核反应堆物理分析习题答案
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核反应堆物理分析习题答案
第四章1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长⽅体裸堆的⼏何曲率和中⼦通量密度的分布。设有⼀边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长⽅体裸堆，0.043,L m =42610m τ-=?。
（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为15000, 4.01f kW m -∑=，求中⼦通量密度分布。
解：长⽅体的⼏何中⼼为原点建⽴坐标系，则单群稳态扩散⽅程为：222222()0a a D k x y z
φφφ
φφ∞++-∑+∑= 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===
（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺⼨已包含了外推距离） 因为三个⽅向的通量拜年话是相互独⽴的，利⽤分离变量法：(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=
将⽅程化为：22221k X Y ZX Y Z L
∞-++=- 设：222
222,,x y z X Y Z B B B X Y Z
=-=-=- 想考虑X ⽅向，利⽤通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+
代⼊边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a aππ
=?==?=
同理可得：0(,,)cos()cos()cos(
)x y z x y z a
a
a
π
π
π
φφ=
其中0φ是待定常数。
其⼏何曲率：22222()()()106.4g B m a b c
πππ
-=++=（1）应⽤修正单群理论，临界条件变为：2
21g
k B M
∞-= 其中：2220.00248M L m τ=+=
1.264k ∞?=
（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ3
222002
2
2
2
cos()cos()cos()()a b
c a b c f f f f f f V
P E dV E x dx y dy z dz E abc a b c π
π
πφφ
φπ
---=∑=∑=∑??
3
182102() 1.00710f f P m s E abc
π
φ--?=
=?∑
2.设⼀重⽔—铀反应堆的堆芯22222
1.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==?=?。试按单群理
论，修正单群理论的临界⽅程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中⼦不泄露⼏率。 解：对于单群理论：
在临界条件下：222211
0.781311g m B L B L
Λ=
==++ （或⽤1k ∞Λ=）
对于单群修正理论：2220.03M L m τ=+=22
219.33M k B m L -∞-=
= 在临界条件下：222
2
11
0.781311g m B M B M Λ===++ （注意：这时能⽤1k ∞Λ=，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露⼏率产⽣影响，但此时的⼏何曲率、⼏何尺⼨已发⽣了变化，不
再是之前的系统了。）4. 设有圆柱形铀-⽔栅装置，R=0.50⽶，⽔位⾼度H=1.0⽶，设栅格参数为：k ∞=1.19，L 2=6.6
×10-4⽶2，τ=0.50×10-2⽶2
。（a ）试求该装置的有效增殖系数k ；（b ）当该装置恰好达临界时，⽔位⾼度H 等于多少？（c ）设某压⽔堆以该铀-⽔栅格作为芯部，堆芯的尺⼨为R=1.66⽶，H=3.50⽶，若反射层节省估算为δr =0.07⽶，δH =0.1⽶。试求反应堆的初始反应性ρ以及快中⼦不泄漏⼏率和热中⼦不泄漏⼏率。
5.⼀个球壳形反应堆，内半径为1R ,外半径为2R ，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为：
11
211
tan tan 1tan BR BR BR BR BR -=
+
解答：以球⼼为坐标原点建⽴球坐标系，单群稳态扩散⽅程：22
22B r r r
φφφ??+=-?? 边界条件：i. 1
lim 0;x R J →=
ii. 2()0R φ=
（如果不2R 包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖） 球域内⽅程通解：cos sin ()Br Brr A C
r r
φ=+ 由条件i 可得：
111111
22
1111cos sin sin cos lim 0r R r R BR BR BR BR J D AB A CB C R R R R φ=→=-? =---=
11111
11111cos sin tan sin cos tan 1
BR BR BR BR BR C A A BR BR BR BR BR --?==-++由条件ii 可得：
由此可见，11211tan tan tan 1
BR BR BR BR BR -=
+，证毕。
7.⼀由纯235U ⾦属3
3
(18.710/)kg m ρ=?组成的球形快中⼦堆，其周围包以⽆限厚的纯 238
U 33(19.010/)kg m ρ=?，试⽤单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
235
12381: 1.5, 1.78,35.4, 2.51;:0,0.18,35.4f a tr f a tr U b b m v U b m σσσσ--==∑====∑=。
解：以球⼼为左边原点建⽴球左边系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散⽅程，
设其分界⾯在半径为R 处： 255251
235:k U L φφ∞--?=- ⽅程1 28828
1
238:U L φφ-?=
⽅程2 边界条件：i. 50lim r φ→<∞ ii. 58()()R R φφ= iii. 58
5
8r R r R D D r r
φφ==?? = ?? iv. 8lim 0r φ→∞= 令2
25
1
k B L ∞-=
（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于⼏何曲率），球域内⽅程1通解：555cos sin ()Br Br
r A C r r
φ=+ 由条件i 可知50A =，所以：5sin ()Br
r C r
φ=
球域内⽅程2通解：88888exp(/)exp(/)
()r L r L r A C r r φ-=+ 由条件iv 可知,所以：888exp(/)
()r L r A rφ-=
由条件ii 可得：88exp(/)exp(/)sin sin R L R L BRC A C A
R R BR
--=?= 由条件iii 可得：
88
8582885(
1)exp()
cos sin 11()()exp()sin cos R R D L L BR BR R
D C B D A C A R R L R R L D BR BR BR
+--=---?=-所以（由题⽬已知参数,5,858,5,8
11
33tr tr tr tr D D ∑=∑?=
==∑∑）
888858
(
1)exp()exp(/)sin cos (1)sin sin cos sin R R L L D R L R A A BR BR BR BR BR BR BR D BR L +--=?-=+-即：8
cos sin R
BR BR BR L -=
88cot(1/)1
cos sin arc BL BR BR R BL B
-=-?= 代⼊数据：
328358510 4.7910A
N N m M ρ--==?
3283888
10 4.8110A
N N m M ρ--==?
,5,5
,5,5
232
5,5,5218883555 2.1151 1.3110329.170.1043cot(1/)/2arctan(1/)
0.064744
21.33
f f a a a f v v k L m B m L m
arc BL BL R m
B B
m V R kg
σσπρρπ∞--∑===∑==?∑∑====-+=
====?=
8.试证明有限⾼半圆形反应堆中⼦通量密度分布和⼏何曲率
11(,)(
)sin cos()x r z r z AJ R H
πφµθ= 2
221()()g x B R H
π=+
其中：1 3.89x =是11()J x 的第⼀个零点，即。
证明：（1）书上图4-8所⽰的柱坐标系下，单群稳态扩散⽅程可写为（临界条件下，
⼏何曲率与材料曲率相等）：2222222211,(0,0,/2/2)g B r R H Z H r r r r z
φφφφφθπθ+++=-≤≤≤≤-≤≤ 边界条件（不考虑外推距离）：i. 00r R r φφ== = =
II. 00θθπφφ== = = III.
/2/20z H z H φφ==- = =
(注意,这⾥不能⽤线性微分⽅程解的存在唯⼀性定理：
如果()(1,2,,),()i a t i n f t =/都是区间[],a b 上的连续函数，则对于任
⼀0(,)t a b ∈及任意的(0)(1)(2)(1)0000,,,,n x x x x -⽅程：
()()11()n n n n x a x a x a x f t -'++++=
存在唯⼀解()x t ?=
定义于区间[],a b 上，且满⾜初值条件()()
00()(0,,1),k k x t x k n ==-
⽽此扩散⽅程并⾮线性微分⽅程。） 对于表达式：111(,,)()sin cos(), 3.89x r z
r z AJ x R H
