轨迹问题

解题教学　■圈圊皿雹阻｜ｉｌｌ：”　

例谈立体几何中轨迹问题　

于真灵陈启文　（绥宁县第一中学　湖南　邵阳４２２６００）　

立体几何中的轨迹问题，将立体几何与解析几何有　机地结合起来，常涉及函数、数形结合、建模、化归等数　学思想与方法，综合性强，能力要求高，教师可集中讲　解．近年来高考中常见的题型有以下几类．　１．利用圆锥曲线定义求轨迹　例１如图，在正方体ＡＢＣＤ—　Ａ　Ｂ　Ｃ１Ｄ　中，Ｐ是侧面Ｂ１ＢＣＣ　内一动　点，若Ｐ到直线ＢＣ与直线Ｃ。Ｄ　的距离　相等，则动点Ｊｐ的轨迹所在的曲线是　（　）．　ｄ　Ａ．直线　Ｂ．圆　ｃ．双曲线　Ｄ．抛物线　解析：在侧面ＢＣ内点Ｐ到直线ｃ　Ｄ。的距离就是Ｐ至０　点ｃ　的距离，因此，满足题意的点Ｐ的轨迹是侧面内到点　ｃ　的距离与到直线ＢＣ的距离相等的点的集合，所以点Ｐ　的轨迹是以ｃ　点为焦点，以ＢＣ为准线的抛物线（在侧面　ＢＣ　内的部分）．故选Ｄ．　点评：点在平面内运动的轨迹有直线、圆和圆锥曲　线，直线与圆可由图形与定义直接得到，而圆锥曲线的　判定方法较多，其中圆锥曲线的统一定义和圆锥曲线可　由平面截立体几何图形得到是常用的方法．　２。利用圆锥曲线的离心率求轨迹　例２已知Ｐ为四面体Ｓ—　ＡＢＣ的侧面ＳＢＣ内的一个动　点，且点尸与顶点Ｓ的距离等　于　￣ｐｆｌＪ底面ＡＢＣ的距离，那　么在侧面ＳＢＣ内，动点Ｐ的轨　迹是某一曲线的一部分，则　该曲线一定是（　）．　Ｃ　

Ａ．　或椭圆　Ｂ．椭圆或舣曲线　Ｃ．双曲线或抛物线　Ｄ．抛物线或椭圆　解析：点尸到顶点５的距离为ＰＳ，当侧面ＳＢＣｊ＿底面　ＡＢｃ　ＰＤ观其对应圆锥曲线的离｜　＝　＝　＝　１，此时点Ｐ的轨迹为抛物线；当侧面ＳＢＣ与底面　ＢＣ不垂　＿直日寸，尸Ｄ＞雎，其对应圆锥曲线蝻　＝　＝　＜ｌ＇　此时点Ｐ的轨迹为椭圆．故选Ｄ．　点评：圆锥曲线的统一定义为：到定点的距离与到　定直线的距离比为常数的点的轨迹，该常数叫做圆锥曲　线的离心率，用ｅ表示．当０＜ｅ＜ｌ时，为椭圆；当ｅ＝ｌ时，为　抛物线；当ｅ＞ｌ时．为双曲线．　３．根据截面图形求轨迹　例３正方体ＡＢＣＤ—Ａ　ＢｌＣ　Ｄ　，Ｅ、　盼别是ＡＡ，、ＣＣ　的中点，Ｐ是ＣＣ。上的　动点（包括端点），过Ｅ、Ｄ、Ｐ作正方体　的截面，若截面为四边形，则点Ｐ的轨　迹为（　）．　Ａ．线段Ｃ．Ｆ　Ｂ．线段ＣＦ　Ｃ．线段ｃ蹋　一点ｃ　Ｄ．线段ｃ。聊一点Ｃ　解析：由Ｅ、Ｄ、ｐ＿－点确定的平面与平面Ｂ　ＢＣＣ　的交　线与ＤＥ平行，由此得，当Ｐ与ｃ重合时，截面过ＢＢ。的中　点，当Ｐ上移到耶寸，截面过日　点，此时点．Ｐ轨迹为线段ＣＦ；　而当截面过ｃ。时，截面也是四边形．故选Ｃ．　点评：截面图形确定后，动点的轨迹也是确定的，此　时可采取执果索因的方法，确定动点所在的位置．　４建立函数模型求函数解析式　例４如图，动点Ｐ在正方体　ＡＢＣＤ－Ａ。Ｂ　ＣｌＤ。的对角线ＢＤ。上，过点　Ｐ作垂直于平面ＢＢ　Ｄ　Ｄ的直线，与正　方体表面相交于　，Ⅳ设ＢＰ＝ｘ，ＭＮ＝ｙ，　则函数ｙ＝　）的图像大致是（　）．　

AQMO与圆有关的轨迹问题

1、 已知：点P是圆2216xy上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0），当P点在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程

2、 圆22(5)(4)6xy内一定点A(4,3)，在圆上作弦MN，使90MAN，求弦MN中点P的轨迹方程

3、 求与y轴相切，且与圆2240xyx也相切的圆P的圆心的轨迹方程

4、 如图，已知定点A（2,0），点Q是圆221xy上的动点，AOQ的

平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程

5、 由点P分别向两定圆221:(2)1Cxy及圆222:(2)4Cxy所引切线段长度之比为1：2，求点P的轨迹方程

6、已知与22:2210Cxyxy相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，,2,2OAaOBbab.

(1)求证:222ab;(2)求线段AB中点P的轨迹;(3)求AOB面积的最小值

数学轨迹问题

数学轨迹问题是指研究设定的数学函数或方程所描述的几何图形的运动规律和特点。这类问题通常需要将数学方法与几何图形的运动相结合，通过分析数学函数或方程的性质，来研究图形的形状、位置、变化等问题。

常见的数学轨迹问题包括：

1. 平面曲线轨迹问题：给定一个平面曲线的方程，研究曲线上点的运动轨迹。例如，求解抛物线上一动点的坐标关系。

2. 空间曲线轨迹问题：给定一个空间曲线的参数方程，研究曲线上点的运动轨迹。例如，求解螺线上一动点的坐标关系。

3. 平面图形轨迹问题：给定一个平面图形的特定性质，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。例如，研究圆心在直线上的所有圆的轨迹。

4. 空间图形轨迹问题：给定一个空间图形的特点，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。例如，研究圆锥的截面在不同高度下的形状。

数学轨迹问题在几何学、微积分等数学分支中都有广泛的应用。通过研究数学轨迹问题，可以揭示数学函数或方程的性质，并帮助我们更好地理解几何图形的变化和相互关系。

轨迹问题的求法一、直接法

当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐

标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.二、定义法

定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、

抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.三、点差法

将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦

的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"

点差法"。四、几何法

几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律

和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.五、参数法

参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起

联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹

方程

例3.【2017年全国二卷文科】六、交轨法

求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些

动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.七、代入法

当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入

到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代

入法，也称相关点法、转移法.