2017-2018学年江苏省淮安市高二(上)期末数学试卷(解析版)
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2017-2018学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是 ．
2．（5分）直线2x+3y﹣6＝0在两坐标轴上的截距之和为 ．
3．（5分）抛物线x2＝4y的焦点坐标为 ．
4．（5分）若三条直线x+y﹣2＝0，mx﹣2y+3＝0，x﹣y＝0交于一点，则实数m值为 ．
5．（5分）过两点A（0，1），B（2，3），且圆心在直线x+2y﹣2＝0上的圆的标准方程为 ．
6．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，侧棱PA⊥平面PBC，PA＝1，底面是边长为2的正
三角形，则此三棱锥的表面积为 ．
7．（5分）
已知双曲线的一个焦点为（0，﹣2），则双曲线的渐近线方程为 ．
8．（5分）已知直线y＝x﹣1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则弦AB的长为 ．
9．（5
分）已知，若当x∈[﹣2，2]时，f（x）≤0恒成立，则实数
t的取值范围为 ．
10．（5分）已知命题p：x2+y2﹣2x+2y+m＝0表示圆，命题q
：表示双曲线，
若命题p∧q为真命题，则实数m的取值范围为 ．
11．（5分）若两个不同圆柱的侧面展开图均是长为4宽为3的矩形，则两圆柱的体积之比
为 ．
12．（5分）已知m∈R，若过定点A的动直线mx﹣y＝0和过定点B的动直线x+my+1＝0交
于点P（x，y），则PA+PB的最大值为 ．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+（y﹣2）2＝1，若直线y＝kx﹣2
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值
范围是 ．
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14．（5
分）若函数在其定义域内的一个子区间（a﹣2，a+2）上不单调，
则实数a的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A
1B
1C
1中，AC⊥BC，E，F分别为CC
1，AB
1的中点．
（1）求证：BC⊥AE；
（2）求证：EF∥平面ABC．
16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）圆C上有两点P、Q关于直线l：x+my﹣2＝0对称，求过点（2，3）与直线l平行
的直线l'被圆C截得的弦长．
17．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△SAB为正三角形，平面SAB⊥底面ABCD，底
面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝3，DC＝4，点E在棱SB上，且SE
＝2EB．
求证：（1）平面SBC⊥平面SAB；
（2）求证：SD∥平面ACE；
（3）求三棱锥S﹣ACE的体积．
18．（16分）某公司引进一条价值30万元的产品生产线，经过预测和计算，得到生产成本
降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（30﹣x）和x2的乘积成正比；②当
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x＝15时，y＝27000
，并且技术改造投入比率，t为常数且t∈（0，
2]．
（1）求y＝f（x）的解析式及其定义域；
（2）求y的最大值及相应的x值．
19．（16分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，焦距长为2，左准线为l
1：
x＝﹣4．
（1）求椭圆C的方程及其离心率；
（2
）若过点的直线l交椭圆C于A，B两点，且N为线段AB的中点，求直线
l的方程；
（3）过椭圆C右准线l
2上任一点P引圆Q：x2+（y﹣1）2＝8的两条切线，切点分别为
M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．
20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a，a∈R，g（x）＝ex（其中e是自然对数的底数）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）
）处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（2）记函数F（x）＝f（x）•g（x），其中a＞0，若函数F（x）在（﹣3，3）内存在两个
极值点，求实数a的取值范围；
（3）若对任意x
1，x
2∈[0，3]，且x
1＞x
2，均有|f（x
1）﹣f（x
2）|＜|g（x
1）﹣g（x
2）|成
立，求实数a的取值范围．
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2017-2018学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是：
∃x∈R，x2﹣2≤0．
故答案为：∃x∈R，x2﹣2≤0．
2．【解答】解：由直线2x+3y﹣6＝0
可得
+＝1，
则直线2x+3y﹣6＝0在两坐标轴上的截距分别为3，2，则截距之和为3+2＝5，
故答案为：5
