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与圆有关的轨迹问题

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课题：与圆有关的轨迹问题

一、设计理念：

本课主要复习应用轨迹方面的问题，我准备用一个课时来教授。我仔细研究2010年江苏高考考试说明和各大市高考模拟试卷后总结出，轨迹问题特别是与圆有关的轨迹问题依然是学生不可掉以轻心的一块内容，本节课我以求轨迹方程的常见方法作为核心内容，以无锡二模的18题为生长点，在此基础上进行发散，紧紧围绕本课重点。几道例题力求一题多变，多题一解，将求轨迹问题串到一条线上，尽量使学生能够做到融会贯通，在解决卷面求轨迹问题的同时，增强对几何图形直观的认识。

二、教学目标：

知识目标：1.引导学生掌握常见的求轨迹问题的方法，同时增强学生对平面几何图形更直观的认识

能力目标：培养学生的创新思维，使学生的解题能力得到进一步的提高，为以后的学习奠定基础。

德育目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验。

三、教学重点、难点：重点是求圆中的轨迹问题；难点是如何灵活运用几种方法来解决各种求轨迹问题。

四．授课类型：复习课

五、教学方法与教学手段：以学生为主体，教师为主导的问题探究式教学。

六.教学过程：

引入：

在无锡市2010届高三数学调研测试(二)解答题中出现这样一道题目：

18.在等腰ABC中，已知ABAC,且点(1,0)B。点(2,0)D为AC中

点。（1）求点C的轨迹方程（2）已知直线:40,lxy求边BC在直线l上的射影EF长的最大值。文科班大部分学生对第一小题中的轨迹问题一筹莫展，结合2010年江苏高考考试说明我们可以了解到直线和圆的知识是解析几何中的重中之重，虽然考纲中必做题部分对轨迹方程并没有明确要求，但在样卷的解答题中依然出现了轨迹方程问题，我们还是不能掉以轻心，今天我们利用一节课的时间来研究一下解析几何中简单的一些求轨迹的问题，特别是与圆有关的轨迹问题。 一．回忆解析几何中常见的轨迹:

(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分

线.

(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.

(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.

(4)平面内到定点的距离与到定直线（定点不在此定直线上）的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.

(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.

二．例题选讲

[例1]已知P(5,0)和圆1622yx,过P任意作直线l与圆交于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹为 ．

解一：探究：M是弦的中点，可利用垂径定理。

设轨迹上任一点),(yxM,连结OM。

0PMPMOMOM

,0505222yxxyxx即）（51616052222xyxyxx令。)51600522xyxx（方程为

∴弦AB的中点M的轨迹为圆的一部分。

反思总结：这题我们利用平面几何知识得到动点满足的关系式，这种求轨迹的方法叫做“几何法”。

解决上题的过程中，帮大家回忆求轨迹问题的步骤：1、建系；2、设点；3、列式；4、化简；5、检验。

解二：设轨迹上任一点),(yxM,连结OM，PMOMuuuuruuurQ∴M在以OP为直径的圆上，且圆的方程为0522yxx，以下同解一。 B y

A

x E

O F l

D

C A

B M

P O 反思总结：像这种先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程的方法叫做“定义法”

解三：设AB的直线方程为)5(xky，设),(),,(),,(2211yxMyxByxA。

,0162510)1(16)5(222222kxkxkyxxky

1521522212221kkyyykkxxx，消去k得：0522yxx。（消k时也要注意0k的情况）以下同解一。

反思总结：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做“参数法”。

回顾：解一是利用几何法，直接得到M的轨迹方程，但要注意轨迹并不是整个圆，而是在已知圆内的一部分。解二需要对特殊曲线的定义和特征有比较深入的理解。解三利用的是“设而不求”，虽然显得比较复杂，但是在解决有关圆锥曲线轨迹问题时，却是比较重要的方法。

