第２９卷第５期
２０１３年１０月 大 学 数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２９。№．５
０ｃｔ．２０１３
病态线性方程组新的Ｊａｃｏｂｉ迭代解法
孔祥强
（菏泽学院数学系，山东菏泽２７４０００）
［摘 要］给出了解病态线性方程组的一种新的Ｊａｃｏｂｉ迭代算法，并证明了算法的收敛性；通过具体算例
说明了算法的实用性和有效性．
［关键词］迭代法；病态方程组；广义严格对角占优矩阵 ［中图分类号］Ｏ２４１．６ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１３）０５—００５０—０５
Ｊａｃｏｂｉ迭代法是解线性方程组的一种有效方法，它具有存储量小、程序简单的特点．但当方程组的
系数矩阵为病态时，该方法不再适用．本文给出了一类全新的Ｊａｃｏｂｉ迭代算法，从而改进和推广了一些
已有的结果．
１ Ｊａｃｏｂｉ迭代法
设Ａ∈ ，且Ａ为非奇异矩阵，ｂ Ｅ ，线性代数方程组Ａｘ—ｂ有解的一阶定常迭代法 ”
一Ｂｘ ＋ｆ ，其中Ｂ一（６ ）Ｅ ．记Ｊ为Ｊａｃｏｂｉ法的迭代矩阵，则Ｊ—Ｄ （Ｌ＋【，），式中
Ｄ＝＝ ． ］，
Ｊａｃｏｂｉ迭代法的矩阵形式为
分量形式为 Ｌ＝：—— ａ２ｌ ０ ｉ
ａ ．１ … ａ 一ｌ ０
ｘ‘蚪 ）一Ｄ一 （Ｌ＋Ｕ）ｘ ＋Ｄ～ｂ， ０ ａ１２ … ａｌ
一（６ 一∑ｎ ｚ ）／ｅ （ ，Ｊ：１，２，…， ）． Ｊ≠ｉ
２新的Ｊａｃｏｂｉ迭代法及收敛性证明
变为 ｎ，广１．”１ ０ ｌ
（１）
（２）
设Ａｘ—ｂ，其中Ａ非奇异且病态．令Ａ—Ｄ＋Ｍ，则Ｄｘ＋ 一ｂ，在两边同时加上ｏｊＦｘ，∞＞０，
迭代格式为
其中Ｄ同前， （Ｄ＋ｃ ） 一ｂ＋（ｃ 一Ｍ）Ｘ．
抖 一（Ｄ＋ｏｏＦ）１［ ＋（ｏＪＦ—Ｍ）ｘ ］， （３）
［收稿日期］２０１１－１２—２９ ［基金项目］２０１１年山东省统计局重点课题项目（ＫＴｔ１０４８）；２０１１年山东省教育科学“十－－／５１”规划重点课题项目
信息技术 ＳＣ１ＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯ０Ｙ ． 皿圆
病态线性方程组的粒子群算法①
贺天宇 李国望 （解放军陆军军官学院数学教研室 合肥 ２３００３１）
摘要：本文提出了一种求解病态线性方程组的新方法：柱子群算法。首先，详细介绍了粒子群算法；然后，为了利用柱子群算法。通过变 分原理将病态线性方程组的求解问题转化为求解无约束函数最优化问题；最后，给出了计算机模拟结果并与其他方法作了对比。 关键词：粒子群算法 病态线性方程组 最优化 中图分类号：０２４１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７２—３７９１（２０１ ２）０３（ｂ）一Ｏ０１５－－０２
粒子群优化算法（Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰＳＯ）最初是由
Ｋｅｎｎｅｄｙ和Ｅｂｅｒｈａ ｒｔ于１９９５年提出的一类基于智能的随机优化算
法 １，其思想来源于对鸟群捕食行为的研究，ＰＯＳ算法有着算法简
单、容易实现，并且可调参数等特点，适用于求解大量非线性、不可
微和多峰值的复杂优化问题。由于ＰＳＯ算法的程序实现起来异常
简洁，需要调整的参数也少，因而已应用于多个学科和工程领域＿２】。
在图像恢复、带限信号外推、解卷积、模型参数估计、Ｆｒｅｄｈｏｌｍ 第一类积分方程求解、地震勘探等许多领域，都需要求解病态线性
方程组。由于病态方程组的条件数很大，数据误差和计算过程中引
入的舍入误差使解不稳定，即不管原始数据的误差多么小，都可能
造成解的很大变化，使所得解严重失真；同时，也使这类方程的求
解变得相当困难－３】。
１粒子群算法
粒子群优化算法（Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＰＳＯ）最初Ｋｅ
ｎｎｅｄｙ和Ｅｂｅｒｈａｒｔ…提出的，源自于对鸟群捕食行为研究，是一种迭
代的优化算法。