3．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p＝4
，∴
∴抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1）
故答案为：（0，1）
4．【解答】解：∵三条直线x+y﹣2＝0，mx﹣2y+3＝0，x﹣y＝0交于一点，
联立，得x＝1，y＝1，
∴直线mx﹣2y+3＝0过点（1，1），
∴m﹣2+3＝0，
解得m＝﹣1，
∴实数m值为﹣1．
故答案为：﹣1．
5．【解答】解：∵圆心在直线x+2y﹣2＝0上，故可设设圆心C（2﹣2b，b）．
∵圆过两点A（0，1），B（2，3），∴r＝CA＝CB，∴（2﹣2b）2+（b﹣1）2＝（2﹣2b
﹣2）2+（b﹣3）2，求得b＝﹣1，
∴圆心C（4，﹣1），半径r＝CA＝，
∴圆的标准方程为 （x﹣4）2+（y+1）2＝20，
故答案为：（x﹣4）2+（y+1）2＝20．
6．【解答】解：∵PA⊥平面PBC，∴PA⊥PB，PA⊥PC，
在Rt△APB中，由AB＝2，PA＝1，可得PB＝，
同理可得PC＝，
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∴，
∵△ABC是边长为2
的等边三角形，∴，
∵△PBC为等腰三角形，底面边长为2，腰长为，
∴． ∴此三棱锥的表面积为． 故答案为：．
7．【解答】
解：双曲线的一个焦点为（0，﹣2），
可得1﹣a＝4，可得a＝﹣3，
双曲线方程为：．
双曲线的渐近线方程为：．
故答案为：．
8．【解答】解：将直线l：x﹣y﹣1＝0过（1，0）即抛物线方程y2＝4x的焦点坐标，
联立直线与抛物线方程，消元y，
可得x2﹣6x+1＝0
∴x
1+x
2＝6，
∴弦AB的长为x
1+x
2+p＝6+2＝8．
故答案为：8．
9．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1）＝0，得x＝1
，﹣．
在[﹣2
，﹣）和[1，2]上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（﹣，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴x
＝﹣时，函数f（x）取得极大值，f
（﹣
）＝﹣
﹣
++5﹣t
＝﹣t，
又f（2）＝8﹣2﹣4+5﹣t＝7﹣t＞f
（﹣）．
∴f（2）为x∈[﹣2，2]时的最大值．
∴7﹣t≤0，解得t≥7．
故实数t的取值范围是[7，+∞）．
（或利用分离参数方法也可得出）
故答案为：[7，+∞）．
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10．【解答】解：p为真时，D2+E2﹣4F＞0，即4+4﹣4m＞0，解得：m＜2；
q为真时，（m﹣3）（m+1）＜0，解得：﹣1＜m＜3；
又p且q为真，所以p真，且q为真．
所以，解得：﹣1＜m＜2．
故答案为：（﹣1，2）
11．【解答】解：圆柱的侧面展开图是长和宽分别为4和3的矩形，
当母线为4
时，圆柱的底面半径是
，此时圆柱体积是
＝；
当母线为3
时，圆柱的底面半径是
，此时圆柱的体积是．
∴两圆柱的体积之比为
（或）．
故答案为：
（或）．
12．【解答】解：由题意知动直线mx﹣y＝0过定点A（0，0），
动直线x+my+1＝0过定点B（﹣1，0）．
且|AB|＝1；
又m×1+（﹣1）×m＝0，
∴两条动直线互相垂直；
∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝1，
∴|PA|+|PB|≤＝，当且仅当PA＝PB
＝时取等号． 故答案为：．
13．【解答】解：问题转化为：圆心C（0，2）到直线y＝kx﹣2的距离小于等于2，
∴≤2，解得k2≥3，∴k≤﹣或k， 故答案为：
14．【解答】解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），
故a﹣2≥0，解得：a≥2，
而f′（x）＝x
﹣，
令x
﹣＝0，解得：x＝，
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由题意得：a﹣2＜＜a+2，
解得：0≤a＜4，
综上：a∈[2，4），
故答案为：[2，4）．
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．【解答】证明：（1）因为ABC﹣A
1B
1C
1是直三棱柱，
所以CC
1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，所以CC
1⊥BC，
因为AC⊥BC，CC
1∩AC＝C，CC
1，AC⊂平面ACC
1A
1，
所以BC⊥平面ACC
1A
1，
因为AE⊂平面ACC
1A
1，所以BC⊥AE．
（2）取AB中点G，连接CG，GF，
因为F是AB
1的中点，所以GF∥BB
1
，，
又因为E为CC
1中点，BB
1，所以CE∥BB
1
，，所以，
所以四边形EFGC为平行四边形，
所以EF∥GC，又因为EF⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC．
16．【解答】解：（1）曲线y＝x2﹣2x﹣3与坐标轴的交点为（3，0），（﹣1，0），（0，﹣3），
设圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则
解得，
所以圆C方程为x2+y2﹣2x+2y﹣3＝0．
（2）C点坐标为（1，﹣1），因为圆C上有两点P，Q关于直线l：x+my﹣2＝0对称，
