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简单的三角恒等变换

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全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

命题点一 简单的三角恒等变换

1.(优质试题·上海高考)方程3sin x＝1＋cos 2x在区间[0,2π]上的解为________．

解析：由3sin x＝1＋cos 2x，得3sin x＝2－2sin2x，所以2sin2x＋3sin x－2＝0，解得sin x＝12或sin x＝－2(舍去)，所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.

答案：π6或5π6

2．(优质试题·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan

β的值为________．

解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tan α1＋tanα＋βtan α＝17－－21＋17×－2＝3.

答案：3

3．(优质试题·全国甲卷改编)若cosπ4－α＝35，则sin 2α＝________.

解析：因为cosπ4－α＝35，

所以sin 2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α

＝2cos2π4－α－1＝2×925－1＝－725. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

答案：－725

4．(优质试题·全国丙卷改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝______.

解析：因为cos 2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ，

又因为tan θ＝－13，所以cos 2θ＝1－191＋19＝45.

答案：45

5．(优质试题·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.

解析：由题意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，

所以cosθ＋π4＞0，

所以cosθ＋π4＝ 1－sin2θ＋π4＝45.

tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2

＝－sinπ2－θ＋π4cosπ2－θ＋π4

＝－cosθ＋π4sinθ＋π4 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

＝－45×53＝－43.

答案：－43

6．(优质试题·江苏高考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．

解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin 2α＋π6＝2425，cos 2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝22×1725＝17250.

答案：17250

7．(优质试题·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝45，C＝π4.

(1)求AB的长；

(2)求cosA－π6的值．

解：(1)因为cos B＝45，0＜B＜π，

所以sin B＝ 1－cos2B＝ 1－452＝35.

由正弦定理知ACsin B＝ABsin C，

所以AB＝AC·sin Csin B＝6×2235＝52. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，

于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cosB＋π4

＝－cos Bcosπ4＋sin Bsinπ4.

又cos B＝45，sin B＝35，

故cos A＝－45×22＋35×22＝－210.

因为0＜A＜π，所以sin A＝1－cos2A＝7210.

因此，cosA－π6＝cos Acosπ6＋sin Asin π6

＝－210×32＋7210×12＝72－620.

8．(优质试题·山东高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝tan Acos B＋tan Bcos A.

(1)证明：a＋b＝2c；

(2)求cos C的最小值．

解：(1)证明：由题意知

2sin Acos A＋sin Bcos B＝sin Acos Acos B＋sin Bcos Acos B，

化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，

即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.

因为A＋B＋C＝π， 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

所以sin A＋sin B＝2sin C，

由正弦定理得a＋b＝2c.

(2)由(1)知c＝a＋b2，

所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋b222ab

＝38·ab＋ba－14≥12，

当且仅当a＝b时，等号成立，

故cos C的最小值为12.

命题点二 解三角形

1.(优质试题·上海高考)已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________．

解析：利用余弦定理可求得最大边所对角的余弦值为32＋52－722×3×5＝－12，所以此角的正弦值为32，设外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝732，所以R＝733.

答案：733

2．(优质试题·全国乙卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝________. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，

解得b＝3或b＝－13(舍去)．

答案：3

3．(优质试题·全国丙卷改编)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝________.

解析：法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsin B，所以c＝23a.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2，所以b＝53a.

所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.

法二：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝13BC＝13a，B＝π4，易知BD＝AD＝13a，DC＝23a.

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AB＝ 13a2＋13a2＝23a. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

同理，在Rt△ACD中，AC＝ 13a2＋23a2＝53a.

所以cos A＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.

答案：－1010

4．(优质试题·全国甲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________.

解析：因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝45，cos C＝513，

所以sin A＝35，sin C＝1213，

所以sin

B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos

C＋cos Asin C＝35×513＋45×1213＝6365.

又a＝1，所以由正弦定理得b＝asin Bsin A＝6365×53＝2113.

答案：2113

5．(优质试题·江苏高考)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°

(1)求BC的长；

(2)求sin 2C的值．

解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7. 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，

所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.

因为AB＜BC，所以C为锐角，

则cos C＝1－sin2C＝ 1－37＝277.

因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.

6．(优质试题·全国乙卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.

(1)求C；

(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．

解：(1)由已知及正弦定理得

2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，

即2cos Csin(A＋B)＝sin C，

故2sin Ccos C＝sin C.

可得cos C＝12，所以C＝π3.

(2)由已知得12absin C＝332.

又C＝π3，所以ab＝6.

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7， 全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）

故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.

所以△ABC的周长为5＋7.

