标系中，点 A、点B 在 x 轴上（点A在点B 的左边），点 C在第一象限，知足∠ ACB为直角，且恰使△OCA∽△ OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（ a＜0）经过A、 B、C三点．（1）求线段OB、OC的长．（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；（ 3）在x 轴上能否存在点，使△为等腰三角形？若存在，求出全部切合条件的P P BCP点的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）y＝ax2﹣ 8ax+12a＝a（x﹣ 6）（x﹣ 2），故 OA＝2， OB＝6，△ OCA∽△ OBC，则2，即： OC＝ OA?OB，解得： CO＝2；（ 2）过点C作CD⊥x轴于点D，△ OCA∽△ OBC，则，设 AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，故 16＝（ 2x）2+（ 2x）2，解得：x＝1，故 AC＝2， BC＝2，S△ABC＝AB× CD＝AC× BC，解得： CD＝，故 OD＝3，故点 C（3，）；将点 C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；（ 3）设点P（ m，0），而点B、 C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；2222则 BC＝12，PB ＝（ m﹣6）， PC＝（ m﹣3）2+3，当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；当 BC＝PC时，同理可得： m＝6（舍去）或0；当 PB＝PC时，同理可得： m＝4，综上点 P 的坐标为：（6， 0）或（ 0， 0）或（ 4， 0）．2．直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，抛物线y＝﹣ x2+bx+c 经过 A、 B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△ PBA的面积最大时，求点 P 的坐标；②在①的条件下，点 P 对于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线 AB上能否存在点 M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）直线y＝﹣x+2与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B，则点 A、 B 的坐标分别为：（ 4， 0）、（ 0， 2），将点、B 的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，A故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+2；2（ 2）①过点P作y轴的平行线交BC于点 N，设 P（m，﹣ m+ m+2），点 N（ m，﹣m+2），则：△ PBA的面积 S＝2m+2+2PN× OA＝×4×（﹣ m+m﹣2）＝﹣ m+4m，当 m＝2时， S 最大，此时，点 P（2，5）；②点 P（2，5），则点 Q（， 5），设点M（a，﹣a+2）；（Ⅰ）若：∠QMB QAM QM AM 1＝2∠1，则1＝1，则（ a﹣）2+（a﹣3）2＝（ a﹣4）2+（﹣a+2）2，解得： a＝，M，）；故点1（（Ⅱ）若∠QMB QAM2＝ 2∠ 1 ，则∠ QM2B＝∠ QM1B， QM1＝ QM2，作 QH⊥AB于 H，BQ的延伸线交x 轴于点 N，则 tan ∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，故直线QH表达式中的k 为2，设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与 B 重合，M、M对于21B 对称，∴ M（﹣2，）；综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ ax2+bx+c 订交于 A（﹣1，0）， B（4， m）两点，抛物线 y＝ ax2+bx+c 交 y 轴于点 C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的极点为M．（1）求抛物线的分析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点 P的坐标；（ 3）若点Q为x轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右边，当△QMN与△ MAD 相像时，求N点的坐标．解：（ 1）将点B（ 4，m）代入y＝x+，∴ m＝，将点 A（﹣1，0）， B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得 a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数分析式为 y＝ x2﹣ x﹣；（ 2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点 P 且与直线 y＝ x+垂直的直线分析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线 y＝x+与其垂线的交点G（n2+ n﹣，n 2+ n+），∴ GP＝（﹣ n2+3n+4），当 n＝时， GP最大，此时△ PAB的面积最大，∴P（，），∵AB＝，PG＝，∴△ PAB的面积＝××＝；（3）∵M（ 1，﹣ 2），A（﹣ 1， 0），D（ 3，0），∴ AM＝2， AB＝4， MD＝2，∴△ MAD是等腰直角三角形，∵△ QMN与△ MAD相像，∴△ QMN是等腰直角三角形，设 N（t ，t 2﹣ t ﹣）①如图 1，当MQ⊥QN时，N（ 3， 0）；②如图 2，当QN⊥MN时，过点N作 NR⊥ x 轴，过点 M作 MS⊥ RN交于点 S，∵QN＝MN，∠ QNM＝90°，∴△ MNS≌△ NMS（ AAS）∴﹣ 1＝﹣t 2+ + ，t t ∴ t ＝±，∴ t ＞1，∴ t ＝，∴N（，1﹣）；③如图 3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过 M点的垂线分别交于点S、 R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△ MQR≌△ QNS（ AAS），∴ SQ＝QR＝2，∴ t +2＝1+t 2﹣ t ﹣，∴t ＝5，∴N（5，6）；④如图 4，当MN⊥NQ时，过点M作 MR⊥ x 轴，过点 Q作 QS⊥ x 轴，过点N 作x轴的平行线，与两垂线交于点、；R S∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△ MNR≌△ NQS（ AAS），∴ SQ＝RN，∴ t 2﹣ t ﹣＝ t ﹣1，∴ t ＝2±，∵ t ＞1，∴ t ＝2+，∴N（2+， 1+）；综上所述： N（3，0）或 N（2+， 1+）或 N（5，6）或 N（，1﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个极点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的分析式为y＝ ax2+bx．（ 1）如图 1，若抛物线经过A，D两点，直接写出 A 点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（ 2）如图 2：①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式．②若点 P 为线段 AB上一动点，过点P 作 PE⊥ AB交 AC于点 E，过点 E 作 EF⊥AD于点 F交抛物线于点G．当线段 EG最长时，求点E的坐标；（ 3）若a ＝﹣ 1，且抛物线与矩形没有公共点，直接写出b的取值范围．ABCD解：（ 1）点A的坐标为：（ 4， 8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；故答案为：（ 4，8）； 6；（ 2）①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；②由点 A、 C的坐标得，直线AC的表达式为： y＝﹣2x+16；设点 E（ x，﹣2x+16），则点 G（ x，﹣x2+4x），EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，当 x＝6时， EG由最大值为：2，此时点 E（2，4）；（ 3）若a＝﹣ 1，则抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+bx，当抛物线过点B和点 D时，抛物线与矩形有一个交点，将点 B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣ 16+4b，解得：b＝ 4，将点 D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，故 b 的取值范围为：b＜4或 b＞9．5．如图，直线y ＝﹣1 与抛物线y＝﹣x2+6 ﹣5 订交于、D两点．抛物线的极点为，连x x A C结 AC．（ 1）求A，D两点的坐标；（ 2）点P为该抛物线上一动点（与点A、 D不重合），连结 PA、PD．①当点 P 的横坐标为 2 时，求△PAD的面积；②当∠ PDA＝∠ CAD时，直接写出点P的坐标．解：（ 1）联立方程组，解得，，，∴（1，0），（4，3），A D（ 2）①过P 作⊥轴，与订交于点，PE x AD E∵点 P的横坐标为2，∴P（2，3）， E（2，1），∴PE＝3﹣1＝2，∴＝3；②过点 D作 DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠ PDA＝∠ CAD，∵y＝﹣ x2+6x﹣5＝﹣（ x﹣3）2+4，∴ C（3，4），设 AC的分析式为： y＝ kx+b（ k≠0），∵A（1，0），∴，∴，∴AC的分析式为： y ＝2x﹣2，设 DE的分析式为： y＝2x+n，把D（4，3）代入，得3＝8+n，∴n＝﹣5，∴DE的分析式为： y＝2x﹣5，联立方程组，解得，，，∴此时 P（0，﹣5），当 P 点在直线 AD上方时，延伸 DP，与 y 轴交于点 F，过 F 作 FG∥AC ，FG与 AD交于点 G，则∠ FGD＝∠ CAD＝∠ PDA，∴FG＝FD，设 F（0， m），∵ AC的分析式为： y＝2x﹣2，∴FG的分析式为： y＝2x+m，联立方程组，解得，，∴ G（﹣ m﹣1，﹣ m﹣2），∴FG＝，FD＝，∵ FG＝FD，∴＝，∴ m＝﹣5或1，∵ F 在 AD上方，∴ m＞﹣1，∴ m＝1，∴ F（0，1），设 DF的分析式为： y＝ qx+1（ q≠0），把 D（4，3）代入，得4q+1＝3，∴ q＝，∴DF的分析式为： y＝ x+1，联立方程组∴，，∴此时P 点的坐标为，综上， P 点的坐标为（0，﹣ 5）或．6．综合与研究如图，抛物线y＝ ax2+bx+c（ a≠0）经过点 A、 B、C，已知点 C（0，4），△ AOC∽△ COB，且，点 P 为抛物线上一点（异于A， B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝ EF时，求点 P 的坐标（ 3）若点为x 轴上一动点，能否存在点，使得由，，，四点构成的四边形为平M P B C P M行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明原因解：（ 1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；△ AOC∽△ COB，则△ ABC为直角三角形，2则 CO＝ OA?OB，解得： OB＝2，故点 B（2，0）；则抛物线的表达式为：y＝a（ x﹣2）（ x+8），将点 C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；精选文档666AC的表达式为：y＝x+4；由点A、 C的坐标可得直线（ 2）设点P（ x，﹣x2﹣x+4），则点E（ x，x +4），PE＝ EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；解得： x＝﹣8（舍去）或﹣2，故点 P（﹣2，6）；2（ 3）设点P（m，n），n＝﹣m﹣m+4，点 M（s，0），而点 B、C的坐标分别为：（2，0）、（ 0， 4）；①当 BC是边时，点 B 向左平移2个单位向上平移 4 个单位获得C，相同点 P（ M）向左平移 2 个单位向上平移 4 个单位获得M（ P），即 m﹣2＝ s， n+4＝0或 m+2＝ s， n﹣4＝0，解得： m＝﹣6或﹣ 3，故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣ 3，﹣ 4）或（﹣﹣3，﹣ 4）；②当BC是对角线时，由中点公式得：2＝m+s，n＝ 4，故点 P（﹣6，4）；综上，点 P 的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．7．如图 1，抛物线y＝x2+mx+4m与 x 轴交于点 A（ x1，0）和点 B（ x2，0），与 y 轴交于点C，且 x1， x2知足 x12+x22＝20，若对称轴在y 轴的右边．（1）求抛物线的分析式．（2）如图 2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线 AB的同侧作等腰直角三角形△ APM和△ BPN，试确立△ MPN最大时 P 点的坐标．（ 3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤ x1≤ a+2，x2≥时，均有y1≤ y2，求 a 的取值范围．解：（ 1）x1+x2＝﹣ 2m，x1x2＝8m，则 x12+x22＝（ x1+x2）2﹣2x1x2＝20，即（﹣ 2m）2﹣ 16m＝ 20，解得： m＝5（舍去）或﹣1；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣ x﹣4；（2）令y＝0，则x＝﹣ 2 或 4，故点A、B的坐标分别为：（﹣ 2，0）、（ 4，0），则AB＝6；设： AP＝ a，则 PN＝6﹣ a，∠ MPN＝180°﹣∠ MPA﹣∠ NPB＝90°；S△＝×PN× PMMPN＝a××（6﹣a）＝a（6﹣ a）＝﹣（ a﹣3）2+；∴当a＝3时， S最大，此时△MPNOP＝1，故点P（1，0）；（ 3）函数的对称轴为x＝1，如图，x＝﹣2.5和 x＝对于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看， a≥﹣且a+2≤，解得：﹣≤ a≤．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的极点B， C， D 的坐标分别（1，0），（3，0），（ 3， 4），以A为极点的抛物线y＝ ax2+bx+c 过点 C．动点 P 从点 A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D 匀速运动，过点P 作PE⊥ x 轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t （秒）．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若PN分△ ACD的面积为1： 2 的两部分，求t的值；（ 3）若动点P 从A 出发的同时，点Q 从 C出发，以每秒1 个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为极点的四边形为菱形，求 t的值．解：（ 1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0）， C（3，0）， D（3，4），∴ A（1，4），设抛物线的分析式为y＝a（ x﹣1）2+4，将 C（3，0）代入 y＝ a（x﹣1）2+4，得 0＝4a+4，解得 a＝﹣1，∴抛物线的分析式为 y＝﹣（ x﹣1）2+4＝﹣ x2+2x+3；（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，∴ PE∥DC，∴△ APN∽△ ADC，∵ PN分△ ACD的面积为1：2的两部分，∴＝或，当＝时，＝＝，∵AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝；当＝时，＝＝，∵ AD＝2，∴ AP＝，∴ t 的值为× 2＝，综上所述，t 的值为或；（ 3）如图 2﹣ 1，当CN为菱形的对角线时，点 P，N的横坐标均为，设直线的分析式为y ＝+ ，AC kx b将 A（1，4）， C（3，0）代入 y＝ kx+b，得，解得，∴直线 AC的表达式为y＝﹣2x+6，将点 N的横坐标代入y＝﹣2x+6，得，即 EN＝4﹣ t ，由菱形 CQNH可得， CQ＝ NH＝ t ＝ CH，可得 EH＝（4﹣ t ）﹣ t ＝4﹣2t ，∵∴，，在 Rt △CHE中，222∵ CE+EH＝ CH，∴，解得， t 1＝，t2＝4（舍）；如图 2﹣ 2，当CN为菱形的边时，由菱形 CQHN可得， CQ＝ CN＝ t ，在 Rt △CNE中，222∵ NE+CE＝ CN，∴（ 4﹣t）2+（ 2﹣t ）2＝ t 2，解得， t 1＝20﹣8， t 2＝20+8（舍）；综上所述，t的值为或．9．如图1，过原点的抛物线与x 轴交于另一点A，抛物线极点 C 的坐标为，其对称轴交 x 轴于点 B．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右边的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（ 3）在对称轴上能否存在点P，使得点 A对于直线OP的对称点 A'知足以点 O、A、C、A'为极点的四边形为菱形．若存在，恳求出点P的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）设抛物线分析式为y＝ a（ x﹣ h）2+k，（ a≠0）∵极点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（ 2）令y＝ 0，即，解得： x1＝0， x2＝4，∴ A（4，0），设直线 AC的分析式为y＝kx+b，将点 A（4，0），代入，得，精选文档666解得，∴直线AC的分析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥ y 轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，∴当m＝3时， S△ACD有最大值，当 m＝3时，，∴；（ 3）∵∠CBO＝∠CBA＝ 90°，OB＝AB＝ 2，∴，，∴OA＝OC＝ AC＝4，∴△ AOC为等边三角形，①如图 3﹣ 1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA' ，∴四边形 ACA'O是菱形，∴；②作点 C对于 x 轴的对称点 C'，当点 A'与点 C'重合时， OC＝ AC＝AA'＝ OA'，∴四边形 OCAA'是菱形，∴点 P是∠ AOA'的角均分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB22∴ OP＝2BP，∵∠2＝ 90°，＝2，OBP OB∴OP2＝2BP2，设 BP＝ x，2∴ OP＝2x，2又∵，∴（ 2x）2＝22 +x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．10．已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左边）与y 轴交于点 C，连接 AC、BC．（ 1）如图 1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△ PBC面积最大时，点M、N分别为x、y 轴上的动点，连结PM、PN、 MN，求△ PMN的周长最小值；（ 2）如图 2，点C对于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移获得新的拋物线 y'，使得 y'交 x 轴于点 H、B（ H在 B 的左边）．将△ CHB绕点 H 顺时针旋转90°至△C' HB'．抛物线 y'的对称轴上有一动点 S，坐标系内能否存在一点 K，使得以 O、C'、K、S 为极点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）如图 1，A（﹣ 2， 0），B（ 8， 0），C（ 0， 4），∴直线的分析式为，BC过点 P作 y 轴平行线，交线段BC于点 Q，设，∴＝，∵ 0＜m＜ 8，∴ P（4，6）．作 P 点对于 y 轴的对称点P1，P 点对于 x 轴的对称点 P2，连结 P1P 2交 x 轴、y 轴分别为 M，，N此时△的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；PMN∵ P1（﹣4，6）， P2（4，﹣6），∴．（ 2）如图 2 中，∵ （ 0，﹣ 4），平移后的抛物线经过，，E E B∴抛物线的分析式为y ＝﹣x2+bx﹣ 4，把（ 8， 0）代入获得b＝4，B∴平移后的抛物线的分析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），令 y＝0，获得 x＝2或8，∴ H（2，0），∵△ CHB绕点 H顺时针旋转90°至△ C′ HB′，∴C′（6，2），当 OC′＝ C′ S时，可得菱形 OC′S1 K1，菱形 OC′ S2K2，∵ ′＝′＝＝2，OC CS∴可得 S1（5，2﹣）， S2（5，2+），∵点 C′向左平移一个单位，向下平移获得 S1，∴点 O向左平移一个单位，向下平移个单位获得K1，∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），当′＝时，可得菱形′，菱形′，OC OS OC K3S3OC K4S4同法可得 K3（11，2﹣），K4（11，2+），当 OC′是菱形的对角线时，设2222，S5（5， m），则有 5 +m＝1 +（2﹣ m）解得 m＝﹣5，∴ S5（5，﹣5），∵点O向右平移5 个单位，向下平移 5 个单位获得S5，∴ C′向上平移 5 个单位，向左平移 5 个单位获得K5，∴ K5（1，7），综上所述，知足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣ 1，）或（ 11，2﹣）或（ 11， 2+）或（ 1，7）．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（ a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 m（0＜ m＜3），连结 CD、BD、 BC、 AC，当△ BCD的面积等于△ AOC面积的2倍时，求 m的值；（ 3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中研究抛物线上能否存在点M，使得以 B，C，M，N为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）把（﹣ 1，0），（ 3，0）代入y ＝ax2+bx+2 中，得：，解得：，A B∴抛物线分析式为；（ 2）过点D作y轴平行线交BC于点 E，把 x＝0代入中，得：y＝2，∴ C点坐标是（0，2），又 B（3，0）∴直线的分析式为，BC∵∴∴＝，由S ＝2S 得：△BCD△AOC∴，2整理得： m ﹣ 3m +2＝ 0解得： m ＝ 1， m ＝ 212∵ 0＜ m ＜ 3∴ m 的值为 1 或 2；（ 3）存在，原因：设：点的坐标为：（ ， ）， ＝﹣2+x +2，点 （ 1， ），点 （ 3， 0）、 （ 0， 2），M m nnxNsBC①当是平行四边形的边时，BC当点 C 向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位获得 ，B相同点 M （ N ）向右平移 3 个单位，向下平移 2 个单位 N （ M ），故： m +3＝ 1， n ﹣ 2＝ s 或 m ﹣ 3＝ 1， n +2＝ s ，解得： m ＝﹣ 2 或 4，故点M 坐标为：（﹣ 2，﹣）或（4，﹣）；②当BC 为对角线时，由中点公式得：m +1＝ 3，n +3＝ 2，解得： m ＝ 2，故点M （ 2，2）；综上， M 的坐标为：（ 2，2）或（﹣2，）或（ 4，）．12．已知抛物线 y ＝ax 2﹣ 2ax +3 与 x 轴交于点 A 、 B （ A 左 B 右），且 AB ＝4，与 y 轴交于 C 点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）如图，证明：对于随意给定的一点 P （0， b ）（ b ＞ 3），存在过点 P 的一条直线交抛物线于 M 、 N 两点，使得 PM ＝ MN 建立；（ 3）将该抛物线在 0≤ x ≤ 4 间的部分记为图象 G ，将图象 G 在直线 y ＝ t 上方的部分沿 y＝ t 翻折，其他部分保持不变，获得一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最m小值为 n ，若 m ﹣ n ≤ 6，求 t 的取值范围．解：（ 1）抛物线y＝ax2﹣ 2ax+3 的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣ 1，0）、B （ 3， 0）．把 A（﹣1，0）代入 y＝ ax2﹣2ax+3，得 a+2a+3＝0，∴ a＝﹣1．∴抛物线的分析式为 y＝﹣ x2+2x+3．（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，由 PM＝MN，则△ PMG≌△ NMH（ AAS），∴PG＝NH， MG＝MH．22设 M（m，﹣ m+2m+3），则 N（2m，﹣4m+4m+3），∵ P（0， b）， GM＝ MH，∴y G+y H＝2y M，222即 b+（﹣4m+4m+3）＝2（﹣ m+2m+3），∴2m＝ b﹣3，∵ b＞3，∴对于 m的方程总有两个不相等的实数根，此即说了然点M、 N存在，并使得PM＝MN．证毕；（ 3）图象翻折前后如右图所示，其极点分别为D（1，4）、 D′（1，2t ﹣4）．①当 D′在点 H（4，﹣5）上方时，2t﹣ 4≥﹣ 5，∴t≥﹣，此时， m＝ t ， n＝﹣5，∵ m﹣ n≤6，∴ t +5≤6，∴ t ≤1，∴﹣≤ t ≤1；②当点 D′在点 H（4，﹣5）下方时，同理可得： t ＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，由 m﹣n≤6，得 t ﹣（2t ﹣4）≤6，∴ t ≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤ 1．y 轴交于13．如图，抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x 轴交于A，B两点，与点 C，点A 的坐标为（﹣2，0），点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥ x 轴于点D，E．交直线BC于点（1）求抛物线分析式；（2）若点P在第一象限内，当OD＝ 4PE时：①求点 D、 P、 E的坐标；②求四边形 POBE的面积．（3）在（ 2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，能否存在这样的点 M和点 N，使得以点 B， D， M，N为极点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵抛物线y＝ ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1， A（﹣2，0）在抛物线上，∴x ＝﹣＝ 1，解得：a＝，b＝﹣，抛物线分析式为y＝x2﹣x﹣2；（ 2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（ x﹣4）（ x+2）＝0，解得： x1＝﹣2， x2＝4，当 x＝0时， y＝﹣2，由 B（4，0）， C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为： y＝x﹣2设 D（m，0），∵ DP∥ y 轴，∴ E（ m，m﹣2）， P（ m，m2﹣ m﹣2），∵ OD＝4PE，2m﹣2﹣ m+2），∴ m＝4（ m﹣∴ m＝5， m＝0（舍去），∴ D（5，0）， P（5，），E（5，），∴四边形 POBE的面积＝ S△OPD﹣ S△EBD＝× 5×﹣× 1×＝；（ 3）存在，设M（ n，n ﹣2），①以 BD为对角线，如图1，∵四边形 BNDM是菱形，∴MN垂直均分 BD，∴n＝4+，∴M（，），∵M，N对于 x 轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形 BDMN是菱形，∴MN∥BD， MN＝BD＝ MD＝1，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，222∴ MH+DH＝ DM，即（n﹣2）2+（ n﹣5）2＝12，∴n1＝4（不合题意）， n2＝5.6，∴N（4.6，），同理（n ﹣ 2）2+（4﹣）2＝ 1，n∴ n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，∴N（5﹣，﹣），③以 BD为边，如图3，过 M作 MH⊥ x 轴于 H，∴2+2＝2，MH BH BM即（n﹣2）2+（ n﹣4）2＝12，∴ n1＝4+， n2＝4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，点 N坐标为：（）或（，）或（ 5﹣，）或（5+，）．14．如图，矩形中，为原点，点A 在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（ 4，3），OABC O抛物线y ＝﹣x2+ +与y轴交于点，与直线AB交于点，与x轴交于，两点．bx c A D C E（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点P 从点C出发，在线段上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动，与此同时，CB点Q 从点A出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当此中一点抵达AC终点时，另一点也停止运动．连结、、，设运动时间为t （秒）．DP DQ PQ①当 t 为什么值时，△ DPQ的面积最小？②能否存在某一时辰t ，使△ DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明原因．解：（ 1）点A（ 0， 3），点C（ 4， 0），将点 A、 C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（ 2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；抛物线的对称轴为：x＝1，则点 D（2，3），由题意得：点Q（t ，3﹣ t ），点 P（4， t ），①△ DPQ的面积＝ S△ABC﹣（ S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2 ×t +2（ 3﹣t）+（ 5﹣）× t ×]＝ t 2﹣2t ．∵＞ 0，故△的面积有最小值，此时，t ＝；DPQ②点（ 2， 3），点（t ， 3﹣），点（4，），D Q t P t （Ⅰ）当是斜边时，如图1，PQ过点作⊥于点，则＝，＝2﹣t ，＝ 4﹣ 2＝2，＝3﹣，Q QM ABMMQ t MD BD PBt则 tan ∠MQD＝ tan ∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；（Ⅱ）当 PD为斜边时，过点 Q作 y 轴的平行线交AB于点 N，交过点 P 于 x 轴的平行线于点M，则 ND＝2﹣t ， QN＝ t ，MP＝4﹣t ， QM＝3﹣ t ﹣ t ＝3﹣2t ，同理可得：，解得： t ＝或；（Ⅲ）当 QD为斜边时，同理可得：故t ＝；综上， t ＝或或或．15．如图，已知抛物线y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0），且与 y 轴交于点 C，抛物线的极点为D，连结 BD，点 P 是线段 BD上的一个动点（不与B、 D）重合．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点D的坐标；（ 2）过点P 作⊥轴于点，求△面积的最大值及获得最大值时P点的坐标；PE y E PBE（3）在（ 2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M，使得以点 B， P， M， N为极点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点 M 的坐标：若不存在，请说明原因．解：（ 1）∵二次函数y＝ ax2+bx+3经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）∴因此二次函数的分析式为：y＝﹣ x2+2x+3∵ y＝﹣ x2+2x+3＝﹣（ x﹣1）2+4∴ D的坐标为（1，4）；（ 2）设BD的分析式为y＝ kx+b∵过点 B（3，0）， D（1，4）∴解得BD的分析式为y＝﹣2x+6设 P（m，﹣2m+6），∵ PE⊥y 轴于点 E，∴ PE＝m，△ BPE的 PE边上的高 h＝﹣2m+6，∴ S ＝×PE× h＝ m（﹣2m+6）△BPE2＝﹣ m+3m＝，∵ a＝﹣1＜0，∴当 m＝时△ BPE的面积获得最大值为，当 m＝时， y＝﹣2×+6＝3，∴ P 的坐标是（，3）；2（ 3）设点M（s， 0），点N（m，n），n＝﹣m+2m+3，①当 BP是边时，点 P 向右平移个单位向下平移 3 个单位获得B，同理点 M（ N）向右平移个单位向下平移 3 个单位获得N（ M），即 s＝m，0± 3＝n，解得： s＝﹣或或；②当 PB为对角线时，m+s＝3+，n＝3，解得： s＝或，故： M点的坐标为：；；；；；．。

