【高中数学】1.3.1空间直角坐标系 1.3.2 空间向量运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1 空间直角坐标系

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

基础过关练

题组一 空间向量的坐标表示

1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为( )

A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3)

C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)

2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为( )

A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1)

C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)

3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 ,𝐴1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 .

题组二 空间向量线性运算的坐标表示

4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于( )

A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)

5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( )

A.(-1,2,5) B.(-1,4,5)

C.(1,2,5) D.(1,4,5)

6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ= .

7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是 .

8.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:

(1)𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ );(2)𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).

题组三 空间向量数量积的坐标表示

9.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( )

A.-1 B.1 C.0 D.-2

10.直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧棱为3,M,N分别为A1C1,BC的中点,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )

A.2 B.-2 C.√10 D.-√10

11.(2020重庆高二上期中)如图,建立空间直角坐标系Oxyz.单位正方体ABCD-A'B'C'D'的顶点A位于坐标原点,其中B(1,0,0),D(0,1,0),A'(0,0,1).

(1)若E是棱B'C'的中点,F是棱B'B的中点,G是侧面CDD'C'的中心,分别求出向量𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标;

(2)在(1)的条件下,分别求出(𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ )·𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ,|𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ |的值.

12.已知向量a=(2,1,-2),c=(-1,0,1),向量b同时满足下列三个条件:①a·b=-1;②|b|=3;③b⊥c.

(1)求a+2c的模;

(2)求向量b的坐标.

题组四 利用空间向量的坐标运算解决平行和垂直问题

13.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则x+y的值为( )

A.-1 B.1 C.2 D.3

14.(2020山西大同第一中学高二上期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )

A.MN与CC1垂直

B.MN与AC垂直

C.MN与BD平行

D.MN与A1B1平行

15.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,z),若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ = .

题组五 利用空间向量求夹角和距离(长度)

16.在空间直角坐标系中,已知M(-1,0,2),N(3,2,-4),则MN的中点P到坐标原点O的距离为( )

A.√3 B.√2 C.2 D.3

17.(2020四川绵阳中学高二上期中)空间直角坐标系中的点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A'与点B(-1,1,5)间的距离为( )

A.6 B.2√6

C.4√3 D.2√14

18.(2020北京十二中高二上期中)已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).

(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;

(2)若𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,a,1),且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =1,求a的值,并求此时向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值.

19.(2020山西太原第五中学高二上月考)如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.

(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|的长度;

(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.深度解析

能力提升练

题组一 空间向量运算的坐标表示

1.(2020山东泰安第一中学高二上期末,)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若{a,b,c}不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为( )

A.0 B.357 C.9 D.657

2.(2020北京东直门中学高二上期中,)已知O为原点,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,点Q的坐标为( )

A.(12,34,13) B.(12,23,34)

C.(43,43,83) D.(43,43,73)

3.(多选)(2020陕西西北大学附属中学高二上期中,)设几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,A1C与B1D相交于点O,则( )

A.𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =a2 B.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2a2

C.𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a2 D.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴1O⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a

4.(多选)()已知向量a·b=b·c=a·c,b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是( )

A.(a·b)·c=b·c B.(a+b)·c=a·(b+c)

C.(a+b+c)2=a2+b2+c2 D.|a+b+c|=|a-b-c|

5.()已知点P是棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD的底面A1B1C1D1上一点(包括边界),则𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

的取值范围是

.

题组二 利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题

6.(2020江苏启东中学高二上期中,)已知两个向量a=(2,-1,3),b=(4,m,n),且a∥b,则m+n的值为 (深度解析)

A.1 B.2 C.4 D.8

7.()在三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是( )

A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD

B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD

C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD

D.不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直

8.()已知a=(3,2λ-1,1),b=(μ+1,0,2μ).若a⊥b,则μ=

;若a∥b,则λ+μ= .

9.(2020浙江绍兴高二上期末阶段测试,)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1,AA1⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,点E在线段A1D上,且A1E=2ED.

(1)证明:BD1⊥AC;

(2)证明:BD1∥平面ACE.

题组三 利用空间向量的坐标运算解决长度和夹角问题

10.(2020安徽芜湖高二上期末,)如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为(深度解析)