2020-2021学年淮安市高二上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年淮安市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 下列命题中，假命题是( )

A. 已知命题𝑝和𝑞，若𝑝∨𝑞为真，𝑝∧𝑞为假，则命题𝑝与𝑞必一真一假

B. 互为逆否命题的两个命题真假相同

C. “事件𝐴与𝐵互斥”是“事件𝐴与𝐵对立”的必要不充分条件

D. 若𝑓(𝑥)=2𝑥，则𝑓′(𝑥)=𝑥⋅2𝑥−1

2. 设命题：𝑝：向量𝑏⃗ 与𝑎⃗ 共线，命题𝑞：有且只有一个实数𝜆，使得𝑏⃗ =𝜆𝑎⃗⃗⃗⃗ ，则𝑝是𝑞的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 已知𝐹1，𝐹2椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左右焦点，|𝐹1𝐹2|=4，点𝑄(2,√2)在椭圆𝐶上，𝑃是椭圆𝐶上的动点，则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )

A. 4 B. 92 C. 5 D. 4+√2

4. 已知𝑃为空间中任意一点，𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =23𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑥𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +16𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数𝑥的值为( )

A. 13 B. −13 C. 16 D. −16

5. 一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为( )

A. 2𝜋3 B. 𝜋4 C. 𝜋6 D. 𝜋

6. 数列{𝑎𝑛}是公差不为零的等差数列，并且𝑎1，𝑎2，𝑎4是等比数列{𝑏𝑛}的相邻三项．若𝑏2=2，则𝑏𝑛=( )

A. 24𝑛−2 B. 4𝑛−12 C. 12𝑛−3 D. 2𝑛−1

7. 3.设函数的定义域为𝑀，集合，则

A. B. C. D.

8. 已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克．( ) A. 5730 B. 11460 C. 22920 D. 45840

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 设𝐹1，𝐹2分别是双曲线𝐶：𝑥2𝑠+𝑡−𝑦2𝑠−𝑡=1的左、右焦点，且|𝐹1𝐹2|=8，则下列结论正确的是( )

A. 𝑠=8

B. 𝑡的取值范围是(−8,8)

C. 𝐹1到渐近线的距离随着𝑡的增大而减小

D. 当𝑡=4时，𝐶的实轴长是虚轴长的3倍

10. 下列命题中，正确的有( )

A. 若𝑎<𝑏<0，则𝑎2<𝑎𝑏<𝑏2

B. 若𝑎>𝑏，𝑐>𝑑，则𝑎−𝑑>𝑏−𝑐

C. 若𝑏<𝑎<0，𝑐<0，则𝑐𝑎<𝑐𝑏

D. 若𝑎>0，𝑏>𝑐>0，则𝑐𝑏<𝑐+𝑎𝑏+𝑎

11. 如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝐸为棱𝐷𝐷1的中点，点𝑃是线段𝐶1𝐷上的动点，𝐴𝐴1=2，则下列选项正确的是( )

A. 直线𝐴𝑃与𝐵1𝐸是异面直线

B. 三棱锥𝐴1−𝐴𝐵1𝐸的体积为16

C. 过点𝐶作平面𝐴𝐸𝐵1的垂线，与平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷交于点，若𝐶1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐶1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则𝑄∈𝐴𝑃

D. 点𝑃到平面𝐴𝐸𝐵1的距离是一个常数

12. 设{𝑎𝑛}是无穷数列，若存在正整数𝑘(𝑘≥2)，使得对任意𝑛∈𝑁∗，均有𝑎𝑛+𝑘>𝑎𝑛，则称{𝑎𝑛}是“间隔递增数列”，𝑘是{𝑎𝑛}的“间隔数”，下列说法正确的是( )