2020年中考数学二轮复习专题 二次函数综合（含答案）一、单选题1.二次函数2,0y ax bx c a =++≠（）的图象如图如图所示，若M a b c =+-，42N a b c =+-，2P a b =-．则M N P ，，中，值小于0的数有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个2.已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（ ） ①0>abc ；②2=++c b a ；③21<a ； ④1>b A.①②B.②③C.③④D.②④3.从车站向东走400米，再向北走500米到小红家；从车站向北走500米，再向西走200米到小强家，则（ ）A ．小强家在小红家的正东B ．小强家在小红家的正西C ．小强家在小红家的正南D ．小强家在小红家的正北4.如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为1x =-，且过点(-3，0).下列说法中说法正确的是（ ）①0abc <； ②20a b -=；③420a b c <++，④若()15y -, ，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上两点，则12y y >A.①②B.②③C.①②④D.5.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含10千克)的种子，超过10千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次性购买种子数量x （单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法： ①一次购买种子数量不超过10千克时，销售价格为5元/千克； ②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折： ④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱． 其中正确的个数是( )．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.函数b kx y +=的图象如图所示，当y>0时，x 的取值范围是( )A 、 x>1B 、 x>2C 、 x<1D 、 x<27.若二次函数2() 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为()()12,0,,0x x ,且12x x <,图象上有一点00,Mx y （）在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A.0a >B.240b ac -≥C.102x x x <<D.()()01020a x x x x --<.8.已知一次函数b kx y +=,y 随着x 的增大而减小，且0<kb ，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）9.反比例函数myx=的图象如图所示，下列结论：①常数1m<-；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若点()1,A h-，()2,B k在图象上，则h k<；④若点(),P x y在图象上，则点()',P x y--也在图象上。

2020年中考数学二次函数真题汇编(名师精选全国真题，值得下载练习)一、单选题1.如图，一段抛物线y=﹣x 2+4（﹣2≤x≤2）为C 1 ， 与x 轴交于A 0 ， A 1两点，顶点为D 1；将C 1绕点A 1旋转180°得到C 2 ， 顶点为D 2；C 1与C 2组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2），与线段D 1D 2交于点P 3（x 3 ， y 3），设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，t=x 1+x 2+x 3 ， 则t 的取值范围是（ ）A. 6＜t≤8 B. 6≤t≤8 C. 10＜t≤12 D. 10≤t≤12 【答案】D【解析】【解答】解：翻折后的抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2﹣4=x 2﹣8x+12， ∵设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，∴点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限， 根据对称性可知：x 1+x 2=8， ∵2≤x 3≤4，∴10≤x 1+x 2+x 3≤12即10≤t≤12， 故答案为：D ．【分析】根据题意可求出翻折后的抛物线的解析式，设x 1 ， x 2 ， x 3均为正数，可得出点P 1（x 1 ， y 1），P 2（x 2 ， y 2）在第四象限，根据对称性可求出x 1+x 2=8，由2≤x 3≤4，可得出x 1+x 2+x 3的取值范围，从而得出t 的取值范围。

2.已知，平面直角坐标系中，直线y 1=x+3与抛物线y=-x x 的图象如图，点P 是y 2上的一个动点，则点P 到直线y 1的最短距离为（ ）A.B.C. D.【答案】D【解析】【解答】解、∵点P 到直线y 1的距离最短， ∴点P 是直线与抛物线相切时的交点。

设直线y 1平移k 个单位长度，则此时的解析式为 =x+3+k ， 把 =x+3+k 代入y=-x 2+2x 整理得，-x 2+x-3-k=0，△=b 2-4ac=1-4 (-) (-3-k)=0，解得k=-，即直线y 1向下平移个单位长度与抛物线相切， 把k=-代入解析式解方程组可求得点P 的坐标为（1，）；过点P 作PD ⊥直线y 1于点D ，则直线PD 的解析式可设为y 3=-x+b ，把点P （1，）代入可求得b=,即直线PD 的解析式为y 3=-x+，将y 1和y 3的解析式联立解方程组可求得点D 的坐标为（-，）；若直线PD与x轴相较于点C，直线y1=x+3与x、y轴分别相较于点A、B，易得点A （-3,0）、B（0,3），∴∠BAC==∠DCA，由勾股定理可得：CD=，CP=，∴PD=CD-CP=。

2020年中考数学二轮专题——二次函数与几何图形综合（压轴）题型一、基础过关1. (2019宿迁)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠P AB＝2∠ACO.求点P的坐标；(3)如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM＋DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．第1题图2. (2019贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P 的坐标及PD的最大值．第2题图二、能力提升1. (2019菏泽)如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－2)，点A 的坐标是(2，0)，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝－1.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积；(3)在(2)的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图三、满分冲关1. (2019襄阳)如图，在直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点B ，点C ，对称轴为x＝1的抛物线过B , C 两点，且交x 轴于另一点A ，连接A C.(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标和抛物线的解析式；(2)已知点P 为第一象限内抛物线上一点，当点P 到直线BC 的距离最大时，求点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q (点C 除外)，使以点Q ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2、(2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．3、(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－3，0)、B (1，0)，与y 轴交于点D (0，3)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H .(1)求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；(2)连接AD 、CD ，若点E 为抛物线上一动点(点E 与顶点C 不重合)，当△ADE 与△ACD 面积相等时，求点E 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一动点(点P 与顶点C 不重合)，过点P 向CD 所在的直线作垂线，垂足为点Q ，以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ACH 相似时，求点P 的坐标．第1题图备用图参考答案一、基础过关1. 解：(1)把A (1，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)如解图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′C ，作AD ⊥A ′C 于点D ， ∴点A ′的坐标为(－1，0)， 则AA ′＝2，OC ＝3，A ′C ＝10， ∵S △A ′AC ＝12AA ′·OC ＝12A ′C ·AD ，∴AD ＝AA ′·OC A ′C ＝3105，在Rt △A ′AD 中，∵A ′D 2＋AD 2＝A ′A 2， ∴A ′D 2＋(3105)2＝22.解得A ′D ＝105(负值已舍去)， ∴DC ＝4105，∴tan ∠ACA ′＝AD DC ＝34. 由对称可得∠ACD ＝2∠ACO ，则∠P AB ＝∠ACA ′， 设P (a ，a 2＋2a －3)，①如解图，当点P 在x 轴的上方时，作P 1H 1⊥x 轴于点H 1， ∴tan ∠P 1AB ＝P 1H 1AH 1＝a 2＋2a －31－a ＝34，解得a 1＝1(舍)，a 2＝－154，把a ＝－154代入得P (－154，5716)；②如解图，当点P 在x 轴的下方时，作P 2H 2⊥x 轴于点H 2， ∴tan ∠P 2AB ＝P 2H 2AH 2＝－a 2－2a ＋31－a ＝34，解得a 3＝1(舍)，a 4＝－94，把a ＝－94代入得P (－94，－3916)，综上所述，点P 的坐标为(－154，5716)或(－94，－3916)；第1题解图(3)是．设Q (m ，m 2＋2m －3)，则－3＜m ＜1. 设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，把A (1，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)，代入解析式解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝m ＋3b 1＝m －3， ∴y ＝(m ＋3)x －m －3， 当x ＝－1时，y ＝－2m －6， 设直线BQ 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，把B (－3，0)，Q (m ，m 2＋2m －3)代入y ＝k 2x ＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝m －1b 2＝3m －3，∴y ＝(m －1)x ＋3m －3， 当x ＝－1时，y ＝2m －2， ∴DM ＝2m ＋6，DN ＝－2m ＋2， ∴DM ＋DN ＝2m ＋6－2m ＋2＝8. 2. 解：(1)∵B (－1，0)， ∴OB ＝1.又∵OA ＝OC ＝4OB ， ∴OA ＝OC ＝4， ∴A (4，0)，C (0，－4)；(2)将A 、B 、C 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得，⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝0a －b ＋c ＝0c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3c ＝－4， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4；(3)如解图，过点P 作PE ⊥x 轴交AC 于点E ， ∴PE ∥y 轴． ∵OA ＝OC ，∴∠PED ＝∠OCA ＝45°， ∴△DEP 为等腰直角三角形， ∴PD ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PD 取得最大值， 易得直线AC 的解析式为y ＝x －4， 设P (x ，x 2－3x －4)，则E (x ，x －4)，则PE ＝(x －4)－(x 2－3x －4)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∵0＜x ＜4，∴当x ＝2时，PE 取得最大值，最大值为4， 此时PD 取得最大值，最大值为4×22＝22，∴点P 的坐标为(2，－6)．第2题解图二、能力提升1. 解：(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－4，0)．∴设抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋4)(x －2)，将点C (0，－2)代入得－8a ＝－2，解得a ＝14.∴抛物线的函数表达式为y ＝14(x ＋4)(x －2)＝14x 2＋12x －2；(2)设点P 的坐标为(x ，14x 2＋12x －2)，则点D 的坐标为(x ，0)，设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ， 将B (－4，0)，C (0，－2)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝－2， ∴BC 所在直线的表达式为y ＝－12x －2.∴点E 的坐标为(x ，－12x －2)．∴PE ＝14x 2＋x .∵PE ＝14OD ，∴14x 2＋x ＝－14x ，即14x 2＋54x ＝0， 解得x ＝－5或x ＝0(舍)． ∴PE ＝54，BD ＝1，∴S △PBE ＝12PE ·BD ＝12×54×1＝58；(3)存在．①当DM ＝DB ＝1时，如解图①，过点M 作MF ⊥x 轴于点F ， 设M (m ，－12m －2)，则MF ＝－12m －2，DF ＝－m －5，∵MF 2＋DF 2＝DM 2，∴(－12m －2)2＋(－m －5)2＝1，解得m ＝－285或m ＝－4(舍去)．∴点M 的坐标为(－285，45)；第1题解图①②当BD ＝BM ＝1时，如解图②，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， ∵DE ⊥x 轴， ∴DE ∥MN ，∴BN ∶BD ＝BM ∶BE ，∴BN ∶1＝1∶BE . ∵E (－5，12)，∴DE ＝12，∴BE ＝52， ∴BN ∶1＝1∶52，解得BN ＝255. ∴点M 的横坐标为－4－255，将x ＝－4－255代入y ＝－12x －2，得y ＝55，即点M 的坐标为(－4－255，55)．综上所述，点M 的坐标为(－285，45)或(－4－255，55)．第1题解图②三、满分冲关1. 解：(1)A (－4，0)，B (6，0)，C (0，3)，抛物线的解析式为y ＝－18x 2＋14x ＋3；【解法提示】令y ＝－12x ＋3＝0，解得x ＝6，令x ＝0，得y ＝3，∴B (6，0)，C (0，3)．∵抛物线的对称轴为x ＝1，且过点B 、A ，∴抛物线与x 轴的另一交点A 坐标为(－4，0)，设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋4)(x －6)，将点C (0，3)代入得－24a ＝3，解得a ＝－18.∴y ＝－18(x ＋4)(x －6)＝－18x 2＋14x ＋3(2)如解图①，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点Q ，过点P 作PH ⊥BC 于点H . ∵OC ＝3，OB ＝6， ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝3 5. 又∵∠HQP ＝∠GQB ， ∴∠HPQ ＝∠CBO ， ∴sin ∠HPQ ＝sin ∠CBO ＝55. 故点P 到直线BC 的距离最大，即PQ 最大． 设P (m ，－18m 2＋14m ＋3)，Q (m ，－12m ＋3)，∴PQ ＝－18m 2＋14m ＋3－(－12m ＋3)＝－18(m －3)2＋98.∵－18＜0，∴当m ＝3时，PQ 有最大值为98.∴P (3，218)；第1题解图①(3)存在．由(1)得A (－4，0)、B (6，0)、C (0，3)， ∴AB ＝10，AC ＝32＋42＝5. 分为两种情况分类讨论：①当△ABC ∽△AQB 时，如解图②所示． ∴AC AB ＝ABAQ，∠CAB ＝∠BAQ . ∴AQ ＝AB 2AC ＝1025＝20，过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ， ∴QD ＝AQ ·sin ∠BAQ ＝20×35＝12，AD ＝AQ ·cos ∠BAQ ＝20×45＝16.∴Q (12，－12)．第1题解图②②当△ABC ∽△BQA 时，如解图③所示， ∴AB BQ ＝ACAB，∠CAB ＝∠ABQ . ∴BQ ＝AB 2AC＝20，过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ，同理可得QE ＝BQ ·sin ∠ABQ ＝20×35＝12，BE ＝BQ ·cos ∠ABQ ＝20×45＝16， ∴Q (－10，－12)．综上所述，点Q 的坐标是(12，－12)或(－10，－12)．第1题解图③2、解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4， 令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)．易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4，∵OA ＝OB ，∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来，∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形，∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值，设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)， 则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92， ∴当x ＝6时，PE 有最大值92， 此时PF 有最大值924， ∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52， ∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924； ②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524， 则此时PE ＝2PF ＝52， 将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中， 解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)， 当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172， ∴sin ∠P AD ＝524172＝53434； 当点P 的坐标为(10，－72)时， AP ＝102＋（－72－4）2＝252， ∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210. 综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.3、1. 解：(1)把点A 、B 、D 的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2，即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52， 即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。

专题27 二次函数1．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）二次函数y ＝x 2﹣2x ，若点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．不能确定 2．（2020·武汉市第一初级中学九年级月考）将抛物线22y x =+向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式为（ ）A ．()212y x =-+B ．()212y x =++C ．21y x =+D ．23y x =+． 3．（2022·安徽芜湖·九年级期中）抛物线y ＝(x ﹣1)2+2的顶点坐标是（ ） A ．(1，2) B ．(1，﹣2) C ．(﹣1，2) D ．(﹣1，﹣2) 4．（2022·西藏中考真题）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋2 5．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．（2022·武汉一初慧泉中学九年级开学考试）抛物线y ＝2x 2与y ＝－2x 2相同的性质是（ ） A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴 C ．有最低点 D ．对称轴是x 轴 7．（2022·广西贺州市·九年级期中）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x =2，下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④5a +c =0；⑤当x ＞-1时，y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．（2022·合肥市第四十五中学）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，若a ＞0，则下列结论错误的是（ ）A ．当x ＞2时，y 随着x 的增大而增大B ．（a ＋c ）2＝b 2C ．若A （x 1，m ）、B （x 2，m ）是抛物线上的两点，当x ＝x 1＋x 2时，y ＝cD ．若方程a （x ＋1）（5﹣x ）＝﹣1的两根为x 1、x 2，且x 1＜x 2，则﹣1＜x 1＜5＜x 2 9．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级期末）已知抛物线y ＝x 2﹣2bx +2b 2﹣4c （其中x 是自变量）经过不同两点A (1﹣b ，m )，B （2b +c ，m ），那么该抛物线的顶点一定不可能在下列函数中（ ）的图象上．A ．y ＝x +2B ．y ＝﹣x +2C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝2x +1 10．（2022·四川德阳五中）如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y ＝12x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A ．﹣2＜k ＜12 B ．﹣2＜k ＜﹣12 C ．﹣2＜k ＜0 D ．﹣2＜k 2 1二、填空题11．（2022·浙江衢州市·九年级期中）已知二次函数y ＝﹣（x ﹣a ）2＋a ＋2，当a 取不同的值时，顶点在一条直线上，这条直线的解析式是________．抛物线与y 轴交点为C ，当﹣1≤a ≤2时，C 点经过的路径长为________．12．（2022·北京市陈经纶中学分校九年级月考）已知关于x 的方程mx 2＋2x ＋5m ＝0有两个不相等的实数根12,x x ，且122x x <<，则实数m 的取值范围为________．13．（2022·全国九年级专题练习）正方形ABCD 的边长为1cm ，M 、N 分别是BC 、CD 上两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，当BM ＝_______cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为__________cm 2．14．（2022·深圳市新华中学九年级期末）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于(3,1)A --、(0,3)B 两点，则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++>+的解集是__________．15．（2022·深圳市宝安中学（集团）九年级）抛物线()212y x =--+是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为______． 三、解答题16．（2022·浙江衢州市·九年级期中）已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过A （﹣1，12），B （0，5）．（1）求抛物线解析式；（2）试判断该二次函数的图象是否经过点（1，2）．17．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB ＝90°，AO ＝BO ，点A 的坐标为（1-，3）．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线2y ax bx =+经过点A 、B ，求它的解析式．18．（2022·河南省淮滨县第一中学九年级开学考试） 已知二次函数2316y x bx c =-++的图象经过()0,3A ，94,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭两点，求b ，c 的值． 19．（2022·建昌县教师进修学校九年级）如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线6y x =-+经过B ，C 两点，点P 为第一象限内抛物线上一点，射线OP 与线段BC 交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AC ，当∠OAC ＋∠ODC ＝180°时，求点P 的坐标；（3）过点B 作BE ⊥x 轴交射线OP 于点E ，当BDE 为等腰三角形时，直接写出点D 的坐标．20．（2022·北京市第十三中学九年级期中）如图，用一段长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m ．设AB 长为x m ，矩形的面积为y m 2．（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？21．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180% ．设每包销售价为x 元（x 为正整数）．（1）请直接写出x 的取值范围．（2）设每天的总利润为w 元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？22．（2022·广东深圳·明德学校九年级月考）已知二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于A (-3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式；（2）D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离最大值时点D 的坐标；（3）M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点N 的坐标23．（2022·辽宁葫芦岛市·九年级期中）如图，抛物线2=-++与y轴相交于点C（0，y x bx c3），与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，A点坐标是（1-，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，线段BC把线段PD分成两条线段，其中一条线段长是另一条线段长的2倍，求P点坐标；（3）如图2，若点E在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．。