7.(优质试题·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.

(1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解：(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以

sin A＝513，sin C＝45.

从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin

C＝513×35＋1213×45＝6365.

由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 2606365×45＝1

040(m)．

所以索道AB的长为1 040 m.

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简单的三角恒等变换习题

简单的三角恒等变换习题

简单的三角恒等变换

一、知识清单

1．;__________2sin

2．______;_________________________________2cos

3．Zk,k4______________2tan

4．.________________sin25．.________________cos2

二、同步练习

1.求证（1）cos2α1tanα2－tanα2＝14sin2α. （2） tan1tan1sincoscossin2122a

（3）2sin（4π－x）·sin（4π+x）=cos2x （4）4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ

（5）在△ABC中，已知cosA=BbabBacoscos，求证：babaBA2tan2tan22．

2.化简求值

（1）2cos2sin12cos2sin1 （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1

（3）已知tanπ4＋α＝12.求tanα及sin2α－cos2α1＋cos2α的值．

3.已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并指出此时x的值.

4.在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是( )

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角的三角形

5.若sinx＋cosx＝13，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为( )

A．±173 B．－173 C.13 D.173

6.已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )

简单的三角恒等变换(二)

简单的三角恒等变换(二)

§3.2 简单的三角恒等变换（二）

学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．

⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．

教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．

教学难点：形如sincosyaxbx的函数的变换．

教学方法：讲练结合．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

（Ⅰ）新课引入：

师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．

本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用．

（Ⅱ）讲授例题：

例3求函数sin3cosyxx的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．

分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．

解：略．

师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．

例4如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记COP，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

分析：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大，可分二步进行：

⑴找出S与之间的函数关系；

⑵有的处的函数关系，求出S的最大值．

解：略．

师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sincosyaxbx转化为形如sin()yAx的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．

（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋

（Ⅳ）课时小结:

通过三角恒等变换将形如sincosyaxbx的函数转换为形如sin()yAx的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．

（Ⅴ）课后作业：

课本156P习题3.2 A组 ⒌ B组 ⒍

板书设计：

§3.2 简单的三角恒等变换（二）

例3 例4 小结

教学后记:

简单的三角恒等变换

简单的三角恒等变换

高中数学必修四优质学案高效专题

简单的三角恒等变换

一、教学目标

1、通过三角恒等变形，形如xbxacossin的函数转化为)sin(xAy的函数；

2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点

重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程

（一）复习：二倍角公式。

（二）典型例题分析

例1：.54sin,20已知 的值求2coscos2sinsin)1(22；的值求)45tan()2(．

解：（1）由,54sin,20得,53cos

.201cos3cossin2sin2coscos2sinsin2222

（2）.71tan11tan)45tan(,34cossintan

例2．.10tan3150sin）（利用三角公式化简 高中数学必修四优质学案高效专题

解：）（原式10cos10sin3150sin10cos)10sin2310cos21(250sin

10cos10sin30cos10cos30sin50sin2 10cos40sin40cos2

110cos10cos10cos80sin.

例３．已知函数xxxxxf44sincossin2cos)(

（1） 求)(xf的最小正周期，（2）当]2,0[x时，求)(xf的最小值及取得最小值时x的集合．

点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数

sinyAx的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

例4．若函数]20[cos22sin3)(2，mxxxf在区间上的最大值为6，求常数m的值及此函数当Rx时的最小值及取得最小值时x的集合。

简单的三角恒等变换教案

简单的三角恒等变换教案

3．2《简单的三角恒等变换》导学案

【学习目标】：

1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差公式与和差化积公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变换在数学中的应用。

【重点难点】： 辅助角公式在三角恒等变换中的应用及三角恒等变换的相关综合问题。

【学法指导】： 自主探究与老师引导相结合。

【知识链接】：

（1）半角公式

sin2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

cos2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

tan2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（2）积化和差公式

sincos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：

cossin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

coscos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

sinsin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（3）和差化积公式

sinsin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

类似于课本中例二，请计算出下列各式的值：

sinsin＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

coscos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

coscos＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

（4）辅助角公式

sincosaxbx＿＿＿＿sin()x（其中tan=＿＿＿＿＿）

【学习过程】：

有了和（差）角公式，倍角公式以后，我们就有了三角变换的新工具，请同学们利用现有知识，试着证明下面的半角公式。

例1：求证：1cossin22；1coscos22；1costan21cos。

上述公式可用于求半角的三角函数值。

试一试：若0sin76m，试用含m的式子表示0cos7。

例2：求证：1sincos[sin()sin()]2