A. 公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”

B. 若𝑎𝑛=2𝑛+(−1)𝑛，则{𝑎𝑛}是“间隔递增数列”

C. 若𝑎𝑛=𝑛+𝑟𝑛(𝑟∈𝑁∗,𝑟≥2)，则{𝑎𝑛}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为𝑟

D. 已知𝑎𝑛=𝑛2+𝑡𝑛+2021，若{𝑎𝑛}是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则−5<𝑡≤−4

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，𝑎+𝑏+𝑐=0，𝑎+𝑏𝑐−1=0，则𝑎的取值范围______ ．

14. 已知𝑆𝑛是首项为1的等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，且8𝑆6=9𝑆3，则1+6𝑎𝑛2𝑎𝑛的最小值为______ ． 15. 𝐴={−2≤𝑥≤5}，𝐵={𝑥|𝑚+1≤𝑥≤2𝑚−1}，𝐵∩𝐴=𝐵，求𝑚的取值范围______ ．

16. 已知圆𝑥2+𝑦2−6𝑥−7=0与抛物线𝑦2=2𝑎𝑥的准线相切，则实数𝑎的值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑏−2𝑥2𝑥+𝑎是定义域为𝑅的奇函数． (1)求实数𝑎和𝑏

(2)判断𝑓(𝑥)的单调性并证明；

(3)若对任意实数𝑥∈[1,2]，𝑓(𝑥2−𝑚𝑥)+𝑓(1−𝑚𝑥)≤0恒成立，求实数𝑚的取值范围．

18. 设直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，其中点；

(Ⅰ)求抛物线 的方程；

(Ⅱ)求线段的长。

19. 数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎2=2，𝑎𝑛+2=2𝑎𝑛+1−𝑎𝑛+2，

(1)设𝑏𝑛=𝑎𝑛+1−𝑎𝑛，证明：{𝑏𝑛}为等差数列．

(2)求数列{𝑎𝑛}的通项公式．

(3)是否存在实数𝜆，使得当𝑥≤𝜆时，𝑓(𝑥)=−𝑥2+4𝑥−𝑎𝑛+4𝑛≤0对任意𝑛∈𝑁∗恒成立？若存在，求出最大的实数𝜆，若不存在，说明理由．

20. 某工厂生产商品𝐴，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品𝐴要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率．根据市场调查，若政府对商品𝐴征收附加税率为𝑝%时，每年销售量将减少10𝑝万件，据此，试问

①若税务部门对商品𝐴征收的税金不少于96万，求𝑃的范围．

②若税务部门仅对商品𝐴考虑每年所获得的税金最高，求此时𝑃的值．

21. 已知斜三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的各棱长均为2，侧棱𝐵𝐵1与底面𝐴𝐵𝐶所成角为𝜋3，且侧面𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥底面𝐴𝐵𝐶．

(1)证明：点𝐵1在平面𝐴𝐵𝐶上的射影𝑂为𝐴𝐵的中点；

(2)求二面角𝐶−𝐴𝐵1−𝐵的大小；

(3)求点𝐶1到平面𝐶𝐵1𝐴的距离．

22. 如图，椭圆𝛤：𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎>1)的右焦点为𝐹，右顶点为𝐴，满足1|𝑂𝐹|+1|𝑂𝐴|=𝑒|𝐹𝐴|，其中𝑂为坐标原点，𝑒为椭圆𝛤的离心率．

