1.3.2空间向量运算的坐标表示

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

素养目标·定方向

课程标准

学法解读

1．掌握空间向量的线性运算的坐标表示．

2．掌握空间向量的数量积的坐标表示． 1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)

2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)

3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)

必备知识·探新知

知识点1 空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有

向量运算 向量表示 坐标表示

加法 a＋b a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__

减法 a－b a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__

数乘 λa λa＝__(λa1，λa2，λa3)__，λ∈R

数量积 a·b a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__

思考1：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联系？

提示：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

知识点2 空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有

当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

|a|＝a·a＝a21＋a22＋a23； cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23．

知识点3 空间两点间的距离公式

设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|P1P2→|＝__x2－x12＋y2－y12＋z2－z12__．

思考2：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1 空间直角坐标系

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

基础过关练

题组一 空间向量的坐标表示

1.在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于平面Oyz对称的点的坐标为( )

A.(1,-2,-3) B.(-1,-2,3)

C.(-1,2,3) D.(-1,2,-3)

2.空间直角坐标系中,已知A(1,-2,3),B(3,2,-5),则线段AB的中点坐标为( )

A.(-1,-2,4) B.(-2,0,1)

C.(2,0,-2) D.(2,0,-1)

3.在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,则在空间直角坐标系中(O为坐标原点),𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 ,𝐴1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是 .

题组二 空间向量线性运算的坐标表示

4.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二上期中)已知O为原点,a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于( )

A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)

5.已知向量a=(1,2,3),b=(-1,0,1),则a+2b=( )

A.(-1,2,5) B.(-1,4,5)

C.(1,2,5) D.(1,4,5)

6.(2020湖南长沙明德中学高二上月考)若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面,则λ= .

7.(2020湖南师范大学附属中学高二上期中)已知a=(x,1,3),b=(-1,3,9),若a与b共线,则x的值是 .

8.已知O是坐标原点,且A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),求适合下列条件的点P的坐标:

(1)𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ );(2)𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).

§3.向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)（理科）第 1 页 共 4 页 远东二中导学稿 ★ 高二数学选修2-1 ★ 总计第10期

§3.向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)

主备：李建章 审核: 刘利娟 班级: 小组： 学生姓名：

【学习目标】

1.了解空间向量基本定理及其意义；

2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量.

【学习重点】掌握空间向量的坐标表示，并会选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量.

【学习难点】选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量.

【自主预习】

（一）旧知回顾

1.平面向量基本定理: 如果1e、2e是同一平面内的 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2 ,使a= . 把不共线向量2,ee叫做表示这一平面内所有向量的 .

2.我们分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i ,j作为基底，对于平面上的任一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a= ，我们把实数对（x，y）叫做a的坐标，记作 .

（二）自主探究 阅读课本P33----35, 填空:

1.标准正交基: 在给定的空间直角坐标系中，i ,j, k分别为x轴，y轴，轴正方向上的单位向量，对于空间内的任一个向量a，有且只有一组三元有序实数),,(zyx，使得a= ，我们把 叫做a的 .

2. 向量的坐标：),,(zyx叫作 ，记作a= .

一个空间向量的坐标等于其

及第中学高二数学导学案 编制人: 审核 : 审批: 編号：46

课题：3.1.4空间向量的直角坐标运算

【学习目标】1．了解空间向量坐标的定义．

2．掌握空间向量运算的坐标表示．

3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角

【重难点】重点： 向量的坐标运算，夹角公式， 距离公式，平行和垂直的条件

难点： 向量坐标的确定，公式的应用

一.自主学习

1.建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量,ij,k这三个垂直的向量构成空间向量的一个基底________,这个基底叫做_________基底，单位向量 ,ij,k都叫做______向量.

2.在空间直角坐标系Oxyz中，已知任意向量a，依据空间向量分解定理，存在唯一实数组321,,aaa，使得a=_________________.a可记作__________.

3.设a=321,,aaa，b=321,,bbb，则

a+b=_____________ a—b=_____________

λa=______________ a·b=______________

4.在空间直角坐标系Oxyz中,Pzyx,,,则op=____________

设A111,,zyx,B222,,zyx，则AB=_______=_________，也就是说__________________

1. 空间向量平行和垂直的条件，设a=321,,aaa，b=321,,bbb，

（1）a∥b（b≠0）___________________

(2) ab___________________________

5.向量的长度、两向量的夹角公式 ，设a=321,,aaa，b=321,,bbb

（1）|a|=_______=_____________