基础冲刺训练：二次函数综合练习1．如图，函数y ＝﹣x 2+x +c （﹣2020≤x ≤1）的图象记为L 1，最大值为M 1；函数y ＝﹣x 2+2cx +1（1≤x ≤2020）的图象记为L 2，最大值为M 2．L 1的右端点为A ，L 2的左端点为B ，L 1，L 2合起来的图形记为L ．（1）当c ＝1时，求M 1，M 2的值；（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A ，B 重合时，求L 上“美点”的个数；（3）若M 1，M 2的差为，直接写出c 的值．解：（1）当c ＝1时，函数y ＝﹣x 2+x +c ＝﹣x 2+x +1＝﹣（x ﹣）2+．又﹣2020≤x ≤1， ∴M 1＝，y ＝﹣x 2+2cx +1＝﹣x 2+2x +1＝﹣（x ﹣1）2+2．又1≤x ≤2020， ∴M 2＝2；（2）当x ＝1时，y ＝﹣x 2+x +c ＝c ﹣；y ＝﹣x 2+2cx +1＝2c ． 若点A ，B 重合，则c ﹣＝2c ，c ＝﹣， ∴L 1：y ＝﹣x 2+x ﹣（﹣2020≤x ≤1）；L 2：y ＝﹣x 2﹣x +1（1≤x ≤2020）．在L 1上，x 为奇数的点是“美点”，则L 1上有1011个“美点”；在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．又点A，B重合，则L上“美点”的个数是1011+2020﹣1＝3030．（3）y＝﹣x2+x+c（﹣2020≤x≤1）上时，当x＝时，M1＝+c，y＝﹣x2+2cx+1（1≤x≤2020），对称轴为x＝c，当c≥1时，M2＝c2+1，∴|+c﹣c2﹣1|＝，∴c＝0（舍去）或c＝2；当c＜1时，M2＝2c，∴|2c﹣﹣c|＝，∴c＝3（舍去）或c＝﹣；∴c＝﹣或2．2．若抛物线上y1＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？解：（1）k＝4时，由交点式得y＝a（x+1）（x﹣4），（0，4）代入得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+3x+4，则B（4，0），连OP，设P（m，﹣m2+3m+4），S△BCP ＝S△OPB+S△OPB﹣S△OBC＝＝﹣2（m﹣2）2+8m＝2时，最大值为8，∴P的横坐标为2时有最大值．（2）a＝1时，c＝4，设y＝x2+bx+4，A（﹣1，0）代入得b＝5，∴y＝x2+5x+4．令y＝0求得B（﹣4，0），则直线BC方程为y＝x+4，过P作PH平行于y轴交直线BC于H，设P（n，n2+5n+4）、H（n，n+4），＝＝﹣2（n+2）2+8n＝﹣2面积最大值为8，此时P的横坐标为﹣2．（3）由（1）知，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，由（2）知，面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，故：可以推断，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半．3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，CA＝4，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A，B，O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于M，连接MB，MA，求△MAB的面积的最大值；（3）若点E在抛物线上，点F在对称轴上，且以O，A，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，由翻折知，△BCO≌△BHO，∴BH＝BC＝3，∴AH＝AB﹣BH＝2，∵∠HAO＝∠CAB，∠OHA＝∠BCA＝90°，∴△AHO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AO＝，∴A（，0），B（﹣，3），∵抛物线经过原点O，∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得，，∴过A，B，O三点的抛物线解析式为y＝x2﹣x；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（，0），B（﹣，3）代入，得，解得∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴可设P（x，﹣x+），则M（x，x2﹣x），∴PM＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2+x+，∴S＝PM（x A﹣x B）△MAB＝（﹣x2+x+）×4＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+4，∴当x＝时，△MAB的面积取最大值4；（3）在y＝x2﹣x中，对称轴为x＝，①如图3﹣1，当OA为平行四边形的一边时，OA平行且等于EF，∵OA＝，∴EF＝，∵x F＝，∴x E＝±＝或﹣，当x E＝或﹣，时y E＝，∴点E的坐标为（，）或（﹣，）；②如图3﹣2，当OA为平行四边形的对角线时，OA与EF互相平分，则点E在抛物线顶点处，∵当x＝时，y＝﹣，∴点E的坐标为（，﹣），综上所述，点E的坐标为（，）或（﹣，）或（，﹣）．4．如图，矩形AOBC 放置在平面直角坐标系xOy 中，边OA 在y 轴的正半轴上，边OB 在x 轴的正半轴上，抛物线的顶点为F ，对称轴交AC 于点E ，且抛物线经过点A （0，2），点C ，点D （3，0）．∠AOB 的平分线是OE ，交抛物线对称轴左侧于点H ，连接HF ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x 轴上有动点M ，线段BC 上有动点N ，求四边形EAMN 的周长的最小值； （3）该抛物线上是否存在点P ，使得四边形EHFP 为平行四边形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）∵AE ∥x 轴，OE 平分∠AOB ， ∴∠AEO ＝∠EOB ＝∠AOE ， ∴AO ＝AE ， ∵A （0，2）， ∴E （2，2）， ∴点C （4，2），设二次函数解析式为y ＝ax 2+bx +2， ∵C （4，2）和D （3，0）在该函数图象上，∴，得，∴该抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x +2；（2）作点A 关于x 轴的对称点A 1，作点E 关于直线BC 的对称点E 1，连接A 1E 1，交x 轴于点M ，交线段BC 于点N ． 根据对称与最短路径原理， 此时，四边形AMNE 周长最小．易知A 1（0，﹣2），E 1（6，2）． 设直线A 1E 1的解析式为y ＝kx +b ，，得，∴直线A 1E 1的解析式为．当y ＝0时，x ＝3， ∴点M 的坐标为（3，0）． ∴由勾股定理得AM ＝，ME 1＝， ∴四边形EAMN 周长的最小值为AM +MN +NE +AE ＝AM +ME 1+AE ＝；（3）不存在．理由：过点F 作EH 的平行线，交抛物线于点P ． 易得直线OE 的解析式为y ＝x ， ∵抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x +2＝，∴抛物线的顶点F 的坐标为（2，﹣）， 设直线FP 的解析式为y ＝x +b ， 将点F 代入，得，∴直线FP 的解析式为．，解得或，∴点P 的坐标为（，），FP ＝×（﹣2）＝，，解得，或，∵点H是直线y＝x与抛物线左侧的交点，∴点H的坐标为（，），∴OH＝×＝，易得，OE＝2，EH＝OE﹣OH＝2﹣＝，∵EH≠FP，∴点P不符合要求，∴不存在点P，使得四边形EHFP为平行四边形．5．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S 关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（﹣x2+2x+3），即3a＝3，解得：a＝1，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∵，∴当时，S有最大值，最大值；（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18；解得：m＝﹣2；②当MB是斜边时，同理可得：m＝4，故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．6．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM ＝S△PAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴，得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为y＝kx+m，，得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（1，2），∵点A （﹣1，0），点C （0，3），点B （3，0），∴AC ＝，BC ＝3，∴△PAC 的周长是：AC +CP +PA ＝AC +CB ＝，即点P 的坐标为（1，2），△PAC 的周长是； （3）存在点M （不与C 点重合），使得S △PAM ＝S △PAC ，∵S △PAM ＝S △PAC ，∴当以PA 为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M 和点C 到PA 的距离相等，当点M 在点C 的上方时，则CM ∥PA 时，点M 和点C 到PA 的距离相等，设过点A （﹣1，0），点P （1，2）的直线l 1解析式为：y ＝kx +m ， ，得，∴直线AP 的解析式为y ＝x +1，∴直线CM 的解析式为y ＝x +3，由得，，，∴点M 的坐标为（1，4）；当点M 在点C 的下方时，则点M 所在的直线l 2与AP 平行，且直线l 2与直线AP 之间的距离与直线l 1与直线AP 之间的距离相等，∴直线l 2的的解析式为y ＝x ﹣1，由得，，，∴M 的坐标为（，）或（，）； 由上可得，点M 的坐标为（1，4），（，）或（，）．7．如图，抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．解：（1）在抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），将B（2，0）代入y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4，得，a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）设点D坐标为（x，0），∵四边形DEFH为矩形，∴H（x，x2+x﹣4），∵y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，∴点H到对称轴的距离为x+1，由对称性可知DE＝FH＝2x+2，∴矩形DEFH的周长C＝2（2x+2）+2（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，∴此时H（1，﹣），∴HF＝2x+2＝4，DH＝，＝HF•DH＝4×＝10；∴S矩形DEFH（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H（1，﹣），∴G（﹣1，﹣），设直线BH的解析式为y＝kx+b，将点B（2，0），H（1，﹣）代入，得，，解得，，∴直线BH的解析式为y＝x﹣5，∴可设直线MN的解析式为y＝x+n，将点（﹣1，﹣）代入，得n＝，∴直线MN的解析式为y＝x+，当y＝0时，x＝﹣，∴M（﹣，0），∵B（2，0），∴将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，∴m的值为．8．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝，∴m＝，∴A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0，S＝OB×|y D|，平行四边形ABCD∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC＝2，tan∠OBC＝．（1）求拋物线的解析式；（2）如图2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E，当点P的横坐标为2时，求△PDE的面积；（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，为半径作⊙M，当⊙M在运动过程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）．解：（1）∵BC＝2，tan∠OBC＝，∴OB＝4，OC＝2，∴点B为（4，0），点C为（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，∴c＝2，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）当x＝2时，y＝3，∴P（2，3），∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∵PD平行于y轴，∴D（2，1），∴PD＝2，∵PD平行于y轴，∴∠PDE＝∠OCB，∵PE⊥BC，∴∠PED＝∠COB＝90°，∴△PDE∽△BCO，∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方，∵△BCO的面积为4，∴△PED的面积是4×＝；（3）过点M作MG⊥BC于点G，过点M作MH∥AB于点H，∴△MGH∽△COB，∴＝，∵⊙M与直线BC相切，∴MG＝，∴MH＝5，设点M（x，﹣x2+x+2），如图1，设H（x+5，﹣x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴x＝﹣1或x＝5，∴M（﹣1，0）或M（5，﹣3）；如图2，点H（x﹣5，x2+x+2）代入y＝﹣x+2，∴方程无解，综上所述：M（﹣1，0）或M（5，﹣3）．10．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣x+6与直线l2相交于点A，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O、点A和点B，已知点A到x轴的距离等于2．（1）求抛物线的解析式；（2）点H为直线l2上方抛物线上一动点，当点H到l2的距离最大时，求点H的坐标；（3）如图2，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与△OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式．解：（1）∵点A到x轴的距离等于2，∴点A的纵坐标为2，∴2＝﹣x+6，∴x＝4，∴A（4，2），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴B（6，0），把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）设直线l的解析式为y＝kx，2∴2＝4k，∴k＝，的解析式为y＝x，∴直线l2设点H的坐标为（m，﹣m2+m），于G，如图1，过H作HG∥y轴交直线l2∴G（m，m），∴HG＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）+1，当m＝2时，HG有最大值，∴点H的坐标为（2，2）；（3）当0＜t时，如图2，过A作AE⊥OB于E，∴OA＝＝2，tan∠AOE＝，∵∠NOP＝∠BOC＝90°，∴∠HON＝∠AOE，∴tan∠NOH＝tan∠AOE＝＝，∵OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NH＝NM＝t，S＝×（t+t）t＝t2；当＜t≤2时，过点P作PH⊥x轴，∵∠POH＝∠QON，OP＝t，∴OP＝ON＝NM＝PM＝t，∴NQ＝t，可求P（2t，t），直线MP的解析式为y＝﹣2x+5t∴G（5t﹣6，﹣5t+12），∴GP＝3（2﹣t），AP＝2﹣t，∴MG＝6﹣3t，∵∠MGK＝∠AGP，∴△GPA∽△GKM，∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣×t×t﹣×（t﹣2）×（6﹣3t）＝﹣t2+40t﹣30；当2＜t≤时，可求N（﹣t，2t），则直线MN的解析式为y＝x+t，∴K（4﹣t，t+2），∵NQ＝t，∴Q（0，t），∴MK＝t﹣2，∴S＝﹣﹣×t×t﹣×（t﹣2+t﹣2）×t＝﹣t2+10t；当t＞时，S＝S＝×4×6＝12；△OAC11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C 为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴△AOB∽△BNP，∴，即＝，解得：x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣5）；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝，∴P（，﹣2）；综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠BOA≠45°，∴∠BQP≠2∠BOA，∴分两种情况：①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，∴OE＝AE，∴∠OAB＝∠AOE，∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，∵OB∥PG，∴∠OBE＝∠PHB，∴△BOE∽△HPB，∴，由勾股定理得：AB＝＝2，∴BE＝，∵GH∥OB，∴，即，∴BH＝x，设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，∴，解得：x1＝0，x2＝3，∴点P的横坐标是3；②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，∵OB＝2，OA＝4，∴AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，∴EF＝＝＝，S＝＝，△ABP∴2PQ＝4（﹣t2+4t），PQ＝，∵∠OFE＝∠PQB＝90°，∴△PBQ∽△EOF，∴，即，∴BQ＝，∵BQ2+PQ2＝PB2，∴＝，化简得，44t2﹣388t+803＝0，即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，解得：t1＝5.5（舍），t2＝；综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．12．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+的图象与x轴交于B（﹣1，0）、C（3，0）两点，点A为抛物线的顶点，F为线段AC中点．（1）求a，b的值；（2）求证：BF⊥AC．（3）以抛物线的顶点A为圆心，AF为半径作⊙A点E是圆上一动点，点P为EC的中点（如图2）①当△ACE面积最大时，求PB的长度；②若点M为BP的中点，求点M运动的路径长．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝，解得：a＝﹣，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+，故b＝；（2）点A的坐标为：（1，2），则AB＝AC＝BC＝4，∵点F是AC的中点，∴AF＝AC＝2，∴BF⊥AC；（3）①当AE⊥AC时，△ACE面积最大，（Ⅰ）当点E在y轴右侧时，过点A作y轴的平行线交x轴于点N，交EM于点M，则∠NAC＝∠MEA，则△ANC∽△EMA，相似比为：AC：AE＝4：2＝2：1，则ME＝AN＝，AM＝NC＝1，故点E（1+，2+1），则点P的坐标为：（，）；则PB＝2+1；（Ⅱ）当点E（E′）在y轴左侧时，则点E、E′关于点A对称，故点E′（1﹣，2﹣1），则点P（，）则PB＝2﹣1；故PB＝2；②点C（3，0），点B（﹣1，0），设点E（m，n），由AE＝2，根据两点间距离公式得：（m﹣1）2+（n﹣2）2＝4…①，则点P（，），点M（，），设：x＝，y＝，则m＝4x﹣1，n＝4y，即点M（x，y），将m 、n 的值代入①式得：（4x ﹣2）2+（4y ﹣2）2＝4，整理得：（x ﹣）2+（y ﹣）2＝，即点M 到定点（，）的距离等于定值，故点M 运动的轨迹为半径为的圆， 则点M 运动的路径长为×2×π＝π．13．如图1，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +3与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的表达式；（2）如图2，连接AC 、BC ，点D 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，当S △BCD ＝S △ABC 时，求点D 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P ，使得∠CPO ＝∠BPO ？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将点A （﹣1，0）代入得：﹣1﹣b +3＝0，解得：b ＝2， ∴抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3； （2）当﹣x 2+2x +3＝0时解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0）、B （3，0），∴AB ＝4，∵C （0，3）， ∴OC ＝3∴∵， ∴∵B （3，0）、C （0，3）， ∴y BC ＝﹣x +3如图1，设D （a ，﹣a 2+2a +3），过点D 作x 轴垂线，交BC 于点H ，则H （a ，﹣a +3） ∴DH ＝﹣a 2+2a +3﹣（﹣a +3）＝﹣a 2+3a ∴，整理得a 2﹣3a +2＝0解得：a 1＝1，a 2＝2， 当a ＝1时，y ＝4； 当a ＝2时，y ＝3∴D （1，4）或D （2，3）； （3）存在①如图2，作BC 的垂直平分线交抛物线于点P 1、P 2，此时∠CPO ＝∠BPO ， ∵△BOC 是等腰直角三角形，OP 垂直平分BC ∴y OP ＝x ，由得x 2﹣x ﹣3＝0，解得：，∴，；②如图3，作△BOC 的外接圆，与抛物线交于点P 3、P 4 ∵BO ＝CO ，∴∠BP 3O ＝∠CP 3O ∵BC 为直径， ∴∠BP 3C ＝90°过点P 3作x 轴平行线交y 轴于点N ，过点B 作P 3N 的垂线交NP 3的延长线于点M ∵∠CNP 3＝∠P 3MB ＝∠CP 3B ＝90°∴∠NP 3C +∠MP 3B ＝90°，∠MP 3B +∠MBP 3＝90° ∴∠NP 3C ＝∠MBP 3，∴tan ∠NP 3C ＝tan ∠MBP 3，∴设，则∴，整理得：m 2﹣m ﹣1＝0解得：当时，点P 在第二象限，此时∠CPO ＞∠BPO ，故舍去 当时，， ∴P 3（，）；综上所述：；；．14．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．已知A （﹣2，0），抛物线的对称轴l 交x 轴于点D （1，0）．（1）求出a，b，c的值；（2）如图1，连接BC，点P是线段BC下方抛物线上的动点，连接PB，PC．点M，N分别在y轴，对称轴l上，且MN⊥y轴．连接AM，PN．当△PBC的面积最大时，请求出点P 的坐标及此时AM+MN+NP的最小值；（3）如图2，连接AC，把△AOC按照直线y＝x对折，对折后的三角形记为△A′OC′，把△A′OC′沿着直线BC的方向平行移动，移动后三角形的记为△A′′O′C′′，连接DA′′，DC′′，在移动过程中，是否存在△DA′′C′′为等腰三角形的情形？若存在，直接写出点C′′的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由抛物线的对称性知B（4，0），把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）代入解析式y＝ax2+bx+c，得，解得：．∴抛物线的解析式为．（2）直线BC的解析式为y＝x﹣4．作PQ∥y轴交BC于点Q，设Q（x，x﹣4），则，.，当x ＝2时，S △PBC 取得最大值，此时，P （2，﹣4）． 把A 向左移动1个单位得A 1（﹣3，0）， 连接A 1P ，A 1N ．．（3）△AOC 按照直线y ＝x 对折，对折后的三角形记为△A ′OC ′，OC ′＝OC ＝4， 故点C ′坐标（﹣4，0）， 同理点A ′的坐标为（0，﹣2），设图形向右平移了m 个单位，则此时点C ″、A ″的坐标为（m ﹣4，m ）、（m ，m ﹣2）， 则：C ″A ″2＝42+22＝20，C ″D 2＝（m ﹣5）2+m 2，A ″D 2＝（m ﹣1）2+（m ﹣2）2， 当C ″A ″＝C ″D 时，即：20＝（m ﹣5）2+m 2，解得：m ＝，当C ″A ″＝A ″D 时，即：20＝（m ﹣1）2+（m ﹣2）2，解得：m ＝，当C ″D ＝A ″D 时，即：（m ﹣5）2+m 2＝（m ﹣1）2+（m ﹣2）2，解得：m ＝5． 即点C ′′的坐标为：（﹣﹣，﹣），（﹣+，+），（﹣﹣，﹣），（﹣+，+），（1，5）．15．如图，已知抛物线y ＝+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，3），点B （﹣12，15），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（0，3），点B（﹣12，15）代入y＝+bx+c，得，解得，b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝+2x+3；（2）在抛物线y＝+2x+3中，当y＝3时，x1＝0，x2＝﹣8，∴C（﹣8，3），设直线AB的解析式为y＝kx+3，将点B（﹣12，15）代入y＝kx+3，得，k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，+2x+3），则E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x+3﹣（+2x+3）＝﹣﹣3x，∴S四边形AECP＝PE•AC＝（﹣﹣3x）×8＝﹣（x+6）2+36，∴当x＝﹣6时，四边形AECP有最大值36，∵当x＝﹣6时，+2x+3＝0，∴P（﹣6，0）；（3）存在，理由如下：∵y＝+2x+3＝（x+4）2﹣1，∴顶点P坐标为（﹣4，﹣1），∴∴PF＝FC＝4，∴∠PCF＝45°，同理可证，∠BAC＝45°，∴存在两种相似，①当△PCQ∽△BAC时，＝，设Q（n，3），∵AB＝＝12，PC＝＝4，∴＝，解得，n＝﹣，∴Q（﹣，3）；1②当△QCP∽△BAC时，＝，即＝，解得，n＝4，∴Q（4，3），2综上所述，点Q的坐标为（﹣，3）或（4，3）．16．在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 中的点A （0，4），抛物线y 1＝ax 2+bx +c 经过原点O 和点C ，并且有最低点G （2，﹣1），点E ，F 分别在线段OC ，BC 上，且S △AEF ＝S矩形OABC，CF ＝1，直线BE 的解析式为y 2＝kx +b ，其图象与抛物线在x 轴下方的图象交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）当y 1＜y 2＜0时，求x 的取值范围；（3）在线段BD 上是否存在点M ，使得∠DMC ＝∠EAF ，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可得h＝2，k＝﹣1且抛物线经过原点，∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得，∴抛物线的解析式为；（2）由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2，点O与点C关于x＝2对称，∴C（4，0），OC＝4，∵A（0，4），CF＝1，∴OA＝4，S＝OA•OC＝16，F（4，1），矩形OABC∵，＝5，∴S△AEF如图1，过点F作FH∥OC，与AE交于点H，∴，∴，，x+4，设直线AH的解析式为y＝k1∴，∴k＝﹣2，1∴直线AH的解析式为y＝﹣2x+4，当y＝0时，求得x＝2，∴E（2，0），而B（4，4），＝2x﹣4，∴直线BE：y2∵点D 在直线BE 上，故D （x ，2x ﹣4）同时也满足抛物线， 故，解得：，（舍去），∴， 当0＞y 2＞y 1时，从图象可得直线在抛物线的上方且都在x 轴的下方才满足条件，对应x 的取值范围为；（3）∵E （2，0），F （4，1），A （0，4）， ∴，AF ＝5，， ∴AE 2+EF 2＝AF 2， 而矩形OABC ，∴∠AEF ＝90°，∠ABC ＝90°， ∴∠AEF +∠ABC ＝180°， ∴点A ，B ，F ，E 四点共圆， ∴∠EAF ＝∠EBC如图2，作BC 的垂直平分线交直线EB 于点N ，连接NC ， 则NB ＝NC ，∠NBC ＝∠NCB ， ∴∠ENC ＝2∠EBC ，设N （x N ，2），则2＝2x N ﹣4，解得x N ＝3， ∴N （3，2），作NC 的垂直平分线交直线BD 于点M （n ，2n ﹣4），B （4，4），C （4，0）， ∴，，则MN ＝MC ， ∴∠MNC ＝∠MCN ，∴∠DMC ＝2∠MNC ＝4∠EBC ＝4∠EAF ， ∴，解得：n ＝，∴，综上所述，点M的坐标为．17．