与直线和圆有关的轨迹问题

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探讨与圆的轨迹有关的问题

作者：吴莺

来源：《读与写·教育教学版》2016年第09期

摘 要：圆是一个奇妙的几何图形，实际是个概念性的图性，近年来江苏高考中频频出现有关圆的试题，其中用圆的轨迹处理的题目往往意想不到，难度也比较大，所以我们要重视这类新型难题。

关键词：高中数学 圆形 轨迹

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2016）09-0110-02

圆是最完美的曲线，是最基本的几何图形，近年江苏高考中2013年高考第17题（解析几何），2014年高考18题（应用题）相继考查了圆的轨迹圆的性质等知识，笔者在2014届高三二轮复习阶段中，发现各类模拟卷各类习题中出现了一系列的圆轨迹问题，下面，将其归纳整理总结成文。

1 利用圆的定义求出其轨迹

初中阶段我们对圆的定义为“它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径。”由此高中必修二上推导出了圆的标准方程“方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）叫做以点（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程”。 龙源期刊网

例1：已知点M（4，3）及圆C∶（x+1）2+（y-1）2=4，由动点P向圆引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，并且∠APB=60°，求PM的最小值。

2 利用圆的性质求出其轨迹

例2：（1）已知定点A，B，若动点P满足PA⊥PB，则P的轨迹是以AB为直径的圆。

（2）若平面四边形的两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆。 龙源期刊网

例2：若定点P（-1，0）在动直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是______ 龙源期刊网

圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理

浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平

圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳

1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.

2． 圆的标准方程

① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得0222rrbyax，其中圆心坐标为ba,，半径为r；当0,0ba时，即圆心在原点时圆的标准方程为222ryx；

② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3． 圆的一般方程

①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022FEyDxyx0422FED；

② 圆的一般方程的特点：（1）22,yx项系数相等且不为0；（2）没有xy这样的二次项

③ 二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的必要条件是0CA且0B；

二元二次方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是0CA且0B且0422AFED

4． 圆的参数方程

圆的参数方程是由中间变量将变量yx,联系起来的一个方程.

① 圆心在原点，半径为r的圆的参数方程是：(sincosryrx为参数）； ② 圆心在ba,，半径为r的圆的参数方程是：(sincosrbyrax为参数）；

5． 圆方程之间的互化

022FEyDxyx0422FED

配方44222222FEDExDx即圆心22E，D，半径FEDr42122利用222sincosrrr得(sincosrbyrax为参数）

求动圆圆心的轨迹方程

包头市第一中学---赵胜凡

直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。

类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程

例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.

解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)3()0(22yyx，化简并整理的

yx122，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）

例2. 求与圆C：0422xyx相切且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程.

解析：圆C即4222yx）（，设动圆的圆心为）（yxP,

（1）若动圆P与圆C相外切，则2222xyx）（，所以xxy442，即 时，xy82 (x>0)或02y（x<0）.

（2）若动圆P与圆C内切，则0y （x>0,且2x） 综上 ，所求轨迹方程为xy82 （x>0)或y=0 ( 2,0xx且)

点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P与定圆C内切的情况 .

类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程

例3 . 过已知圆C内一个定点A作圆'C与已知圆C内切，则圆心的轨迹是（ ）

A.线段 B.圆 C.椭圆 D.圆或椭圆

解析：若点A为圆C的圆心，则点'C的轨迹为圆，若点A不是圆C的圆心，由两圆内切可知ACRCC'' 即RACCC''（其中R为圆C的半径），因此点'C的轨迹为椭圆.故选D

1 锦山蒙中学案（高一年级组）

班 级 姓 名 学 科 时 间

课 题 直线与圆相交弦的有关问题

学 习

目 标 能运用直线与圆相交弦的相关知识解决有关问题

过 程 双色笔纠错

一．问题探讨

如图所示：AB是圆C的弦，从圆心C向弦AB做垂线CD，则CD称为圆心C到弦AB的弦心距。

问：①AD与BD有何关系？

②若圆心C（a,b），AB所在的直线方程为Ax+By+C=0，则弦心距|CD|= .

③若取弦AB的中点为D，连接CD，则CD与AB有何关系？

④连接AC,BC可得△ADC及△BDC为 三角形,根据勾股定理有 .

⑤AB称为弦，则AD与BD称为 .

二．应用举例

1.求直线l:3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长。

x O C y

A B

D

2 2.已知圆心为C的圆经过点A（1,1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。

（教材120页例3）

归纳总结

解决直线与圆相交弦的有关问题一般步骤：

1.结合题意，做出简图；

2.运用弦的有关性质解决相关问题。

3 三．当堂检测

求直线x-y-5=0被圆C：x2+y2-4x+4y+6=0截得的弦AB的长。

4 四．本节课的目标达成：

日清作业

已知过点M(-3，-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为54，求直线l的方程。

知

识

构

建