［变题1］如果将例一中的P(5,0)改为P(3,0)，结果会如何呢

方法同解一。（思考与例1有何区别）

［变题2］如果在例1的情况下改成求PA中点D的轨迹方程，又该如何处理

解：设D（x,y）,则A（2x-5,2y）,∵点A在圆上 ∴ 1625222）（）（yx

化简得：049522yxx

反思总结：这种将要求的点的轨迹转移到已知点的轨迹上去的方法，叫做“转移法”。

［变题2］已知弦AB 在圆9)2()1(22yx内运动，且,2AB则AB中点M的轨迹为 ． 解：连结OM，则OMAB，连结OA。

222AMOMOA，

，即8)2()1(1)2()1(92222yxyx

∴M的轨迹是以（1，－2）为圆心，22为半径的圆。

［变题4］直线0myx交圆422yx于A、B两点，求弦AB中点M的

轨迹方程。

解：连结OM，则OMAB，得),(yxP，∴11xy,即

)22(0xyx。

回顾：以上三道例题分别是圆中过定点弦的中点、定长弦中点、平行弦中点轨迹问题，由于圆的特殊性，这类问题都可用几何法来解决，而且较其它方法简单。，这种方法在其他圆锥曲线中就比较困难。

再回到我们引入的问题18. (1)解：设C（x,y），∵D(2,0)为AC的中点，∴A（4-x,-y），

由AB=AC，得22ACAB∴22222)42()5(）（yxyx，

整理得4)1(22yx，

又∵A,B,C三点不共线，∴y0，则点C的轨迹方程为4)1(22yx（y0）

反思总结：上题中，动点所满足的条件能直接用一个等式表示，从而求出方程，这种求

轨迹的方法叫做“直接法”。

［例2］已知平行四边形ABCD的顶点A在圆122yx上运动，B、C的坐

标分别为(2,0)，(3,3)，求顶点D的轨迹方程。

A

B M

P O A B

M

O

B y

A

x E

O F l

D

C

A

B C

O D

A

B C O

x y

练习：如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2

的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得2.PMPN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程（05年江苏）

七．课堂小结：这堂课我们学习了与圆有关的轨迹问题。主要有这几种方法：直接法、定义法、几何法、参数法、转移

法，另外还借助向量，“设而不求”。这些方法都要掌握。

八．作业布置 P

M N

O1 O2

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探讨与圆的轨迹有关的问题

探讨与圆的轨迹有关的问题

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探讨与圆的轨迹有关的问题

作者：吴莺

来源：《读与写·教育教学版》2016年第09期

摘 要：圆是一个奇妙的几何图形，实际是个概念性的图性，近年来江苏高考中频频出现有关圆的试题，其中用圆的轨迹处理的题目往往意想不到，难度也比较大，所以我们要重视这类新型难题。

关键词：高中数学 圆形 轨迹

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2016）09-0110-02

圆是最完美的曲线，是最基本的几何图形，近年江苏高考中2013年高考第17题（解析几何），2014年高考18题（应用题）相继考查了圆的轨迹圆的性质等知识，笔者在2014届高三二轮复习阶段中，发现各类模拟卷各类习题中出现了一系列的圆轨迹问题，下面，将其归纳整理总结成文。

1 利用圆的定义求出其轨迹

初中阶段我们对圆的定义为“它是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径。”由此高中必修二上推导出了圆的标准方程“方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）叫做以点（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程”。 龙源期刊网

例1：已知点M（4，3）及圆C∶（x+1）2+（y-1）2=4，由动点P向圆引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，并且∠APB=60°，求PM的最小值。

2 利用圆的性质求出其轨迹

例2：（1）已知定点A，B，若动点P满足PA⊥PB，则P的轨迹是以AB为直径的圆。

（2）若平面四边形的两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则四点共圆。 龙源期刊网

例2：若定点P（-1，0）在动直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影为M，已知点N（3，3），则线段MN长度的最大值是______ 龙源期刊网

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)

知识梳理

浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平

圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、 圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳

1. 圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心， 定长为半径.

2. 圆的标准方程

① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为 x2 + y2 =厂2 ；

② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意 义。

3. 圆的一般方程

① 圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得， x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >

0)；

② 圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次 项

③ 二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是

4 = CH 0 且 B = Q；

二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0

且 3 = 0 且 D2 +E2-4AF>0

4. 圆的参数方程

圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.