若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C（3，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S＝5，求点P的坐标；△PBA（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（4，0），点C（3，﹣2），∴解得：∴二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA交x轴于D，设点P（a，a2﹣a﹣2），则PD＝a2﹣a﹣2，∵二次函数y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点B，∴点B（0，﹣2），设BP解析式为：y＝kx﹣2，∴a2﹣a﹣2＝ka﹣2，∴k＝a﹣，∴BP解析式为：y＝（a﹣）x﹣2，∴y＝0时，x＝，∴点E（，0），＝5，∵S△PBA∴×（4﹣）×（a2﹣a﹣2+2）＝5，∴a＝﹣1（不合题意舍去），a＝5，∴点P（5，3）（3）如图2，延长BM到N，使BN＝BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，∵BN＝BO，∠ABO＝∠ABM，AB＝AB，∴△ABO≌△ABN（SAS）∴AO＝AN，且BN＝BO，∴AB垂直平分ON，∴OH＝HN，AB⊥ON，∵AO＝4，BO＝2，∴AB＝＝＝2，∵S＝×OA×OB＝×AB×OH，△AOB∴OH＝＝，∴AH＝＝＝，∵cos∠BAO＝，∴＝，∴AF＝，∴HF＝＝＝，OF＝AO﹣AF＝，∴点H（，﹣），∵OH＝HN，∴点N（，﹣）设直线BN解析式为：y＝mx﹣2，∴﹣＝m﹣2，∴m＝﹣，∴直线BN解析式为：y＝﹣x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝﹣x﹣2，∴x＝0（不合题意舍去），x＝，∴点M坐标（，﹣），∴点M到y轴的距离为．18．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y ＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）在y＝x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4．∴A（4，0），C（0，﹣4）把A（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax2﹣3x+c中，得，解得，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x﹣4．（2）如图1，过点E作EH⊥y轴，垂足为H．∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠ACO ＝45°， ∴∠HEC ＝∠HCE ＝45°．∵点D （m ，m 2﹣3m ﹣4），E （m ，m ﹣4），∴EH ＝HC ＝m ，ED ＝（m ﹣4）﹣（m 2﹣3m ﹣4）＝﹣m 2+4m ．∴，∴当∠ECD ＝∠EDC 时，EC ＝ED ．∴，解得m ＝0（舍去）或； （3）存在．∴点D 为第四象限抛物线上一动点（不与点A ，C 重合），∴0＜m ＜4，在抛物线y ＝x 2﹣3x ﹣4中，当y ＝0时，x 2﹣3x ﹣4＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4，∴点B 坐标为（﹣1，0）．∵∠FAE ＝∠FEA ＝45°，∴EF ＝AF ．设△BFE 的周长为n ，则n ＝BF +FE +BE ＝BF +AF +BE ＝AB +BE ，∵AB 的值不变，∴当BE 最小，即BE ⊥AC 时，△BFE 的周长最小．∵当BE ⊥AC 时，∠EBA ＝∠BAE ＝45°，∴BE ＝AE ，∴BF ＝AF ＝2.5．∴m ＝4﹣2.5＝1.5时，△BEF 的周长最小．19．已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点D 为OC 中点，点P 在抛物线上．（1）直接写出A 、B 、C 、D 坐标；（2）点P 在第四象限，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交BC 、BD 于G 、H ，是否存在这样的点P ，使PG ＝GH ＝HE ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．（3）若直线y ＝x +t 与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在x 轴下方有两个交点，直接写出t 的取值范围．解：（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当x ＝0时，y ＝﹣3；当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），∵D 为OC 的中点，∴D （0，﹣）；（2）存在，理由如下：设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣3，将点B （3，0）代入y ＝kx ﹣3，解得，k ＝1，∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，设直线BD的解析式为y＝mx﹣，将点B（3，0）代入y＝mx﹣，解得，m＝，∴直线BD的解析式为y＝x﹣，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，当EH＝HG＝GP时，﹣x+＝﹣x2+3x，解得，x1＝，x2＝3（舍去），∴点P的坐标为（，﹣）；（3）当直线y＝x+t经过点B时，将点B（3，0）代入y＝x+t，得，t＝﹣1，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个解，即x2﹣x﹣3﹣t＝0，△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，解得，t＝﹣，∴由图2可以看出，当直线y＝x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：﹣＜t＜﹣1时．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（4，0），∴，解得，∴该抛物线的解析式：y＝x+3；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0），∴A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC＝BC，∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，∵A（1，0），B（4，0），C（0，3），∴OA＝1，OC＝3，BC＝＝＝5，∴OC+AB+BC＝1+3+5＝9，∴在抛物线的对称轴上存在点P，使四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；（3）设直线BC解析式为y＝kx+n，把B、C两点坐标代入可得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，①当∠BQM＝90°时，如图2，∵M在线段BC上∴设M（m，﹣m+3），∵∠CMQ＞90°，∴只能CM＝MQ＝﹣m+3，∵MQ∥y轴，∴△MQB∽△COB，∴，即，解得：m＝∴M（，）；②当∠QMB＝90°时，如图3，∵∠CMQ＝90°，∴只能CM＝MQ，设CM＝MQ＝m，。

2020年中考数学二轮冲刺专项复习——二次函数综合压轴题型1、（2019聊城中考第25题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．2、(2019临沂中考第26题13分)在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△PAB＝×AB×PH＝2×PQ×＝1，则y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P ﹣y Q |＝1，设点P （x ，﹣x 2﹣x +2），则点Q （x ，x +2），即：﹣x 2﹣x +2﹣x ﹣2＝±1，解得：x ＝﹣1或﹣1， 故点P （﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．3、（2019山西中考 第23题 13分 ）综合与探究如图，抛物线62++=bx ax y 经过点A （-2,0），B （4,0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为)41(<<m m .连接AC ，BC ，DB ，DC.（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD 的面积等于△AOC的面积的43时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线c bx ax y ++=2经过点A （-2,0），B （4,0）， ∴⎩⎨⎧=++=+-064160624b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2343b a ，∴抛物线的函数表达式为623432++-=x x y （2）作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F.∵点A 的坐标为（-2,0），∴OA=2由0=x ，得6=y ，∴点C 的坐标为（0,6），∴OC=6∴S △OAC =6622121=⨯⨯=⋅⋅OC OA ，∵S △BCD =43S △AOC =29643=⨯设直线BC 的函数表达式为n kx y +=，由B ，C 两点的坐标得⎩⎨⎧==+604n n k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=623n k ∴直线BC 的函数表达式为623+-=x y . ∴点G 的坐标为),623,(+-m m∴m m m m m DG 343)623(6234322+-=+--++-= ∵点B 的坐标为（4,0），∴OB=4S △BCD=S △CDG+S △BDG=BO DG BE CF DG BE DG CF DG ⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅21)(212121 =m m m m 62343432122+-=⨯+-）（∴296232=+-m m ，解得11=m （舍），32=m ，∴m 的值为3（3）)0,14(),0,14(),0,0(),0,8(4321-M M M M如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图以BD 为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解.∵D 点坐标为)415,3(，所以21,N N 的纵坐标为415 415623432=++-x x ，解得3,121=-=x x （舍）可得)0,0(),415,1(22M N ∴- ∴43,N N 的纵坐标为415-时，141,14141562343212+=-=-=++-x x x x ， ∴)0,14(),415,141(33M N ∴-+，)0,14(),415,141(44-∴--M N 以BD 为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解.∵)0,8(),4150415),1(43(),415,1(111M M N ∴-+--+∴-4、（2019潍坊中考第25题13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4时，求点P的坐标．解：（1）点B（0，4），则点C（0，2），∵点A（4，0），则点M（2，1）；（2）∵⊙P与直线AD，则∠CAD＝90°，设：∠CAO＝α，则∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，则sinα＝，cosα＝，AC＝，则CD＝＝10，则点D（0，﹣8），将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线AD的表达式为：y＝2x﹣8；（3）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+1，将点B坐标代入上式并解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，设点P（x，x2﹣3x+4），则点E（x，2x﹣8），则PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2（舍去2），则点P（，）．5、(2019湘西中考第26题22分)如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t ∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．6、（2019宜宾中考第26题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b 都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a2﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a2﹣3a，∴a2﹣3a＝2，解得：a＝，a＝（舍去），∴M（，），综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（）．（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝＝﹣，∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（）．7、（2019遂宁中考第25题12分）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3∵二次函数图象过点A（6，0）∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x∵OB交对称轴l于点M∴当x M＝3时，y M＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6∴M（3，﹣b+6）∵点M、N关于点P对称∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴y N＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3+3∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）设直线BN解析式为y＝kx+d ∴解得：∴直线BN：y＝﹣bx+2b当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM8、(2019绵阳中考第24题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【答案】解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，∵OA=1，∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，∴，∴抛物线的解析式为y=，即y=．令y=0，解得x1=-1，x2=3，∴B（3，0），∴AB=OA+OB=4，∵△ABD的面积为5，∴=5，∴y D=，代入抛物线解析式得，，解得x1=-2，x2=4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y=．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴=，∴S△ACE=S△AME-S△CME===，=，∴当a=时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，∵E（），OA=1，∴AG=1+=，EG=，∴，∵∠AGE=∠AHP=90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE=PF，∴PE+AP=FP+HP=FH，此时FH最小，∵EF=，∠AEG=∠HEF，∴=，∴．∴PE+PA的最小值是3．9、（2019南充中考 第25题 10分）如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m+4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E.①求DE 的最大值.②点D 关于点E 的对称点为F.当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？解：（1）∵OB=OC ，B （-3,0），∴C （0，-3）（1分）又题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧-==+-=+-30390c c b a c b a 解得：3,4,1-=-=-=c b a .∴342---=x x y （3分）（2）过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图所示，BG=AG=AB ·sin45°=2（4分）∵BC=232=OB ，∴CG=BC-BG=22，∴tan ∠ACG=21=CG AG （5分） 设P （34,2---t t t ），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，tan ∠POQ=tan ∠ACG=21.①当P 在x 轴上方时，034,02>---<t t t则PQ =t OQ t t -=---,342，tan ∠POQ=0672,213422=++=----=t t t t t OQ PQ 解得23,221-=-=t t ，∴)43,23(),1,2(21--P P （6分）②当点P 在第三象限时，0692,213422=++=-++t t t y t ， 解得：4339,433943--=+-=t t ∴)8339,4339(),8339,4339(43+-+-+-+-P P （7分） ③当点P 在第四象限时，∠POB ＞90°，而∠ACB ＜90°，∴点P 不在第四象限 故点P 坐标为),1,2(-或)43,23(-或)8339,4339(+-+-或)8339,4339(+-+- （3）①由已知，)3)4(4)4(,4(),34,(22-+-+-+---m m m N m m m M 即)3512,4(2---+m m m N ，设直线MN 为n kx y +=得：⎪⎩⎪⎨⎧---=++---=+3512)4(3422m m n m k m m n km 解得：⎩⎨⎧-+=--=34822m m n m k 故MN 为)34()8(2-++--=m m x m y （8分）设)34,(2---t t t D ，))34()82(,(2-++--m m t m t E∴DE=----)34(2t t )]34()82[(2-++--m m t m=[]4)2()4()2(2222++--=+-++-m t m m t m t ，当2+=m t 时，DE 最大值为4（9分）②当DE 最大时，点)198,2(2---+m m m E 为MN 的中点.由已知，点E 为DF 的中点，∴当DE 最大时，四边形MDNF 为平行四边形. 如果□MDNF 为矩形，则,4222DE DF MN ==故22244)328(4⨯=++m ，化简得，43)4(2=+m ，故234±-=m .当234+-=m 或234--时，四边形MDNF 为矩形（10分）10、（2019 毕节中考 第27题 16分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （﹣3，0），与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD＝BC＝×＝2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝×3×3+（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．11、（2019益阳中考第25题12分）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC 上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM；（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．12、（2019岳阳中考第24题10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】（1）当x＝﹣4时，y＝×（﹣4）2+×（﹣4）＝﹣4∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1 ∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∴OA＝OA'＝∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B' ∴解得：∴抛物线F2解析式为：y＝x2﹣3x+4∴对称轴为直线：x＝﹣＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2∴（4）2+m2+8m+20＝36+m2 解得：m＝﹣2∴A'M＝∴S△OA'M＝OA'•A'M＝＝8（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．∵B'（2，﹣1）∴直线OB'解析式为y＝﹣x解得：（即为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）①若△AOD∽△OA'C，则＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．。

二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．4(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数y=ax2+bx+1，(a≠0，b是实数)．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x⋯-10123⋯y⋯m1n1p⋯(1)若m=4，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5(2023·湖南常德·统考中考真题)如图，二次函数的图象与x轴交于A-1,0，B5,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，tan∠ACO=1 5．(1)求二次函数的表达式；(2)求四边形ACDB的面积；(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO=∠PBC，求P点的坐标．6(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x轴交于点E．(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1PA的最小值．27(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，二次函数y=x2-6x+8的图像与x轴分别交于点A,B(点A 在点B的左侧)，直线l是对称轴．点P在函数图像上，其横坐标大于4，连接PA,PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．(1)求点A,B的坐标；(2)若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点3,2，求PM长的取值范围．8(2023·山东东营·统考中考真题)如图，抛物线过点O0,0，矩形ABCD的边AB在线段，E10,0OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上，设B t,0，当t=2时，BC=4．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．9(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+83x+c a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,-4．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P是抛物线上一动点(不与点A，B，C重合)，作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2，求点P的坐标；②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E 落在y轴上时，请直接写出四边形PECE 的周长．10(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，抛物线y=-43x2+bx+4与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11(2023·四川达州·统考中考真题)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A -1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出△PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A，B，C0,6三点，其对称轴为x=2．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E．①当CD=CE时，求CD的长；②若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3=2S2，求点F的坐标．13(2023·全国·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+c经过点A(0,1)．点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0)，连接AP，AQ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．(3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐标的差为h2．当h2-h1=m时，直接写出m的值．14(2023·重庆·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0两点，与y轴交于和B-5,0点C．直线y=-3x+3过抛物线的顶点P．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m-5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F．①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+c经过点P (4,-3)，与y轴交于点A(0,1)，直线y=kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标；(3)过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．17(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx a≠0经过点A3,3，对称轴为直线x=2．(1)求a,b的值；(2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．18(2023·浙江金华·统考中考真题)如图，直线y =52x +5与x 轴，y 轴分别交于点A ,B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为C ,D ，其中点C 的坐标为2,0 ．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ．①求该抛物线的函数表达式；②求BEEC的值．(2)连接PC ,∠CPE 与∠BAO 能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．19(2023·湖南·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B1,0．，C0,3(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围．20(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．21(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A -3,0 ,B 1,0 两点，与y 轴交于点C 0,3 ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值；(3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将△PCM 沿直线PC 翻折，当点M 的对应点M '恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=2，动点P 以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的而积为S，探究S与t的关系(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t=1时，S=．②S关于t的函数解析式为．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．(3)延伸探究：若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2=；②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积．23(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC ⊥BC ，AB ⊥BE ，ED ⊥BD ，垂足分别为C ，B ，D ，AB =BE ．求证：△ACB ≌△BDE ；【类比迁移】(2)如图2，一次函数y =3x +3的图象与y 轴交于点A 、与x 轴交于点B ，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到BC 、直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标；②求直线AC 的解析式；【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y =x 2-3x -4与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于C点，已知点Q (0，-1)，连接BQ ．抛物线上是否存在点M ，使得tan ∠MBQ =13，若存在，求出点M 的横坐标．24(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，抛物线y=-x2+bx与x轴交于点A，与直线y=-x交于点B4,-4在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．