双曲线的定义及标准方程

双曲线的定义及标准方程

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。

扩展资料

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的`方程为x=±a/c(焦点在x轴上)或y=±a/c(焦点在y轴上)。

一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。(a、b、c不都是零，b2-4ac>0)

双曲线的标准方程：

标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)

标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)

双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)

双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。

双曲线的定义及标准方程

榆树市弓棚高级中学 彭普威

一、教学内容分析

节教材选自人教A版数学选修1-1第二章第二节课，本节内容在整个圆锥曲线教学中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位，在高考中也是历年热点问题。本节课是在前面已学过椭圆的基本定义做为学习的出发点，结合有关的实物模型，多媒体演示，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出双曲线的定义，并结合定义用类比方法推导出双曲线标准方程。本节课的学习对培养学生动手实践能力与逻辑推理能力起到重要作用，特别是学生对数学在生活中美的体现有重要认识。

二、学生学习情况分析

任教的学生在年段属中下程度，学生学习兴趣较高，但学习圆锥曲线所具备的想象能力、计算能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出双曲线的定义及推导出标准方程，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示椭圆的定义与双曲线定义的区别与

联系，领会数学的对比思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间想象力及对数学美感的感知，提高学生的数学逻辑思维能力，及培养学习数学的兴趣。

四、教学目标

通过直观感知--观察--操作确认的认识方法理解并掌握双曲线的定义，掌握双曲线的形状特点的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述双曲线，并通过类比方法推导出双曲线的标准方程。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是双曲线的引入与理解，难点是双曲线标准方程的推导与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

(一)知识准备、新课引入

提问1：椭圆的定义及其标准方程？(多媒体幻灯片演示)

百度文库

1 《双曲线及其标准方程》教学设计

贵阳39中 李明

新课程教学,更强调学生的主体性,突出学生的主体性,采用“合作、自主、探究”的学习,又要还给学生更大的自主学习空间。所以如何充分利用课堂时间,调动学生的积极性,提高课堂效益是数学教师面临的一个重要问题。我想从我自己的实践来谈谈如何设计一节课，使我的教学更适应时代的发展，使我的课堂更加有效。

双曲线及其标准方程教案

教学目标

知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。

德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。

难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。

教学过程：

一.复习提问，引入新课。

问题1.椭圆的定义是什么？

问题2.椭圆的标准方程是怎样的？cba、、关系如何？ 百度文库

2 1 F 2 F

M 问题3. 类比，联想

如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

师：（多媒体演示动点轨迹）。

探究：通过上面的实验，回答下面问题：

问题1：随着M点的移动，|MF1|与|MF2|之间的差是常数吗？为什么？

问题2：|MF1|与|MF2|哪一个大？

问题3：这个常数可以大于或等于

21FF 吗？理由呢？

问题4：你能概括双曲线的定义吗？

二.形成概念，推导方程。

师：双曲线上的点应满足的条件是什么？

生：常数21MFMF（小于21FF）。

师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。

1.双曲线的定义。（投影）分析讨论双曲线的定义中关键词和条件：

师：定义中的“平面内”，“绝对值”等条件去掉，能否表示双曲线？

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

一.情境设置

(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆改在双曲线呢？

(2)探究新知:

1.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系(2) 设点（3）列式（4）化简方程

学生得到: 双曲线的标准方程:

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置判断:

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到21FF，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

例2求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）3,4,abx焦点在轴上；（2）25,25aAy经过点（，），焦点在轴上；

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,