核反应堆物理分析习题答案第四章
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核反应堆物理分析习题答案第四章
第四章1.试求边长为a,b,c (包括外推距离)的长⽅体裸堆的⼏何曲率和中⼦通量密度的分布。设 有⼀边长a =b 0.5m,c=0.6m (包括外推距离)的长⽅体裸堆，L= 0.043m,
.=6 10~m 2
o ( 1)求达到临界时所必须的 k ：- ；( 2)如果功率为5000kW 〕f = 4.01m -1
， 求中⼦
通量密度分布。
其中：M 2 =L 2.
= 0.00248m 2
⼆ k ： ： -1.264
求出通量表达式中的常系数 0
只须2
_2 2
-2 2
2?设⼀重⽔⼀铀反应堆的堆芯k ：：=1.28,L =1.8 10 m,~1.20 10 m 。试按单群理 论，修正单群理论的临界⽅程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中⼦不泄
露⼏率。
解：对于单群理论:
解: 长⽅体的⼏何中⼼为原点建⽴坐标系，则单群稳态扩散⽅程为：D 俘⼸ +专)—
E a ? + y 0 :x :y :z
边界条件： (a/2,y,z) (x,b/2,z) = (x, y,c/2) =0(以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺⼨已包含了外推距离) 因为三个⽅向的通量拜年话是相互独⽴的，利⽤分离变量法：*(x, y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
V 2X V 2Y V 2Z a — 1 将⽅程化为：⼀
X Y Z
设：空“竺⼀B y ,空X
Y y
Z
L 2⼀ B ；
想考虑X ⽅向，利⽤通解：X(x) = AcosB x X ? Csin B x X
a
n 兀
代⼊边界条件：Acos(B x ⼆)=0= B nx,n =1,3.5,...-
2
a
i
i J[
同理可得： (x, y,z)⼆ 0cos(-x)cos(—y)cos(-z)
a a
a
JI
B
1x :
a
其中0是待定常数。(1) 2
其⼏何曲率：B g
应⽤修正单群理论， 临界条件变为: 2 2(_)2
=106.4m ， c
k ：： -1 _ B 2
M
2 g
(2) JI
JI
2、3
P = E f l ⽡f ?dV = E f ￡ f % J ；cos(—x)dx J b cos(「y)dy J c 2
cos(— z)dz = E f 》f %abc (⼆)
~2
-2 b P(2)3-■ '0
1.007 101
Ef j abc
8m_g — 1
材料曲率1 1
在临界条件下：2 2
2 2 ⼀
0.7813
1 B ：L 2
1 B ；L 2
(或⽤⼆=1 k ：：)
2 2 2
对于单群修正理论： M =L ：；r =0.03mBM ⼆等1 = 9.33m 谡
1 1
在临界条件下：2 2
2 2
= 0.7813
1 + B ：M 2
1+B ：M 2
(注意：这时能⽤-I =1 k-,实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会 对不泄露⼏率产⽣影响，但此时的⼏何曲率、⼏何尺⼨已发⽣了变化，不 再是之前的系统
了。)2 4.设有圆柱形铀-⽔栅装置，R=0.50⽶，⽔位⾼度H=1.0⽶，设栅格参数为：k -=1.19 , L=6.6 -4
2
-2
2
x 10⽶，T =0.50 x 10⽶。(a )试求该装置的有效增殖系数 k ; (b )当该装置恰好达临 界时，⽔位⾼度H 等于多少？ (c)设某压⽔堆以该铀-⽔栅格作为芯部，堆芯的尺⼨为 R=1.66 ⽶，H=3.50⽶，若反射层节省估算为
S r =0.07⽶，S H =0.1⽶。试求反应堆的初始反应性 p以及快中⼦不泄漏⼏率和热中⼦不泄漏⼏率。O )已知了反应堆的⼏何尺⼨
修⽌单胖 临界理论
有效增殖系数k 弼l+(r+r)^
(b)
已知系统达临界，k efr =1
临界理论对于圆柱形裸堆-1
⼏何曲率％
临界时,
⼏何曲率⼆材料曲率B ? = B ; + B ： =
f 2405?
⼰经有
等效裸堆R=R + & H^H + 23H
5. ⼀个球壳形反应堆，内半径为
R ,外半径为R 2，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的
临界条件为：tan BR i - BR i tan BR 2
: 1 + BR , tan BR 1
解答：以球⼼为坐标原点建⽴球坐标系，单群稳态扩散⽅程：B
i. lim J =0;
ii.