，点C0,-4(1)求抛物线y=-x2+bx的表达式；(2)当BP=22时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．25(2023·四川乐山·统考中考真题)已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 是抛物C 1:y =-14x 2+bx (b 为常数)上的两点，当x 1+x 2=0时，总有y 1=y 2(1)求b 的值；(2)将抛物线C 1平移后得到抛物线C 2:y =-14(x -m )2+1(m >0)．探究下列问题：①若抛物线C 1与抛物线C 2有一个交点，求m 的取值范围；②设抛物线C 2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线C 2的顶点为点E ，△ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线C 1上的任意一点P ，在抛物线C 2上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+3x +1交y 轴于点A ，直线y =-13x +2交抛物线于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧)，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ．(1)求点D ,E ,C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点OF <EF ，连接AF ,DF ,CF ，且AF 2+EF 2=21．①求证：△DFC 是直角三角形；②∠DFC 的平分线FK 交线段DC 于点K ,P 是直线BC 上方抛物线上一动点，当3tan ∠PFK =1时，求点P 的坐标．27(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=34x+6与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y=ax2+bx+c经过点B．(1)求点A，B的坐标；(2)求b，c的值；(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．(1)如果四个点0,0中恰有三个点在二次函数y=ax2(a为常数，且a≠0)的图象、-1,1、1,1、0,2上．①a=；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n-m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．29(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线Q1:y=-x2+bx+c与x轴交于A-3,0,B两点，交y 轴于点C0,3．(1)请求出抛物线Q1的表达式．(2)如图1，在y轴上有一点D0,-1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．31(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．32(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0)，B(2,0)和C(0,2)，连接BC，点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC 于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式；(2)如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；(3)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．33(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于B 4,0 ，C -2,0 两点．与y 轴交于点A 0,-2 ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK +PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△MAB 是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．34(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数y =ax 2+bx +c a >0 ．(1)若a =1，c =-1，且该二次函数的图像过点2,0 ，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点A x 1,0 ，B x 2,0 ，且x 1<0<x 2，点D 在⊙O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，∠DOF =∠DEO ，OF =32DF ．①求证：DO EO=23．②当点E 在线段OB 上，且BE =1．⊙O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若4ac =-a 2-b 2，求2a +b 的值．35(2023·山西·统考中考真题)如图，二次函数y =-x 2+4x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1,3 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ ⊥x 轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线C1:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点(A在B的左边)，交y 轴于点C．(1)直接写出A,B,C三点的坐标；(2)如图(1)，作直线x=t0<t<4，分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D,E,F三点，连接CF．若△BDE 与△CEF相似，求t的值；(3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，已知A(0,2),B(2,0)．点E位于第二象限且在直线y=-2x 上，∠EOD=90°，OD=OE，连接AB，DE，AE，DB．(1)直接判断△AOB的形状：△AOB是三角形；(2)求证：△AOE≌△BOD；(3)直线EA交x轴于点C(t,0),t>2．将经过B，C两点的抛物线y1=ax2+bx-4向左平移2个单位，得到抛物线y2．①若直线EA与抛物线y1有唯一交点，求t的值；②若抛物线y2的顶点P在直线EA上，求t的值；③将抛物线y2再向下平移，2(t-1)2个单位，得到抛物线y3．若点D在抛物线y3上，求点D的坐标．38(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，与y，B4,0轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC的值；(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B (4,0)两点，与y 轴交于点C (0,2)，点P 为第一象限抛物线上的点，连接CA ,CB ,PB ,PC ．(1)直接写出结果；b =，c =，点A 的坐标为，tan ∠ABC =；(2)如图1，当∠PCB =2∠OCA 时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD =OB ，点Q 为抛物线上一点，∠QBD =90°，点E ，F 分别为△BDQ 的边DQ ,DB 上的动点，QE =DF ，记BE +QF 的最小值为m ．①求m 的值；②设△PCB 的面积为S ，若S =14m 2-k ，请直接写出k 的取值范围．40(2023·湖南·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0和点B4,0，且与直线l:y=-x-1交于D、E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M 的横坐标为t．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M作x轴的垂线，与拋物线交于点N．若0<t<4，求△NED面积的最大值．(3)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．41(2023·四川·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x 轴交于点A-2,0，B4,0，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+12ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，，B6,0与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点P m,0从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A，B不重合)，自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．43(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知：y关于x的函数y=a-2x+b．x2+a+1(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A-2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE 的面积为S2．①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；②探究直线l在运动过程中，S1-S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．44(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若C4,3,D m,-3 4，且m<2，求证：C,D,E三点共线；(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45(2023·山东·统考中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A．P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 0,4 ，其对称轴为x =-32．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点D 是线段OC 上的一动点，连接AD ，BD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，得到△AB D ，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D 的坐标；(3)如图2，动点P 在直线AC 上方的抛物线上，过点P 作直线AC 的垂线，分别交直线AC ，线段BC 于点E ，F ，过点F 作FG ⊥x 轴，垂足为G ，求FG +2FP 的最大值．47(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1:y =x 2上有两点A 、B ，其中点A 的横坐标为-2，点B 的横坐标为1，抛物线C 2:y =-x 2+bx +c 过点A 、B ．过A 作AC ∥x 轴交抛物线C 1另一点为点C ．以AC 、12AC 长为边向上构造矩形ACDE ．(1)求抛物线C 2的解析式；(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ，点C 的对应点C 落在抛物线C 1上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；②直线A E 交抛物线C 1于点P ，交抛物线C 2于点Q ．当点E 为线段PQ 的中点时，求m 的值；③抛物线C 2与边E D 、A C 分别相交于点M 、N ，点M 、N 在抛物线C 2的对称轴同侧，当MN =2103时，求点C 的坐标．48(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0．点D为线段BC上的一动点． 和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．49(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(-6,0)，B(-2,0)，C (0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点(M点在N点左侧)．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为PD有最大值，最大值是多少？m．过点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+1250(2023·四川南充·统考中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K1,3的直线(直线KD除外)与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-4,0，且经、B2,0过点C-2,6．(1)求抛物线的表达式；(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N，射线AN、BN分别与抛物线的对称轴交于点P、Q，点Q关于x轴的对称点为Q ，求△APQ 的面积；(3)点M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求M的坐标．52(2023·四川广安·统考中考真题)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=-1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数综合题一．二次函数综合题（共50小题）1．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，P A，PC，若S△P AC=152，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．2．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．3．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y=−13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG=59S△OEG时，求m的值；②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•朝阳）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．（1）求抛物线表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ 周长的最小值．5．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME 沿ME 所在直线翻折，得到△FME ，当△FME 与△AME 重叠部分的面积是△AMC 面积的14时，请直接写出线段AM 的长． 6．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，直线y =−12x +2经过B ，C 两点．（1）直接写出二次函数的解析式 ；（2）平移直线BC ，当直线BC 与抛物线有唯一公共点Q 时，求此时点Q 的坐标；（3）过（2）中的点Q 作QE ∥y 轴，交x 轴于点E ．若点M 是抛物线上一个动点，点N 是x 轴上一个动点，是否存在以E ，M ，N 三点为顶点的直角三角形（其中M 为直角顶点）与△BOC 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M 的个数和其中一个符合条件的点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．7．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy 中，函数F 1和F 2的图象关于y 轴对称，它们与直线x ＝t （t ＞0）分别相交于点P ，Q ．（1）如图，函数F 1为y ＝x +1，当t ＝2时，PQ 的长为 ；（2）函数F 1为y =3x ，当PQ ＝6时，t 的值为 ；（3）函数F 1为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当t =√b b 时，求△OPQ 的面积；②若c ＞0，函数F 1和F 2的图象与x 轴正半轴分别交于点A （5，0），B （1，0），当c ≤x ≤c +1时，设函数F 1的最大值和函数F 2的最小值的差为h ，求h 关于c 的函数解析式，并直接写出自变量c 的取值范围．8．（2020•桂林）如图，已知抛物线y ＝a （x +6）（x ﹣2）过点C （0，2），交x 轴于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC ．（1）直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当△MCE 是等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将△PCE 沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P ′处．求当点P ′恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．9．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y ＝ax 2+94x +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上存在点D ，使∠DCB ＝2∠ABC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 的坐标为（0，72），点M 在抛物线上，点N 在直线BC 上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．10．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；（3）在点P运动过程中，PQAP是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．11．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．①直接写出△MBN的形状为；②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=23S2时，求点M的坐标；（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE 绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2√3时，请直接写出点G的坐标为．12．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n 的取值范围．（直接写出结果即可）13．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c （a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x 轴交于点C ，直线DM 、DN 分别与x 轴相交于A 、B 两点．（1）当a ＝﹣1时，求点N 的坐标及AC BC 的值；（2）随着a 的变化，AC BC 的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图②，E 是x 轴上位于点B 右侧的点，BC ＝2BE ，DE 交抛物线于点F ．若FB ＝FE ，求此时的二次函数表达式．14．（2020•眉山）如图1，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为（3，0），点C 坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△PBC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD ⊥x 轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于（p ，0），（q ，0），则该抛物线的解析式可以表示为：y ＝a （x ﹣p ）（x ﹣q ）＝ax 2﹣a （p +q ）x +apq ．（1）若a ＝1，抛物线与x 轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若a ＝﹣1，如图（1），A （﹣1，0），B （3，0），点M （m ，0）在线段AB 上，抛物线C 1与x 轴交于A ，M ，顶点为C ；抛物线C 2与x 轴交于B ，M ，顶点为D ．当A ，C ，D 三点在同一条直线上时，求m 的值；（3）已知抛物线C 3与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），线段EF 的端点E （0，3），F （4，3）．若抛物线C 3与线段EF 有公共点，结合图象，在图（2）中探究a 的取值范围．16．（2020•雅安）已知二次函数y ＝ax 2+2x +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；（3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ，使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．17．（2020•绵阳）如图，抛物线过点A （0，1）和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B （√3，0），平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为4√33，四边形BDEF 为平行四边形． （1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标及△P AB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．18．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．19．（2020•海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P 的坐标：若不存在，请说明理由．20．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y=−12x+m与抛物线交于B，D两点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）求m的值和D点坐标．（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（−45，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD 于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．21．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．22．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+3 2．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．23．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．24．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．25．（2020•毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB 于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．26．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D 为y 轴上一点，如果直线BD 与直线BC 的夹角为15°，求线段CD 的长度；（3）如图2，连接AC ，点P 在抛物线上，且满足∠P AB ＝2∠ACO ，求点P 的坐标．27．（2020•鸡西）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+c 经过点A （﹣2，0）和点C （0，94），与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如图，点E ，F 分别在线段AB ，BD 上（点E 不与点A ，B 重合），且∠DEF ＝∠DAB ，DE ＝EF ，直接写出线段BE 的长．28．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=3 2，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N 以每秒√2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）29．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C 坐标；（3）已知点M（2−4√33，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．30．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O 于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．31．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2020•鄂州）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线y =12x ﹣2经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN ⊥BC ，垂足为N ．设M （m ，0）．①点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m 的值；②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P ，使△PNC 与△AOC 相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=−12x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．（1）求b的值及点M的坐标；（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．35．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．36．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求b、c的值；（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F 的坐标；（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2020•湘西州）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值；（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当√2AM+2DM的最小值为27√24时，求b的值．38．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+3 2．（1）用含a的式子表示b；（2）求点E的坐标：（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x ＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．39．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x 轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．（1）点E的坐标为：；（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．40．（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线y =−14x 2+bx +c 只有一个交点时，求点M 的坐标．（3）△MPC 在（2）的旋转变换下，若PC =√2（如图2）．①求证：EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．41．（2020•黄冈）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且S △ACE ：S △CEB ＝3：5，求直线CE 的解析式；（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；（4）已知点H （0，458），G （2，0），在抛物线对称轴上找一点F ，使HF +AF 的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF +KG 的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．42．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．43．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．（1）b＝，n＝；（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．44．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y=m x（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．45．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N 为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．46．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）47．（2020•山西）综合与探究如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．48．（2020•广东）如图，抛物线y=3+√36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=√3CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．49．（2020•荆门）如图，抛物线L：y=12x2−54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y=12x2−54x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．50．如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A （﹣2，0），B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2+bx +83（a ＜0）与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R 是抛物线上的点，使得△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标； （3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE ＝45°，求点P 的坐标．。

