双曲线定义及标准方程(第一课时)

2.3.1双曲线的定义及其标准方程

目的：1、掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义。2、能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，并能熟练的写出两类标准方程。3、能解决较简单的求双曲线标准方程的问题。

重点：双曲线的定义和标准方程。

难点：双曲线标准方程的推导。

教学过程：

一、复习：1、演示椭圆轨迹的形成过程，复习椭圆的定义、焦点、焦距、标准方程的推导、两类形式。2、椭圆标准方程中，字母a,b,c的关系如何？为什么令a2-c2=b2?

二、新课讲解

1、双曲线的定义：

① 设问：与两个定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？常数是0呢？

② 绘图：两条曲线合起来叫做双曲线，每一支叫做双曲线的一支。其中右边一支满足|MF1|>|MF2|,左边一支|MF2|〉|MF1|

③ 定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距

▲ 若常数为0，则M点的轨迹是线段垂直平分线;若常数为|F1F2|,则M点的轨迹是直线F1F2上除去线段F1F2中间部分的以F1,F2为端点的两条射线；若常数大于|F1F2|，则M点的轨迹不存在。

2、双曲线标准方程的推导

现引导回忆求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤推导双曲线的标准方程

第一步：建立坐标系

第二步：根据定义写出M点的轨迹构成的点集

第三步：列出方程，即：(x+c)2+y2 -(x-c)2+y2 =±2a

第四步：化方程f(x,y)=0为最简形式。

得出双曲线的标准方程：x2a2 -y2b2 =1(a>0,b>0)

▲强调：表示双曲线焦点在x轴上，其中c2=a2+b2,类似的得到焦点在y轴上的双曲线标准方程：y2a2 -x2b2 =1，焦点F1(0,c)F2(0,-c) ，其中c2=a2+b2

3：简单应用

例1、已知双曲线两个焦点的坐标为F1（-5，0）,F2（5，0）双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

1 第6讲 双曲线

1．双曲线x210－y22＝1的焦距为( )．

A．32 B．42 C．33 D．43

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )．

A．2 B．22 C．4 D．42

3．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )．

A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±22x D．y＝±12x

4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

( )．

A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1 C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝1

5．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．

考向一 双曲线定义的应用

【例1】►双曲线x264－y236＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．

2 考向二 求双曲线的标准方程

【例2】►设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )．

A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1 C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1

【训练2】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．

百度文库

1 《双曲线及其标准方程》教学设计

贵阳39中 李明

新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。

双曲线及其标准方程教案

教学目标

知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：

一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？

问题2.椭圆的标准方程是怎样的？cba、、关系如何？ 百度文库

2 1 F 2 F

M 问题3. 类比，联想

如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

师：（多媒体演示动点轨迹）。

探究：通过上面的实验，回答下面问题：

问题1：随着M点的移动，|MF1|与|MF2|之间的差是常数吗？为什么？

问题2：|MF1|与|MF2|哪一个大？

问题3：这个常数可以大于或等于

21FF 吗？理由呢？

问题4：你能概括双曲线的定义吗？

二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？

生：常数21MFMF（小于21FF）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：

师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

一.情境设置

(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆改在双曲线呢？

(2)探究新知:

1.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系(2) 设点（3）列式（4）化简方程

学生得到: 双曲线的标准方程:

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置判断:

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到21FF，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

例2求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）3,4,abx焦点在轴上；（2）25,25aAy经过点（，），焦点在轴上；

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,