简单的三角恒等变换

1 简单的三角恒等变换

学习目标 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；

2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；

3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；

教学内容

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：21cos22cos， 21cos22sin

降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2

要点诠释：

利用二倍角公式的等价变形：21cos2sin2，21cos2cos2进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．

要点二：辅助角公式

1．形如sincosaxbx的三角函数式的变形：

sincosaxbx

=222222sincosababxxabab

令2222cos,sinababab，则

sincosaxbx=22sincoscossinabxx

=22sin()abx

（其中角所在象限由,ab的符号确定，角的值由tanba确定，或由22sinbab和22cosaab共同确定．）

2．辅助角公式在解题中的应用

通过应用公式sincosaxbx=22sin()abx（或sincosaxbx=22cos()ab），将形如sincosaxbx（,ab不同时为零）收缩为一个三角函数22sin()abx（或22cos()ab）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变

2 形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．

要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)

1cossin22，1coscos22

1costan21cos

以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．

sin1costan,tan21cos2sin

以上两个公式称作半角正切的有理式表示．

要点四：积化和差公式

1sincos[sin()sin()]2

1cossin[sin()sin()]2

1coscos[cos()cos()]2

1sinsin[cos()cos()]2

要点诠释：

规律1：公式右边中括号前的系数都有12．

规律2：中括号中前后两项的角分别为和．

规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．

要点五：和差化积公式

sinsin2sincos22xyxyxy

sinsin2cossin22xyxyxy

coscos2coscos22xyxyxy

coscos2sinsin22xyxyxy

要点诠释：

规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．

规律2：在所有的公式中，左边都是角A与B的弦函数相加减，右边都是2AB与2AB的弦函数相乘．

规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣

3 （cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．

规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．

注意

1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．

2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如sincos就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．

3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．

4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如1πππcoscoscos2sinsin236262．

5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．

【典型例题】

类型一：利用公式对三角函数式进行证明

例1．求证：AAAAA4tan4cos2cos434cos2cos43．

举一反三：

【变式1】求证：2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin2222

4 例2．已知2cos2cos2,sincossin,sin2cossin2求证：．

类型二：利用公式对三角函数式进行化简

例3．（ 浙江余姚市期中）化简：(1sincos)(sincos)2222cos（是第一象限角）．

举一反三：

【变式1】化简1111cos222223,22．

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类型三：利用公式进行三角函数式的求值

例4．已知1sinsin 31coscos 2①②，试求sin()的值．

举一反三：

【变式1】（广东佛山模拟）已知02x，且1tan()47x，则sinx+cosx=________．

【变式2】若sincossincos＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________ .

类型四：三角恒等变换的综合应用

例5．已知22()sin2sincos3cosfxxxxx，求：

（1）()fx的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）()fx的单调区间．

举一反三：

6 【变式1】设函数f(x)=cos(2x+3)+sin2x.

(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C为锐角，求sinA.

【变式2】（2015 四川涪城区模拟）已知函数2()2cos23sincosfxxxxa，且当[0,]6x时，f（x）的最小值为2．

（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得图象向右平移12个单位，得到函数y=f（x），求方程g（x）=2在区间[0,]2上的所有根之和．

类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用

例6．青海玉树地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m，圆心角3，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？

【思路点拨】因为A点是动点，所以连接OA，设∠AOP=，然后用的三角函数来表示平行四边形钢板ABOC的面积，最后利用三角函数的知识求面积的最大值．

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举一反三：

【变式1】如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.

（1）设PAB，长方形停车场PQCR面积为S，求()Sf

（2）求()Sf的最大值和最小值．

【巩固练习】

1．设3sin52，1tan()2，则tan(2)的值等于（ ）

A．247 B．724 C．247 D．724

2．（ 四川自贡模拟）已知24cos(),0352，则sin()sin3等于（ ）

A．435 B．355 C．335 D．435

3．设函数()sin2cos244fxxx，则（ ）

A．()yfx在0,2上单调递增，其图象关于直线4x对称

B．()yfx在0,2上单调递增，其图象关于直线2x对称

C．()yfx在0,2上单调递减，其图象关于直线4x对称