答案与解析一．二次函数图象与系数的关系1．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，可得r 2+br +a ＝0，推出1++＝0，即a （）2+b •+1＝0，推出是方程ax 2+bx +1的根，可得结论． （3）由题意a ＞0，∴m＝，n＝，根据m +n ＝0，构建方程可得结论． 【解答】解：（1）由题意，得到﹣＝3，解得b ＝﹣6， ∵函数y 1的图象经过（a ，﹣6）， ∴a2﹣6a +a ＝﹣6， 解得a ＝2或a ＝3， ∴函数y 1＝x 2﹣6x +2或y 1＝x 2﹣6x +3．（2）∵函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0， ∴r 2+br +a ＝0，∴1++＝0， 即a（）2+b•+1＝0， ∴是方程ax 2+bx +1＝0的根，即函数y 2的图象经过点（，0）． （3）由题意a ＞0，∴m ＝，n ＝，∵m +n ＝0， ∴+＝0，∴（4a ﹣b 2）（a +1）＝0，∵a +1＞0， ∴4a ﹣b 2＝0，∴m ＝n ＝0． 二．待定系数法求二次函数解析式2．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；（2）根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于a 的方程解方程求得a 的值，从而求得抛物线的解析式；（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m 的取值．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3+2a 2＝a （x ﹣1）2+2a 2﹣a ﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x ＝1；（2）∵抛物线的顶点在x 轴上，∴2a 2﹣a ﹣3＝0， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网解得a＝或a ＝﹣1，∴抛物线为y ＝x 2﹣3x +或y ＝﹣x 2+2x ﹣1； （3）∵抛物线的对称轴为x ＝1，则Q （3，y 2）关于x ＝1对称点的坐标为（﹣1，y 2），∴当a ＞0，﹣1＜m ＜3时，y 1＜y 2；当a ＜0，m ＜﹣1或m ＞3时，y 1＜y 2．3．【分析】（1）先求出点B ，点A 坐标，代入解析式可求c 的值，即可求解； （2）先求出点M ，点N 坐标，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +c 与y 轴正半轴交于点B ， ∴点B （0，c ）， ∵OA ＝OB ＝c ，∴点A （c ，0）， ∴0＝﹣c 2+2c +c ，∴c ＝3或0（舍去）， ∴抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3，∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴顶点G 的坐标为（1，4）；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x ＝1，∵点M ，N 为抛物线上两点（点M 在点N 的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为6， ∴点M 坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N 坐标为（6，﹣21），∵点Q 为抛物线上点M ，N 之间（含点M ，N ）的一个动点， ∴﹣21≤y Q ≤4或﹣21≤y Q ≤﹣5．三．抛物线与x 轴的交点 4．【分析】（1）抛物线的对称轴为x ＝2，即﹣b ＝2，解得：b ＝﹣4，即可求解； （2）求出点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2，而四边形PBCQ 为平行四边形，则PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，即可求解． 【解答】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D （2，﹣3）， 故抛物线的对称轴为x ＝2，即﹣b ＝2，解得：b ＝﹣4，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x ； （2）把y ＝﹣3代入y ＝x 2﹣4x 并解得x ＝1或3，故点B 、C 的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC ＝2， ∵四边形PBCQ 为平行四边形， ∴PQ ＝BC ＝2，故x 2﹣x 1＝2，又∵y 1＝x 12﹣4x 1，y 2＝x 22﹣4x 2，|y 1﹣y 2|＝2，故|（x 12﹣4x 1）﹣（x 22﹣4x 2）|＝2，|x 1+x 2﹣4|＝1．∴x 1+x 2＝5或x 1+x 2＝3， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网由，解得； 由，解得．5．【分析】（1）由y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a ，令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0，可求出A 、B 坐标结合三角形的面积，解出a ＝﹣3；（2）根据题意P 的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P 的坐标． 【解答】解：（1）∵y ＝﹣x 2+（a +1）x ﹣a ，令x ＝0，则y ＝﹣a ， ∴C （0，﹣a ），令y ＝0，即﹣x 2+（a +1）x ﹣a ＝0 解得x 1＝a ，x 2＝1由图象知：a ＜0 ∴A （a ，0），B （1，0）∵S △ABC ＝6 ∴（1﹣a ）（﹣a ）＝6 解得：a ＝﹣3，（a ＝4舍去）；（2）∵a ＝﹣3， ∴C （0，3），∵S △ABP ＝S △ABC ． ∴P 点的纵坐标为±3，把y ＝3代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3＝3，解得x ＝﹣2或x ＝0（与点C 重合，舍去）； 把y ＝﹣3代入y ＝﹣x 2﹣2x +3得﹣x 2﹣2x +3＝﹣3，解得x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣，∴P 点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）． 四．二次函数综合题6．【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）先求出点C 的坐标，根据抛物线与x 轴的两个交点，可求对称轴，找到点C 关于对称轴的对应点；先运用待定系数法求出直线BC 的解析式，再根据互相平行的两直线的关系求出与BC 平行的直线AP 2的解析式，联立抛物线解析式即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得． 故抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）二次函数y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴是x ＝（﹣1+3）÷2＝1，当x ＝0时，y ＝3，则C （0，3），点C 关于对称轴的对应点P 1（2，3），设直线BC 的解析式为y ＝kx +3， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网则3k +3＝0，解得k ＝﹣1．则直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3， 设与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝﹣x +m ， 则1+m ＝0， 解得m ＝﹣1．则与BC 平行的直线AP 2的解析式为y ＝﹣x ﹣1， 联立抛物线解析式得， 解得，（舍去）．P 2（4，﹣5）．综上所述，P 1（2，3），P 2（4，﹣5）． 7．【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式； （2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥AC 于点D ，设A （a ，（a ﹣2）2﹣6），则BD ＝a ﹣2，AC ＝|（a ﹣2）2﹣6|，再证明△ABD ≌△OAC ，由全等三角形的性质得a 的方程求得a 便可得A 的坐标；（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M 、N 点的坐标，进而求得MN 的解析式，再根据解析式的特征得出MN 经过一个定点．【解答】解：（1）∵抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1， ∴C 1：y ＝（x ﹣2）2﹣6，∵将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2．∴C 2：y ＝（x ﹣2+2）2﹣6，即y ＝x 2﹣6；（2）过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过B 作BD ⊥AC 于点D ，如图1，设A （a ，（a ﹣2）2﹣6），则BD ＝a ﹣2，AC ＝|（a ﹣2）2﹣6|，∵∠BAO ＝∠ACO ＝90°， ∴∠BAD +∠OAC ＝∠OAC +∠AOC ＝90°，∴∠BAD ＝∠AOC ， ∵AB＝OA ，∠ADB ＝∠OCA ， ∴△ABD ≌△OAC （AAS ）， ∴BD ＝AC ，∴a ﹣2＝|（a ﹣2）2﹣6|， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网解得，a ＝4，或a ＝﹣1（舍），或a ＝0（舍），或a ＝5，∴A （4，﹣2）或（5，3）；（3）把y ＝kx 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2﹣kx ﹣6＝0， ∴x E +x F ＝k ，∴M（）， 把y ＝﹣x 代入y ＝x 2﹣6中得，x 2+x ﹣6＝0， ∴，∴N （，）， 设MN 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则 ，解得，， ∴直线MN 的解析式为：，当x ＝0时，y ＝2，∴直线MN ：经过定点（0，2）， 即直线MN 经过一个定点． 8．【分析】（1）令x ＝0，由y ＝﹣x +2，得A 点坐标，令y ＝0，由y ＝﹣x +2，得C 点坐标，将A 、C 的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y ＝0，便可求得B 点坐标； （2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，设M （a ，），则N （a ，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a 的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a 的值，便可得M 点的坐标； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）根据旋转性质，求得O ′点和A ′点的坐标，令O ′点和A ′点在抛物线上时，求出m 的最大和最小值便可．【解答】解：（1）令x ＝0，得y ＝﹣x +2＝2， ∴A （0，2），令y ＝0，得y ＝﹣x +2＝0，解得，x ＝4，∴C （4，0）， 把A 、C 两点代入y ＝﹣x 2+bx +c 得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令y ＝0，得＝0， 解得，x ＝4，或x ＝﹣2， ∴B （﹣2，0）； （2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，如图1，设M （a，），则N （a ，）， ∴＝， ∵，∴S 四边形ABCM ＝S △ACM +S △ABC ＝，∴当a ＝2时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为8， 此时M 的坐标为（2，2）； （3）∵将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，如图2， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴PO′＝PO ＝m ，O ′A ′＝OA ＝2， ∴O ′（m ，m ），A ′（m +2，m ）， 当A ′（m +2，m ）在抛物线上时，有， 解得，m ＝﹣3， 当点O ′（m ，m ）在抛物线上时，有， 解得，m ＝﹣4或2， ∴当﹣3﹣≤m ≤﹣4或﹣3+≤m ≤2时，线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点．9．【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解； （2）由题意得：PD ＝DE ＝3时，以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等，分点P 在抛物线对称轴右侧、点P 在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）抛物线的对称轴为x ＝﹣1，令y ＝0，则x ＝﹣3或1，令x ＝0，则y ＝﹣3， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C （0，﹣3）， 故OA ＝OC ＝3，∵∠PDE ＝∠AOC ＝90°， ∴当PD ＝DE ＝3时，以P 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 全等， 设点P （m ，n ），当点P 在抛物线对称轴右侧时，m ﹣（﹣1）＝3，解得：m ＝2， 故n ＝22+2×2﹣3＝5，故点P （2，5），故点E （﹣1，2）或（﹣1，8）； 当点P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P （﹣4，5），此时点E 坐标同上，综上，点P 的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E 的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）． 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网10．【分析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2，则c ＝﹣2，故OC ＝2，而OA ＝2OC ＝8OB ，则OA ＝4，OB ＝，确定点A 、B 、C 的坐标；即可求解； （2）抛物线的对称轴为x ＝﹣，当PC ∥AB 时，点P 、C 的纵坐标相同，即可求解； （3）△P AC 的面积S ＝S △PHA +S △PHC ＝PH ×OA ，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2，则c ＝﹣2，故OC ＝2， 而OA ＝2OC ＝8OB ，则OA ＝4，OB ＝，故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）； 则y ＝a （x +4）（x ﹣）＝a （x 2+x ﹣2）＝ax 2+bx ﹣2，故a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+x ﹣2； （2）抛物线的对称轴为x ＝﹣，当PC ∥AB 时，点P 、C 的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（﹣，﹣2）；（3）过点P 作PH ∥y 轴交AC 于点H ， 设P （x ，x 2+﹣2），由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣2， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网则△P AC 的面积S ＝S △PHA +S △PHC＝PH ×OA＝×4×（﹣x ﹣2﹣x 2﹣x +2）＝﹣2（x +2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴S 有最大值，当x ＝﹣2时，S 的最大值为8，此时点P （﹣2，﹣5）． 11．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C 坐标代入抛物线交点式中，即可求出a ，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF ，进而得出点E 坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； ②Ⅰ、当点R 在直线l 右侧时，先确定出点Q 的坐标，设点P （x ，﹣x 2+x +4）（1＜x ＜4），得出PG ＝x ﹣1，GQ ＝﹣x 2+x +3，再利用三垂线构造出△PQG ≌△QRH （AAS ），得出RH ＝GQ ＝﹣x 2+x +3，QH ＝PG ＝x ﹣1，进而得出R （﹣x 2+x +4，2﹣x ），最后代入直线BD 的解析式中，即可求出x 的值，即可得出结论；Ⅱ、当R 在直线l 左侧时，同Ⅰ的方法即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣2，0），B （4，0），∴设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4）， 将点C 坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣4）中，得﹣8a ＝4， ∴a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +2）（x ﹣4）＝﹣x 2+x +4； （2）①如图1， 设直线AC 的解析式为y ＝kx +b '， 将点A （﹣2，0），C （0，4），代入y ＝kx +b '中，得， ∴，∴直线AC 的解析式为y ＝2x +4， 过点E 作EF ⊥x 轴于F ，∴OD ∥EF ， ∴△BOD ∽△BFE ， ∴，∵B （4，0）， ∴OB ＝4， ∵BD ＝5DE ，∴＝＝， ∴BF ＝×OB ＝×4＝， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴OF ＝BF ﹣OB＝﹣4＝，将x ＝﹣代入直线AC ：y ＝2x +4中，得y ＝2×（﹣）+4＝， ∴E （﹣，）， 设直线BD 的解析式为y ＝mx +n ， ∴，∴， ∴直线BD 的解析式为y ＝﹣x +2； ②Ⅰ、当点R 在直线l 右侧时， ∵抛物线与x 轴的交点坐标为A （﹣2，0）和B （4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴点Q （1，1），如图2，设点P （x，﹣x 2+x +4）（1＜x ＜4）， 过点P 作PG ⊥l 于G ，过点R 作RH ⊥l 于H ， ∴PG ＝x ﹣1，GQ ＝﹣x 2+x +4﹣1＝﹣x 2+x +3， ∵PG ⊥l ，∴∠PGQ ＝90°， ∴∠GPQ +∠PQG ＝90°，∵△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PQ ＝RQ ，∠PQR ＝90°，∴∠PQG +∠RQH ＝90°， ∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ ＝﹣x 2+x +3，QH ＝PG ＝x ﹣1， ∴R （﹣x 2+x +4，2﹣x ） 由①知，直线BD 的解析式为y ＝﹣x +2，∴﹣（﹣x 2+x +4）+2＝2﹣x ， ∴x ＝2或x ＝﹣4（舍）， 当x ＝2时，y ＝﹣x 2+x +4＝﹣×4+2+4＝4， ∴P （2，4），Ⅱ、当点R 在直线l 左侧时，记作R '， 设点P '（x ，﹣x 2+x +4）（1＜x ＜4）， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网过点P '作P 'G '⊥l 于G '，过点R '作R 'H '⊥l 于H ，∴P 'G '＝x ﹣1，G 'Q ＝﹣x 2+x +4﹣1＝﹣x 2+x +3， 同Ⅰ的方法得，△P 'QG '≌△QR 'H '（AAS ）， ∴R 'H '＝G 'Q＝﹣x 2+x +3，QH '＝P 'G '＝x ﹣1， ∴R '（x 2﹣x ﹣2，x ）， 由①知，直线BD 的解析式为y＝﹣x +2， ∴﹣（x 2﹣x ﹣2）+2＝x ， ∴x ＝﹣1+或x ＝﹣1﹣（舍）， 当x ＝﹣1+时，y ＝﹣x 2+x +4＝2﹣4， ∴P '（﹣1+，2﹣4），即满足条件的点P 的坐标为（2，4）或（﹣1+，2﹣4）．12．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ．证明AM ＝PM ＝m ，根据AM +MN ＝AM +OP ＝AN ，构建关系式即可解决问题． ②如图2中，由题意AB ⊥y 轴，求出P A ，PB 的长即可解决问题． （3））如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ．设B （b ，6ab 2+n ），由P A ＝2PB ，推出A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]，由BE ∥AK ，推出＝＝，推出AK ＝2BE ，由此构建关系式，证明m ＝﹣2b 即可解决问题．【解答】解：（1）由题意m ＝2，n ＝4， ∴y 1＝a （x ﹣2）2+4，把（0，2）代入得到a＝﹣． （2）①如图1中，过点A 作AN ⊥x 轴于N ，过点P 作PM ⊥AN 于M ． ∵y 1＝a （x ﹣m ）2+n ＝ax 2﹣2amx +am 2+n ，∴P （0，am 2+n ）， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网∵A （m ，n ），∴PM ＝m ，AN ＝n ，∵∠APM ＝45°，∴AM ＝PM ＝m ，∴m +am 2+n ＝n ，∵m ＞0， ∴am ＝﹣1． ②如图2中，由题意AB ⊥y 轴， ∵P （0，am 2+n ），当y ＝am 2+n 时，am 2+n ＝6ax 2+n ， 解得x ＝±m ， ∴B （﹣m ，am 2+n ）， ∴PB ＝m ， ∵AP ＝2m ， ∴＝＝2．（3）如图3中，过点A 作AH ⊥x 轴于H ，过点P 作PK ⊥AH 于K ，过点B 作BE ⊥KP 交KP 的延长线于E ． 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网设B （b ，6ab 2+n ）， ∵P A ＝2PB ， ∴点A 的横坐标为﹣2b ， ∴A [﹣2b ，a （﹣2b ﹣m ）2+n ]， ∵BE ∥AK ， ∴＝＝， ∴AK ＝2BE ， ∴a （﹣2b ﹣m ）2+n ﹣am 2﹣n ＝2（am 2+n ﹣6ab 2﹣n ）， 整理得：m 2﹣2bm ﹣8b 2＝0， ∴（m ﹣4b ）（m +2b ）＝0， ∵m ﹣4b ＞0，∴m +2b ＝0， ∴m ＝﹣2b ，∴A （m ，n ）， ∴点A 是抛物线C 1的顶点．13．【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），即可求出AB 的表达式；OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP ＝AC 或AC ，即可求解； （3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小，即可求解； （4）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ；（2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4）， 设直线AB 的解析式为y ＝kx +4，将点A 坐标代入得，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x +4；则∠ABO ＝45°，故cos ∠ABO ＝； 对于y ＝x 2+2x ，函数的对称轴为x ＝﹣2，故点M （﹣2，﹣2）； OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP ＝AC 或AC ， 则，即，解得：y P ＝2或4，故点P （﹣2，2）或（0，4）； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网故答案为：y ＝x +4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小， 点A ′（4，0）， 设直线A ′M 的表达式为：y ＝kx +b ，则，解得，故直线A ′M 的表达式为：y＝x ﹣， 令x ＝0，则y ＝﹣，故点Q （0，﹣）； （4）存在，理由： 设点N （m ，n ），而点A 、C 、O 的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC 是边时， 点A 向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C ，同样点O （N ）向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N （O ），即0±6＝m ，0±6＝n ，解得：m ＝n ＝±6，故点N （6，6）或（﹣6，﹣6）； ②当AC 是对角线时， 由中点公式得：﹣4+2＝m +0，6+0＝n +0， 解得：m ＝﹣2，n ＝6，故点N （﹣2，6）； 综上，点N 的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）． 14．【分析】（Ⅰ）将A （1，0）代入抛物线的解析式求出b ＝2，由配方法可求出顶点坐标； （Ⅱ）①根据题意得出a ＝1，b ＝﹣m ﹣1．求出抛物线的解析式为y ＝x 2﹣（m +1）x +m ．则点C （0，m ），点E （m +1，m ），过点A 作AH ⊥l 于点H ，由点A （1，0），得点H （1，m ）．根据题意求出m 的值，可求出CF 的长，则可得出答案；②得出CN ＝EF＝．求出MC＝﹣m ，当MC≥，即m ≤﹣1时，当MC ＜，即﹣1＜m ＜0时，根据MN 的最小值可分别求出m 的值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a ＝1，m ＝﹣3时，抛物线的解析式为y ＝x 2+bx ﹣3．∵抛物线经过点A （1，0）， ∴0＝1+b ﹣3，解得b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3．∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． （Ⅱ）①∵抛物线y ＝ax 2+bx +m 经过点A （1，0）和M （m ，0），m ＜0，∴0＝a +b +m ，0＝am 2+bm +m ，即am +b +1＝0． ∴a ＝1，b ＝﹣m ﹣1．∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣（m +1）x +m ． 根据题意得，点C （0，m ），点E （m +1，m ），过点A 作AH ⊥l 于点H ，由点A （1，0），得点H （1，m ）． 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网在Rt △EAH 中，EH ＝1﹣（m +1）＝﹣m ，HA ＝0﹣m ＝﹣m ， ∴AE ＝＝﹣m ， ∵AE ＝EF ＝2，∴﹣m ＝2， 解得m ＝﹣2． 此时，点E （﹣1，﹣2），点C （0，﹣2），有EC ＝1．∵点F 在y 轴上， ∴在Rt △EFC 中，CF ＝＝． ∴点F 的坐标为（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．②由N 是EF 的中点，连接CN ，CM ，得CN ＝EF＝． 根据题意，点N 在以点C 为圆心、为半径的圆上， 由点M （m ，0），点C （0，m ），得MO ＝﹣m ，CO ＝﹣m ， ∴在Rt △MCO 中，MC ＝＝﹣m ． 当MC ≥，即m ≤﹣1时，满足条件的点N 在线段MC 上． MN 的最小值为MC ﹣NC＝﹣m ﹣＝，解得m ＝﹣； 当MC ＜，即﹣1＜m ＜0时，满足条件的点N 落在线段CM 的延长线上，MN 的最小值为NC ﹣MC ＝﹣（﹣m ）＝，解得m ＝﹣．∴当m 的值为﹣或﹣时，MN 的最小值是．15．【分析】（1）函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）证明△BCD ≌△BCM （AAS ），则CM ＝CD ＝2，故OM ＝3﹣2＝1，故点M （0，﹣1），即可求解； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）过点P 作PN ∥x 轴交BC 于点N ，则△PFN ∽△AFB，则，而S △BFP ＝mS △BAF ，则＝，解得：m ＝PN ，即可求解． 