[x = r cos e

① 鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛ .八(0为参数); [y = rsin^/ 、 \x = a + r cos 0

② 圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛ (〃为参数); [y = b + rsin0

5. 圆方程之间的互化

x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)

高中数学人教A版必修二《与圆有关的轨迹方程 》专题汇编

高中数学人教A版必修二《与圆有关的轨迹方程 》专题汇编

与圆有关的轨迹方程

一．定义法

判断动点轨迹满足某种曲线的定义，找出相关量求出标准方程

1.已知动点P到定点)2,1(的距离为2，则动点P的轨迹方程为 .

2.已知点)0,4(A与点)0,4(B，若动点P满足PBPA，则点P的轨迹方程为 .

二．相关点法

当动点）（yx,与已知曲线上一点),(00yx存在某种关系时，可以用含x的式子表示0x，用含y的式子表示0y，然后将含yx,的坐标代入已知曲线方程，化简即可

1.动点A在圆422yx上移动，它与定点)0,4(B连线的中点P的轨迹方程为 .

2.已知定点)0,1(N与圆:O222yx，且点P为圆O上一动点，若动点M满足PNMN2，则点M的轨迹方程为 .

三．直接法

设动点坐标为）（yx,，利用已知条件，找出yx,的关系式（距离公式，勾股定理，斜率关系等等）

1.阿波罗尼斯圆：平面内到两定点距离之比为常数)1,0(的点的轨迹是圆

（1）已知两定点)0,1(),0,2(BA，若动点P满足PBPA2，则点P的轨迹方程为

（2）已知两定点)0,4(),0,1(BA，若动点P满足PBPA21，则PBPA的最小值为

（3）若平面内两定点A,B间的距离为2，动点P满足2PBPA，则22PBPA的最小值为（ ）

A.22436 B.22448 C.236 D.224

2.已知)0,5(),0,1(BA，若动点P满足2022PBPA，则P的轨迹方程为 .

3.已知圆422yx，过)0,4(A作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（ ）

A.4)2(22yx B.)10(4)2(22xyx

C.4)1(22yx D.)10(4)1(22xyx

动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程

动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程

动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程

稿子一：

嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一个超有趣的数学问题——动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程。

你想想看，这就好像是一场圆心的奇妙旅行。动圆就像个调皮的小孩子，在两个定圆之间蹦蹦跳跳，寻找着自己的路线。

比如说，当动圆和两个定圆都外切的时候，那动圆的圆心就像是被两个大哥哥带着跑，它的轨迹可能是一条漂亮的曲线，就像彩虹一样弯弯的。

要是动圆和一个定圆内切，和另一个定圆外切，那情况又不一样啦。这时候动圆的圆心可能会一会儿靠近这个圆，一会儿又跑向那个圆，轨迹变得更加复杂有趣。

有时候，为了找到这个轨迹方程，我们得用上好多数学知识，像是距离公式、勾股定理啥的。不过别担心，只要我们一步步来，就像解谜一样，总能找到答案。

研究动圆与两定圆相切的圆心轨迹方程，就像是在数学的大花园里探险，每一步都充满了惊喜和挑战，是不是很有意思呀？

稿子二：

嘿，朋友们！今天咱们来唠唠动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程这事儿。

想象一下哈，这两个定圆就像两个安稳的家，而动圆呢，就是个爱闯荡的小家伙。它一会儿跑到这个家跟前蹭蹭，一会儿又跑去那个家抱抱。 当动圆与两个定圆都外切时，那感觉就像动圆的圆心被两个温暖的怀抱吸引着，它的轨迹可能会像一条优美的弧线，仿佛在跳着欢快的舞蹈。

要是动圆跟其中一个内切，跟另一个外切，那可就有点纠结啦。这圆心就像在做选择，一会儿靠近这边，一会儿又舍不得那边，那轨迹就变得有点曲折，就像人生的道路一样，充满了选择和变化。

在求解这个轨迹方程的过程中，咱们可得头脑清醒，不能被那些复杂的式子给绕晕了。要像个聪明的探险家，一点点去分析，去推理。

而且哦，当我们最终找到那个轨迹方程的时候，那种成就感，简直爆棚！就好像我们解开了一个神秘的密码，打开了一个充满奇妙的宝箱。

怎么样，是不是觉得动圆与两定圆相切的问题很有趣呀？