(R 2)=0
(如果不R ,包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖) &,、
" cosBr 丄⼇ sin Br
球域内⽅程通解：(rH A
C r
r
i 可得：
cos BR 1 A sin BR 1 sin BR 1 cosBRJ - -D' r z R
=AB
- - A ，⼀ CB 丄⼀C ，=0 R 1 R R R
c a BR-i cos BR -sin BR 1 A tan BR - BR
由条件 lim—Ri =C = A 1
1
1
= —A 1
- BR sin BR +cosBR 1 BR tan BR ,⼗ 1
由条件ii 可得：(c)
反射层尺⼨￥堆芯尺⼬|等效裸堆的B”
zx
快中⼦不 泄漏⼏率 p=—!—
热中⼦不 泄漏⼏率1
加装反射层后的k 曲1+(⼚+巧罠
加装反射层后的反薩性P
啰⼀1-2 C
~2 .r
r
边界条件:tan BR -BR
由此可见，tan BR 2- -，证毕。 BR tan BR +-
7?—由纯235U ⾦属(
J =18.7 -03kg/m 3)组成的球形快中⼦堆，其周围包以⽆限厚的纯
238U C 、=19.0 103kg/m 3)，试⽤单群理论计算其临界质量，单群常数如下： 23U :；「f =1.5b,；「a =1.78b,'L = 35.4m',v=2.51; 238U f = 0,；
「a = 0.18b,'tr = 35.4m‘。 解：以球⼼为左边原点建⽴球左边系，对于 设其分界⾯在半径为 R 处：
空⼝5 U-235和U-238分别列单群稳态扩散⽅程, U -235: ⽅程1 U -238:边界条件:
⼧j 8L
8
i. lim 5 :::::
5
iii. D 5 ------
cr
⽅程2i
i . 5
(R) = 8(R)
令B 2k ：
：-1 L 5 ⽅程 通解: -R
iv
. lim 8 = 0
r ⼚
(.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于⼏何曲
率)
，球域内,、 "cosBr - sin Br 5
(r) = A
r C
5
r
A
⼩.
sin Br
i 可知A =0，所以：5(r)⼆C r
丄exp(_r/L 8) 球域内⽅程2通解：8(r)⼆⾎
--r
,
exp(_r / L,)
iv 可知，所以：8(r^ A 8
-
由条件
由条件
由条件 ii 可
得:
由条件 iii 可
得:D 5C(B cosBR
exp(r/ L s )
C 8 r
si n BR ‘exp (-R/L 8) ,exp(-R/L 8)
C A
- ⼀ C ⼆ A -
R R sin BR
sin BR
)⼆ D B A(-丄-2)exp( -卫)
L B R R 2
L B L 8R R
(R 1)exp(- R ) L 8
L 8
C A
D 5 sin BR —BRcosBR
所以(由题⽬已知参数
、. 、. 1 ' tr,5 ⼆ tr,8= D 5 ⼆3\r,5
3^,8
(占 1)exp(-￥)
L B
A
sin BR - BRcosBR 卫 A exp(-R/ ◎= sin BR —BRcosBR =(旦 1)sin BR
sinBRL 8
D 5
L B
即：-BRcosBRsin BR
L
8
cosBR ⼀丄sinBR ⼆
arccot ^
1/BL B
)
BL ,
代⼊数据:N 8 N 8
1° ?5N
A
28 3
4.79 10 m M 5
10「8 N A 28 3
4.81 10 m
k *'
；：M 8
V ⼆ f ,5 ___ 1
V 5
—=2.115
⼆ a,5=1.31 10；m 2
B
3
⼆?a,5 ⼆f,5
=29.17m
⼆1——=—0.1043m
3 ' a,5 ' f,5
R = arccot(_
1/BL 8)= " arctan(1/BL 8)
= 0.06474m
B 4 3
m=沖5 =⼆
5 R 3 = 21.3kg 3 8?试证明有限⾼半圆形反应堆中⼦通量密度分布和⼏何曲率
(r, z 」)=AJ 1(X 1r )sin J cos( z
) R H
B 2 -(X 1)2 B g -(g) 其中：X 1 =3.89是J 1(
xJ 的第⼀个零点，即。 证明：(1)书上图4-8所⽰的柱坐标系下， ⼏何曲率与材料曲率相等)： 兀 2 (H
)
单群稳态扩散⽅程可写为(临界条件下,\ 2
J = -B ： ,(0 汀乞 R,0 "「，-H /2 乞Z 乞 H / 2)
.r r :r r
z
边界条件(不考虑外推距离)：i. ' r 出=r 凶=0IL 才==0
III. 出/2= z=_H/2 = 0
(注意，这⾥不能⽤线性微分⽅程解的存在唯⼀性定理： 如果a j (t)(i=1,2,
)，f(t)都是区间Ia,b ］上的连续函数，则对于任
⼀ t 0 ? (a, b)及任意的 x?,x 0°,x 02),…x 0n ?,⽅程：x (n) ■ a 1x (n ^ ⼇ a n4/ ■
a n x
存在唯⼀解,(n4) 0
=f(t)
X h ⼙(t)
定义于区间l-a,b 1上，且满⾜初值条件 ⽽此扩散⽅程并⾮线性微分⽅程。)
对于表达式： (r,⼄旳=AJj^jsin ⼆ cos (—^,⼈=3.89R H
不难证明其满⾜上述全部三个边界条件。(J 1(0) = J 1(3.89) =