【解答】解：（1）一次函数y ＝﹣3x ﹣3的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，C 两点，则点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）， 将点A 、B 、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设直线BE 交y 轴于点M ，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x ＝1， ∵CD ∥x 轴交抛物线于点D ，故点D （2，﹣3），由点B 、C 的坐标知，直线BC 与AB 的夹角为45°，即∠MCB ＝∠DCB ＝45°， ∵BC 恰好平分∠DBE ，故∠MBC ＝∠DBC ，而BC ＝BC ， 故△BCD ≌△BCM （AAS ），∴CM ＝CD ＝2，故OM ＝3﹣2＝1，故点M （0，﹣1）， 设直线BE 的表达式为：y ＝kx +b，则，解得， 故直线BE 的表达式为：y ＝x ﹣1；（3）过点P 作PN ∥x 轴交BC 于点N ， 则△PFN ∽△AFB ，则， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网而S △BFP ＝mS △BAF，则＝，解得：m＝PN ， ①当m ＝时，则PN ＝2， 设点P （t ，t 2﹣2t ﹣3），由点B 、C 的坐标知，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3，当x ＝t ﹣2时，y ＝t ﹣5，故点N （t ﹣2，t ﹣5），故t ﹣5＝t 2﹣2t ﹣3，解得：t ＝1或2，故点P （2，﹣3）或（1，﹣4）； ②m ＝PN ＝[t ﹣（t 2﹣2t ）]＝﹣（t ﹣）2+， ∵＜0，故m 的最大值为． 16．【分析】（1）由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），利用待定系数法求出a 即可解决问题． （2）由题意BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大，此时点P 为直线AC 与直线x＝的交点．（3）由题意，顶点D （，﹣），∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时．第二种情形：当∠DQP ＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时．②当△DPQ ∽△ABC 时，分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x ＝﹣1或4， ∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2），由题意设抛物线L 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）， 把（2，﹣12）代入y ＝a （x +1）（x ﹣4），﹣12＝﹣6a ， 解得a ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2（x +1）（x ﹣4）＝2x 2﹣6x ﹣8．（2）∵抛物线L 2与L 1是“共根抛物线”，A （﹣1，0），B （4，0）， ∴抛物线L 1，L 2的对称轴是直线x ＝， ∴点P 在直线x＝上， ∴BP ＝AP ，如图1中，当A ，C ，P 共线时，BP ﹣PC 的值最大， 此时点P 为直线AC 与直线x ＝的交点，∵直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2， ∴P （，﹣5） 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）由题意，AB ＝5，CB ＝2，CA＝， ∴AB2＝BC 2+AC 2， ∴∠ACB ＝90°，CB ＝2CA ， ∵y ＝x 2﹣x ﹣2＝（x ﹣）2﹣， ∴顶点D （，﹣）， 由题意，∠PDQ 不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ ＝90°时， ①如图3﹣1中，当△QDP ∽△ABC 时，＝＝， 设Q （x ，x 2﹣x ﹣2），则P （，x 2﹣x ﹣2）， ∴DP ＝x 2﹣x ﹣2﹣（﹣）＝x 2﹣x +，QP ＝x ﹣， ∵PD ＝2QP ， ∴2x ﹣3＝x 2﹣x +，解得x ＝或（舍弃）， ∴P （，）．②如图3﹣2中，当△DQP ∽△ABC 时，同法可得PQ ＝2PD ， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网x ﹣＝x 2﹣3x+， 解得x ＝或（舍弃）， ∴P（，﹣）． 第二种情形：当∠DQP ＝90°． ①如图3﹣3中，当△PDQ ∽△ABC 时，＝＝， 过点Q 作QM ⊥PD 于M ．则△QDM ∽△PDQ ， ∴＝＝，由图3﹣3可知，M （，），Q （，）， ∴MD ＝8，MQ ＝4， ∴DQ＝4， 由＝，可得PD ＝10， ∵D（，﹣）∴P（，）． ②当△DPQ ∽△ABC 时，过点Q 作QM ⊥PD 于M ． 同法可得M （，﹣），Q （，﹣）， ∴DM ＝，QM ＝1，QD ＝， 由＝，可得PD ＝， ∴P （，﹣）．综上所述：P 点坐标为（，）或（，﹣）或（，）或（，﹣）． 17．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）PN ＝PQ sin45°＝（﹣m 2+m ）＝﹣（m ﹣2）2+，即可求解； （3）分AC ＝CQ 、AC ＝AQ 、CQ ＝AQ 三种情况，分别求解即可． 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网【解答】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x 2+x +4； （2）由抛物线的表达式知，点C （0，4），由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +4； 设点M （m ，0），则点P （m，﹣m 2+m +4），点Q （m ，﹣m +4）， ∴PQ ＝﹣m 2+m +4+m ﹣4＝﹣m 2+m ， ∵OB ＝OC ，故∠ABC ＝∠OCB ＝45°， ∴∠PQN ＝∠BQM ＝45°， ∴PN ＝PQ sin45°＝（﹣m 2+m ）＝﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，故当m ＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由： 点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC ＝5，①当AC ＝CQ 时，过点Q 作QE ⊥y 轴于点E ，则CQ 2＝CE 2+EQ 2，即m 2+[4﹣（﹣m +4）]2＝25，解得：m ＝±（舍去负值）， 故点Q （，）； ②当AC ＝AQ 时，则AQ ＝AC ＝5， 在Rt △AMQ 中，由勾股定理得：[m ﹣（﹣3）]2+（﹣m +4）2＝25，解得：m ＝1或0（舍去0）， 故点Q （1，3）；③当CQ ＝AQ 时，则2m 2＝[m ﹣（﹣3）]2+（﹣m +4）2，解得：m＝（舍去）； 综上，点Q 的坐标为（1，3）或（，）． 18．【分析】（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 正半轴的夹角为60°，故设CD 的表达式为：y ＝﹣x +b ，而OB 中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD 表达式，即可求解； （3）过点P 作y 轴额平行线交CD 于点Q ，PQ＝﹣x +﹣（x 2﹣x ）＝﹣x 2﹣x +，即可求解． 【解答】解：（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣x ； （2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 正半轴的夹角为60°， 故设CD 的表达式为：y ＝﹣x +b ，而OB 中点的坐标为（，）， 将该点坐标代入CD 表达式并解得：b ＝，故直线CD 的表达式为：y＝﹣x +； （3）设点P （x ，x 2﹣x ），则点Q （x ，﹣x +）， 则PQ＝﹣x+﹣（x 2﹣x ）＝﹣x 2﹣x+， ∵＜0，故PQ 有最大值，此时点P 的坐标为（﹣，）．19．【分析】（1）先求出点A ，点B 坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP 解析式，EP ''的解析式，联立方程组可求解； 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网（3）过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M （m，m 2﹣m ﹣2），则点F （m，m ﹣2），可求MF 的长，由三角形面积公式可求△MAB 的面积＝﹣（m ﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M 坐标，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MP ⊥OK 于P ，延长MF 交直线KO 于Q ，由直角三角形的性质可得KN＝ON ，可得MN +ON ＝MN +KN ，则当点M ，点N ，点K 三点共线，且垂直于OK 时，MN +ON 有最小值，即最小值为MP ，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵直线y ＝x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A （4，0），点B （0，﹣2），设抛物线解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣4）， ∴﹣2＝﹣4a ， ∴a ＝， ∴抛物线解析式为：y＝（x +1）（x ﹣4）＝x 2﹣x ﹣2； （2）如图1，当点P 在直线AB 上方时，过点O 作OP ∥AB ，交抛物线于点P ， ∵OP ∥AB ，∴△ABP 和△ABO 是等底等高的两个三角形， ∴S△P AB ＝S △ABO ， ∵OP ∥AB ，∴直线PO 的解析式为y ＝x ， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点P （2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）；当点P ''在直线AB 下方时，在OB 的延长线上截取BE ＝OB ＝2，过点E 作EP ''∥AB ，交 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网抛物线于点P ''，连接AP ''，BP ''，∴AB ∥EP ''∥OP ，OB ＝BE ，∴S △AP ''B ＝S △ABO ， ∵EP ''∥AB ，且过点E （0，﹣4）， ∴直线EP ''解析式为y＝x ﹣4， 联立方程组可得， 解得， ∴点P ''（2，﹣3）， 综上所述：点P 坐标为（2+2，1+）或（2﹣2，1﹣）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M 作MF ⊥AC ，交AB 于F ，设点M （m ，m 2﹣m ﹣2），则点F （m ，m ﹣2）， ∴MF ＝m ﹣2﹣（m 2﹣m ﹣2）＝﹣（m ﹣2）2+2，∴△MAB 的面积＝×4×[﹣（m ﹣2）2+2]＝﹣（m ﹣2）2+4， ∴当m ＝2时，△MAB 的面积有最大值， ∴点M （2，﹣3），如图3，过点O 作∠KOB ＝30°，过点N 作KN ⊥OK 于K 点，过点M 作MP ⊥OK 于P ，延长MF 交直线KO 于Q ，∵∠KOB ＝30°，KN ⊥OK ， ∴KN ＝ON ，∴MN +ON ＝MN +KN ，∴当点M ，点N ，点K 三点共线，且垂直于OK 时，MN +ON 有最小值，即最小值为MP ，∵∠KOB ＝30°， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网∴直线OK 解析式为y＝x ，当x ＝2时，点Q （2，2）， ∴QM ＝2+3， ∵OB ∥QM ， ∴∠PQM ＝∠PON ＝30°， ∴PM ＝QM ＝+， ∴MN +ON 的最小值为+．20．【分析】（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣4），将点C 的坐标代入可求得a 的值，从而得到抛物线的解析式； （2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，证明△AKE ∽△DFE ，得出，则，求出直线BC 的解析式为y ＝x ﹣2，设D （m ，m ﹣2），则F （m ，m ﹣2），可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论； （3）设P （a ，），①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，得出Q （a ，a ﹣2），将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可，②当点P 在直线BQ 左侧时，由①的方法同理可得点Q 的坐标为（a ，2），代入抛物线的解析可得出答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4）． ∵将C （0，﹣2）代入得：4a ＝2，解得a ＝， ∴抛物线的解析式为y ＝（x +1）（x ﹣4），即y ＝x 2﹣x ﹣2． （2）过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交BC 于点F ，过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K ，∴AK ∥DG ， ∴△AKE ∽△DFE ， ∴， ∴， 设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣2， ∵A （﹣1，0）， ∴y ＝﹣﹣2＝﹣，∴AK ＝， 设D （m ，m ﹣2），则F （m，m ﹣2）， ∴DF ＝m +2＝﹣+2m ． ∴m ＝﹣． ∴当m ＝2时，有最大值，最大值是． （3）符合条件的点P 的坐标为（）或（）．∵l ∥BC ，∴直线l 的解析式为y ＝x ， 设P （a，）， ①当点P 在直线BQ 右侧时，如图2，过点P 作PN ⊥x 轴于点N ，过点Q 作QM ⊥直线PN 于点M ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣2），B （4，0）， ∴AC ＝，AB ＝5，BC ＝2， ∵AC 2+BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∵△PQB ∽△CAB ， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴，∵∠QMP ＝∠BNP ＝90°， ∴∠MQP +∠MPQ ＝90°，∠MPQ +∠BPN ＝90°， ∴∠MQP ＝∠BPN ， ∴△QPM ∽△PBN ， ∴＝， ∴QM＝，PM＝（a ﹣4）＝a ﹣2， ∴MN ＝a ﹣2，BN ﹣QM ＝a ﹣4﹣a ﹣4， ∴Q （a ，a ﹣2）， 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得a ﹣2＝a ﹣2， 解得a ＝0（舍去）或a＝．∴P （）． ②当点P 在直线BQ 左侧时， 由①的方法同理可得点Q 的坐标为（a ，2）． 此时点P 的坐标为（）． 21．【分析】（1）由题意抛物线的顶点A （2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1，把点B 坐标代入求出a 即可． （2）由题意P （m ，m 2﹣m ﹣），求出d 2，PF 2（用m 表示）即可解决问题． （3）如图，过点Q 作QH ⊥直线l 于H ，过点D 作DN ⊥直线l 于N ．因为△DFQ 的周长＝DF +DQ +FQ ，DF 是定值＝＝2，推出DQ +QF 的值最小时，△DFQ 的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A （2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣1， ∵抛物线经过B （0，﹣）， ∴﹣＝4a ﹣1， ∴a＝ ∴抛物线的解析式为y ＝（x ﹣2）2﹣1． （2）证明：∵P （m ，n ）， 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网∴n ＝（m ﹣2）2﹣1＝m 2﹣m ﹣， ∴P （m ，m 2﹣m ﹣）， ∴d＝m 2﹣m ﹣﹣（﹣3）＝m 2﹣m +， ∵F （2，1）， ∴PF ＝＝，∵d 2＝m 4﹣m 3+m 2﹣m +，PF 2＝m 4﹣m 3+m 2﹣m +， ∴d 2＝PF 2，∴PF ＝d ．（3）如图，过点Q 作QH ⊥直线l 于H ，过点D 作DN ⊥直线l 于N ． ∵△DFQ 的周长＝DF +DQ +FQ ，DF 是定值＝＝2， ∴DQ+QF 的值最小时，△DFQ 的周长最小， 由（2）可知QF ＝QH ， ∴DQ +QF ＝DQ +QH ，根据垂线段最短可知，当D ，Q ，H 共线时，DQ +QH 的值最小，此时点H 与N 重合，点Q 在线段DN 上，∴DQ +QH 的最小值为6， ∴△DFQ 的周长的最小值为2+6，此时Q （4，﹣）． 22．【分析】（1）如图，连接CD ，CB ，过点C 作CM ⊥AB 于M ．设⊙C 的半径为r ．在Rt △BCM 中，利用勾股定理求出半径以及点C 的坐标即可解决问题． （2）结论：AE 是⊙C 的切线．连接AC ，CE ．求出抛物线的解析式，推出点E 的坐标，求出AC ，AE ，CE ，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE ＝90°即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接CD ，CB ，过点C 作CM ⊥AB 于M ．设⊙C 的半径为r ． ∵与y 轴相切于点D （0，4），∴CD ⊥OD ， ∵∠CDO ＝∠CMO ＝∠DOM ＝90°， ∴四边形ODCM 是矩形， ∴CM ＝OD ＝4，CD ＝OM ＝r ，∵B （8，0）， 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网 版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网版权所有 转载必究 江南汇教育网。

2020年中考数学二轮专项冲刺——二次函数（真题汇编）一、选择题1.（2019年四川省广安市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c＝0④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象的性质、二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．∴abc＜0．故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a．∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c＝﹣3a，∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，故②正确；③∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，而b＝﹣2a，∴c ＝﹣3a ，∴3a +c ＝0．故③正确；④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x 轴的另一交点坐标是（3，0）．∴当y ＞0时，﹣1＜x ＜3故④正确．综上所述，正确的结论有4个．故选：D ．2. (2019年天津市)二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，0≠a ）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当x=21-时，与其对应的函数值0>y ，有下列结论：①0>abc ；② - 2和3是关于x 的方程t c bx ax =++2的两个根；③3200<+<n m 。

其中，正确结论的个数是（ ） A.0 B.1 C. 2 D.3【考点】二次函数的性质【解答】由表格可知，二次函数c bx ax y ++=2过点（0，-2），（1，-2）， ∴对称轴为21210=+=x ，c= - 2, 由图可知，0,0,0<<>c b a ，∴0>abc ，所以①正确； ∵对称轴21=x ，∴212=-a b ，∴a b -=， ∵当21-=x 时，0>y ，∴022141>--b a ，022141>-+a a ， ∴38>a ； ∵二次函数c bx ax y ++=2过点（-1，m ），（2，n ），∴m=n ，当1-=x 时，m=a-b+c=a+a-2=2a-2，∴m+n=4a-4，∵38>a ，∴32044>-a ，∴③错误.故选C. 3. （2019年山东省德州市）若函数y =与y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y =kx +b 的大致图象为（ ）A. B.C. D.【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知k ＜0，根据二次函数的图象确知a ＞0，b ＜0，∴函数y=kx+b 的大致图象经过二、三、四象限，故选：C ．4. （2019年山东省济宁市）将抛物线y ＝x 2﹣6x +5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝（x ﹣4）2﹣6B ．y ＝（x ﹣1）2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣2D ．y ＝（x ﹣4）2﹣2【考点】了二次函数图象的平移【解答】解：y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2．故选：D ．5. （2019年山东省青岛市）已知反比例函数y ＝的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2﹣2x 和一次函数y ＝bx +a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】二次函数、一次函数、反比例函数的图象与系数的关系【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．故选：C．6. （2019年四川省资阳市）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0【考点】二次函数性质【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1，故选：C．7. （2019年河南省）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4【考点】二次函数的性质【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝4；故选：D．8. （2019年浙江省衢州市）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）【考点】二次函数y=a（x-h）2+k的性质【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.9. (2019年浙江省温州市)已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2【考点】二次函数的最值问题【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．10. （2019年内蒙古赤峰市）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）【考点】二次函数的性质【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），①∵a＞0，∴b＜0；∴①错误；②当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0；②正确；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；∴③正确；④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3∴④正确；故答案为②③④．11. （2019年甘肃省）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤【考点】二次函数的性质【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．12. （2019年湖北省鄂州市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；②当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵，∴b＝﹣2a，把b＝﹣2a代入a﹣b+c＞0中得3a+c＞0，所以②正确；③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b，∵a＞0，c＞0，﹣b＞0，∴（a+c）2＜（﹣b）2，即（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a+b+c，∴a+b+c≤am2+mb+c，即a+b≤m（am+b），所以④正确．故选：D．13. （2019年湖北省随州市）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c=0；③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【考点】二次函数的性质【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵b=-2a，∴a+b=a-a=0，∵c＞0，∴a+b+c＞0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∴ac-b+1=0，所以③错误；∵A（-c，0），对称轴为直线x=1，∴B（2+c，0），∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确；故选：B．14. （2019年内蒙古呼和浩特市）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象性质、一次函数的图象性质【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．15. （2019年内蒙古通辽市）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的图象性质【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即a﹣b≤m（am+b），故④错误；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：A．16. （2019年西藏）把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y ＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数的图象性质【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x ﹣1）2+1的图象．故选：C．二、填空题1. （2019年湖北省荆州市）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【考点】二次函数的性质【解答】解：y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．2. （2019年山东省济宁市）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B （3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．【考点】二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数与不等式【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．3. （2019年四川省达州市）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确判断的序号是．【考点】二次函数的性质【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：，故此小题结论正确；故答案为：①③④．4. （2019年广西贺州市）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y ＞0，正确的是（填写序号）．【考点】二次函数的性质【解答】解：根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；把x＝﹣1代入函数关系式y＝ax2+bx+c中得：y＝a﹣b+c，由抛物线的对称轴是直线x＝1，且过点（3，0），可得当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，故②错误；∵b＝﹣2a，∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即：3a+c＝0，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．5. （2019年甘肃省天水市）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，若M＝4a+2b，N＝a﹣b．则M、N的大小关系为M N．（填“＞”、“＝”或“＜”）【考点】二次函数的性质【解答】解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，M﹣N＝4a+2b﹣（a﹣b）＝4a+2b+c﹣（a﹣b+c）＜0，即M＜N，故答案为：＜6. （2019年甘肃省武威市）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．【考点】二次函数的解析式【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．