病态线性方程组算例分析

第35卷第9期 高师理科学刊 Vol. 35 No.9

2015年 9月 Journal of Science of Teachers′College and University Sep. 2015

文章编号：1007-9831（2015）09-0067-03

病态线性方程组算例分析

雍龙泉

（陕西理工学院数学与计算机科学学院，陕西汉中 723001）

摘要：病态线性方程组是数值分析的一个重要研究课题．给出了多个病态线性方程组的算例，讨

论了其病态特性，介绍了求解病态线性方程组的预处理方法．

关键词：数值分析；病态线性方程组；条件数；预处理

中图分类号：O241∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2015.09.020

Example analysis forill-conditionedlinearsystemofequations

YONG Long-quan

（School of Mathematics and Computer Science，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，China）

Abstract：Studying ill-conditionedlinearsystemofequations is an important research topic in numerical

analysis．Some ill-conditionedlinearsystemofequations examples wereshown，and their characteristics were

analyzed．Finally preconditioning method was given．

Key words：numerical analysis；ill-conditionedlinearsystemofequation；conditionnumber；preconditioning

考虑线性方程组Axb，如果向量b或系数矩阵A的微小变化会引起方程组解发生很大的变化，则称

Axb为病态方程组．方程组的系数矩阵A的条件数1condAAA（本文采用2范数）刻画了方程

组的性态，若条件数较大，则方程组的病态性越严重[1-4]．

算例1 考虑方程组Axb，这里

1

21.0010.9992, , 0.9991.0012x

xAxb （1）

验证可知T=1, 1x是Axb的唯一解．

采用Matlab函数计算系数矩阵的条件数和求解方程组，得3cond()1.00010A，因此该方程组具有病

态性．

矩阵A保持不变，对b做微小扰动T0.001, 0.001b，计算得45.00010b

b，则扰动后方程

组的解为T1.5, 0.5x，于是=0.5xxx

xx，这表明解的相对误差是右端项相对误差的1000倍．向

量b保持不变，对A做微小扰动0.0010.001

00.001A，计算得48.090 210A

A，则扰动后的方程组

收稿日期：2015-05-04基金项目：国家自然科学基金项目（11401357）；陕西理工学院教学改革研究项目（SLGYJG1416）作者简介：雍龙泉（1980-），男，陕西洋县人，副教授，博士，从事最优化理论与算法研究．E-mail：********************68 高师理科学刊 第35卷

的解为T0, 2x，于是=1xxx

xx，表明相对误差放大了约1200倍，与原来的T1, 1x相对改

变量就更大了．

算例2 考虑方程组Axb，这里

1

2

3

41078732

756523, , 8610933

7591031x

x

x

xAxb （2）

验证可知，T1, 1, 1, 1x是该问题的唯一解．

采用Matlab函数计算系数矩阵的条件数和求解方程组，得3cond()2.984 110A．

矩阵A保持不变，对b做微小扰动T0.1, 0.1, 0.1, 0.1b，计算得0.003 3b

b，则扰动后的

方程组的解为T9.2, 12.6, 4.5 1.1x，，于是=8.198 5xxx

xx，表明相对误差放大了约2500

倍．向量b保持不变，对A做微小扰动000.10.2

0.080.0400

00.020.020

0.010.0100.02A，计算得0.007 4A

A，则

扰动后的方程组的解为T5.792 2 12.018 8 1.565 6 2.565 5x，，，，于是=6.644 2xxx

xx，表明

相对误差放大了约900倍，与原来的T1, 1, 1 1x，相对改变量就更大了．

算例1~2表明，问题的病态性对近似求解带来很大的困难，病态程度越严重，求解困难就越大．

算例3 考虑方程组Axb，这里

1111121011, , 21+101x

x

Axb （3）

验证可知，T*11=1, 110x是该问题的精确解．

采用Matlab函数计算系数矩阵的条件数和求解方程组，得22cond()2.00010A，这表明方程组Axb

具有严重的病态性，因此一般的直接法和迭代法会有较大的误差，甚至严重失真．所以，在解该类病态方

程组时，有必要先改善系数矩阵的条件数，即进行预处理，通过预处理降低矩阵的条件数．

算例4 考虑方程组Axb，这里

1

2666631291

3 0002 0001 000, , 2 000

410310210310x

x

xAxb （4）

验证可知，T0.166 67, 1.333 3, 0.166 67x是该问题的唯一解．

采用Matlab函数计算系数矩阵的条件数和求解方程组，得10cond()1.920 110A，这表明方程组

Axb具有严重的病态性（若将33a改为63/10，3b改为64/10，扰动量均为61/10量级，则扰动后的方程

组的解为T9.500 0, 16.500 0, 2.500 0x，这充分表明该方程组为病态方程组）．

对方程组（4）做预处理[5]．令36diag1, 10, 10P，方程组Axb两边同乘以P，即得

PAxPb （5）

其中：129

321

432PA；1

2

3Pb，且此时cond()87.354 2cond()PAA，求解方程组（5），则得第9期 雍龙泉：病态线性方程组算例分析 69

T0.166 67, 1.33 33, 0.166 67x．这充分表明，经过预处理后的方程组PAxPb是良态的．

算例5考虑方程组Axxb，这里

1

221.000 000 000 012.000 000 000 01, , 122x

xAxb （6）

验证可知，T*=1, 1x是该问题的唯一解．在实际计算中，常选取kkAxxb作为停止准则．

如果取T=2, 0x，则有T11=1.000 000 082 740 37110, 0Axxb，从而=Axxb

111.000 000 082 740 37110．

若选取8=110，则有11=1.000 000 082 740 37110<Axxb．

此时，虽然满足停止准则，但是x不是该问题的解，称此类问题为病态绝对值方程问题．如何求解此

类病态问题，值得深入研究．

在对病态方程组解法研究中，一方面要利用病态方程组的特点和成因，尽量避免出现病态问题[6]；另一方面要寻求更好的预处理方法，最大程度地降低方程组的条件数，再结合其它算法进行求解．

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