粒子群优化算法（ＰＯＳ）首先在可行解空间中随机初始化ｍ个粒
子，每一个粒子都对应着优化问题的一个解，并且由目标函数确定
一个适应值（Ｆｉｔｎｅｓｓ Ｖａｌｕｅ）。每个粒子都在解空间中运动，通常粒子
第１２卷第２期２０１２年１月 １６７１—１８１５（２０１１）２－０３８１—０３ 科学技术与工程 Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｖｏ１．１２ Ｎｏ．２ Ｊａｎ．２０１２ ＠２０１２ Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．Ｅｎｇｒｇ．
数学
主元加权迭代法求解病态线性方程组
唐丽 李鹏飞
（上海医疗器械高等专科学校 ，上海２０００９３；东北石油大学计算机与信息技术学院 ，大庆１６３３１８）
摘要 由于病态线性方程组的系数矩阵条件数很大，使用迭代法求解病态线性方程组时，收敛速度慢且数值解的精度很 低。针对此问题，设计了一种主元加权迭代算法。该算法在系数矩阵主元上叠加一个权值，以此来降低系数矩阵的条件数。 最后以希尔伯特矩阵构成的病态线性方程组为例，对提出的主元加权迭代算法和高斯一赛德尔迭代法以及雅克比迭代法进
行了测试。对比试验结果表明：主元加权迭代算法能有效地提高数值解的精度。 关键词病态线性方程组 主元加权 预处理 条件数
中图法分类号Ｏ１７５．１； 文献标志码Ａ
１问题提出
由实际问题建立起来的数学模型，经过线性化处
理后，可以获得一个线性方程组Ａｘ＝ｂ。然而很多情
况下，这样的线性方程组所对应的系数矩阵是病态
的，而这样的方程组称之为病态线性方程组。对于病
态线性方程组，Ａ和（或）ｂ如果存在一个小的扰动
和（或）Ｓｂ，则会对解产生比较大的误差。误差放大的
倍数用系数矩阵的条件数ｃｏｎａ（Ａ）来衡量：ｃｏｎｄ（Ａ）＝
ＩＩＡ ＩＩ ＩＩＡ ＩＩ。假定只考虑勖对解的影响，则有
≤ｃｏｎｄ（ ） （１） ｌｌ ｌｌ ｌｌ ０ ｌｌ 式（１）中：ｌｉ ｌｌ为向量或矩阵的某种范数。从式
（１）中可见，ｃｏｎｄ（Ａ）越大，则由方程组右端项变化
引起的解向量的相对误差就越大。当系数矩阵严
ｌｌ ，ｌｌ 重病态时，ｃｏｎｄ（Ａ）》１，则 被严重放大。 ｌｌ ｌｌ 针对病态线性方程组求解的收敛速度慢、数值
第2次作业 病态线性方程组的计算
在科学技术、工程和经济等领域中都会遇到求解线性方程组问题。在很多有广泛背景的数学问题中，如样条逼近、微分方程边值问题的差分法和有限元方法都要求求解线性方程组，而且通常会遇到求解大型方程组的问题。
在数值求解大型方程的过程中，一般会遇到很到计算上的问题，矩阵的病态性是其中之一。矩阵的病态性质一般来自两个方面，一是由于矩阵本身的性质所引起，如希尔伯特矩阵。这种矩阵，虽然阶数可能不大，但其条件数却非常大；另一类病态性质是由于矩阵的阶数所引起的。矩阵在阶数比较小时，性质很好；但当阶数升高后，条件数则变得很大。如用差分法或有限元法离散微分方程后得到的线性方程组。它们的理论性质很好，甚至在理论上可证明它们是对称正定的。然而，由于矩阵得阶数很高，可达到上百万阶，因而矩阵得条件数是相当大的。方程的病态性质给方程组的数值求解带来巨大麻烦，甚至使某些看似理论性质很好的方程如对称正定矩阵，也不太可能得到通常意义下唯一的数值解。
病态矩阵是指矩阵有很小的扰动时，所引起解的变化很大的矩阵。矩阵的病态性质一般可用矩阵的条件数来指示。矩阵的条件数记为：
AAAcond )(
虽然矩阵的病态性，如上面提到的，可能来自两个方面,但在与具体问题相联系的求解过程中遇到的问题是基本一致。
下面这个方程组来自对偏微分方程（Stokes方程）的某种有限病态线性方程组的计算
1
元方法离散后得到的。该微分方程为
0),( , 0 div),( , ),(uyxuyxyxfpu
其中)),(),,((),(21yxuyxuyxu为二维空间的向量函数，为标量函数),(yxp。为方便起见，现已经有方程组的系数矩阵和右端向量：这些数据存于数据文件‘stokes_coff_....mat’中，可用Matlab的load命令调入即可。