(Ⅰ)求椭圆𝛤的标准方程；

(Ⅱ)设𝑀为椭圆𝛤上的动点(异于左、右顶点)，直线𝑀𝐹交椭圆𝛤于另一点𝑁，直线𝑀𝐴交直线𝑥=2于点𝑃，求证：直线𝑃𝑁过定点．

参考答案及解析

1.答案：𝐷

解析：解：𝐴：已知命题𝑝和𝑞，若𝑝∨𝑞为真，𝑝∧𝑞为假，则命题𝑝与𝑞必一真一假，正确；

𝐵：互为逆否命题的两个命题真假相同，正确；

𝐶：“互斥事件”不一定是“对立事件”(充分性不成立)，“对立事件”必是“互斥事件”(必要性成立)，

所以，“事件𝐴与𝐵互斥”是“事件𝐴与𝐵对立”的必要不充分条件，正确；

𝐷：若𝑓(𝑥)=2𝑥，则𝑓′(𝑥)=2𝑥𝑙𝑛2，故D错误．

故选：𝐷．

𝐴，利用真值表可判断𝐴；

𝐵，互为逆否命题的两个命题真假性相同可判断𝐵；

𝐶，利用：“互斥事件”与“对立事件”之间的关系可判断𝐶；

𝐷，求得函数𝑓(𝑥)=2𝑥的导函数为𝑓′(𝑥)=𝑥⋅2𝑥−1，可判断𝐷．

本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复合命题的真假判断(真值表的应用)，考查互斥事件与对立事件的关系，考查幂函数的导数运算，属于中档题．

2.答案：𝐵

解析：解：若𝑎⃗ =0⃗ ，𝑏⃗ ≠0⃗ 则，任意实数𝜆，都有𝑏⃗ =𝜆𝑎⃗⃗⃗⃗ 不成立

即：𝑝⇒𝑞为假命题

若有且只有一个实数𝜆，使得𝑏⃗ =𝜆𝑎⃗⃗⃗⃗

则向量𝑏⃗ 与𝑎⃗ 共线

即𝑞⇒𝑝为真命题．

综上：𝑝是𝑞的必要不充分条件．

故选B．

先分析𝑝⇒𝑞是否为真命题，再分析𝑞⇒𝑝是否为真命题．

本题考查的关键是向量平行(共线)的充要条件：向量𝑏⃗ 与𝑎⃗ 共线，有且只有一个实数𝜆，使得𝑏⃗ =𝜆𝑎⃗⃗⃗⃗ (𝑎⃗ ≠0⃗ ).

3.答案：𝐵

解析：解：由题意可得：𝑐=2，4𝑎2+2𝑏2=1，𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎2=8，𝑏2=4， 所以椭圆的方程为：𝑥28+𝑦24=1，

可得𝐹1(−2,0)，设𝑃(𝑥,𝑦)则：𝑥28+𝑦24=1，所以可得：𝑥2=8−2𝑦2，

则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−𝑥,√2−𝑦)(−2−𝑥,−𝑦)=𝑥2−4+𝑦2−√2𝑦=−𝑦2−√2𝑦+4=−(𝑦+√22)+12+4，当且仅当𝑦=−√22∈[−2,2]，时，

则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为：92，

故选：𝐵．

由题意求出椭圆的方程，可得左焦点𝐹1的坐标，求出数量积的表达式，再由𝑃的纵坐标的范围及二次函数的性质可得所求的结果．

考查椭圆的性质，属于中档题．

4.答案：𝐵

解析：解：∵𝑃为空间中任意一点，𝐴、𝐵、𝐶、𝐷四点满足任意三点均不共线，

但四点共面，且𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =23𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑥𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +16𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，

∴𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =23𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑥𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +16(𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )

=12𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑥𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +16𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ，

∴12−𝑥+16=1，

解得实数𝑥=−13．

故选：𝐵．

先求出𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =12𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑥𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +16𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由空间向量共面定理得到12−𝑥+16=1，由此能求出实数𝑥的值．

本题考查实数值的求法，考查空间向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.答案：𝐴

解析：解：设母线长为𝑅，底面半径为𝑟，

∴底面周长=2𝜋𝑟，底面面积=𝜋𝑟2，侧面面积=12𝑙𝑟=𝜋𝑟𝑅，

∵侧面积是底面积的3倍，

∴3𝜋𝑟2=𝜋𝑟𝑅，∴𝑅=3𝑟，∴𝜃=2𝜋𝑟𝑅=2𝜋3．

故选：𝐴．