17.1《勾股定理》(第1课时)

17.1《勾股定理》（第1课时）教学设计

一、教材分析

（一）地位和作用

本节课是人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理第一课时。本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系，将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据，在生产和生活实际中应用广泛。

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程。证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明。

（二）教学目标

1、知识与技能：掌握一个定理——勾股定理，并会用定理解决简单问题。

2、过程与方法

（1）经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力。

（2）体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性。

3、情感态度与价值观：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感。在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。

（三）重点、难点

重点：探究并证明勾股定理。

难点：勾股定理的探究和证明。

二、教法分析

勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论。在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系。但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难。学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积。因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理。

本节课主要采用启发式、探究式教学，由浅入深，由特殊到一般的提出问题，引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，使学生主动获得知识并发展能力．

三、学法分析

八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.

四、教学过程设计

（一）、创设情景，引入新课

国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．2022年在北京召开了第24届国际数学家大会．上图就是大会会徽的图案．你见过这个图案吗？这个图案有什么特别的意义？

师生活动：教师引导学生观察，指出这个图案与勾股定理有关，勾股定理是我们要研究的问题．

设计意图：从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题。

（二）、合作交流，探索新知

1、毕达哥拉斯定理的发现

2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯非常善于观察和思考，经常能够从平淡的生活现象中发现数学问题．有一次他到朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察一下地面的图案，看能不能从中发现什么？

师生活动：教师提问，学生发表见解．

观察：这个地面是由什么图形拼成的?（等腰直角三角形）

观察：这些直角三角形都什么关系？（这些等腰直角三角形全等）

除此外，毕达哥拉斯还发现以直角三角形三边为边长都可做出一个正方形.

观察：图中两个小正方形与大正方形的面积之间有什么关系？（两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．）

思考：直角三角形三边之间有什么关系？（等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．）

问题：对于一般的直角三角形，它的三边是否也满足这样的关系呢？得出猜想，猜想之后进入第二关．

设计意图：从观察生活中常见的地砖入手，让学生感受到数学就在身边．通过设计问题串，让探索过程由浅入深，使学生从观察中得到猜想.适时穿插毕达哥拉斯这一人文背景，使学生获得新知，同时也感染学生养成善于观察勤于思考的科学的学习品质.

2、实践验证： 图中每个小方格的面积均为1，请分别算出正方形A，B，C，A'，B'，C'的面积，利用面积关系验证三边关系．

师生活动：学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系．

追问：正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？

师生活动：学生独立思考后相互讨论讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法．可求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

设计意图：讨论中发表自己的看法,提高语言表达能力. 通过交流总结出用面积割补法求大正方形的面积,为定理的证明做铺垫，突破本节课的难点.

3、通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？

师生活动:教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222abc.

【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的．

4、合理验证

特殊数据不能代表一般规律，我们猜想的这个结论要作为定理必须经过推理论证.

师生活动：这个结论仍然成立，中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1100年人们已经知道“勾广三，股修四，径隅五”. 把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，将此定理命名为勾股定理.他有非常多证明方法，这里我们依然可以利用刚才的割补法.

①“割”的方法：，于是.

②“补”的方法：，于是。（留给学生课后思考）

设计意图：从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论．

5、历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理．

师生活动：我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，2022年国际数学家大会在北京召开，其中的会徽就是这个图案。赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为a、b的两个连体正方形，拼成一个新的正方形。勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．

设计意图：介绍勾股定理的历史,让学生感受数学文化，增添民族自豪感，激发学习热情. （三）、巩固新知，解决问题

例1、 在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度．

师生活动：学生计算，教师检验．

设计意图：勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的．所以勾股定理本质上是反映面积关系的．如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222abc．通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：22cab；22bca；22acb．在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．

例2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？

师生活动： 学生观察、思考、计算，教师检验．

设计意图：设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力．

（四）、小结与反思

师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： （1）勾股定理总结的是什么数量关系？

（2）勾股定理有什么作用？

（3）阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．

设计意图：让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信．

（五）、课堂练习

教科书第24页“练习”第1题

师生活动：学生认真做题，教师巡视，并适时指导。

设计意图：通过联系，了解学生对知识的掌握情况。

（六）、布置作业

（1）教科书第28页第1题；

（2）通过互联网收集定理的多种证法，自主探究定理的证明．