7. （2019年辽宁省大连市）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB．AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ 平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为．【考点】二次函数的性质、待定系数法、一元二次方程的解【解答】解：当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣2，0）；当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝2时，﹣x2+x+2＝2，解得：x1＝0，x2＝2，∴点D的坐标为（2，2）．设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（﹣2，0），D（2，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AD 的解析式为y ＝x +1．当x ＝0时，y ＝x +1＝1，∴点E 的坐标为（0，1）．当y ＝1时，﹣x 2+x +2＝1，解得：x 1＝1﹣，x 2＝1+，∴点P 的坐标为（1﹣，1），点Q 的坐标为（1+，1）， ∴PQ ＝1+﹣（1﹣）＝2．故答案为：2． 三、解答题 1.（2019年安徽省）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点.（1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y=ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W=OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值.【考点】二次函数的性质【解答】解：（1）由题意得，k+4=-2，解得k=-2，又二次函数顶点为（0,4），∴c=4 把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2.（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x 2+4，令y=m ，得2x 2+m-4=0. ∴4-m x=2±， 设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则124-m x x 2+ ∴W=OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m=1时，W 取得最小值7.2.（2019年北京市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a=+-与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a-，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【考点】二次函数图象的性质【解答】（1）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴令0=x ，得ay 1-=， ∴点A 的坐标为)1,0(a-，∵点A 向右平移两个单位长度，得到点B ，∴点B 的坐标为)1,2(a-； （2）∵抛物线过点)1,0(a A -和点)1,2(aB -，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线1220=+=x ，故对称轴为直线1=x （3）①当0>a 时，则01<-a ，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点. ②当0<a 时，则01>-a. 分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时,21≤-a 即 21-≤a 综上所述，当21-≤a 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 3.（2019年四川省广安市）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左 侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y ＝kx +n 与y 轴交于点C ，与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 的另一个交点为D ，已知A （﹣1，0），D （5，﹣6），P 点为抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 上一动点 （不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE +PF的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2或0或4（舍去0），则点P坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（﹣，2），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：﹣＝，2＝，解得：m＝0或﹣4（舍去0），故点P（﹣4，3）；故点P的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．4.（2019年重庆市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数图象的性质、待定系数法、数形结合的思想、直角三角形的中线性质【解答】解：（1）如图1∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵点D为抛物线的顶点，且＝＝1，＝＝﹣4∴点D的坐标为D（1，﹣4）∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴当m＝＝2时，NF取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y 轴于点P，∴sin∠OCK＝，直线KC的解析式为：y＝，且点F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：y＝∴点J（，）∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且|FJ|＝∴|HF+FP+PC|min＝；（2）由（1）知，点P（0，），∵把点P向上平移个单位得到点Q∴点Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G①如图2G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q' 则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝∴sin∠IOQ'＝＝＝，解得：|IO|＝∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；②如图3，当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）③如图4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）④如图5当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（﹣，﹣）5.(2019年天津市)已知抛物线c b c bx x y ,(2+-=为常数，0>b ）经过点A （-1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的点.（I ）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（II ）点D （b ，D y ）在抛物线上，当AM=AD ，m=5时，求b 的值；（III ）点Q （21+b ，Q y ）在抛物线上，当2AM+2QM 的最小值为4233时，求b 的值. 【考点】二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想【解答】（I ）∵抛物线c bx x y +-=2经过点A （-1，0），∴1+b+c=0,即c=-b-1 所以当b=2时，c= - 3 ,∴4)1(3222--=--=x x x y所以顶点坐标为（1，- 4）.（II ）由（I ）知，c= - b-1，则12---=b bx x y因为点（b ，D y ）在抛物线12---=b bx x y 上，所以112--=--⋅-=b b b b b y D∵b ＞0，∴ - b - 1＜0∴点D 在第四象限且在抛物线对称轴2b x =的右侧 如图，过点D 作DE ⊥x 轴，则E （b ，0）∴AE=b+1，DE=b+1即AE=DE∴在Rt △ADE 中，∠ADE=∠DAE=45°∴AD=2AE又∵AM=AD ，m=5∴b=1-23（III ）∵点Q （21+b ，Q y ）在抛物线12---=b bx x y 上， ∴432--=b y Q ，则点Q （21+b ，432--b ）在第四象限，且在直线x=b 的右侧, ∵2AM+2QM=2（22AM+QM ），可取点N （0，1）如图所示，过点Q 作直线AN 的垂线。

专题：二次函数之选择题专项一．选择题1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，①abc＜0；②b ﹣2a＝0；③a+b+c＜0；④4a+c＜2b；⑤am2+bm+c≥a﹣b+c，下列给出的结论，其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，与x轴交点为（3，0），（﹣1，0），则下列说法正确的有（）①a＞0 ②2a+b＝0③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0A．1B．2C．3D．43．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法正确的有①a＜0；②b＜0；③c＜0；④abc＜0；⑤a﹣b+c＞0；⑥a+b+c＞0⑦2a﹣b＝0（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝1，有下列四个判断：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝﹣1，x2＝3；②a﹣b+c＝0；③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3；④当OC＝3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是+3，上述四个判断中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（）①b＜1；②2a+b＞0；③a+c+1＞0；④a﹣b+c＜0；⑤最大值为3．A．②③④⑤B．②③④C．②③D．①②④6．如图，抛物线y＝（x﹣1）2﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点C作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点D，M为抛物线的顶点，P（m，n）是抛物线上点A，C之间的一点（不与点A，C重合），以下结论：①OC＝4；②点D的坐标为（2，﹣3）；③n+3＞0；④存在点P，使PM⊥DM．其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）2a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）5a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；（5）若方程a （x+1）（x﹣5）＝c的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b＝0，②x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，③△P AB周长的最小值是+3．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③9．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象，有下面四个结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③2a +3b ＞0；④c ﹣4b ＞0其中，正确的结论是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①③④10．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴x ＝，且经过点（2，0）下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若（﹣，y 1），（，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；⑤a +＞m （am +b ）（其中m ≠）其中说法正确的是（ ）A ．①②④⑤B ．③④C ．①③D ．①②⑤ 11．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，顶点A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③当1＜x ＜4时，有y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤代数式的值是6，其中正确的序号有（ ）A．①③④B．②④C．③⑤D．②④⑤12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论的有（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③⑤13．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③b2﹣4ac＞0；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③使y≤3成立的x的取值范围是x≥0；④一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点（A0，在A1的左边），顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与C2图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤12 16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论：①abc＞0②4a﹣2b+c＞0 ③2a﹣b＞0 ④3a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A．1 个B．2个C．3个D．4个17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2﹣4ac＞0：（2）2a＝b；（3）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）；（4）3b+2c＜0（5）点（﹣，y1）（﹣，y2）（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y2＜y3其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．518．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③a﹣b+c＜0；④b＝﹣2a．则其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．419．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中较小值记为M，若y1＝y2，记M＝y1＝y2；例如：当x ＝1时，y1＝0，y2＝2，y1＜y2，此时M＝0，下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M的值越大；③使得M＝﹣2的x值是±；④使得M大于1的x值不存在；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．420．函数y＝ax2+bx+c与y＝kx的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c+1＞0；③9a+3b+c+6＞0；④当1＜x＜3时，ax2+（b﹣k）x+c＜0．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案一．选择题1．解：①由图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，abc＜0，故①正确；②∵对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b﹣2a＝0，故②正确；③由图象可知：当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故③错误；④∵当x＝0时，y＜0，∴y＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故④正确；⑤当x＝﹣1时，y的值最小．此时，y＝a﹣b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以am2+bm+c≥a﹣b+c，故⑤正确．故①②④⑤正确．故选：A．2．解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；由图象知当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故③正确；由图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象位于x轴上方，即y＞0，故④正确；故选：C．3．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线交Y轴于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①②③④错误，∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故⑤错误，∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故⑥正确，∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故⑦正确，故选：B．4．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝﹣1，x2＝3，故①正确；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故②正确；③∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），∵|﹣2﹣1|＞|2﹣1|，∴y1＜y3＜y2，故③错误；④∵P为抛物线对称轴上的一个动点，点A与点B关于抛物线的对成轴对称，∴P A＝PB，∴P A+PC＝PB+PC，当B、P、C在一条直线上时，PB+PC＝BC，此时P A+PC最小，由于AC的长固定，则此时△PCA的周长最小，∵OA＝1，OC＝3，OB＝3∴AC＝，BC＝3，∴△PCA的周长最小值为+3．故④正确．故选：C．5．解：①由图可知，x＝﹣1时，y＝﹣2，所以，a﹣b+c＝﹣2，∴c＝﹣2﹣a+b，∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+b+（﹣2﹣a+b）＞0，∴b＞1，故①不正确；②∵二次函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝1的右边，∴﹣＞1，∴b＞﹣2a，2a+b＞0，故②正确；③∵a+b+c＞0，∴a+c＞﹣b，∴2a+2c＞a﹣b+c，∵a﹣b+c＝﹣2，∴2a+2c＞﹣2，∴a+c＞﹣1，∴a+c+1＞0；故③正确；④由①知：a﹣b+c＝﹣2，∴a﹣b+c＜0，故④正确；⑤∵当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，∴a+b+c＜3b﹣3a，∵b＞1，a＜0，∴b﹣a＞0，∴＜3，故⑤错误；综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选：B．6．解：将x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，故①错误．将y＝﹣3时，﹣3＝（x﹣1）2﹣4，解得：x＝0或x＝2，∴D（2，﹣3），故②正确．∵点P在AC之间，C（0，﹣3），∴n＞﹣3，∴n+3＞0，故③正确．∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4）．∴MC＝DM＝．又∵CD＝2，∴MC2+DM2＝CD2，∴∠CM D＝90°．∵点P和点C重合，∴PM不垂直于DM，故④错误．故选：B．7．解：（1）﹣＝2，∴4a+b＝0，所以此选项不正确；（2）由图象可知：当x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，9a+c＜3b，所以此选项不正确；（3）∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＝﹣4a，把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0，a+4a+c＝0，c＝﹣5a，∴5a+7b+2c＝5a+7×（﹣4a）+2×（﹣5a）＝﹣33a＞0，∴所以此选项正确；（4）由对称性得：点C（，y3）与（0.5，y3）对称，∵当x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣3＜﹣＜0.5，∴y1＜y2＜y3；所以此选项正确；（5）∵a＜0，c＞0，∵方程a（x+1）（x﹣5）＝c的两根为x1和x2，故x1＞﹣1且x2＜5，所以此选项不正确；∴正确的有2个，故选：B．8．解：①根据图象知，对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．故①正确；②根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故②正确；③如图所示，点A关于x＝1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，则△P AB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．∵B（0，3），A′（3，0），∴BA′＝3．即△P AB周长的最小值是3+．故③正确．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：A．9．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＜0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，所以②正确；∵x＝﹣＝，∴2a+3b＝0，所以③错误；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，把2a＝﹣3b代入得﹣6b+2b+c＞0，∴c﹣4b＞0，所以④正确．故选：C．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，所以③错误；∴c＝﹣2a，∴﹣2b+c＝2a﹣2a＝0，所以②正确；∵点（﹣，y1）到直线x＝的距离比点（，y2）到直线x＝的距离大，∴y1＜y2；所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＝时，函数值最大，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠），即a+b＞m（am+b）（m≠），所以⑤正确．故选：A．11．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正确；因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故②正确；由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1；故③错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根是x＝1，故④正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝3，∵B（4，0），对称轴x＝1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x＝4，或x＝﹣2，∴＝3×（4﹣2）＝6，故⑤正确；故选：D．12．解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④当x＝3时，函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故④错误；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．综上所述，②③⑤正确．故选：D．13．解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x＝1，则﹣＝1，2a+b＝0，故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②不正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④因为抛物线对称轴是：x＝1，B（4，0），所以抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故④不正确；⑤由图象得：当1＜x＜4时，有y2＜y1；故⑤正确；⑥∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根是x＝1，故⑥正确；则其中正确的有：①③⑤；故选：C．14．解：观察图形可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），所以二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确，当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确，观察图形可知，使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，故③错误，观察图象可知，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2，故④错误，故选：B．15．解：在抛物线y＝﹣x2+4中，令y＝0，得﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2∴D1（0，4），A0（﹣2，0），A1（2，0），∵将C1绕点A1旋转180°得到C2，∴顶点D2（4，﹣4），∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣4）2﹣4，令y＝0，得0＝（x﹣4）2﹣4，解得：x1＝2，x2＝6∴抛物线C2的对称轴是直线x＝4，A2（6，0）；∵x1，x2，x3均为正数，∴直线l必在x轴下方，且与抛物线C2交于P1，P2，∴P1，P2关于直线x＝4对称，∴x1+x2＝8∵P3在线段D1D1上，∴2≤x3≤4∴10≤x1+x2+x3≤12即10≤t≤12；故选：D．16．解：①∵由抛物线的开口向下知a＜0，∵对称轴位于y轴的左侧，∴a、b同号，即ab＞0．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0；故正确；②如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正确；③对称轴为x＝﹣＞﹣1，得2a＜b，即2a﹣b＜0，故错误；④∵当x＝1时，y＝0，∴0＝a+b+c＞a+2a+c＝3a+c，即3a+c＜0．故错误．综上所述，有2个结论正确．故选：B．17．解：（1）由抛物线与x轴有两个不同的交点知，b2﹣4ac＞0．故正确；（2）由抛物线的对称轴是直线x＝﹣1知，﹣＝﹣1，则2a＝b，故正确；（3）∵b＝2a，∴方程at2+bt+a＝0中△＝b2﹣4a•a＝0，∴抛物线y＝at2+bt+a与x轴只有一个交点，∵图中抛物线开口向下，∴a＜0，∴y＝at2+bt+a≤0，即at2+bt≤﹣a＝a﹣b．∴t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）故正确；（4）∵当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，且b＝2a，∴9a﹣3×2a+c＝3a+c＜0，∴6a+2c＝3b+2c＜0，故正确；（5）：①∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点（，y3）在抛物线上，∴根据抛物线的对称性质知：（﹣，y3）．∵﹣＜﹣＜﹣，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，∴y1＜y3＜y2．故错误；综上所述，正确的结论有4个．故选：C．18．解：由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，﹣＝1，∴abc＜0，b＝﹣2a，故①错误，④正确；∵函数与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③正确；所以正确的有③④共2个．故选：B．19．解：∵从图象可知：当x＞0时，y1＜y2，∴①错误；∵当x＜0时，x值越大，M值越大；，∴②正确；∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）（1，0），由图可知，x＜﹣1或x＞1时，M＝y1＝﹣x2+1，当M＝﹣2时，﹣x2+1＝﹣2，解得x＝，故③正确；∵由图可知，x＝0时，M有最大值为1，故④正确，故选：C．20．解：∵抛物线与x轴没有公共点，∴b2﹣4ac＜0，所以①错误；∵x＝1时，y＝1，∴a+b+c＝1，∴a+b+c+1＞0，所以②正确；∵x＝3时，y＝3，∴9a+3b+c＝3，∴9a+3b+c+6＞0，所以③正确；∵经过点（1，1）和点（3，3）的直线解析式为y＝x，即k＝1，∴当1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x，即ax2+（b﹣1）x+c＜0，所以④正确．故选：C．。